10.9: Trabalho e potência para movimento rotacional
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- Use o teorema da energia de trabalho para analisar a rotação e encontrar o trabalho realizado em um sistema quando ele é girado em torno de um eixo fixo para um deslocamento angular finito
- Resolva a velocidade angular de um corpo rígido rotativo usando o teorema trabalho-energia
- Encontre a potência fornecida a um corpo rígido rotativo, considerando o torque aplicado e a velocidade angular
- Resuma as variáveis e equações rotacionais e relacione-as com suas contrapartes translacionais
Até agora, na seção, abordamos extensivamente a cinemática e a dinâmica para girar corpos rígidos em torno de um eixo fixo. Nesta subseção final, definimos trabalho e potência dentro do contexto de rotação em torno de um eixo fixo, que tem aplicações tanto na física quanto na engenharia. A discussão sobre trabalho e potência torna nosso tratamento do movimento rotacional quase completo, com exceção do movimento de rolamento e do momento angular, que são discutidos em Momento Angular. Começamos esta subseção com um tratamento do teorema trabalho-energia para rotação.
Trabalho para movimento rotacional
Agora que determinamos como calcular a energia cinética para corpos rígidos em rotação, podemos prosseguir com uma discussão sobre o trabalho realizado em um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo. \(\PageIndex{1}\)A figura mostra um corpo rígido que girou através de um ângulo d\(\theta\) de A para B enquanto estava sob a influência de uma força\(\vec{F}\). A força externa\(\vec{F}\) é aplicada ao ponto P, cuja posição é\(\vec{r}\), e o corpo rígido é limitado a girar em torno de um eixo fixo que é perpendicular à página e passa por O. O eixo rotacional é fixo, então o vetor\(\vec{r}\) se move em um círculo de raio r, e o vetor d \(\vec{s}\)é perpendicular\(\vec{r}\) a.
Nós temos
\[\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp\]
Assim,
\[d \vec{s} = d (\vec{\theta} \times \vec{r}) = d \vec{\theta} \times \vec{r} + d \vec{r} \times \vec{\theta} = d \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp\]
Note que d\(\vec{r}\) é zero porque\(\vec{r}\) está fixado no corpo rígido desde a origem O até o ponto P. Usando a definição de trabalho, obtemos
\[W = \int \sum \vec{F}\; \cdotp d \vec{s} = \int \sum \vec{F}\; \cdotp (d \vec{\theta} \times \vec{r}) = \int d \vec{\theta}\; \cdotp (\vec{r} \times \sum \vec{F})\]
onde usamos a identidade\(\vec{a}\; \cdotp (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}\; \cdotp (\vec{c} \times \vec{a})\). Observando isso\((\vec{r} \times \sum \vec{F}) = \sum \vec{\tau}\), chegamos à expressão para o trabalho rotacional realizado em um corpo rígido:
\[W = \int \sum \vec{\tau}\; \cdotp d \vec{\theta} \ldotp \label{10.27}\]
O trabalho total realizado em um corpo rígido é a soma dos torques integrados ao longo do ângulo pelo qual o corpo gira. O trabalho incremental é
\[dW = \left(\sum_{i} \tau_{i}\right) d \theta \label{10.28}\]
onde pegamos o produto escalar na Equação\ ref {10.27}, deixando apenas torques ao longo do eixo de rotação. Em um corpo rígido, todas as partículas giram no mesmo ângulo; assim, o trabalho de cada força externa é igual ao torque vezes o ângulo incremental comum\(\theta\) d. A quantidade\(\left(\sum_{i} \tau_{i}\right)\) é o torque líquido no corpo devido a forças externas.
Da mesma forma, encontramos a energia cinética de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo somando a energia cinética de cada partícula que compõe o corpo rígido. Como o teorema da energia de trabalho W i =\(\Delta\) K i é válido para cada partícula, ele é válido para a soma das partículas e do corpo inteiro.
O teorema da energia de trabalho para um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo é
\[W_{AB} = K_{B} - K_{A} \label{10.29}\]
onde
\[K = \frac{1}{2} I \omega^{2}\]
e o trabalho rotacional realizado por uma força líquida girando um corpo do ponto A ao ponto B é
\[W_{AB} = \int_{\theta_{A}}^{\theta_{B}} \left(\sum_{i} \tau_{i}\right) d \theta \ldotp \label{10.30}\]
Fornecemos uma estratégia para usar essa equação ao analisar o movimento rotacional.
