10.2: Variáveis rotacionais

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Objetivos de

Descreva o significado físico das variáveis rotacionais aplicadas à rotação de eixo fixo
Explicar como a velocidade angular está relacionada à velocidade tangencial
Calcule a velocidade angular instantânea dada a função de posição angular
Encontre a velocidade angular e a aceleração angular em um sistema rotativo
Calcule a aceleração angular média quando a velocidade angular está mudando
Calcule a aceleração angular instantânea dada a função de velocidade angular

Até agora, neste texto, estudamos principalmente o movimento translacional, incluindo as variáveis que o descrevem: deslocamento, velocidade e aceleração. Agora expandimos nossa descrição do movimento para rotação — especificamente, movimento rotacional em torno de um eixo fixo. Descobriremos que o movimento rotacional é descrito por um conjunto de variáveis relacionadas semelhantes às que usamos no movimento translacional.

Velocidade angular

O movimento circular uniforme (discutido anteriormente em Movimento em duas e três dimensões) é o movimento em um círculo em velocidade constante. Embora esse seja o caso mais simples de movimento rotacional, ele é muito útil para muitas situações, e nós o usamos aqui para introduzir variáveis rotacionais.

Na Figura$\PageIndex{1}$, mostramos uma partícula se movendo em um círculo. O sistema de coordenadas é fixo e serve como um quadro de referência para definir a posição da partícula. Seu vetor de posição da origem do círculo até a partícula varre o ângulo$\theta$, que aumenta no sentido anti-horário à medida que a partícula se move ao longo de seu caminho circular. O ângulo$\theta$ é chamado de posição angular da partícula. Conforme a partícula se move em seu caminho circular, ela também traça um comprimento de arco s.

A figura é um gráfico que mostra uma partícula se movendo no sentido anti-horário. O vetor r da origem do sistema de coordenadas até o ponto s na passagem de uma partícula forma um ângulo teta com o eixo X. — Figura$\PageIndex{1}$: Uma partícula segue um caminho circular. À medida que se move no sentido anti-horário, ele varre um ângulo positivo em$\theta$ relação ao eixo x e traça um comprimento de arco s.

O ângulo está relacionado ao raio do círculo e ao comprimento do arco em

\[\theta = \frac{s}{r} \ldotp \label{10.1}\]

O ângulo$\theta$, a posição angular da partícula ao longo de seu caminho, tem unidades de radianos (rad). Há$2\pi$ radianos em 360°. Observe que a medida em radianos é uma proporção das medidas de comprimento e, portanto, é uma quantidade adimensional. Conforme a partícula se move ao longo de seu caminho circular, sua posição angular muda e ela sofre deslocamentos angulares$\Delta \theta$.

Podemos atribuir vetores às quantidades na Equação\ ref {10.1}. O ângulo$\vec{\theta}$ é um vetor fora da página na Figura$\PageIndex{1}$. O vetor de posição angular$\vec{r}$ e o comprimento do$\vec{s}$ arco estão no plano da página. Esses três vetores estão relacionados entre si por

\[\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp \label{10.2}\]

Ou seja, o comprimento do arco é o produto cruzado do vetor angular e do vetor de posição, conforme mostrado na Figura$\PageIndex{2}$.

A figura é um sistema de coordenadas XYZ que mostra três vetores. O vetor Theta aponta na direção Z positiva. O vetor s está no plano XY. O vetor r é direcionado da origem do sistema de coordenadas até o início do vetor s. — Figura$\PageIndex{2}$: Os pontos vetoriais angulares ao longo do eixo z e o vetor de posição e o vetor de comprimento do arco estão ambos no plano xy. Nós vemos isso$\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r}$. Todos os três vetores são perpendiculares entre si.

