10.3: Rotação com aceleração angular constante

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objetivos de aprendizagem

Derive as equações cinemáticas para movimento rotacional com aceleração angular constante
Selecione entre as equações cinemáticas para movimento rotacional com aceleração angular constante as equações apropriadas para resolver incógnitas na análise de sistemas em rotação de eixo fixo
Use soluções encontradas com as equações cinemáticas para verificar a análise gráfica da rotação de eixo fixo com aceleração angular constante

Na seção anterior, definimos as variáveis rotacionais de deslocamento angular, velocidade angular e aceleração angular. Nesta seção, trabalhamos com essas definições para derivar relações entre essas variáveis e usamos essas relações para analisar o movimento rotacional de um corpo rígido em torno de um eixo fixo sob uma aceleração angular constante. Essa análise forma a base da cinemática rotacional. Se a aceleração angular for constante, as equações da cinemática rotacional simplificam, semelhante às equações da cinemática linear discutidas em Movimento ao longo de uma linha reta e Movimento em duas e três dimensões. Podemos então usar esse conjunto simplificado de equações para descrever muitas aplicações em física e engenharia em que a aceleração angular do sistema é constante. A cinemática rotacional também é um pré-requisito para a discussão da dinâmica rotacional mais adiante neste capítulo.

Cinemática do movimento rotacional

Usando nossa intuição, podemos começar a ver como as quantidades rotacionais$\theta$,,$\omega$$\alpha$, e t estão relacionadas umas com as outras. Por exemplo, vimos na seção anterior que se um volante tem uma aceleração angular na mesma direção de seu vetor de velocidade angular, sua velocidade angular aumenta com o tempo e seu deslocamento angular também aumenta. Ao contrário, se a aceleração angular for oposta ao vetor de velocidade angular, sua velocidade angular diminui com o tempo. Podemos descrever essas situações físicas e muitas outras com um conjunto consistente de equações cinemáticas rotacionais sob uma aceleração angular constante. O método para investigar o movimento rotacional dessa maneira é chamado de cinemática do movimento rotacional.

Para começar, notamos que se o sistema estiver girando sob uma aceleração constante, a velocidade angular média segue uma relação simples porque a velocidade angular está aumentando linearmente com o tempo. A velocidade angular média é apenas metade da soma dos valores inicial e final:

\[\bar{\omega} = \frac{\omega_{0} + \omega_{f}}{2} \ldotp \label{10.9}\]

A partir da definição da velocidade angular média, podemos encontrar uma equação que relaciona a posição angular, a velocidade angular média e o tempo:

\[\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \ldotp\]

Resolvendo para$\theta$, temos

\[\theta_{f} = \theta_{0} + \bar{\omega} t, \label{10.10}\]

onde definimos t ₀ = 0. Essa equação pode ser muito útil se soubermos a velocidade angular média do sistema. Então, poderíamos encontrar o deslocamento angular em um determinado período de tempo. Em seguida, encontramos uma equação relacionando$\omega$$\alpha$, e t. Para determinar essa equação, começamos com a definição de aceleração angular:

\[\alpha = \frac{d \omega}{dt} \ldotp\]

Nós reorganizamos isso para obter$\alpha$ dt = d$\omega$ e, em seguida, integramos os dois lados dessa equação dos valores iniciais aos valores finais, ou seja, de t ₀ a t e$\omega_{0}$$\omega_{f}$ a. Em movimento rotacional uniforme, a aceleração angular é constante para que possa ser retirada da integral, produzindo duas integrais definidas:

\[\alpha \int_{t_{0}}^{t} dt' = \int_{\omega_{0}}^{\omega_{f}} d \omega \ldotp\]

Definindo t ₀ = 0, temos

\[\alpha t = \omega_{f} - \omega_{0} \ldotp\]

Nós reorganizamos isso para obter

\[\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t, \label{10.11}\]

onde$\omega_{0}$ é a velocidade angular inicial. A equação\ ref {10.11} é a contrapartida rotacional da equação cinemática linear v _f = v ₀ + at. Com a Equação\ ref {10.11}, podemos encontrar a velocidade angular de um objeto em qualquer momento especificado t dada a velocidade angular inicial e a aceleração angular.

