10.S: Introdução à rotação de eixo fixo (resumo)

Termos-chave

aceleração angular	taxa de tempo de mudança da velocidade angular
posição angular	ângulo pelo qual um corpo girou em um sistema de coordenadas fixo
velocidade angular	taxa de tempo de mudança da posição angular
aceleração angular instantânea	derivada da velocidade angular em relação ao tempo
velocidade angular instantânea	derivada da posição angular em relação ao tempo
cinemática do movimento rotacional	descreve as relações entre ângulo de rotação, velocidade angular, aceleração angular e tempo
braço de alavanca	distância perpendicular da linha em que o vetor de força se encontra em um determinado eixo
densidade de massa linear	a massa por unidade de comprimento λ de um objeto unidimensional
momento de inércia	massa rotacional de corpos rígidos que se relaciona com o quão fácil ou difícil será alterar a velocidade angular do corpo rígido rotativo
Segunda lei de Newton para rotação	a soma dos torques em um sistema rotativo é igual ao seu momento de inércia vezes sua aceleração angular
eixo paralelo	eixo de rotação que é paralelo a um eixo sobre o qual o momento de inércia de um objeto é conhecido
teorema do eixo paralelo	se o momento de inércia for conhecido para um determinado eixo, ele pode ser encontrado para qualquer eixo paralelo a ele
dinâmica rotacional	análise do movimento rotacional usando o torque líquido e o momento de inércia para encontrar a aceleração angular
energia cinética rotacional	energia cinética devido à rotação de um objeto; isso faz parte de sua energia cinética total
trabalho rotacional	trabalho realizado em um corpo rígido devido à soma dos torques integrados ao longo do ângulo em que o corpo gira
densidade de massa superficial	massa por unidade\(\sigma\) de área de um objeto bidimensional
torque	produto transversal de uma força e um braço de alavanca em um determinado eixo
aceleração linear total	soma vetorial do vetor de aceleração centrípeta e do vetor de aceleração tangencial
teorema de energia de trabalho para rotação	o trabalho rotacional total realizado em um corpo rígido é igual à mudança na energia cinética rotacional do corpo

Equações-chave

Posição angular	$$\ theta =\ frac {s} {r} $$
Velocidade angular	$$\ omega =\ lim_ {\ Delta t\ rightarrow 0}\ frac {\ Delta\ theta} {\ Delta t} =\ frac {d\ theta} {dt} $$
Velocidade tangencial	$$v_ {t} = r\ ômega$$
Aceleração angular	$$\ alpha =\ lim_ {\ Delta t\ rightarrow 0}\ frac {\ Delta\ ômega} {\ Delta t} =\ frac {d\ omega} {dt} =\ frac {d^ {2}\ theta} {dt^ {2}} $$
Aceleração tangencial	$$a_ {t} = r\ alfa$$
Velocidade angular média	$$\ bar {\ ômega} =\ frac {\ omega_ {0} +\ omega_ {f}} {2} $$
Deslocamento angular	$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ bar {\ ômega} t$$
Velocidade angular a partir da aceleração angular constante	$$\ ômega_ {f} =\ ômega_ {0} +\ alfa t$$
Velocidade angular decorrente do deslocamento e aceleração angular constante	$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} {2}\ alfa t^ {2} $$
Mudança na velocidade angular	$$\ omega_ {f} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} + 2a (\ Delta\ theta) $$
Aceleração total	$$\ vec {a} =\ vec {a} _ {c} +\ vec {a} _ {t} $$
Energia cinética rotacional	$$K =\ frac {1} {2}\ left (\ sum_ {j} m_ {j} r_ {j} ^ {2}\ direita)\ omega^ {2} $$
Momento de inércia	$$I =\ sum_ {j} m_ {j} r_ {j} ^ {2} $$
Energia cinética rotacional em termos do momento de inércia de um corpo rígido	$$K =\ frac {1} {2} I\ omega^ {2} $$
Momento de inércia de um objeto contínuo	$$I =\ int r^ {2} dm$$
Teorema do eixo paralelo	$$I_ {eixo paralelo} = I_ {inicial} + md^ {2} $$
Momento de inércia de um objeto composto	$$I_ {total} =\ sum_ {i} I_ {i} $$
Vetor de torque	$$\ vec {\ tau} =\ vec {r}\ times\ vec {F} $$
Magnitude do torque	$$|\ vec {\ tau} | = r_ {\ perp} F$$
Torque total	$$\ vec {\ tau} _ {net} =\ sum_ {i} |\ vec {\ tau} _ {i} |$$
Segunda lei de Newton para rotação	$$\ sum_ {i}\ tau_ {i} = I\ alpha$$
Trabalho incremental realizado por um torque	$$dW =\ left (\ sum_ {i}\ tau_ {i}\ direita) d\ theta$$
Teorema trabalho-energia	$$W_ {AB} = K_ {B} - K_ {A} $$
Trabalho rotacional realizado por força líquida	$$W_ {AB} =\ int_ {\ theta_ {A}} ^ {\ theta_ {B}}\ esquerda (\ sum_ {i}\ tau_ {i}\ direita) d\ theta$$
Potência rotacional	$$P =\ tau\ ômega$$

