10.4: Relacionando quantidades angulares e translacionais
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- Dada a equação cinemática linear, escreva a equação cinemática rotacional correspondente
- Calcule as distâncias lineares, velocidades e acelerações de pontos em um sistema rotativo dadas as velocidades e acelerações angulares
Nesta seção, relacionamos cada uma das variáveis rotacionais às variáveis translacionais definidas em Movimento ao longo de uma linha reta e Movimento em duas e três dimensões. Isso completará nossa capacidade de descrever rotações de corpo rígido.
Variáveis angulares versus lineares
Em Variáveis rotacionais, introduzimos variáveis angulares. Se compararmos as definições rotacionais com as definições de variáveis cinemáticas lineares de Movimento ao longo de uma linha reta e movimento em duas e três dimensões, descobrimos que há um mapeamento das variáveis lineares para as rotacionais. A posição linear, a velocidade e a aceleração têm suas contrapartes rotacionais, como podemos ver quando as escrevemos lado a lado:
| Linear | Rotacional | |
|---|---|---|
| Posição | $$x$$ | $$\ teta $$ |
| Velocidade | $$v =\ frac {dx} {dt} $$ | $$\ ômega =\ frac {d\ theta} {dt} $$ |
| Aceleração | $$a =\ frac {dv} {dt} $$ | $$a =\ frac {d\ ômega} {dt} $$ |
Vamos comparar as variáveis lineares e rotacionais individualmente. A variável linear de posição tem unidades físicas de metros, enquanto a variável de posição angular tem unidades adimensionais de radianos, como pode ser visto na definição de\(\theta = \frac{s}{r}\), que é a razão de dois comprimentos. A velocidade linear tem unidades de m/s, e sua contraparte, a velocidade angular, tem unidades de rad/s. Em Variáveis Rotacionais, vimos no caso do movimento circular que a velocidade tangencial linear de uma partícula em um raio r do eixo de rotação está relacionada à velocidade angular pelo relação v t =\(\omega\) r. Isso também pode se aplicar a pontos em um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo. Aqui, consideramos apenas o movimento circular. Em movimentos circulares, tanto uniformes quanto não uniformes, existe uma aceleração centrípeta (movimento em duas e três dimensões). O vetor de aceleração centrípeta aponta para dentro da partícula executando movimento circular em direção ao eixo de rotação. A derivação da magnitude da aceleração centrípeta é dada em Movimento em duas e três dimensões. A partir dessa derivação, descobriu-se que a magnitude da aceleração centrípeta era
\[a_{c} = \frac{v_{t}^{2}}{r}, \label{10.14}\]
onde r é o raio do círculo.
Assim, em movimento circular uniforme quando a velocidade angular é constante e a aceleração angular é zero, temos uma aceleração linear — ou seja, aceleração centrípeta — já que a velocidade tangencial na Equação\ ref {10.14} é constante. Se houver movimento circular não uniforme, o sistema rotativo tem uma aceleração angular e temos uma aceleração centrípeta linear que está mudando (porque v t está mudando) e uma aceleração tangencial linear. Essas relações são mostradas na Figura\(\PageIndex{1}\), onde mostramos as acelerações centrípeta e tangencial para movimentos circulares uniformes e não uniformes.
A aceleração centrípeta é devida à mudança na direção da velocidade tangencial, enquanto a aceleração tangencial é devida a qualquer mudança na magnitude da velocidade tangencial. Os vetores de aceleração tangencial\(\vec{a}_{t}\) e centrípeta\(\vec{a}_{c}\) são sempre perpendiculares entre si, conforme visto na Figura\(\PageIndex{1}\). Para completar essa descrição, podemos atribuir um vetor de aceleração linear total a um ponto em um corpo rígido rotativo ou a uma partícula executando movimento circular em um raio r a partir de um eixo fixo. O vetor de aceleração linear total\(\vec{a}\) é a soma vetorial das acelerações centrípeta e tangencial,
\[\vec{a} = \vec{a}_{c} + \vec{a}_{t} \ldotp \label{10.15}\]
O vetor de aceleração linear total no caso de movimento circular não uniforme aponta em um ângulo entre os vetores de aceleração centrípeta e tangencial, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\). Uma vez que\(\vec{a}_{c} \perp \vec{a}_{t}\), a magnitude da aceleração linear total é
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}} \ldotp\]
Observe que, se a aceleração angular for zero, a aceleração linear total será igual à aceleração centrípeta.
Relações entre movimento rotacional e translacional
Podemos observar duas relações entre movimento rotacional e translacional.
- De um modo geral, as equações cinemáticas lineares têm suas contrapartes rotacionais. A Tabela 10.2 lista as quatro equações cinemáticas lineares e a correspondente contraparte rotacional. Os dois conjuntos de equações parecem semelhantes entre si, mas descrevem duas situações físicas diferentes, ou seja, rotação e translação.