Vamos agora fazer um tratamento similar começando com a equação$\omega = \frac{d \theta}{dt}$. Nós o reorganizamos para obter$\omega$ dt = d$\theta$ e integramos os dois lados dos valores iniciais aos finais novamente, observando que a aceleração angular é constante e não depende do tempo. No entanto, desta vez, a velocidade angular não é constante (em geral), então substituímos o que derivamos acima:

\[\begin{split} \int_{t_{0}}^{t_{f}} (\omega_{0} + \alpha t') dt' & = \int_{\theta_{0}}^{\theta_{f}} d \theta; \\ \int_{t_{0}}^{t} \omega_{0} dt + \int_{t_{0}}^{t} \alpha tdt & = \int_{\theta_{0}}^{\theta_{f}} d \theta = \Bigg[ \omega_{0} t' + \alpha \left(\dfrac{(t')^{2}}{2}\right)^{2} \Bigg]_{t_{0}}^{t} = \omega_{0} t + \alpha \left(\dfrac{t^{2}}{2}\right) = \theta_{f} - \theta_{0} \ldotp \end{split}\]

onde definimos t ₀ = 0. Agora vamos reorganizar para obter

\[\theta_{f} = \theta_{0} + \omega_{0} t + \frac{1}{2} \alpha t^{2} \ldotp \label{10.12}\]

A equação\ ref {10.12} é a contrapartida rotacional da equação cinemática linear encontrada em Movimento ao longo de uma linha reta para posição em função do tempo. Essa equação nos dá a posição angular de um corpo rígido rotativo a qualquer momento t dadas as condições iniciais (posição angular inicial e velocidade angular inicial) e a aceleração angular.

Podemos encontrar uma equação independente do tempo resolvendo t na Equação\ ref {10.11} e substituindo pela Equação\ ref {10.12}. A equação\ ref {10.12} se torna

\[\begin{split} \theta_{f} & = \theta_{0} + \omega_{0} \left(\dfrac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha}\right) + \frac{1}{2} \alpha \left(\dfrac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha}\right)^{2} \\ & = \theta_{0} + \frac{\omega_{0} \omega_{f}}{\alpha} - \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{f}^{2}}{\alpha} - \frac{\omega_{0} \omega_{f}}{\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha} \\ & = \theta_{0} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{f}^{2}}{\alpha} - \frac{1}{2} \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha}, \\ \theta_{f} - \theta_{0} & = \frac{\omega_{f}^{2} - \omega_{0}^{2}}{2 \alpha} \end{split}\]

\[\omega_{f}^{2} = \omega_{0}^{2} + 2 \alpha (\Delta \theta) \ldotp \label{10.13}\]

A equação\ ref {10.10} até a Equação\ ref {10.13} descreve a rotação de eixo fixo para aceleração constante e está resumida na Tabela 10.1.

Tabela 10.1 - Equações cinemáticas

Deslocamento angular a partir da velocidade angular média	$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ bar {\ ômega} t$$
Velocidade angular da aceleração angular	$$\ ômega_ {f} =\ ômega_ {0} +\ alfa t$$
Deslocamento angular da velocidade angular e da aceleração angular	$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} {2}\ alfa t^ {2} $$
Velocidade angular decorrente do deslocamento angular e da aceleração angular	$$\ omega_ {f} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} + 2\ alfa (\ Delta\ theta) $$

Aplicação das equações para movimento rotacional

Agora podemos aplicar as principais relações cinemáticas do movimento rotacional a alguns exemplos simples para ter uma ideia de como as equações podem ser aplicadas às situações cotidianas.

Exemplo 10.4: Calculando a aceleração de um carretel de pesca

Um pescador de alto mar fisga um peixe grande que nada para longe do barco, puxando a linha de pesca de seu carretel de pesca. Todo o sistema está inicialmente em repouso e a linha de pesca se desenrola do carretel em um raio de 4,50 cm de seu eixo de rotação. A bobina recebe uma aceleração angular de 110 rad/s ² por 2,00 s (Figura$\PageIndex{1}$).