Resumo

10.1 Variáveis rotacionais

• A posição angular\(\theta\) de um corpo giratório é o ângulo pelo qual o corpo girou em um sistema de coordenadas fixo, que serve como um quadro de referência.
• A velocidade angular de um corpo giratório em torno de um eixo fixo é definida como\(\omega\) (rad/s), a taxa de rotação do corpo em radianos por segundo. A velocidade angular instantânea de um corpo em rotação\(\omega = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d \theta}{dt}\) é a derivada em relação ao tempo da posição angular\(\theta\), encontrada tomando o limite\(\Delta\) t → 0 na velocidade angular média\(\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}\). A velocidade angular relaciona v _t com a velocidade tangencial de um ponto no corpo rotativo por meio da relação v _t = r\(\omega\), onde r é o raio até o ponto e v _t é a velocidade tangencial no ponto dado.
• A velocidade angular\(\vec{\omega}\) é encontrada usando a regra da mão direita. Se os dedos se curvarem na direção de rotação em torno de um eixo fixo, o polegar apontará na direção de\(\vec{\omega}\) (veja a Figura 10.5).
• Se a velocidade angular do sistema não for constante, o sistema terá uma aceleração angular. A aceleração angular média em um determinado intervalo de tempo é a mudança na velocidade angular nesse intervalo de tempo,\(\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}\). A aceleração angular instantânea é a derivada temporal da velocidade angular,\(\alpha = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}}\). A aceleração angular\(\vec{\alpha}\) é encontrada localizando a velocidade angular. Se a taxa de rotação de um corpo giratório estiver diminuindo, a aceleração angular está na direção oposta\(\vec{\omega}\) a. Se a taxa de rotação estiver aumentando, a aceleração angular está na mesma direção que\(\vec{\omega}\).
• A aceleração tangencial de um ponto em um raio do eixo de rotação é a aceleração angular vezes o raio até o ponto.

10.2 Rotação com aceleração angular constante

• A cinemática do movimento rotacional descreve as relações entre ângulo de rotação (posição angular), velocidade angular, aceleração angular e tempo.
• Para uma aceleração angular constante, a velocidade angular varia linearmente. Portanto, a velocidade angular média é 1/2 da velocidade angular inicial mais final em um determinado período de tempo: $$\ bar {\ omega} =\ frac {\ omega_ {0} +\ omega_ {f}} {2}\ ldotp$$
• Usamos uma análise gráfica para encontrar soluções para rotação de eixo fixo com aceleração angular constante. A partir da relação\(\omega = \frac{d \theta}{dt}\), descobrimos que a área abaixo de uma velocidade angular-vs. a curva do tempo fornece o deslocamento angular,\(\theta_{f} - \theta_{0} = \Delta \theta = \int_{t_{0}}^{t} \omega (t)dt\). Os resultados da análise gráfica foram verificados usando as equações cinemáticas para aceleração angular constante. Da mesma forma\(\alpha = \frac{d \omega}{dt}\), uma vez que, a área sob uma aceleração angular versus. O gráfico do tempo fornece a mudança na velocidade angular:\(\omega{f} - \omega{0} = \Delta \omega= \int_{t_{0}}^{t} \alpha (t)dt\).

10.3 Relacionando quantidades angulares e translacionais

• As equações cinemáticas lineares têm suas contrapartes rotacionais de forma que haja um mapeamento x →\(\theta\), v →\(\omega\), a →\(\alpha\).
• Um sistema que sofre movimento circular uniforme tem uma velocidade angular constante, mas os pontos a uma distância r do eixo de rotação têm uma aceleração centrípeta linear.
• Um sistema que sofre movimento circular não uniforme tem uma aceleração angular e, portanto, tem uma aceleração linear centrípeta e tangencial linear em um ponto a uma distância r do eixo de rotação.
• A aceleração linear total é a soma vetorial do vetor de aceleração centrípeta e do vetor de aceleração tangencial. Como os vetores de aceleração centrípeta e tangencial são perpendiculares entre si para movimento circular, a magnitude da aceleração linear total é\(|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}}\).

