10.7: Torque

Objetivos de

• Descreva como a magnitude de um torque depende da magnitude do braço da alavanca e do ângulo que o vetor de força faz com o braço da alavanca
• Determine o sinal (positivo ou negativo) de um torque usando a régua do lado direito
• Calcule torques individuais em torno de um eixo comum e some-os para encontrar o torque líquido

Uma quantidade importante para descrever a dinâmica de um corpo rígido rotativo é o torque. Vemos a aplicação do torque de várias maneiras em nosso mundo. Todos nós temos uma intuição sobre torque, como quando usamos uma chave grande para desparafusar um parafuso persistente. O torque funciona de maneiras invisíveis, como quando pressionamos o acelerador de um carro, fazendo com que o motor coloque torque adicional no trem de força. Ou toda vez que movemos nosso corpo de uma posição em pé, aplicamos um torque em nossos membros. Nesta seção, definimos torque e apresentamos um argumento para a equação para calcular o torque para um corpo rígido com rotação de eixo fixo.

Definindo o torque

Até agora, definimos muitas variáveis que são equivalentes rotacionais às suas contrapartes translacionais. Vamos considerar qual deve ser a contrapartida da força. Como as forças alteram o movimento translacional dos objetos, a contraparte rotacional deve estar relacionada à alteração do movimento rotacional de um objeto em torno de um eixo. Chamamos isso de torque de contrapartida rotacional.

Na vida cotidiana, giramos objetos em torno de um eixo o tempo todo, então, intuitivamente, já sabemos muito sobre torque. Considere, por exemplo, como giramos uma porta para abri-la. Primeiro, sabemos que uma porta se abre lentamente se empurrarmos muito perto de suas dobradiças; é mais eficiente girar uma porta aberta se nos afastarmos das dobradiças. Segundo, sabemos que devemos empurrar perpendicularmente ao plano da porta; se pressionarmos paralelamente ao plano da porta, não conseguiremos girá-la. Em terceiro lugar, quanto maior a força, mais eficaz ela é na abertura da porta; quanto mais você empurra, mais rapidamente a porta se abre. O primeiro ponto implica que quanto mais a força é aplicada do eixo de rotação, maior a aceleração angular; o segundo implica que a eficácia depende do ângulo em que a força é aplicada; o terceiro implica que a magnitude da força também deve fazer parte da equação. Observe que, para rotação em um plano, o torque tem duas direções possíveis. O torque é no sentido horário ou anti-horário em relação ao ponto de articulação escolhido. A figura\(\PageIndex{1}\) mostra rotações no sentido anti-horário.

Figura\(\PageIndex{1}\): O torque é a eficácia de giro ou torção de uma força, ilustrada aqui para a rotação da porta em suas dobradiças (vista de cima). O torque tem magnitude e direção. (a) Um torque no sentido anti-horário é produzido por uma força que\(\vec{F}\) atua a uma distância r das dobradiças (o ponto de articulação). (b) Um torque menor no sentido anti-horário é produzido quando uma força menor\(\vec{F}′\) atua à mesma distância r das dobradiças. (c) A mesma força que em (a) produz um torque menor no sentido anti-horário quando aplicada a uma distância menor das dobradiças. (d) Um torque menor no sentido anti-horário é produzido pela mesma força de magnitude que (a) atuando na mesma distância\(\theta\) que (a), mas em um ângulo inferior a 90°.

Agora, vamos considerar como definir torques no caso tridimensional geral.

Torque

Quando uma força\(\vec{F}\) é aplicada a um ponto P cuja posição é\(\vec{r}\) relativa a O (Figura\(\PageIndex{2}\)), o torque\(\vec{\tau}\) em torno de O é

\[\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \ldotp \label{10.22}\]

Figura\(\PageIndex{2}\): O torque é perpendicular ao plano definido por\(\vec{r}\) e\(\vec{F}\) e sua direção é determinada pela regra da mão direita.

