7.2: Trabalho
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- Represente o trabalho realizado por qualquer força
- Avalie o trabalho realizado para várias forças
Em física, o trabalho representa um tipo de energia. O trabalho é feito quando uma força atua sobre algo que sofre um deslocamento de uma posição para outra. As forças podem variar em função da posição e os deslocamentos podem ocorrer ao longo de vários caminhos entre dois pontos. Primeiro definimos o incremento do trabalho dW feito por uma força que\(\vec{F}\) atua por meio de um deslocamento infinitesimal d\(\vec{r}\) como o produto escalar desses dois vetores:
\[dW = \vec{F} \cdotp d \vec{r} = |\vec{F}||d \vec{r}| \cos \theta \ldotp \label{7.1}\]
Em seguida, podemos somar as contribuições para deslocamentos infinitesimais, ao longo de um caminho entre duas posições, para obter o trabalho total.
O trabalho realizado por uma força é a parte integral da força em relação ao deslocamento ao longo do caminho do deslocamento:
\[W_{AB} = \int_{path\; AB} \vec{F} \cdotp d \vec{r} \ldotp \label{7.2}\]
Os vetores envolvidos na definição do trabalho realizado por uma força atuando sobre uma partícula são ilustrados na Figura\(\PageIndex{1}\).
Optamos por expressar o produto escalar em termos das magnitudes dos vetores e do cosseno do ângulo entre eles, porque o significado do produto escalar para o trabalho pode ser colocado em palavras mais diretamente em termos de magnitudes e ângulos. Poderíamos igualmente ter expressado o produto escalar em termos dos vários componentes introduzidos nos vetores. Em duas dimensões, esses eram os componentes x e y em coordenadas cartesianas, ou os\(\varphi\) componentes r e -em coordenadas polares; em três dimensões, eram apenas componentes x, y e z. Qual escolha é mais conveniente depende da situação. Em palavras, você pode expressar a Equação\ ref {7.1} para o trabalho realizado por uma força atuando sobre um deslocamento como um produto de um componente atuando paralelamente ao outro componente. A partir das propriedades dos vetores, não importa se você considera a componente da força paralela ao deslocamento ou a componente do deslocamento paralela à força — você obtém o mesmo resultado de qualquer maneira.
Lembre-se de que a magnitude de uma força vezes o cosseno do ângulo que a força faz com uma determinada direção é o componente da força na direção dada. Os componentes de um vetor podem ser positivos, negativos ou zero, dependendo se o ângulo entre o vetor e a direção do componente está entre 0° e 90° ou 90° e 180° ou é igual a 90°. Como resultado, o trabalho realizado por uma força pode ser positivo, negativo ou zero, dependendo se a força geralmente está na direção do deslocamento, geralmente oposta ao deslocamento ou perpendicular ao deslocamento. O trabalho máximo é feito por uma determinada força quando está na direção do deslocamento (cos\(\theta\) = ± 1), e o trabalho zero é feito quando a força é perpendicular ao deslocamento (cos\(\theta\) = 0).
As unidades de trabalho são unidades de força multiplicadas por unidades de comprimento, que no sistema SI são newtons vezes metros, N • m. Essa combinação é chamada de joule, por razões históricas que mencionaremos posteriormente, e é abreviada como J. No sistema inglês, ainda usado nos Estados Unidos, a unidade de força é a libra (lb) e a unidade de distância é o pé (ft), então a unidade de trabalho é o pé-libra (ft • lb).
Trabalho realizado por forças constantes e forças de contato
O trabalho mais simples de avaliar é aquele feito por uma força constante em magnitude e direção. Nesse caso, podemos fatorar a força; a integral restante é apenas o deslocamento total, que depende apenas dos pontos finais A e B, mas não do caminho entre eles:
\[W_{AB} = \vec{F} \cdotp \int_{A}^{B} d \vec{r} = \vec{F} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) = |\vec{F}||\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}| \cos \theta\; (constant\; force) \ldotp \nonumber\]
Também podemos ver isso escrevendo a Equação\ ref {7.2} em coordenadas cartesianas e usando o fato de que os componentes da força são constantes:
\[\begin{split} W_{AB} & = \int_{path\; AB} \vec{F} \cdotp d \vec{r} = \int_{path\; AB} (F_{x} dx + F_{y} dy + F_{z} dz) = F_{x} \int_{A}^{B} dx + F_{y} \int_{A}^{B} dy + F_{z} \int_{A}^{B} dz \\ & = F_{x} (x_{B} - x_{A}) + F_{y} (y_{B} - y_{A}) + F_{z} (z_{B} - z_{A}) = \vec{F} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) \ldotp \end{split} \nonumber\]
\(\PageIndex{2a}\)A figura mostra uma pessoa exercendo uma força constante\(\vec{F}\) ao longo da alça de um cortador de grama, que faz um ângulo\(\theta\) com a horizontal. O deslocamento horizontal do cortador de grama, sobre o qual a força atua, é\(\vec{d}\). O trabalho realizado no cortador de grama é
\[W = \vec{F} \cdotp \vec{d} = Fd \cos \theta,\nonumber \]
que a figura também ilustra como o componente horizontal da força vezes a magnitude do deslocamento.