A magnitude da velocidade angular, indicada por$\omega$, é a taxa de tempo de mudança do ângulo à$\theta$ medida que a partícula se move em seu caminho circular. A velocidade angular instantânea é definida como o limite no qual$\Delta$ t → 0 na velocidade angular média$\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$:

\[\omega = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d \theta}{dt}, \label{10.3}\]

onde$\theta$ está o ângulo de rotação (Figura$\PageIndex{2}$). As unidades de velocidade angular são radianos por segundo (rad/s). A velocidade angular também pode ser chamada de taxa de rotação em radianos por segundo. Em muitas situações, recebemos a taxa de rotação em revoluções/s ou ciclos/s. Para encontrar a velocidade angular, devemos multiplicar revoluções/s por 2$\pi$, pois há 2$\pi$ radianos em uma revolução completa. Como a direção de um ângulo positivo em um círculo é no sentido anti-horário, consideramos as rotações no sentido anti-horário como positivas e as rotações no sentido horário como negativas.

Podemos ver como a velocidade angular está relacionada à velocidade tangencial da partícula diferenciando a Equação\ ref {10.1} em relação ao tempo. Nós reescrevemos a Equação\ ref {10.1} como

\[s = r \theta \ldotp\]

Tomando a derivada em relação ao tempo e observando que o raio r é uma constante, temos

\[\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (r \theta) = \theta \frac{dr}{dt} + r \frac{d \theta}{dt} = r \frac{d \theta}{dt}\]

onde$\theta \frac{dr}{dt}$ = 0. Aqui,$\frac{ds}{dt}$ está apenas a velocidade tangencial v _t da partícula na Figura$\PageIndex{1}$. Assim, usando a Equação\ ref {10.3}, chegamos a

\[v_{t} = r \omega \ldotp \label{10.4}\]

Ou seja, a velocidade tangencial da partícula é sua velocidade angular vezes o raio do círculo. A partir da Equação\ ref {10.4}, vemos que a velocidade tangencial da partícula aumenta com sua distância do eixo de rotação para uma velocidade angular constante. Esse efeito é mostrado na Figura$\PageIndex{3}$. Duas partículas são colocadas em raios diferentes em um disco rotativo com uma velocidade angular constante. Conforme o disco gira, a velocidade tangencial aumenta linearmente com o raio do eixo de rotação. Na Figura$\PageIndex{3}$, vemos que v ₁ = r ₁$\omega_{1}$ e v ₂ = r ₂$\omega_{2}$. Mas o disco tem uma velocidade angular constante, então$\omega_{1} = \omega_{2}$. Isso significa$\frac{v_{1}}{r_{1}} = \frac{v_{2}}{r_{2}}$ ou v ₂ =$\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)$ v ₁. Assim, desde r ₂ > r ₁, v ₂ > v ₁.

A figura mostra duas partículas em um disco giratório. A partícula 1 está à distância r1 do eixo de rotação e se move com a velocidade v1. A partícula 2 está à distância r2 do eixo de rotação e se move com a velocidade v2. — Figura$\PageIndex{3}$: Duas partículas em um disco giratório têm velocidades tangenciais diferentes, dependendo da distância até o eixo de rotação.

Até agora, discutimos a magnitude da velocidade angular$\omega = \frac{d \theta}{dt}$, que é uma quantidade escalar — a mudança na posição angular em relação ao tempo. O vetor$\vec{\omega}$ é o vetor associado à velocidade angular e aos pontos ao longo do eixo de rotação. Isso é útil porque quando um corpo rígido está girando, queremos saber o eixo de rotação e a direção em que o corpo está girando em torno do eixo, no sentido horário ou anti-horário. A velocidade angular nos$\vec{\omega}$ dá essa informação. A velocidade angular$\vec{\omega}$ tem uma direção determinada pelo que é chamado de regra da mão direita. A regra da mão direita é tal que, se os dedos da mão direita se arrastarem no sentido anti-horário do eixo x (a direção na qual$\theta$ aumenta) em direção ao eixo y, seu polegar aponta na direção do eixo z positivo (Figura$\PageIndex{4}$). Uma velocidade angular$\vec{\omega}$ que aponta ao longo do eixo z positivo, portanto, corresponde a uma rotação no sentido anti-horário, enquanto uma velocidade angular$\vec{\omega}$ que aponta ao longo do eixo z negativo corresponde a uma rotação no sentido horário.