- Identifique as forças no corpo e desenhe um diagrama de corpo livre. Calcule o torque para cada força.
- Calcule o trabalho realizado durante a rotação do corpo por cada torque.
- Aplique o teorema da energia de trabalho igualando o trabalho em rede realizado no corpo à mudança na energia cinética rotacional
Vamos dar uma olhada em dois exemplos e usar o teorema da energia de trabalho para analisar o movimento rotacional.
Um torque de 12,0 N • m é aplicado a um volante que gira em torno de um eixo fixo e tem um momento de inércia de 30,0 kg • m 2. Se o volante estiver inicialmente em repouso, qual é sua velocidade angular depois de passar por oito rotações?
Estratégia
Nós aplicamos o teorema trabalho-energia. Sabemos pela descrição do problema qual é o torque e o deslocamento angular do volante. Então, podemos resolver a velocidade angular final.
Solução
O volante gira em oito rotações, o que equivale a 16\(\pi\) radianos. O trabalho realizado pelo torque, que é constante e, portanto, pode sair da integral na Equação\ ref {10.30}, é
\[W_{AB} = \tau (\theta_{B} - \theta_{A}) \ldotp\]
Nós aplicamos o teorema trabalho-energia:
\[W_{AB} = \tau (\theta_{B} - \theta_{A}) = \frac{1}{2} I \omega_{B}^{2} - \frac{1}{2} I \omega_{A}^{2} \ldotp\]
Com\(\tau\) = 12,0 N • m,\(\theta_{B} - \theta_{A}\) = 16,0\(\pi\) rad, I = 30,0 kg • m 2 e\(\omega_{A}\) = 0, temos
\[(12.0\; N\; \cdotp m)(16.0 \pi\; rad) = \frac{1}{2} (30.0\; kg\; \cdotp m^{2})(\omega_{B}^{2}) - 0 \ldotp\]
Portanto,
\[\omega_{B} = 6.3\; rad/s \ldotp\]
Essa é a velocidade angular do volante após oito rotações.
Significância
O teorema da energia de trabalho fornece uma maneira eficiente de analisar o movimento rotacional, conectando o torque à energia cinética rotacional.
Uma corda enrolada em torno da polia na Figura\(\PageIndex{2}\) é puxada com uma força descendente constante\(\vec{F}\) de magnitude 50 N. O raio R e o momento de inércia I da polia são 0,10 m e 2,5 x 10 −3 kg • m 2, respectivamente. Se a corda não escorregar, qual é a velocidade angular da polia após 1,0 m de corda se desenrolar? Suponha que a polia comece do repouso.
Estratégia
Observando o diagrama de corpo livre, vemos que nem\(\vec{B}\) a força nos rolamentos da polia, nem M\(\vec{g}\), o peso da polia, exercem um torque ao redor do eixo de rotação e, portanto, não funcionam na polia. À medida que a polia gira em um ângulo\(\theta\),\(\vec{F}\) atua através de uma distância d tal que d =\(\theta\) R.
Solução
Como o torque devido a\(\vec{F}\) tem magnitude\(\tau\) = RF, temos
\[W = \tau \theta = (FR) \theta = FD \ldotp\]
Se a força na corda atua a uma distância de 1,0 m, temos, a partir do teorema da energia de trabalho,
\[\begin{split} W_{AB} & = K_{B} - K_{A} \\ Fd & = \frac{1}{2} I \omega^{2} - 0 \\ (50.0\; N)(1.0\; m) & = \frac{1}{2} (2.5 \times 10^{-3}\; kg\; \cdotp m^{2}) \omega^{2} \ldotp \end{split}\]
Resolvendo para\(\omega\), obtemos
\[\omega = 200.0\; rad/s \ldotp\]
Potência para movimento rotacional
O poder sempre surge na discussão de aplicações em engenharia e física. A potência do movimento rotacional é tão importante quanto a potência no movimento linear e pode ser derivada de forma semelhante à do movimento linear quando a força é constante. A potência linear quando a força é constante é P =\(\vec{F}\; \cdotp \vec{v}\). Se o torque líquido for constante sobre o deslocamento angular, a Equação 10.8.4 simplifica e o torque líquido pode ser retirado da integral. Na discussão a seguir, assumimos que o torque líquido é constante. Podemos aplicar a definição de potência derivada em Potência ao movimento rotacional. Do trabalho e da energia cinética, a potência instantânea (ou apenas potência) é definida como a taxa de realização do trabalho,
\[P = \frac{dW}{dt} \ldotp\]
Se tivermos um torque líquido constante, a Equação 10.8.4 se torna W =\(\tau \theta\) e a potência é
\[P = \frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt} (\tau \theta) = \tau \frac{d \theta}{dt}\]
ou
\[P = \tau \omega \ldotp \label{10.31}\]
Um motor de barco operando a 9,0 x 10 4 W está funcionando a 300 rev/min. Qual é o torque no eixo da hélice?