A figura\(\PageIndex{2b}\) mostra uma pessoa segurando uma maleta. A pessoa deve exercer uma força ascendente, igual em magnitude ao peso da maleta, mas essa força não funciona, porque o deslocamento sobre o qual ela atua é zero. Então, por que você finalmente se sente cansado de apenas segurar a maleta, se não está trabalhando nela? A resposta é que as fibras musculares do braço estão se contraindo e trabalhando dentro do braço, mesmo que a força que os músculos exercem externamente sobre a maleta não funcione nela. (Parte da força que você exerce também pode ser a tensão nos ossos e ligamentos do braço, mas outros músculos do corpo estariam trabalhando para manter a posição do braço.)
Na Figura\(\PageIndex{2c}\), onde a pessoa em (b) está andando horizontalmente com velocidade constante, o trabalho realizado pela pessoa na maleta ainda é zero, mas agora porque o ângulo entre a força exercida e o deslocamento é de 90° (\(\vec{F}\)perpendicular a\(\vec{d}\)) e cos 90° = 0.
Quanto trabalho é feito no cortador de grama pela pessoa na Figura\(\PageIndex{2a}\) se ela exerce uma força constante de 75,0 N em um ângulo de 35° abaixo da horizontal e empurra o cortador de grama 25,0 m em terreno nivelado?
Estratégia
Podemos resolver esse problema substituindo os valores dados na definição do trabalho realizado em um objeto por uma força constante, declarada na equação W = Fd cos\(\theta\). A força, o ângulo e o deslocamento são dados, de forma que apenas a obra W é desconhecida.
Solução
A equação para o trabalho é
\[W = Fd \cos \theta \ldotp \nonumber \]
Substituindo os valores conhecidos fornece
\[W = (75.0\; N)(25.0\; m) \cos(35.0^{o}) = 1.54 \times 10^{3}\; J \ldotp \nonumber \]
Significância
Mesmo que um quilojoule e meio pareça muito trabalhoso, veremos em Energia Potencial e Conservação de Energia que é quase o máximo de trabalho que você poderia fazer queimando um sexto de um grama de gordura.
Quando você corta a grama, outras forças agem sobre o cortador de grama além da força que você exerce, ou seja, a força de contato do solo e a força gravitacional da Terra. Vamos considerar o trabalho realizado por essas forças em geral. Para um objeto se movendo em uma superfície, o deslocamento d\(\vec{r}\) é tangente à superfície. A parte da força de contato no objeto que é perpendicular à superfície é a força normal\(\vec{N}\). Como o cosseno do ângulo entre o normal e a tangente a uma superfície é zero, temos
\[dW_{N} = \vec{N} \cdotp d \vec{r} = \vec{0} \ldotp \nonumber \]
A força normal nunca funciona nessas circunstâncias. (Observe que se o deslocamento d\(\vec{r}\) tivesse um componente relativo perpendicular à superfície, o objeto sairia da superfície ou a atravessaria, e não haveria mais nenhuma força de contato normal. No entanto, se o objeto for mais do que uma partícula e tiver uma estrutura interna, a força de contato normal pode funcionar nele, por exemplo, deslocando-o ou deformando sua forma. Isso será mencionado no próximo capítulo.)