A figura é um gráfico que mostra o sistema de coordenadas XYZ com a rotação no sentido anti-horário no plano XY. Os pontos de velocidade angular na direção Z positiva. — Figura$\PageIndex{4}$: Para rotação no sentido anti-horário no sistema de coordenadas mostrado, a velocidade angular aponta na direção z positiva pela regra da mão direita.

Podemos verificar a regra da mão direita usando a expressão vetorial para o comprimento do arco$\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r}$, Equação\ ref {10.2}. Se diferenciarmos essa equação em relação ao tempo, encontramos

\[\frac{d \vec{s}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{\theta} \times \vec{r}) = \left(\dfrac{d \theta}{dt} \times \vec{r}\right) + \left(\vec{\theta} \times \dfrac{d \vec{r}}{dt}\right) = \frac{d \theta}{dt} \times \vec{r} \ldotp\]

Como$\vec{r}$ é constante, o termo$\vec{\theta} \times \frac{d \vec{r}}{dt}$ = 0. Como$\vec{v} = \frac{d \vec{s}}{dt}$ é a velocidade tangencial e$\omega = \frac{d \vec{\theta}}{dt}$ é a velocidade angular, temos

\[\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \ldotp \label{10.5}\]

Ou seja, a velocidade tangencial é o produto cruzado da velocidade angular e do vetor de posição, conforme mostrado na Figura$\PageIndex{5}$. Na parte (a) desta figura, vemos que com a velocidade angular na direção z positiva, a rotação no plano xy é no sentido anti-horário. Em parte (b), a velocidade angular está na direção z negativa, dando uma rotação no sentido horário no plano xy.

A Figura A é um sistema de coordenadas XYZ que mostra três vetores. O vetor Omega aponta na direção Z positiva. O vetor v está no plano XY. O vetor r é direcionado da origem do sistema de coordenadas até o início do vetor v. A Figura B é um sistema de coordenadas XYZ que mostra três vetores. O vetor Omega aponta na direção Z negativa. O vetor v está no plano XY. O vetor r é direcionado da origem do sistema de coordenadas até o início do vetor v. — Figura$\PageIndex{5}$: Os vetores mostrados são a velocidade angular, a posição e a velocidade tangencial. (a) A velocidade angular aponta na direção z positiva, dando uma rotação no sentido anti-horário no plano xy. (b) A velocidade angular aponta na direção z negativa, dando uma rotação no sentido horário.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Rotation of a Flywheel

Um volante gira de forma que varra um ângulo na taxa de$\theta$ =$\omega$ t = (45,0 rad/s) t radianos. A roda gira no sentido anti-horário quando visualizada no plano da página. (a) Qual é a velocidade angular do volante? (b) Qual direção é a velocidade angular? (c) Por quantos radianos o volante gira em 30 s? (d) Qual é a velocidade tangencial de um ponto no volante a 10 cm do eixo de rotação?

Estratégia

A forma funcional da posição angular do volante é dada no problema como$\theta$ (t) =$\omega$ t, portanto, tomando a derivada em relação ao tempo, podemos determinar a velocidade angular. Usamos a regra da mão direita para encontrar a velocidade angular. Para encontrar o deslocamento angular do volante durante 30 s, buscamos o deslocamento angular$\Delta \theta$, onde a mudança na posição angular está entre 0 e 30 s. Para encontrar a velocidade tangencial de um ponto a uma distância do eixo de rotação, multiplicamos sua distância pela velocidade angular do volante.

Solução

$\omega$=$\frac{d \theta}{dt}$ = 45 rad/s. Vemos que a velocidade angular é uma constante.
Pela regra da mão direita, enrolamos os dedos na direção de rotação, que é no sentido anti-horário no plano da página, e o polegar aponta na direção da velocidade angular, que está fora da página.
$\Delta \theta$=$\theta$ (30 s) −$\theta$ (0 s) = 45,0 (30,0 s) − 45,0 (0 s) = 1350,0 rad.
v _t = r$\omega$ = (0,1 m) (45,0 rad/s) = 4,5 m/s.