Qual é a velocidade angular final da bobina após 2 s?
Quantas revoluções a bobina faz?

A figura é o desenho de uma linha de pesca saindo de uma bobina giratória. O raio de rotação é de 4,5 cm, a rotação ocorre no sentido anti-horário. — Figura$\PageIndex{1}$: A linha de pesca que sai de uma bobina giratória se move linearmente

Estratégia

Identifique os conhecidos e compare com as equações cinemáticas para aceleração constante. Procure a equação apropriada que possa ser resolvida para o desconhecido, usando os conhecidos fornecidos na descrição do problema.

Solução

Recebemos um t$\alpha$ e queremos determinar$\omega$. A equação mais simples de usar é$\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t$, já que todos os termos são conhecidos além da variável desconhecida que estamos procurando. Recebemos que$\omega_{0}$ = 0 (começa do resto), então $$\ omega_ {f} = 0 + (110\; rad/s^ {2}) (2.00\; s) = 220\; rad/s\ ldotp$$
Somos convidados a encontrar o número de revoluções. Como 1 rev = 2$\pi$ rad, podemos encontrar o número de revoluções encontrando θ em radianos. Recebemos t$\alpha$ e sabemos que$\omega_{0}$ é zero, então podemos obter$\theta$ usando $$\ begin {split}\ theta_ {f} & =\ theta_ {i} +\ omega_ {i} t +\ frac {1} {2}\ alpha t^ {2}\\ & = 0 + 0 + (0,500) (110\; rad/s^ {2}) (2,00\; s) ^ {2} = 220\; rad\ ldotp\ end {split} $$Convertendo radianos em revoluções fornece $$Number\; de\; rev = (220\; rad)\ left (\ dfrac {1\; rev} {2\ pi\; rad}\ right) = 35,0\; rev\ ldotp$$

Significância

Este exemplo ilustra que as relações entre quantidades rotacionais são altamente análogas às relações entre quantidades lineares. As respostas às perguntas são realistas. Depois de desenrolar por dois segundos, verifica-se que a bobina gira a 220 rad/s, o que é 2100 rpm. (Não é de admirar que os rolos às vezes emitam sons agudos.)

No exemplo anterior, consideramos uma bobina de pesca com aceleração angular positiva. Agora, vamos considerar o que acontece com uma aceleração angular negativa.

Exemplo 10.5: Calcular a duração quando o carretel de pesca desacelera e para

Agora, o pescador aplica um freio na bobina giratória, atingindo uma aceleração angular de −300 rad/s ². Quanto tempo a bobina demora para parar?

Estratégia

Somos solicitados a encontrar o tempo t para a bobina parar. As condições iniciais e finais são diferentes das do problema anterior, que envolvia o mesmo carretel de pesca. Agora vemos que a velocidade angular inicial é$\omega_{0}$ = 220 rad/s e a velocidade angular final$\omega$ é zero. A aceleração angular é dada como$\alpha$ = −300 rad/s ². Examinando as equações disponíveis, vemos todas as quantidades, exceto t, conhecidas em$\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t$, facilitando o uso dessa equação.

Solução

Os estados da equação

\[\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t \ldotp\]

Resolvemos a equação algebricamente por t e, em seguida, substituímos os valores conhecidos como de costume, produzindo

\[t = \frac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha} = \frac{0 - 220.0\; rad/s}{-300.0\; rad/s^{2}} = 0.733\; s \ldotp\]

Significância

Observe que deve-se ter cuidado com os sinais que indicam as direções de várias quantidades. Além disso, observe que o tempo para parar a bobina é bastante pequeno porque a aceleração é bastante grande. As linhas de pesca às vezes quebram por causa das acelerações envolvidas, e os pescadores costumam deixar o peixe nadar por um tempo antes de acionar os freios no carretel. Um peixe cansado é mais lento, exigindo uma aceleração menor.