A parte da força de contato no objeto que é paralela à superfície é o atrito,\(\vec{f}\). Para este objeto deslizando ao longo da superfície, o atrito cinético\(\vec{f}_{k}\) é oposto a d\(\vec{r}\), em relação à superfície, então o trabalho realizado pelo atrito cinético é negativo. Se a magnitude de\(\vec{f}_{k}\) for constante (como seria se todas as outras forças no objeto fossem constantes), então o trabalho realizado por atrito é
\[W_{fr} = \int_{A}^{B} \vec{f}_{k} \cdotp d \vec{r} = - f_{k} \int_{A}^{B} |dr| = - f_{k} |l_{AB}| \ldotp \label{7.3}\]
onde |l AB | é o comprimento do caminho na superfície. (Observe que, especialmente se o trabalho realizado por uma força for negativo, as pessoas podem se referir ao trabalho realizado contra essa força, onde dW contra = −dW by. O trabalho realizado contra uma força também pode ser visto como o trabalho necessário para superar essa força, como em “Quanto trabalho é necessário para superar...?”) A força do atrito estático, no entanto, pode fazer um trabalho positivo ou negativo. Quando você anda, a força de atrito estático exercida pelo solo em seu pé de trás o acelera em parte de cada passo. Se você estiver diminuindo a velocidade, a força do solo em seu pé dianteiro o desacelera. Se você estiver dirigindo seu carro no limite de velocidade em um trecho reto e nivelado da rodovia, o trabalho negativo realizado pelo atrito cinético da resistência do ar é equilibrado pelo trabalho positivo realizado pelo atrito estático da estrada nas rodas motrizes. Você pode puxar o tapete de baixo de um objeto de forma que ele deslize para trás em relação ao tapete, mas para frente em relação ao chão. Nesse caso, o atrito cinético exercido pelo tapete sobre o objeto pode estar na mesma direção do deslocamento do objeto, em relação ao piso, e fazer um trabalho positivo. O ponto principal é que você precisa analisar cada caso específico para determinar o trabalho realizado pelas forças, sejam elas positivas, negativas ou zero.
Você decide mover seu sofá para uma nova posição no chão horizontal da sua sala de estar. A força normal no sofá é de 1 kN e o coeficiente de atrito é de 0,6. (a) Você primeiro empurra o sofá 3 m paralelo a uma parede e depois 1 m perpendicular à parede (A a B na Figura\(\PageIndex{3}\)). Quanto trabalho é feito pela força de atrito? (b) Você não gosta da nova posição, então você move o sofá de volta para a posição original (B a A na Figura\(\PageIndex{3}\)). Qual foi o trabalho total realizado contra o atrito, afastando o sofá de sua posição original e vice-versa?
Estratégia
A magnitude da força de atrito cinético no sofá é constante, igual ao coeficiente de atrito vezes a força normal, f K =\(\mu_{K}\) N. Portanto, o trabalho realizado por ele é W fr = −f K d, onde d é o comprimento do caminho percorrido. Os segmentos dos caminhos são os lados de um triângulo reto, portanto, os comprimentos do caminho são facilmente calculados. Na parte (b), você pode usar o fato de que o trabalho realizado contra uma força é o negativo do trabalho realizado pela força.
Solução
- O trabalho realizado por atrito é $ $ W = − (0,6) (1\; kN) (3\; m + 1\; m) = − 2,4\; kJ\ ldotp\ nonumber $$
- O comprimento do caminho ao longo da hipotenusa é\(\sqrt{10}\) m, então o trabalho total realizado contra o atrito é $ $ W = (0,6) (1\; kN) (3\; m + 1\; m +\ sqrt {10}\; m) = 4,3\; kJ\ ldotp\ nonumber $$
Significância
O caminho total sobre o qual o trabalho de atrito foi avaliado começou e terminou no mesmo ponto (era um caminho fechado), de modo que o deslocamento total do sofá era zero. No entanto, o trabalho total não foi zero. A razão é que forças como o atrito são classificadas como forças não conservadoras ou forças dissipativas, conforme discutiremos no próximo capítulo.
O atrito cinético pode ser uma força constante em todos os caminhos?
A outra força no cortador de grama mencionada acima foi a força gravitacional da Terra, ou o peso do cortador. Perto da superfície da Terra, a força gravitacional sobre um objeto de massa m tem uma magnitude constante, mg, e direção constante, verticalmente para baixo. Portanto, o trabalho realizado pela gravidade em um objeto é o produto escalar de seu peso e seu deslocamento. Em muitos casos, é conveniente expressar o produto escalar para o trabalho gravitacional em termos dos componentes x, y e z dos vetores. Um sistema de coordenadas típico tem o eixo x na horizontal e o eixo y na vertical para cima. Então a força gravitacional é −mg\(\hat{j}\), então o trabalho feito pela gravidade, em qualquer caminho de A a B, é
\[W_{grav,\; AB} = -mg \hat{j} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) = -mg (y_{B} - y_{A}) \ldotp \label{7.4}\]
O trabalho realizado por uma força de gravidade constante em um objeto depende apenas do peso do objeto e da diferença de altura pela qual o objeto é deslocado. A gravidade faz um trabalho negativo em um objeto que se move para cima (y B > y A), ou, em outras palavras, você deve fazer um trabalho positivo contra a gravidade para levantar um objeto para cima. Alternativamente, a gravidade faz um trabalho positivo em um objeto que se move para baixo (y B < y A), ou você faz um trabalho negativo contra a gravidade para “levantar” um objeto para baixo, controlando sua descida para que ele não caia no chão. (“Lift” é usado em vez de “drop”.)
