10.8: Segunda Lei de Rotação de Newton

objetivos de aprendizagem

• Calcule os torques em sistemas rotativos em torno de um eixo fixo para encontrar a aceleração angular
• Explicar como as mudanças no momento de inércia de um sistema rotativo afetam a aceleração angular com um torque fixo aplicado

Nesta subseção, reunimos todas as peças aprendidas até agora neste capítulo para analisar a dinâmica dos corpos rígidos rotativos. Analisamos o movimento com a cinemática e a energia cinética rotacional, mas ainda não conectamos essas ideias com força e/ou torque. Nesta subseção, introduzimos o equivalente rotacional à segunda lei do movimento de Newton e o aplicamos a corpos rígidos com rotação de eixo fixo.

Segunda Lei de Rotação de Newton

Até agora, encontramos muitas contrapartes aos termos translacionais usados em todo este texto, mais recentemente, torque, o análogo rotacional à força. Isso levanta a questão: Existe uma equação análoga à segunda lei de Newton,\(\sum \vec{F}\) = m\(\vec{a}\), que envolve torque e movimento rotacional? Para investigar isso, começamos com a segunda lei de Newton para uma única partícula girando em torno de um eixo e executando movimento circular. Vamos exercer uma força\(\vec{F}\) em um ponto de massa m que está a uma distância r de um ponto de articulação (Figura\(\PageIndex{1}\)). A partícula é restrita a se mover em um caminho circular com raio fixo e a força é tangente ao círculo. Aplicamos a segunda lei de Newton para determinar a magnitude da aceleração a =\(\frac{F}{m}\) na direção de\(\vec{F}\). Lembre-se de que a magnitude da aceleração tangencial é proporcional à magnitude da aceleração angular em a =\(\alpha\) r. Substituindo essa expressão na segunda lei de Newton, obtemos

\[F = mr \alpha \ldotp\]

Figura\(\PageIndex{1}\): Um objeto é suportado por uma mesa horizontal sem atrito e é preso a um ponto de articulação por um cabo que fornece força centrípeta. Uma força\(\vec{F}\) é aplicada ao objeto perpendicular ao raio r, fazendo com que ele acelere em torno do ponto de articulação. A força é perpendicular a r.

Multiplique os dois lados dessa equação por r,

\[rF = mr^{2} \alpha \ldotp\]

Observe que o lado esquerdo dessa equação é o torque em torno do eixo de rotação, onde r é o braço da alavanca e F é a força, perpendicular a r. Lembre-se de que o momento de inércia para uma partícula pontual é I = mr ². O torque aplicado perpendicularmente à massa pontual na Figura\(\PageIndex{1}\) é, portanto,

\[\tau = I \alpha \ldotp\]

O torque na partícula é igual ao momento de inércia em torno do eixo de rotação vezes a aceleração angular. Podemos generalizar essa equação para um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo.

Segunda Lei de Rotação de Newton

Se mais de um torque atuar em um corpo rígido em torno de um eixo fixo, a soma dos torques é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:

\[\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha \ldotp \label{10.25}\]

O termo I\(\alpha\) é uma quantidade escalar e pode ser positivo ou negativo (no sentido anti-horário ou horário), dependendo do sinal do torque líquido. Lembre-se da convenção de que a aceleração angular no sentido anti-horário é positiva. Assim, se um corpo rígido está girando no sentido horário e experimenta um torque positivo (no sentido anti-horário), a aceleração angular é positiva.

A equação\ ref {10.25} é a segunda lei de Newton para rotação e nos diz como relacionar torque, momento de inércia e cinemática rotacional. Isso é chamado de equação da dinâmica rotacional. Com essa equação, podemos resolver toda uma classe de problemas envolvendo força e rotação. Faz sentido que a relação de quanta força é necessária para girar um corpo inclua o momento de inércia, pois essa é a quantidade que nos diz o quão fácil ou difícil é mudar o movimento rotacional de um objeto.

Derivando a segunda lei de Newton para rotação em forma vetorial

Como antes, quando encontramos a aceleração angular, também podemos encontrar o vetor de torque. A segunda lei\(\sum \vec{F}\) = m nos\(\vec{a}\) diz a relação entre a força líquida e como mudar o movimento translacional de um objeto. Temos um vetor rotacional equivalente dessa equação, que pode ser encontrado usando a Equação 10.2.10 e a Figura 10.2.7. A equação 10.2.10 relaciona a aceleração angular com os vetores de aceleração posicional e tangencial:

\[\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} \ldotp\]

Formamos o produto cruzado dessa equação com\(\vec{r}\) e usamos uma identidade de produto cruzado (observe que\(\vec{r}\; \cdotp \vec{\alpha}\) = 0):

\[\vec{r} \times \vec{a} = \vec{r} \times (\vec{\alpha} \times \vec{r}) = \vec{\alpha} (\vec{r}\; \cdotp \vec{r}) - \vec{r} (\vec{r}\; \cdotp \vec{\alpha}) = \vec{\alpha} (\vec{r}\; \cdotp \vec{r}) = \vec{\alpha} r^{2} \ldotp\]

Agora formamos o produto cruzado da segunda lei de Newton com o vetor de posição\(\vec{r}\),

\[\sum (\vec{r} \times \vec{F}) = \vec{r} \times (m \vec{a}) = m \vec{r} \times \vec{a} = mr^{2} \vec{\alpha} \ldotp\]

Identificando o primeiro termo à esquerda como a soma dos torques e mr ² como o momento de inércia, chegamos à segunda lei de rotação de Newton na forma vetorial:

\[\sum \tau = I \alpha \ldotp \label{10.26}\]

Essa equação é exatamente Equation\ ref {10.25}, mas com o torque e a aceleração angular como vetores. Um ponto importante é que o vetor de torque está na mesma direção da aceleração angular.