Estratégia
Recebemos a taxa de rotação em rev/min e o consumo de energia, para que possamos calcular facilmente o torque.
Solução
\[300.0\; rev/min = 31.4\; rad/s;\]
\[\tau = \frac{P}{\omega} = \frac{9.0 \times 10^{4}\; N\; \cdotp m/s}{31.4\; rad/s} = 2864.8\; N\; \cdotp m \ldotp\]
Significância
É importante observar que o radiano é uma unidade adimensional porque sua definição é a proporção de dois comprimentos. Portanto, não aparece na solução.
Um torque constante de 500 kN • m é aplicado a uma turbina eólica para mantê-la girando a 6 rad/s. Qual é a potência necessária para manter a turbina girando?
Relacionamentos rotacionais e translacionais resumidos
As quantidades rotacionais e seus análogos lineares estão resumidos em três tabelas. A Tabela 10.5 resume as variáveis rotacionais do movimento circular em torno de um eixo fixo com seus análogos lineares e a equação de conexão, exceto pela aceleração centrípeta, que permanece por si só. A Tabela 10.6 resume as equações cinemáticas rotacionais e translacionais. A Tabela 10.7 resume as equações da dinâmica rotacional com seus análogos lineares.
Tabela 10.5 - Variáveis rotacionais e translacionais: resumo
| Rotacional | Translacional | Relacionamento |
|---|---|---|
| $$\ teta $$ | $$x$$ | $$\ theta =\ frac {s} {r} $$ |
| $$\ ômega$$ | $$v_ {f} $$ | $$\ ômega =\ frac {v_ {t}} {r} $$ |
| $$\ alfa$$ | $$a_ {t} $$ | $$\ alpha =\ frac {a_ {t}} {r} $$ |
| $$a_ {c} $$ | $$a_ {c} =\ frac {v_ {t} ^ {2}} {r} $$ |
Tabela 10.6 - Equações cinemáticas rotacionais e translacionais: resumo
| Rotacional | Translacional |
|---|---|
| $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ bar {\ ômega} t$$ | $$x = x_ {0} +\ bar {v} t$$ |
| $$\ ômega_ {f} =\ ômega_ {0} +\ alfa t$$ | $$v_ {f} = v_ {0} + em$$ |
| $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} {2}\ alfa t^ {2} $$ | $$x_ {f} = x_ {0} + v_ {0} t +\ frac {1} {2} em^ {2} $$ |
| $$\ omega_ {f} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} + 2\ alfa (\ Delta\ theta) $$ | $$v_ {f} ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (\ Delta x) $$ |
Tabela 10.7 - Equações rotacionais e translacionais: dinâmica
| Rotacional | Translacional |
|---|---|
| $$I =\ sum_ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2} $$ | $$m$$ |
| $$K =\ frac {1} {2} I\ omega^ {2} $$ | $$K =\ frac {1} {2} mv^ {2} $$ |
| $$\ sum_ {i}\ tau_ {i} = I\ alpha$$ | $$\ sum_ {i}\ vec {F} _ {i} = m\ vec {a} $$ |
| $$W_ {AB} =\ int_ {\ theta_ {A}} ^ {\ theta_ {B}}\ esquerda (\ sum_ {i}\ tau_ {i}\ direita) d\ theta$$ | $$W =\ int\ vec {F}\;\ cdotp d\ vec {s} $$ |
| $$P =\ tau\ ômega$$ | $$P =\ vec {F}\ cdotp\ vec {v} $$ |