7.3: Energia cinética

Objetivos de

• Calcule a energia cinética de uma partícula dada sua massa e sua velocidade ou momento
• Avalie a energia cinética de um corpo, em relação a diferentes quadros de referência

É plausível supor que quanto maior a velocidade de um corpo, maior o efeito que ele pode ter em outros corpos. Isso não depende da direção da velocidade, apenas de sua magnitude. No final do século XVII, uma quantidade foi introduzida na mecânica para explicar colisões entre dois corpos perfeitamente elásticos, nos quais um corpo faz uma colisão frontal com um corpo idêntico em repouso. O primeiro corpo para e o segundo corpo se move com a velocidade inicial do primeiro corpo. (Se você já jogou bilhar ou croquet, ou viu um modelo do Newton's Cradle, você observou esse tipo de colisão.) A ideia por trás dessa quantidade estava relacionada às forças que atuam sobre um corpo e era chamada de “a energia do movimento”. Mais tarde, durante o século XVIII, o nome de energia cinética foi dado à energia do movimento.

O berço de Newton em movimento. Uma bola é colocada em movimento e logo colide com as demais, transmitindo a energia através do resto das bolas e, eventualmente, até a última bola, que por sua vez é colocada em movimento. (CC SA-BY 3.0; Dominique Toussaint).

Com essa história em mente, agora podemos afirmar a definição clássica de energia cinética. Observe que quando dizemos “clássico”, queremos dizer não relativístico, ou seja, em velocidades muito menores que a velocidade da luz. Em velocidades comparáveis à velocidade da luz, a teoria especial da relatividade requer uma expressão diferente para a energia cinética de uma partícula, conforme discutido em Relatividade. Como os objetos (ou sistemas) de interesse variam em complexidade, primeiro definimos a energia cinética de uma partícula com massa m.

Energia cinética

A energia cinética de uma partícula é metade do produto da massa m da partícula e o quadrado de sua velocidade\(v\):

\[K = \frac{1}{2} mv^{2} \ldotp \label{7.6}\]

Em seguida, estendemos essa definição a qualquer sistema de partículas somando as energias cinéticas de todas as partículas constituintes:

\[K =\sum \frac{1}{2} mv^{2} \ldotp \label{7.7}\]

Observe que, assim como podemos expressar a segunda lei de Newton em termos da taxa de mudança do momento ou da massa vezes a taxa de mudança da velocidade, a energia cinética de uma partícula pode ser expressa em termos de sua massa e momento (\(\vec{p}\)= m\(\vec{v}\)), em vez de sua massa e velocidade. Como v =\(\frac{p}{m}\), vemos que

\[K = \frac{1}{2} m \left(\dfrac{p}{m}\right)^{2} = \frac{p^{2}}{2m}\]

também expressa a energia cinética de uma única partícula. Às vezes, essa expressão é mais conveniente de usar do que Equação\(\ref{7.6}\). As unidades de energia cinética são massa vezes o quadrado da velocidade, ou kg • m ² /s ². Mas as unidades de força são massa vezes aceleração, kg • m/s ², então as unidades de energia cinética também são as unidades de força vezes a distância, que são as unidades de trabalho, ou joules. Você verá na próxima seção que o trabalho e a energia cinética têm as mesmas unidades, porque são formas diferentes da mesma propriedade física, mais geral.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Kinetic Energy of an Object

1. Qual é a energia cinética de um atleta de 80 kg, correndo a 10 m/s?
2. Acredita-se que a cratera Chicxulub em Yucatan, uma das maiores crateras de impacto existentes na Terra, tenha sido criada por um asteróide, viajando a 22 km/s e liberando 4,2 x 10 ²³ J de energia cinética após o impacto. Qual era sua massa?
3. Em reatores nucleares, os nêutrons térmicos, viajando a cerca de 2,2 km/s, desempenham um papel importante. Qual é a energia cinética dessa partícula?

Estratégia

Para responder a essas perguntas, você pode usar a definição de energia cinética na Equação\(\ref{7.6}\). Você também precisa pesquisar a massa de um nêutron.

Solução

Não se esqueça de converter km em m para fazer esses cálculos, embora, para economizar espaço, tenhamos omitido a exibição dessas conversões.