Aplicação da equação da dinâmica rotacional

Antes de aplicarmos a equação da dinâmica rotacional a algumas situações cotidianas, vamos revisar uma estratégia geral de resolução de problemas para uso com essa categoria de problemas.

Estratégia de resolução de problemas: dinâmica rotacional

1. Examine a situação para determinar se o torque e a massa estão envolvidos na rotação. Faça um esboço cuidadoso da situação.
2. Determine o sistema de interesse.
3. Desenhe um diagrama de corpo livre. Ou seja, desenhe e rotule todas as forças externas que atuam no sistema de interesse.
4. Identifique o ponto de articulação. Se o objeto estiver em equilíbrio, ele deve estar em equilíbrio para todos os pontos de articulação possíveis — escolha aquele que mais simplifica seu trabalho.
5. Aplique\(\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha\), o equivalente rotacional da segunda lei de Newton, para resolver o problema. Deve-se tomar cuidado ao usar o momento correto de inércia e considerar o torque em torno do ponto de rotação.
6. Como sempre, verifique a solução para ver se é razoável.

Exemplo 10.16: Calculando o efeito da distribuição de massa em um carrossel

Considere o pai empurrando um carrossel de parquinho na Figura\(\PageIndex{2}\). Ele exerce uma força de 250 N na borda do carrossel de 200,0 kg, que tem um raio de 1,50 m. Calcule a aceleração angular produzida (a) quando ninguém está no carrossel e (b) quando uma criança de 18,0 kg fica a 1,25 m de distância do centro. Considere o carrossel em si como um disco uniforme com atrito insignificante.

Figura\(\PageIndex{2}\): Um pai empurra um carrossel de recreio em sua borda e perpendicularmente ao seu raio para atingir o torque máximo.

Estratégia

O torque líquido é dado diretamente pela expressão\(\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha\), Para resolver\(\alpha\), devemos primeiro calcular o torque líquido\(\tau\) (que é o mesmo em ambos os casos) e o momento de inércia I (que é maior no segundo caso).

Solução

1. O momento de inércia de um disco sólido em torno desse eixo é dado na Figura 10.5.4 como $$\ frac {1} {2} MR^ {2}\ LDOTP$$Nós temos M = 50,0 kg e R = 1,50 m, então $$I = (0,500) (50,0\; kg) (1,50\; m) ^ {2} = 56,25\; kg\; cdotp m^ {2}\ ldotp$$Para encontrar o torque líquido, notamos que a força aplicada é perpendicular até o raio e o atrito é insignificante, de modo que $$\ tau = rF\ sin\ theta = (1,50\; m) (250,0\; N) - 375,0\; N\;\ cdotp m\ lDotp$$Agora, depois de substituirmos os valores conhecidos, descobrimos que a aceleração angular é $$\ alpha =\ frac {\ tau} {I} =\ frac {375,0\; N\;\ cdotp m} {56,25\; kg\;\ cdotp m^ {2}} = 6,67\; rad/s^ {2}\ ldotp$$
2. Esperamos que a aceleração angular do sistema seja menor nessa parte porque o momento de inércia é maior quando a criança está no carrossel. Para encontrar o momento total de inércia I, primeiro encontramos o momento de inércia da criança I _c aproximando a criança como uma massa pontual a uma distância de 1,25 m do eixo. Então $$I_ {c} = mR^ {2} = (18,0\; kg) (1,25\; m) ^ {2} = 28,13\; kg\;\ cdotp m^ {2}\ ldotp$$O momento total de inércia é a soma dos momentos de inércia do carrossel e da criança (aproximadamente no mesmo eixo): $$I = (28,13\; kg\;\ cdotp m^ {2}) + (56,25\; kg\;\ cdotp m^ {2}) = 84,38\; kg\;\ cdotp m^ {2}\ ldotp$$ Substituindo valores conhecidos na equação por\(\alpha\) dá $$\ alpha =\ frac {\ tau} {I} =\ frac {375.0\; N\;\ cdotp m} {84,38\; kg\;\ cdotp m^ {2}} = 4,44\; rad/s\ ldotp$$

Significância

A aceleração angular é menor quando a criança está no carrossel do que quando o carrossel está vazio, como esperado. As acelerações angulares encontradas são bastante grandes, em parte devido ao fato de o atrito ter sido considerado insignificante. Se, por exemplo, o pai continuasse pressionando perpendicularmente por 2,00 s, ele daria ao carrossel uma velocidade angular de 13,3 rad/s quando estiver vazio, mas apenas 8,89 rad/s quando a criança estiver sobre ele. Em termos de revoluções por segundo, essas velocidades angulares são 2,12 rev/s e 1,41 rev/s, respectivamente. O pai acabaria correndo a cerca de 50 km/h no primeiro caso.

Exercício 10.7

As pás do ventilador em um motor a jato têm um momento de inércia 30,0 kg • m ². Em 10 s, eles giram no sentido anti-horário do repouso até uma taxa de rotação de 20 rotações/s. (a) Que torque deve ser aplicado às pás para alcançar essa aceleração angular? (b) Qual é o torque necessário para fazer com que as pás do ventilador girem a 20 rotações/s para descansar em 20 s?