Exercício 10.2

Uma centrífuga usada na extração de DNA gira a uma taxa máxima de 7000 rpm, produzindo uma “força g” na amostra que é 6000 vezes a força da gravidade. Se a centrífuga demorar 10 segundos para descansar da taxa máxima de rotação: (a) Qual é a aceleração angular da centrífuga? (b) Qual é o deslocamento angular da centrífuga durante esse período?

Exemplo 10.6: Aceleração angular de uma hélice

$\PageIndex{2}$A figura mostra um gráfico da velocidade angular de uma hélice em uma aeronave em função do tempo. Sua velocidade angular começa em 30 rad/s e cai linearmente para 0 rad/s ao longo de 5 segundos. (a) Encontre a aceleração angular do objeto e verifique o resultado usando as equações cinemáticas. (b) Encontre o ângulo através do qual a hélice gira durante esses 5 segundos e verifique seu resultado usando as equações cinemáticas.

A figura é um gráfico da velocidade angular em rads por segundo plotada versus o tempo em segundos. A velocidade angular diminui linearmente com o tempo, de 30 rads por segundo em zero segundo para zero em 5 segundos. — Figura$\PageIndex{2}$: Um gráfico da velocidade angular de uma hélice em relação ao tempo.

Estratégia

Como a velocidade angular varia linearmente com o tempo, sabemos que a aceleração angular é constante e não depende da variável de tempo. A aceleração angular é a inclinação do gráfico de velocidade angular versus tempo,$\alpha = \frac{d \omega}{dt}$. Para calcular a inclinação, lemos diretamente da Figura$\PageIndex{2}$ e vemos que$\omega_{0}$ = 30 rad/s em t = 0 s e$\omega_{f}$ = 0 rad/s em t = 5 s. Em seguida, podemos verificar o resultado usando$\omega = \omega_{0} + \alpha t$.
Usamos a equação$\omega = \frac{d \theta}{dt}$; como a derivada temporal do ângulo é a velocidade angular, podemos encontrar o deslocamento angular integrando a velocidade angular, que da figura significa tomar a área abaixo do gráfico de velocidade angular. Em outras palavras: $$\ int_ {\ theta_ {0}} ^ {\ theta_ {f}} d\ theta =\ theta_ {f} -\ theta_ {0} =\ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {f}}\ omega (t) dt\ LDotp$$Em seguida, usamos as equações cinemáticas para aceleração constante para verificar o resultado.

Solução

Calculando a inclinação, obtemos $$\ alpha =\ frac {\ omega -\ omega_ {0}} {t - t_ {0}} =\ frac {(0 - 30,0)\; rad/s} {(5.0 - 0)\; s} = -6,0\; rad/s^ {2}\ LDotp$$Vemos que isso é exatamente Equação\ ref {10.11} com uma pequena reorganização de termos.
Podemos encontrar a área abaixo da curva calculando a área do triângulo reto, conforme mostrado na Figura$\PageIndex{3}$.

\ [\ Delta\ theta = area (triângulo) =\ frac {1} {2} (30\; rad/s) (5\; s) = 75\; rad\ ldotp$$Verificamos a solução usando a Equação\ ref {10.12}: $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} 2}\ alpha t^ {2}\ LDOTP$$setting$\theta_{0}$ = 0, temos $$\ theta_ {0} = (30,0\; rad/s) (5,0\; s) +\ frac {1} {2} (-6,0\; rad/s^ { 2}) (5,0\; s) ^ {2} = 150,0 - 75,0 = 75,0\; rad\ lDotp$$Isso verifica a solução encontrada ao encontrar a área abaixo da curva.

Significância

Vemos na parte (b) que existem abordagens alternativas para analisar a rotação de eixo fixo com aceleração constante. Começamos com uma abordagem gráfica e verificamos a solução usando as equações cinemáticas rotacionais. Uma vez que$\alpha = \frac{d \omega}{dt}$, poderíamos fazer a mesma análise gráfica em uma aceleração angular versus. curva de tempo. A área sob um$\alpha$ -vs. A curva -t nos dá a mudança na velocidade angular. Como a aceleração angular é constante nesta seção, esse é um exercício simples.