7.5: Potência
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- Relacione o trabalho realizado durante um intervalo de tempo com a energia fornecida
- Encontre o poder gasto por uma força atuando em um corpo em movimento
O conceito de trabalho envolve força e deslocamento; o teorema trabalho-energia relaciona o trabalho em rede realizado em um corpo com a diferença em sua energia cinética, calculada entre dois pontos em sua trajetória. Nenhuma dessas quantidades ou relações envolve tempo explicitamente, mas sabemos que o tempo disponível para realizar uma determinada quantidade de trabalho é frequentemente tão importante para nós quanto a quantidade em si. Na figura de abertura do capítulo, vários velocistas podem ter alcançado a mesma velocidade no final e, portanto, fizeram a mesma quantidade de trabalho, mas o vencedor da corrida fez isso no menor tempo possível.
Expressamos a relação entre o trabalho realizado e o intervalo de tempo envolvido em fazê-lo, introduzindo o conceito de poder. Como o trabalho pode variar em função do tempo, primeiro definimos a potência média como o trabalho realizado durante um intervalo de tempo, dividido pelo intervalo,
\[P_{ave} = \frac{\Delta W}{\Delta t} \ldotp \label{7.10}\]
Em seguida, podemos definir a potência instantânea (frequentemente chamada apenas de potência pura).
A potência é definida como a taxa de trabalho, ou o limite da potência média para intervalos de tempo próximos de zero,
\[P = \frac{dW}{dt} \ldotp \label{7.11}\]
Se a potência for constante em um intervalo de tempo, a potência média desse intervalo é igual à potência instantânea, e o trabalho realizado pelo agente que fornece a energia é
\[W = P \Delta t.\]
Se a potência durante um intervalo variar com o tempo (ou seja,\(P(t)\)), então o trabalho realizado é a integral de tempo da potência,
\[W = \int P (t) dt \ldotp\]
O teorema trabalho-energia relaciona como o trabalho pode ser transformado em energia cinética. Como também existem outras formas de energia, como discutiremos no próximo capítulo, também podemos definir potência como a taxa de transferência de energia. O trabalho e a energia são medidos em unidades de joules, então a potência é medida em unidades de joules por segundo, que recebeu o nome SI watts, abreviatura W: 1 J/s = 1 W. Outra unidade comum para expressar a capacidade de potência de dispositivos comuns é a potência: 1 hp = 746 W.
Um estagiário do exército de 80 kg faz flexões em uma barra horizontal (Figura\(\PageIndex{1}\)). O estagiário leva 0,8 segundos para levantar o corpo de uma posição mais baixa até onde o queixo está acima da barra. Quanta força os músculos do aluno fornecem movendo seu corpo da posição inferior para onde o queixo está acima da barra? (Dica: faça estimativas razoáveis para todas as quantidades necessárias.)
Estratégia
O trabalho realizado contra a gravidade, subindo ou descendo uma distância\(\Delta\) y, é mg\(\Delta\) y. Vamos supor que\(\Delta\) y = 2 pés ≈ 60 cm. Além disso, suponha que os braços compreendam 10% da massa corporal e não estejam incluídos na massa em movimento. Com essas suposições, podemos calcular o trabalho realizado.
Solução
O resultado que obtemos, aplicando nossas suposições, é
\[P=\frac{\operatorname{mg}(\Delta y)}{t}=\frac{0.9(80 \: \mathrm{kg})\left(9.8 \: \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\right)(0.60 \: \mathrm{m})}{0.8 \: \mathrm{s}}=529 \: \mathrm{W}\]
Significância
Isso é típico do gasto de energia em exercícios extenuantes; em unidades diárias, é um pouco mais do que um cavalo de potência (1 hp = 746 W).
Estime a potência gasta por um levantador de peso levantando uma barra de 150 kg de 2 m em 3 s.
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O poder envolvido na movimentação de um corpo também pode ser expresso em termos das forças que atuam sobre ele. Se uma força\(\vec{F}\) atua em um corpo que é deslocado d\(\vec{r}\) em um tempo dt, a potência gasta pela força é
\[P = \frac{dW}{dt} = \frac{\vec{F}\; \cdotp d \vec{r}}{dt} = \vec{F}\; \cdotp \left(\dfrac{d \vec{r}}{dt}\right) = \vec{F}\; \cdotp \vec{v}, \label{7.12}\]
onde\(\vec{v}\) está a velocidade do corpo. O fato de existirem os limites implícitos nas derivadas, para o movimento de um corpo real, justifica o rearranjo dos infinitesimais.
Quanta potência um motor de automóvel deve gastar para mover um carro de 1200 kg até um nível de 15% a 90 km/h (Figura\(\PageIndex{2}\))? Suponha que 25% dessa potência seja dissipada superando a resistência e o atrito do ar.
Estratégia
Em velocidade constante, não há mudança na energia cinética, então o trabalho em rede feito para mover o carro é zero. Portanto, a potência fornecida pelo motor para mover o carro é igual à potência gasta contra a gravidade e a resistência do ar. Por suposição, 75% da energia é fornecida contra a gravidade, o que é igual a m\(\vec{g}\; \cdotp \vec{v}\) = mgv sin\(\theta\), onde\(\theta\) é o ângulo da inclinação. Uma nota de 15% significa tan\(\theta\) = 0,15. Esse raciocínio nos permite resolver a potência necessária.
Solução
Executando as etapas sugeridas, encontramos
\[0.75 P = mgv \sin(\tan^{−1} 0.15),\]
ou
\[P = \frac{(1200 \times 9.8\; N)(\frac{90\; m}{3.6\; s}) \sin (8.53^{o})}{0.75} = 58\; kW,\]
ou cerca de 78 cv. (Você deve fornecer as etapas usadas para converter unidades.)
Significância
Essa é uma quantidade razoável de potência para o motor de um carro de pequeno a médio porte fornecer (1 cv = 0,746 kW). Observe que essa é apenas a potência gasta para mover o carro. Grande parte da potência do motor vai para outros lugares, por exemplo, para o calor residual. É por isso que os carros precisam de radiadores. Qualquer energia restante pode ser usada para aceleração ou para operar os acessórios do carro.