Você levanta um livro de biblioteca de grandes dimensões, pesando 20 N, 1 m na vertical de uma prateleira, e o carrega 3 m na horizontal até uma mesa (Figura\(\PageIndex{4}\)). Quanto trabalho a gravidade faz no livro? (b) Ao terminar, você move o livro em linha reta de volta para o local original na prateleira. Qual foi o trabalho total realizado contra a gravidade, afastando o livro de sua posição original na prateleira e vice-versa?
Estratégia
Acabamos de ver que o trabalho realizado por uma força de gravidade constante depende apenas do peso do objeto movido e da diferença de altura do caminho percorrido, W AB = −mg (yB − y A). Podemos avaliar a diferença de altura para responder (a) e (b).
Solução
- Como o livro começa na prateleira e é levantado y B − y A = −1 m, temos $$W = − (20\; N) (− 1\; m) = 20 J\ ldotp\ nonumber$$
- Não há diferença de altura para qualquer caminho que comece e termine no mesmo lugar na prateleira, então W = 0.
Significância
A gravidade faz um trabalho positivo (20 J) quando o livro desce da prateleira. A força gravitacional entre dois objetos é uma força atrativa, que faz um trabalho positivo quando os objetos se aproximam. A gravidade não funciona (0 J) quando o livro se move horizontalmente da prateleira para a mesa e o trabalho negativo (−20 J) quando o livro se move da mesa de volta para a prateleira. O trabalho total realizado pela gravidade é zero [20 J + 0 J + (−20 J) = 0].
Ao contrário do atrito ou de outras forças dissipativas, descritas no Exemplo\(\PageIndex{2}\), o trabalho total realizado contra a gravidade, em qualquer caminho fechado, é zero. Um trabalho positivo é feito contra a gravidade nas partes ascendentes de um caminho fechado, mas uma quantidade igual de trabalho negativo é feita contra a gravidade nas partes descendentes. Em outras palavras, o trabalho feito contra a gravidade, levantando um objeto, é “devolvido” quando o objeto volta para baixo. Forças como a gravidade (aquelas que funcionam a zero em qualquer caminho fechado) são classificadas como forças conservadoras e desempenham um papel importante na física.
A gravidade da Terra pode ser uma força constante em todos os caminhos?
Trabalho realizado por forças que variam
Em geral, as forças podem variar em magnitude e direção em pontos no espaço, e os caminhos entre dois pontos podem ser curvos. O trabalho infinitesimal realizado por uma força variável pode ser expresso em termos dos componentes da força e do deslocamento ao longo do caminho,
\[dW = F_{x} dx + F_{y} dy + F_{z} dz \ldotp \nonumber\]
Aqui, os componentes da força são funções da posição ao longo do caminho, e os deslocamentos dependem das equações do caminho. (Embora tenhamos optado por ilustrar dW em coordenadas cartesianas, outras coordenadas são mais adequadas para algumas situações.) A equação\ ref {7.2} define o trabalho total como uma integral de linha ou o limite de uma soma de quantidades infinitesimais de trabalho. O conceito físico de trabalho é simples: você calcula o trabalho para pequenos deslocamentos e os soma. Às vezes, a matemática pode parecer complicada, mas o exemplo a seguir demonstra como eles podem operar de forma limpa.
Um objeto se move ao longo de um caminho parabólico y = (0,5 m −1) x 2 da origem A = (0, 0) até o ponto B = (2 m, 2 m) sob a ação de uma força\(\vec{F}\) = (5 N/m) y\(\hat{i}\) + (10 N/m) x\(\hat{j}\) (Figura\(\PageIndex{5}\)). Calcule o trabalho realizado.