10.4 Momento de inércia e energia cinética rotacional

• A energia cinética rotacional é a energia cinética de rotação de um corpo rígido rotativo ou sistema de partículas, e é dada por\(K = \frac{1}{2} I \omega^{2}\), onde I é o momento de inércia, ou “massa rotacional” do corpo rígido ou sistema de partículas.
• O momento de inércia de um sistema de partículas pontuais girando em torno de um eixo fixo é\(I = \sum_{j} m_{j} r_{j}^{2}\), onde m _j é a massa da partícula pontual e r _j é a distância da partícula pontual ao eixo de rotação. Por causa do termo r ², o momento de inércia aumenta como o quadrado da distância até o eixo rotacional fixo. O momento de inércia é a contrapartida rotacional da massa em movimento linear.
• Em sistemas que estão girando e traduzindo, a conservação da energia mecânica pode ser usada se não houver forças não conservadoras em ação. A energia mecânica total é então conservada e é a soma das energias cinéticas rotacionais e translacionais e da energia potencial gravitacional.

10.5 Calculando momentos de inércia

• Momentos de inércia podem ser encontrados somando ou integrando cada “pedaço de massa” que compõe um objeto, multiplicado pelo quadrado da distância de cada “pedaço de massa” até o eixo. Na forma integral, o momento de inércia é\(I = \int r^{2} dm\).
• O momento de inércia é maior quando a massa de um objeto está mais distante do eixo de rotação.
• É possível encontrar o momento de inércia de um objeto em torno de um novo eixo de rotação, uma vez que ele é conhecido por um eixo paralelo. Isso é chamado de teorema do eixo paralelo dado por I _{eixo paralelo} = I _{centro de massa} + md ², onde d é a distância do eixo inicial ao eixo paralelo.
• O momento de inércia de um objeto composto é simplesmente a soma dos momentos de inércia de cada objeto individual que compõe o objeto composto.

10.6 Torque

• A magnitude de um torque em torno de um eixo fixo é calculada encontrando o braço da alavanca até o ponto em que a força é aplicada e usando a relação\(|\vec{\tau}|\) = r _\(\perp\)F, onde r _\(\perp\)é a distância perpendicular do eixo até a linha na qual o vetor de força se encontra.
• O sinal do torque é encontrado usando a régua da mão direita. Se a página for o plano contendo\(\vec{r}\) e\(\vec{F}\), então\(\vec{r} \times \vec{F}\) está fora da página para torques positivos e para a página para torques negativos.
• O torque líquido pode ser encontrado pela soma dos torques individuais em um determinado eixo.

10.7 Segunda Lei de Rotação de Newton

• A segunda lei de rotação de Newton\(\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha\),, diz que a soma dos torques em um sistema rotativo em torno de um eixo fixo é igual ao produto do momento de inércia e da aceleração angular. Esse é o análogo rotacional da segunda lei do movimento linear de Newton.
• Na forma vetorial da segunda lei de rotação de Newton, o vetor de torque\(\vec{\tau}\) está na mesma direção da aceleração angular\(\vec{\alpha}\). Se a aceleração angular de um sistema rotativo for positiva, o torque no sistema também será positivo e, se a aceleração angular for negativa, o torque será negativo.

10.8 Trabalho e potência para movimento rotacional

• O trabalho incremental dW ao girar um corpo rígido em torno de um eixo fixo é a soma dos torques em torno do eixo vezes o ângulo incremental\(\theta\) d.
• O trabalho total realizado para girar um corpo rígido em um ângulo em\(\theta\) torno de um eixo fixo é a soma dos torques integrados sobre o deslocamento angular. Se o torque for constante em função de θ, então W _AB =\(\tau\) (\(\theta_{B} − \theta_{A}\)).
• O teorema da energia de trabalho relaciona o trabalho rotacional realizado com a mudança na energia cinética rotacional: W _AB = K _B − K _A onde\(K = \frac{1}{2} I \omega^{2}\).
• A potência fornecida a um sistema que gira em torno de um eixo fixo é o torque vezes a velocidade angular, P =\(\tau \omega\).

Contribuidores e atribuições

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