Significância

Em 30 s, o volante girou em um grande número de revoluções, cerca de 215 se dividirmos o deslocamento angular por 2$\pi$. Um volante enorme pode ser usado para armazenar energia dessa maneira, se as perdas devido ao atrito forem mínimas. Pesquisas recentes consideraram rolamentos supercondutores nos quais o volante repousa, com perda de energia zero devido ao atrito.

Aceleração angular

Acabamos de discutir a velocidade angular para um movimento circular uniforme, mas nem todo movimento é uniforme. Imagine um patinador de gelo girando com os braços estendidos — quando ele puxa os braços para dentro, sua velocidade angular aumenta. Ou pense no disco rígido de um computador ficando lento até parar à medida que a velocidade angular diminui. Exploraremos essas situações posteriormente, mas já podemos ver a necessidade de definir uma aceleração angular para descrever situações em que$\omega$ mudanças. Quanto mais rápida for a mudança$\omega$, maior será a aceleração angular. Definimos a aceleração angular instantânea$\alpha$ como a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:

\[\alpha = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}}, \label{10.6}\]

onde tomamos o limite da aceleração angular média,$\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$ como$\Delta t → 0$. As unidades de aceleração angular são (rad/s) /s ou rad/s ².

Da mesma forma que definimos o vetor associado à velocidade angular$\vec{\omega}$, podemos definir$\vec{\alpha}$ o vetor associado à aceleração angular (Figura$\PageIndex{6}$). Se a velocidade angular estiver ao longo do eixo z positivo, como na Figura$\PageIndex{4}$, e$\frac{d \omega}{dt}$ for positiva, a aceleração angular$\vec{\alpha}$ é positiva e aponta ao longo do eixo +z-. Da mesma forma, se a velocidade angular$\vec{\omega}$ estiver ao longo do eixo z positivo e$\frac{d \omega}{dt}$ for negativa, a aceleração angular será negativa e apontará ao longo do eixo +z.

A Figura A mostra a rotação no sentido anti-horário. A aceleração angular está na mesma direção da velocidade angular. O texto abaixo da figura indica “Taxa de rotação no sentido anti-horário e crescente. A Figura B mostra a rotação no sentido horário. A aceleração angular está na direção oposta à velocidade angular. O texto abaixo da figura indica “Taxa de rotação no sentido horário e decrescente. — Figura$\PageIndex{6}$: A rotação é no sentido anti-horário em (a) e (b) com a velocidade angular na mesma direção. (a) A aceleração angular está na mesma direção da velocidade angular, o que aumenta a taxa de rotação. (b) A aceleração angular está na direção oposta à velocidade angular, o que diminui a taxa de rotação.

Podemos expressar o vetor de aceleração tangencial como um produto cruzado da aceleração angular e do vetor de posição. Essa expressão pode ser encontrada tomando a derivada temporal de$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ e é deixada como um exercício:

\[\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} \ldotp \label{10.7}\]

As relações vetoriais para a aceleração angular e a aceleração tangencial são mostradas na Figura$\PageIndex{7}$.

A Figura A é um sistema de coordenadas XYZ que mostra três vetores. Pontos alfa vetoriais na direção Z positiva. O vetor a está no plano XY. O vetor r é direcionado da origem do sistema de coordenadas até o início do vetor a. A Figura B é um sistema de coordenadas XYZ que mostra três vetores. Pontos alfa vetoriais na direção Z negativa. O vetor a está no plano XY. O vetor r é direcionado da origem do sistema de coordenadas até o início do vetor a. — Figura$\PageIndex{7}$: (a) A aceleração angular é a direção z positiva e produz uma aceleração tangencial no sentido anti-horário. (b) A aceleração angular está na direção z negativa e produz uma aceleração tangencial no sentido horário.