Estratégia
Os componentes da força recebem funções de x e y. Podemos usar a equação do caminho para expressar y e dy em termos de x e dx; a saber,
\[y = (0.5\; m^{−1})x^{2}\; and\; dy = 2(0.5\; m^{−1})xdx \ldotp \nonumber\]
Então, a integral do trabalho é apenas uma integral definida de uma função de x.
Solução
O elemento infinitesimal do trabalho é
\[\begin{split} dW & = F_{x} dx + F_{y} dy = (5\; N/m)ydx + (10\; N/m)xdy \\ & = (5\; N/m)(0.5\; m^{−1})x^{2} dx + (10\; N/m)2(0.5\; m^{−1})x^{2} dx = (12.5\; N/m^{2})x^{2} dx \ldotp \end{split} \nonumber\]
A integral de x 2 é\(\frac{x^{3}}{3}\), então
\[W = \int_{0}^{2\; m} (12.5\; N/m^{2})x^{2} dx = (12.5\; N/m^{2}) \frac{x^{3}}{3} \Bigg|_{0}^{2\; m} = (12.5\; N/m^{2}) \left(\dfrac{8}{3}\right) = 33.3\; J \ldotp \nonumber\]
Significância
Essa integral não foi difícil de fazer. Você pode seguir as mesmas etapas, como neste exemplo, para calcular integrais de linha que representam o trabalho para forças e caminhos mais complicados. Neste exemplo, tudo foi dado em termos de componentes x e y, que são mais fáceis de usar na avaliação do trabalho nesse caso. Em outras situações, magnitudes e ângulos podem ser mais fáceis.
Encontre o trabalho realizado pela mesma força em Exemplo\(\PageIndex{4}\) em um caminho cúbico, y = (0,25 m −2) x 3, entre os mesmos pontos A = (0, 0) e B = (2 m, 2 m).
Você viu no Exemplo\(\PageIndex{4}\) que, para avaliar uma integral de linha, você poderia reduzi-la a uma integral sobre uma única variável ou parâmetro. Normalmente, existem várias maneiras de fazer isso, o que pode ser mais ou menos conveniente, dependendo do caso específico. No exemplo\(\PageIndex{4}\), reduzimos a integral de linha para uma integral sobre x, mas poderíamos igualmente ter escolhido reduzir tudo a uma função de y. Não fizemos isso porque as funções em y envolvem a raiz quadrada e os expoentes fracionários, o que pode ser menos familiar, mas para fins ilustrativos, nós fazemos isso agora. Resolvendo para x e dx, em termos de y, ao longo do caminho parabólico, obtemos
\[x = \sqrt{\frac{y}{(0.5\; m^{-1})}} = \sqrt{(2\; m)y}\; and\; dx = \sqrt{(2\; m)} \times \frac{1}{2} \frac{dy}{\sqrt{y}} = \frac{dy}{\sqrt{(2\; m^{-1})y} }\ldotp \nonumber\]
Os componentes da força, em termos de y, são
\[F_{x} = (5\; N/m)y\; and\; F_{y} = (10\; N/m)x = (10\; N/m) \sqrt{(2 m)y}, \nonumber\]
então o elemento de trabalho infinitesimal se torna
\[\begin{split} dW & = F_{x} dx + F_{y} dy = \frac{(5\; N/m)y dy}{\sqrt{(2\; m^{-1})y}} + (10\; N/m) \sqrt{(2\; m)y} dy \\ & = (5\; N \cdotp m^{-1/2}) \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2}\right) \sqrt{y} dy = (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) y^{1/2} dy \ldotp \end{split} \nonumber\]
A integral de y 1/2 é\(\frac{2}{3}\) y 3/2, então o trabalho realizado de A a B é
\[W = \int_{0}^{2\; m} (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) y^{1/2} dy = (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) \frac{2}{3} (2\; m)^{2/3} = 33.3\; J \ldotp \nonumber\]
Como esperado, esse é exatamente o mesmo resultado de antes.
Uma força variável muito importante e amplamente aplicável é a força exercida por uma mola perfeitamente elástica, que satisfaz a lei de Hooke\(\vec{F}\) = −k\(\Delta \vec{x}\), onde k é a constante da mola e\(\Delta \vec{x}\) =\(\vec{x}\) −\(\vec{x}_{eq}\) é o deslocamento da posição não esticada (equilíbrio) da mola (Leis do movimento de Newton). Observe que a posição não esticada é apenas a mesma que a posição de equilíbrio se nenhuma outra força estiver atuando (ou, se estiverem, elas se cancelarem). Forças entre moléculas, ou em qualquer sistema submetido a pequenos deslocamentos de um equilíbrio estável, se comportam aproximadamente como uma força de mola.