Tabela 10.2 - Equações cinemáticas rotacionais e translacionais
| Rotacional | Translacional |
|---|---|
| $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ bar {\ ômega} t$$ | $$x = x_ {0} +\ bar {v} t$$ |
| $$\ ômega_ {f} =\ ômega_ {0} +\ alfa t$$ | $$v_ {f} = v_ {0} + em$$ |
| $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} {2} em^ {2} $$ | $$x_ {f} = x_ {0} + v_ {0} t +\ frac {1} {2}\ ômega t^ {2} $$ |
| $$\ omega_ {f} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} + 2\ alfa (\ Delta\ theta) $$ | $$v_ {f} ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (\ Delta x) $$ |
- A segunda correspondência tem a ver com a relação de variáveis lineares e rotacionais no caso especial do movimento circular. Isso é mostrado na Tabela 10.3, onde na terceira coluna, listamos a equação de conexão que relaciona a variável linear com a variável rotacional. As variáveis rotacionais de velocidade angular e aceleração têm subscritos que indicam sua definição em movimento circular.
Tabela 10.3 - Quantidades rotacionais e translacionais: movimento circular
| Rotacional | Translacional | Relação (r = raio) |
|---|---|---|
| $$\ teta $$ | $$s$$ | $$\ theta =\ frac {s} {r} $$ |
| $$\ ômega$$ | $$v_ {t} $$ | $$\ ômega =\ frac {v_ {t}} {r} $$ |
| $$\ alfa$$ | $$a_ {t} $$ | $$\ alpha =\ frac {a_ {t}} {r} $$ |
| $$a_ {c} $$ | $$a_ {c} =\ frac {v_ {t} ^ {2}} {r} $$ |
Uma centrífuga tem um raio de 20 cm e acelera de uma taxa de rotação máxima de 10.000 rpm para descansar em 30 segundos sob uma aceleração angular constante. Ele está girando no sentido anti-horário. Qual é a magnitude da aceleração total de um ponto na ponta da centrífuga em t = 29,0s? Qual é a direção do vetor de aceleração total?
Estratégia
Com as informações fornecidas, podemos calcular a aceleração angular, o que nos permitirá encontrar a aceleração tangencial. Podemos encontrar a aceleração centrípeta em t = 0 calculando a velocidade tangencial neste momento. Com as magnitudes das acelerações, podemos calcular a aceleração linear total. A partir da descrição da rotação no problema, podemos esboçar a direção do vetor de aceleração total.
Solução
A aceleração angular é
\[\alpha = \frac{\omega - \omega_{0}}{t} = \frac{0 - (1.0 \times 10^{4}) \left(\dfrac{2 \pi\; rad}{60.0\; s}\right)}{30.0\; s} = -34.9\; rad/s^{2} \ldotp\]
Portanto, a aceleração tangencial é
\[a_{t} = r \alpha = (0.2\; m)(-34.9\; rad/s^{2}) = -7.0\; m/s^{2} \ldotp\]
A velocidade angular em t = 29,0 s é
\[\begin{split} \omega & = \omega_{0} + \alpha t = (1.0 \times 10^{4}) \left(\dfrac{2 \pi\; rad}{60.0\; s}\right) + (-39.49\; rad/s^{2})(29.0\; s) \\ & = 1047.2\; rad/s - 1012.71\; rad/s = 35.1\; rad/s \ldotp \end{split}\]
Assim, a velocidade tangencial em t = 29,0 s é
\[v_{t} = r \omega = (0.2\; m)(35.1\; rad/s) = 7.0\; m/s \ldotp\]
Agora podemos calcular a aceleração centrípeta em t = 29,0 s:
\[a_{c} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{(7.0\; m/s)^{2}}{0.2\; m} = 245.0\; m/s^{2} \ldotp\]
Como os dois vetores de aceleração são perpendiculares entre si, a magnitude da aceleração linear total é
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}} = \sqrt{(245.0)^{2} + (-7.0)^{2}} = 245.1\; m/s^{2} \ldotp\]
Como a centrífuga tem uma aceleração angular negativa, ela está diminuindo. O vetor de aceleração total é mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\). O ângulo em relação ao vetor de aceleração centrípeta é
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{-7.0}{245.0}\right) = -1.6^{o} \ldotp\]
O sinal negativo significa que o vetor de aceleração total está inclinado em direção ao sentido horário.
Significância
Na Figura\(\PageIndex{3}\), vemos que o vetor de aceleração tangencial é oposto à direção de rotação. A magnitude da aceleração tangencial é muito menor do que a aceleração centrípeta, então o vetor de aceleração linear total fará um ângulo muito pequeno em relação ao vetor de aceleração centrípeta.
Um menino pula em um carrossel com um raio de 5 m que está em repouso. Ele começa a acelerar a uma taxa constante até uma velocidade angular de 5 rad/s em 20 segundos. Qual a distância percorrida pelo garoto?
Confira esta simulação PhET para alterar os parâmetros de um disco rotativo (ângulo inicial, velocidade angular e aceleração angular) e colocar insetos em distâncias radiais diferentes do eixo. A simulação então permite que você explore como o movimento circular se relaciona com a posição xy, a velocidade e a aceleração dos bugs usando vetores ou gráficos.