A partir da definição do produto cruzado, o torque\(\vec{\tau}\) é perpendicular ao plano que contém\(\vec{r}\)\(\vec{F}\) e tem magnitude

\[|\vec{\tau}| = |\vec{r} \times \vec{F}| = rF \sin \theta,\]

onde\(\theta\) está o ângulo entre os vetores\(\vec{r}\)\(\vec{F}\) e. A unidade de torque SI é newtons vezes metros, geralmente escrita como N • m. A quantidade r _\(\perp\)= rsin\(\theta\) é a distância perpendicular de O à linha determinada pelo vetor\(\vec{F}\) e é chamada de braço de alavanca. Observe que quanto maior o braço da alavanca, maior a magnitude do torque. Em termos do braço da alavanca, a magnitude do torque é

\[|\vec{\tau}| = r_{\perp} F \ldotp \label{10.23}\]

O produto cruzado\(\vec{r} \times \vec{F}\) também nos indica o sinal do torque. Na Figura\(\PageIndex{2}\), o produto cruzado\(\vec{r} \times \vec{F}\) está ao longo do eixo z positivo, que por convenção é um torque positivo. Se\(\vec{r} \times \vec{F}\) estiver ao longo do eixo z negativo, isso produz um torque negativo.

Se considerarmos um disco que está livre para girar em torno de um eixo através do centro, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\), podemos ver como o ângulo entre o raio\(\vec{r}\) e a força\(\vec{F}\) afeta a magnitude do torque. Se o ângulo for zero, o torque será zero; se o ângulo for 90°, o torque será máximo. O torque na Figura\(\PageIndex{3}\) é positivo porque a direção do torque pela régua do lado direito está fora da página ao longo do eixo z positivo. O disco gira no sentido anti-horário devido ao torque, na mesma direção de uma aceleração angular positiva.

Figura\(\PageIndex{3}\): Um disco está livre para girar em torno de seu eixo até o centro. A magnitude do torque no disco é RFSin\(\theta\). Quando\(\theta\) = 0°, o torque é zero e o disco não gira. Quando\(\theta\) = 90°, o torque é máximo e o disco gira com aceleração angular máxima.

Qualquer número de torques pode ser calculado em torno de um determinado eixo. Os torques individuais aumentam para produzir um torque líquido em torno do eixo. Quando o sinal apropriado (positivo ou negativo) é atribuído às magnitudes dos torques individuais em torno de um eixo especificado, o torque líquido em torno do eixo é a soma dos torques individuais:

\[\vec{\tau}_{net} = \sum_{i} |\vec{\tau}_{i}| \ldotp \label{10.24}\]

Calculando o torque líquido para corpos rígidos em um eixo fixo

Nos exemplos a seguir, calculamos o torque de forma abstrata e aplicada a um corpo rígido. Primeiro, apresentamos uma estratégia de resolução de problemas.

Estratégia de resolução de problemas: encontrando o torque líquido

1. Escolha um sistema de coordenadas com o ponto de articulação ou eixo de rotação como a origem do sistema de coordenadas selecionado.
2. Determine o ângulo entre o braço da alavanca\(\vec{r}\) e o vetor de força.
3. Pegue o produto cruzado de\(\vec{r}\) e\(\vec{F}\) para determinar se o torque é positivo ou negativo em relação ao ponto de articulação ou eixo.
4. Avalie a magnitude do torque usando r _\(\perp\)F.
5. Atribua o sinal apropriado, positivo ou negativo, à magnitude.
6. Some os torques para encontrar o torque líquido.

Exemplo 10.14: Calculando o torque

Quatro forças são mostradas\(\PageIndex{4}\) na Figura em locais e orientações específicos em relação a um determinado sistema de coordenadas xy. Encontre o torque devido a cada força sobre a origem e use seus resultados para encontrar o torque líquido sobre a origem.

Figura\(\PageIndex{4}\): Quatro forças produzindo torques.

Estratégia

Esse problema requer o cálculo do torque. Todas as quantidades conhecidas — forças com direções e braços de alavanca — são dadas na figura. O objetivo é encontrar cada torque individual e o torque líquido somando os torques individuais. Tenha o cuidado de atribuir o sinal correto a cada torque usando o produto cruzado de\(\vec{r}\) e o vetor de força\(\vec{F}\).

Solução

Use |\(\vec{\tau}\) | = r _\(\perp\)F = RFSin\(\theta\) para encontrar\(\vec{r} = \vec{r} \times \vec{F}\) a magnitude e determinar o sinal do torque.

O torque da força 40 N no primeiro quadrante é dado por (4) (40) sin 90° = 160 N • m.