Para calcular o trabalho realizado por uma força de mola, podemos escolher o eixo x ao longo do comprimento da mola, na direção do aumento do comprimento, como na Figura\(\PageIndex{6}\), com a origem na posição de equilíbrio x eq = 0. (Então, x positivo corresponde a um estiramento e menos x a uma compressão.) Com essa escolha de coordenadas, a força da mola tem apenas um componente x, F x = −kx, e o trabalho realizado quando x muda de x A para x B é
\[W_{spring,\; AB} = \int_{A}^{B} F_{x} dx = - k \int_{A}^{B} xdx = -k \frac{x^{2}}{2} \Big|_{A}^{B} = - \frac{1}{2} k \big( x_{B}^{2} - x_{A}^{2} \big) \ldotp \label{7.5}\]
Observe que W AB depende apenas dos pontos inicial e final, A e B, e é independente do caminho real entre eles, desde que comece em A e termine em B. Ou seja, o caminho real pode envolver ir e voltar antes de terminar.
Outra coisa interessante a se observar sobre a Equação\ ref {7.5} é que, neste caso unidimensional, você pode ver facilmente a correspondência entre o trabalho realizado por uma força e a área sob a curva da força versus seu deslocamento. Lembre-se de que, em geral, uma integral unidimensional é o limite da soma dos infinitesimais, f (x) dx, representando a área das tiras, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{7}\). Na Equação\ ref {7.5}, como F = −kx é uma linha reta com inclinação −k, quando traçada versus x, a “área” abaixo da linha é apenas uma combinação algébrica de “áreas” triangulares, onde “áreas” acima do eixo x são positivas e as abaixo são negativas, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{8}\). A magnitude de uma dessas “áreas” é apenas metade da base do triângulo, ao longo do eixo x, vezes a altura do triângulo, ao longo do eixo de força. (Há aspas ao redor da “área” porque esse produto de altura base tem as unidades de trabalho, em vez de metros quadrados.)
Uma mola perfeitamente elástica requer 0,54 J de trabalho para esticar 6 cm de sua posição de equilíbrio, como na Figura\(\PageIndex{6b}\). (a) Qual é sua constante de mola k? (b) Quanto trabalho é necessário para esticá-lo por mais 6 cm?
Estratégia
Trabalho “obrigatório” significa trabalho realizado contra a força da mola, que é o negativo do trabalho na Equação\ ref {7.5}, ou seja
\[W = \frac{1}{2} k (x_{B}^{2} - x_{A}^{2}) \ldotp \nonumber\]
Para a peça (a), x A = 0 e x B = 6 cm; para a peça (b), x B = 6 cm e x B = 12 cm. Na parte (a), o trabalho é dado e você pode resolver a constante da mola; na parte (b), você pode usar o valor de k, da parte (a), para resolver o trabalho.
Solução
- \ [W = 0,54\; J =\ frac {1} {2} k [(6\; cm) ^ {2} - 0],\; então\; k = 3\; N/cm\ ldotp\ nonumber$$
- \ [W =\ frac {1} {2} (3\; N/cm) [(12\; cm) ^ {2} - (6\; cm) ^ {2}],\; então\; k = 1,62\; J\ ldotp\ nonumber$$
Significância
Como o trabalho realizado por uma força de mola é independente do caminho, você só precisa calcular a diferença na quantidade\(\frac{1}{2}\) kx 2 nos pontos finais. Observe que o trabalho necessário para esticar a mola de 0 a 12 cm é quatro vezes maior que o necessário para esticá-la de 0 a 6 cm, pois esse trabalho depende do quadrado da quantidade de estiramento do equilíbrio,\(\frac{1}{2}\) kx 2. Nessa circunstância, o trabalho para esticar a mola de 0 a 12 cm também é igual ao trabalho de um caminho composto de 0 a 6 cm seguido por um trecho adicional de 6 cm a 12 cm. Portanto, 4W (0 cm a 6 cm) = W (0 cm a 6 cm) + W (6 cm a 12 cm) ou W (6 cm a 12 cm) = 3W (0 cm a 6 cm), como encontramos acima.
A mola em Example\(\PageIndex{5}\) é comprimida a 6 cm de seu comprimento de equilíbrio. (a) A força da mola faz um trabalho positivo ou negativo e (b) qual é a magnitude?