1. $$K =\ frac {1} {2} (80\; kg) (10\; m/s) ^ {2} = 4,0\; kJ\ ldotp\ nonumber $$
2. $$m =\ frac {2K} {v^ {2}} =\ frac {2 (4,2\ times 10^ {23}\; J)} {22\; km/s) ^ {2}} = 1,7\ times 10^ {15}\; kg\ ldotp\ nonumber$$
3. $$K =\ frac {1} {2} (1,68\ times 110^ {-27}\; kg) (2,2\; km/s) ^ {2} = 4,1\ times 10^ {-21}\; J\ ldotp\ nonumber$$

Significância

Neste exemplo, usamos a forma como a massa e a velocidade estão relacionadas à energia cinética e encontramos uma ampla gama de valores para as energias cinéticas. Unidades diferentes são comumente usadas para valores muito grandes e muito pequenos. A energia do impactor na parte (b) pode ser comparada ao rendimento explosivo do TNT e das explosões nucleares, 1 megaton = 4,18 x 10 ¹⁵ J. A energia cinética do asteróide Chicxulub foi de cerca de cem milhões de megatons. No outro extremo, a energia da partícula subatômica é expressa em elétron-volts, 1 eV = 1,6 x 10 ⁻¹⁹ J. O nêutron térmico em parte (c) tem uma energia cinética de cerca de um quadragésimo de um elétronvolt.

Exercício\(\PageIndex{1}\)

1. Um carro e um caminhão estão se movendo com a mesma energia cinética. Suponha que o caminhão tenha mais massa do que o carro. Qual tem a maior velocidade?
2. Um carro e um caminhão estão se movendo com a mesma velocidade. Qual tem a maior energia cinética?

Como a velocidade é uma quantidade relativa, você pode ver que o valor da energia cinética deve depender do seu quadro de referência. Geralmente, você pode escolher um quadro de referência adequado ao propósito de sua análise e que simplifique seus cálculos. Um desses quadros de referência é aquele no qual as observações do sistema são feitas (provavelmente uma estrutura externa). Outra opção é uma estrutura que esteja conectada ou se mova com o sistema (provavelmente uma estrutura interna). As equações para movimento relativo, discutidas em Movimento em duas e três dimensões, fornecem um link para calcular a energia cinética de um objeto em relação a diferentes quadros de referência.

Exemplo\(\PageIndex{2}\): Kinetic Energy Relative to Different Frames

Uma pessoa de 75,0 kg caminha pelo corredor central de um vagão do metrô a uma velocidade de 1,50 m/s em relação ao carro, enquanto o trem está se movendo a 15,0 m/s em relação aos trilhos.

1. Qual é a energia cinética da pessoa em relação ao carro?
2. Qual é a energia cinética da pessoa em relação às trilhas?
3. Qual é a energia cinética da pessoa em relação a uma moldura que se move com a pessoa?

Estratégia

Como as velocidades são fornecidas, podemos usar\(\frac{1}{2}\) mv ² para calcular a energia cinética da pessoa. No entanto, na parte (a), a velocidade da pessoa é relativa ao vagão do metrô (conforme indicado); na parte (b), é relativa aos trilhos; e na parte (c), é zero. Se denotarmos a estrutura do carro por C, a estrutura da pista por T e a pessoa por P, as velocidades relativas na parte (b) são relacionadas por\(\vec{v}_{PT}\) =\(\vec{v}_{PC}\) +\(\vec{v}_{CT}\). Podemos supor que o corredor central e os trilhos estão na mesma linha, mas a direção em que a pessoa está andando em relação ao carro não está especificada, então daremos uma resposta para cada possibilidade, v _PT = v _CT ± v _PC, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Os possíveis movimentos de uma pessoa andando em um trem são (a) em direção à frente do carro e (b) em direção à traseira do carro.

Solução

1. $$K =\ dfrac {1} {2} (75,0\; kg) (11,50\; m/s) ^ {2} = 84,4\; J\ ldotp\ nonumber$$
2. $$v_ {PT} = (15,0\ pm 1,50) 7; m/s\ ldotp\ nonumber$$ Portanto, os dois valores possíveis de energia cinética em relação ao carro são $ $ K =\ dfrac {1} {2} (75,0\; kg) (13,5\; m/s) ^ {2} = 6,83\; kJ\ nonumber $$ e $ K =\ frac {1} {2} (75,0\; kg) (16,5\; m/s) ^ {2} = 10,2\; kJ\ ldotp\ nonumber$$
3. Em um quadro em que v _P = 0, K = 0 também.