Podemos relacionar a aceleração tangencial de um ponto em um corpo rotativo a uma distância do eixo de rotação da mesma forma que relacionamos a velocidade tangencial com a velocidade angular. Se diferenciarmos a Equação\ ref {10.4} em relação ao tempo, observando que o raio r é constante, obtemos

\[a_{t} = r \alpha \ldotp \label{10.8}\]

Assim, a aceleração tangencial a _t é o raio vezes a aceleração angular. As equações\ ref {10.4} e\ ref {10.8} são importantes para a discussão do movimento de rolamento (veja Momentum Angular).

Vamos aplicar essas ideias à análise de alguns cenários simples de rotação de eixo fixo. Antes de fazer isso, apresentamos uma estratégia de resolução de problemas que pode ser aplicada à cinemática rotacional: a descrição do movimento rotacional.

Estratégia de resolução de problemas: cinemática rotacional

Examine a situação para determinar se a cinemática rotacional (movimento rotacional) está envolvida.
Identifique exatamente o que precisa ser determinado no problema (identifique as incógnitas). Um esboço da situação é útil.
Faça uma lista completa do que é dado ou pode ser inferido do problema conforme declarado (identifique os conhecidos).
Resolva a equação ou equações apropriadas para a quantidade a ser determinada (a desconhecida). Pode ser útil pensar em termos de um análogo translacional, porque agora você está familiarizado com as equações do movimento translacional.
Substitua os valores conhecidos junto com suas unidades na equação apropriada e obtenha soluções numéricas completas com unidades. Certifique-se de usar unidades de radianos para ângulos.
Verifique sua resposta para ver se é razoável: Sua resposta faz sentido?

Agora, vamos aplicar essa estratégia de solução de problemas a alguns exemplos específicos.

Exemplo$\PageIndex{2}$: A Spinning Bicycle Wheel

Um mecânico de bicicletas monta uma bicicleta no suporte de reparo e faz a roda traseira girar do repouso até uma velocidade angular final de 250 rpm em 5,00 s. (a) Calcule a aceleração angular média em rad/s ². (b) Se ela agora pisar no freio, causando uma aceleração angular de −87,3 rad/s ², quanto tempo o volante leva para parar?

Estratégia

A aceleração angular média pode ser encontrada diretamente de sua definição$\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$ porque a velocidade angular final e o tempo são fornecidos. Vemos que$\Delta \omega$ =$\omega_{final}$ −$\omega_{initial}$ = 250 rev/min e$\Delta$ t é 5,00 s. Para a parte (b), conhecemos a aceleração angular e a velocidade angular inicial. Podemos encontrar o tempo de parada usando a definição de aceleração angular média e resolvendo para$\Delta$ t, produzindo

\[\Delta t = \frac{\Delta \omega}{\alpha} \ldotp\]

Solução

Inserindo informações conhecidas na definição de aceleração angular, obtemos $$\ bar {\ alpha} =\ frac {\ Delta\ omega} {\ Delta t} =\ frac {250\; rpm} {5.00\; s}\ LDOTP$$Porque$\Delta \omega$ está em revoluções por minuto (rpm) e queremos as unidades padrão de rad/s ² para aceleração angular, precisamos converter de rpm para rad/s: $$\ Delta\ omega = 250\ frac {rev} {min}\;\ cdotp\ frac {2\ pi\; rad} {rev}\;\ cdotp\ frac {1\; min} {60\; s} = 26.2\; rad/s\ ldotp$$Inserindo essa quantidade na expressão para$\alpha$, obtemos $$bar {\ alpha} =\ frac {\ Delta\ ômega} {\ Delta t} =\ frac {26,2\; rpm} {5,00\; s} = 5,24\; rad/s^ {2 }\ ldotp$$
Aqui, a velocidade angular diminui de 26,2 rad/s (250 rpm) para zero, então isso$\Delta \omega$ é −26,2 rad/s, e$\alpha$ é dado como —87,3 rad/s ². Assim, $$\ Delta t =\ frac {-26.2\; rad/s} {-87.3\; rad/s^ {2}} = 0,300\; s\ ldotp$$

Significância

Observe que a aceleração angular à medida que o mecânico gira a roda é pequena e positiva; são necessários 5 s para produzir uma velocidade angular apreciável. Quando ela pisa no freio, a aceleração angular é grande e negativa. A velocidade angular rapidamente chega a zero.