O produto cruzado de\(\vec{r}\) e\(\vec{F}\) está fora da página, positivo.

O torque da força 20 N no terceiro quadrante é dado por − (3) (20) sin 90° = − 60 N • m.

O produto cruzado de\(\vec{r}\) e\(\vec{F}\) está na página, então é negativo.

O torque da força 30 N no terceiro quadrante é dado por (5) (30) sin 53° = 120 N • m.

O produto cruzado de\(\vec{r}\) e\(\vec{F}\) está fora da página, positivo.

O torque da força 20 N no segundo quadrante é dado por (1) (20) sin 30° = 10 N • m.

O produto cruzado de\(\vec{r}\) e\(\vec{F}\) está fora da página.

O torque líquido é, portanto,\(\tau_{net} = \sum_{i} |\tau_{i}|\) = 160 − 60 + 120 + 10 = 230 N • m.

Significância

Observe que cada força que atua no sentido anti-horário tem um torque positivo, enquanto cada força que atua no sentido horário tem um torque negativo. O torque é maior quando a distância, a força ou os componentes perpendiculares são maiores.

Exemplo 10.15: Calculando o torque em um corpo rígido

A figura\(\PageIndex{5}\) mostra várias forças atuando em diferentes locais e ângulos em um volante. Temos\(|\vec{F}_{1}|\) = 20 N,\(|\vec{F}_{2}|\) = 30 N,\(|\vec{F}_{3}|\) = 30 N e r = 0,5 m. Encontre o torque líquido no volante em torno de um eixo que passa pelo centro.

Figura\(\PageIndex{5}\): Três forças atuando em um volante.

Estratégia

Calculamos cada torque individualmente, usando o produto cruzado, e determinamos o sinal do torque. Em seguida, somamos os torques para encontrar o torque líquido. Solução Começamos com\(\vec{F}_{1}\). Se olharmos para a Figura\(\PageIndex{5}\), vemos que\(\vec{F}_{1}\) faz um ângulo de 90° + 60° com o vetor de raio\(\vec{r}\). Tomando o produto cruzado, vemos que ele está fora da página e, portanto, é positivo. Também vemos isso calculando sua magnitude:

\[|\vec{\tau}_{1}| = rF_{1} \sin 150^{o} = (0.5\; m)(20\; N)(0.5) = 5.0\; N\; \cdotp m \ldotp\]

Em seguida, examinamos\(\vec{F}_{2}\). O ângulo entre\(\vec{F}_{2}\) e\(\vec{r}\) é de 90° e o produto transversal está na página, então o torque é negativo. Seu valor é

\[|\vec{\tau}_{2}| = -rF_{2} \sin 90^{o} = (-0.5\; m)(30\; N) = -15.0\; N\; \cdotp m \ldotp\]

Quando avaliamos o torque devido a\(\vec{F}_{3}\), vemos que o ângulo com o qual ele faz\(\vec{r}\) é zero, então\(\vec{r} \times \vec{F}_{3}\) = 0. Portanto,\(\vec{F}_{3}\) não produz nenhum torque no volante.

Avaliamos a soma dos torques:

\[\tau_{net} = \sum_{i} |\tau_{i}| = 5 - 15 = -10\; N\; \cdotp m \ldotp\]

Significância

O eixo de rotação está no centro de massa do volante. Como o volante está em um eixo fixo, ele não pode ser traduzido livremente. Se estivesse em uma superfície sem atrito e não fixado no lugar,\(\vec{F}_{3}\) faria com que o volante se traduzisse, assim como\(\vec{F}_{1}\). Seu movimento seria uma combinação de translação e rotação.

Exercício 10.6

Um grande navio oceânico encalha perto da costa, semelhante ao destino da Costa Concordia, e fica em um ângulo, conforme mostrado abaixo. As equipes de salvamento devem aplicar um torque para endireitar o navio a fim de flutuar o navio para transporte. Uma força de 5,0 x 10 ⁵ N atuando no ponto A deve ser aplicada para endireitar o navio. Qual é o torque do ponto de contato do navio com o solo (Figura\(\PageIndex{6}\))?

Figura\(\PageIndex{6}\): Um navio encalha e se inclina, exigindo a aplicação de torque para retornar a embarcação à posição vertical.