Significância

Você pode ver que a energia cinética de um objeto pode ter valores muito diferentes, dependendo do quadro de referência. No entanto, a energia cinética de um objeto nunca pode ser negativa, pois é o produto da massa e o quadrado da velocidade, ambos sempre positivos ou zero.

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Você está remando um barco paralelo às margens de um rio. Sua energia cinética em relação às margens é menor do que sua energia cinética em relação à água. Você está remando a favor ou contra a corrente?

A energia cinética de uma partícula é uma quantidade única, mas a energia cinética de um sistema de partículas às vezes pode ser dividida em vários tipos, dependendo do sistema e de seu movimento. Por exemplo:

• Se todas as partículas em um sistema tiverem a mesma velocidade, o sistema está passando por movimento translacional e tem energia cinética translacional.
• Se um objeto estiver girando, ele pode ter energia cinética rotacional.
• Se estiver vibrando, pode ter energia cinética vibracional.

A energia cinética de um sistema, em relação a um quadro interno de referência, pode ser chamada de energia cinética interna. A energia cinética associada ao movimento molecular aleatório pode ser chamada de energia térmica. Esses nomes serão usados em capítulos posteriores do livro, quando apropriado. Independentemente do nome, todo tipo de energia cinética tem a mesma quantidade física, representando a energia associada ao movimento.

Exemplo\(\PageIndex{3}\): Special Names for Kinetic Energy

1. Um jogador lança um passe no meio da quadra com uma bola de basquete de 624 g, que cobre 15 m em 2 s. Qual é a energia cinética translacional horizontal do basquete durante o voo?
2. Uma molécula média de ar, na parte (a) do basquete, tem uma massa de 29 u e uma velocidade média de 500 m/s, em relação à bola de basquete. Existem cerca de 3 x 10 ²³ moléculas dentro dela, movendo-se em direções aleatórias, quando a bola está devidamente inflada. Qual é a energia cinética translacional média do movimento aleatório de todas as moléculas internas, em relação à bola de basquete?
3. Com que rapidez a bola de basquete teria que viajar em relação à quadra, como na parte (a), para ter uma energia cinética igual à quantidade na parte (b)?

Estratégia

Na parte (a), primeiro encontre a velocidade horizontal da bola de basquete e depois use a definição de energia cinética em termos de massa e velocidade, K =\(\frac{1}{2} mv^{2}\). Em seguida, na parte (b), converta unidades unificadas em quilogramas e, em seguida, use K =\(\frac{1}{2} mv^{2}\) para obter a energia cinética translacional média de uma molécula, em relação à bola de basquete. Em seguida, multiplique pelo número de moléculas para obter o resultado total. Finalmente, na parte (c), podemos substituir a quantidade de energia cinética na parte (b) e a massa da bola de basquete na parte (a) na definição K =\(\frac{1}{2} mv^{2}\) e resolver v.

Solução

1. A velocidade horizontal é\(\frac{(15\; m)}{(2\; s)}\), então a energia cinética horizontal da bola de basquete é $$\ frac {1} {2} (0,624\; kg) (7,5\; m/s) ^ {2} = 17,6\; J\ ldotp\ nonumber$$
2. A energia cinética translacional média de uma molécula é $$\ frac {1} {2} (29\; u) (1,66\ times 10^ {-27}\; kg/u) (500\; m/s) ^ {2} = 6,02\ times 10^ {-21}\; J,\ nonumber $$ e a energia cinética total de todas as moléculas é $$ (3\ times 10^ ^ {23}) (6,02\ times 10^ {-21}\; J) = 1,80\; kJ\ ldotp\ nonumber$$
3. $$v =\ sqrt {\ frac {2 (1,8\; kJ)} {(0,624\; kg)}} = 76,0\; m/s\ ldotp\ nonumber$$

Significância

Em parte (a), esse tipo de energia cinética pode ser chamado de energia cinética horizontal de um objeto (a bola de basquete), em relação ao seu entorno (a quadra). Se a bola de basquete estivesse girando, todas as partes dela não teriam apenas a velocidade média, mas também teriam energia cinética rotacional. A parte (b) nos lembra que esse tipo de energia cinética pode ser chamada de energia cinética interna ou térmica. Observe que essa energia é cerca de cem vezes a energia em parte (a). Como fazer uso da energia térmica será o assunto dos capítulos sobre termodinâmica. Em parte (c), como a energia na parte (b) é cerca de 100 vezes a da parte (a), a velocidade deve ser cerca de 10 vezes maior, o que é (76 em comparação com 7,5 m/s).