Exercício$\PageIndex{1}$

As pás do ventilador em um motor a jato turbofan (mostrado abaixo) aceleram do repouso até uma taxa de rotação de 40,0 rotações/s em 20 s. O aumento na velocidade angular do ventilador é constante no tempo. (O motor turbofan GE90-110B1 montado em um Boeing 777, conforme mostrado, é atualmente o maior motor turbofan do mundo, capaz de propulsões de 330 a 510 kN.) (a) Qual é a aceleração angular média? (b) Qual é a aceleração angular instantânea a qualquer momento durante os primeiros 20 s?

A imagem é uma foto de uma turbina de ar sob a asa de um avião.

Exemplo$\PageIndex{3}$: Wind Turbine

Uma turbina eólica (Figura$\PageIndex{9}$) em um parque eólico está sendo desligada para manutenção. São necessários 30 s para a turbina passar de sua velocidade angular operacional até uma parada completa na qual a função de velocidade angular é$\omega$ (t) =$\Big[\frac{(ts^{−1} −30.0)^{2}}{100.0} \Big]$ rad/s. Se a turbina estiver girando no sentido anti-horário olhando para a página, (a) quais são as direções dos vetores de velocidade angular e aceleração? (b) Qual é a aceleração angular média? (c) Qual é a aceleração angular instantânea em t = 0,0, 15,0, 30,0 s?

A figura é o desenho de uma turbina eólica que gira no sentido anti-horário, como visto de frente. — Figura$\PageIndex{9}$: Uma turbina eólica que gira no sentido anti-horário, conforme visto de frente.

Estratégia

Temos a sensação rotacional da turbina, que é no sentido anti-horário no plano da página. Usando a regra da mão direita (Figura 10.5), podemos estabelecer as direções dos vetores de velocidade angular e aceleração.
Calculamos as velocidades angulares inicial e final para obter a aceleração angular média. Estabelecemos o sinal da aceleração angular a partir dos resultados em (a).
Recebemos a forma funcional da velocidade angular, para que possamos encontrar a forma funcional da função de aceleração angular tomando sua derivada em relação ao tempo.

Solução

Como a turbina está girando no sentido anti-horário, a velocidade angular$\vec{\omega}$ aponta para fora da página. Mas como a velocidade angular está diminuindo, a aceleração angular$\vec{\alpha}$ aponta para a página, no sentido oposto à velocidade angular.
A velocidade angular inicial da turbina, definindo t = 0, é$\omega$ = 9,0 rad/s. A velocidade angular final é zero, então a aceleração angular média é $$\ bar {\ alpha}\ frac {\ Delta\ omega} {\ Delta t} =\ frac {\ omega -\ omega_ {0}} {t - t_ {0}} =\ frac {0 - 9.0\; rad/s} {30,0 - 0\; s} = -0,3\; rad/s^ {2}\ ldotp$ $
Tomar a derivada da velocidade angular em relação ao tempo dá$\alpha = \frac{d \omega}{dt} = \frac{(t − 30.0)}{50.0}$ rad/s ² $$\ alpha (0,0; s) = -0,6\; rad/s^ {2},\ alpha (15,0\; s) = -0,3\; rad/s^ {2} e\;\ alpha (30,0\; s) = 0\; rad/s\ ldotp$$

Significância

Descobrimos a partir dos cálculos em (a) e (b) que a aceleração angular α e a aceleração angular média$\bar{\alpha}$ são negativas. A turbina tem uma aceleração angular no sentido oposto à sua velocidade angular.

Agora temos um vocabulário básico para discutir a cinemática rotacional de eixo fixo e as relações entre variáveis rotacionais. Discutiremos mais definições e conexões na próxima seção.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Rotation of a Flywheel

Solução

Estratégia de resolução de problemas: cinemática rotacional

Exemplo\(\PageIndex{2}\): A Spinning Bicycle Wheel

Solução

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Exemplo\(\PageIndex{3}\): Wind Turbine

Solução