4.3: Vetor de aceleração

Last updated
Save as PDF

Page ID: 185281

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de

Calcule o vetor de aceleração dada a função de velocidade na notação vetorial unitária.
Descreva o movimento de uma partícula com aceleração constante em três dimensões.
Use as equações de movimento unidimensionais ao longo dos eixos perpendiculares para resolver um problema em duas ou três dimensões com uma aceleração constante.
Expresse a aceleração em notação vetorial unitária.

Aceleração instantânea

Além de obter os vetores de deslocamento e velocidade de um objeto em movimento, muitas vezes queremos conhecer seu vetor de aceleração a qualquer momento ao longo de sua trajetória. Esse vetor de aceleração é a aceleração instantânea e pode ser obtido a partir da derivada em relação ao tempo da função de velocidade, como vimos em um capítulo anterior. A única diferença em duas ou três dimensões é que agora são quantidades vetoriais. Tomando a derivada em relação ao tempo$\vec{v}$ (t), encontramos

\[\vec{a} (t) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\vec{v} (t + \Delta t) - \vec{v} (t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{v} (t)}{dt} \ldotp \label{4.8}\]

A aceleração em termos de componentes é

\[\vec{a} (t) = \frac{dv_{x} (t)}{dt}\; \hat{i} + \frac{dv_{y} (t)}{dt}\; \hat{j} + \frac{dv_{z} (t)}{dt}\; \hat{k} \ldotp \label{4.9}\]

Além disso, como a velocidade é a derivada da função de posição, podemos escrever a aceleração em termos da segunda derivada da função de posição:

\[\vec{a} (t) = \frac{d^{2} x(t)}{dt^{2}}\; \hat{i} + \frac{d^{2} y(t)}{dt^{2}}\; \hat{j} + \frac{d^{2} z(t)}{dt^{2}}\; \hat{k} \ldotp \label{4.10}\]

Exemplo 4.4: Encontrando um vetor de aceleração

Uma partícula tem uma velocidade de$\vec{v} (t) = 5.0t \hat{i} + t^2 \hat{j} − 2.0t^3 \hat{k}\, m/s$.

O que é a função de aceleração?
Qual é o vetor de aceleração em t = 2,0 s? Encontre sua magnitude e direção.

Solução

Tomamos a primeira derivada em relação ao tempo da função de velocidade para encontrar a aceleração. A derivada é obtida componente por componente:\[\vec{a} (t) = 5.0\; \hat{i} + 2.0t\; \hat{j} - 6.0t^{2}\; \hat{k}\; m/s^{2} \ldotp \nonumber\]
A avaliação nos$\vec{a} (2.0\; s) = 5.0 \hat{i} + 4.0 \hat{j} - 24.0 \hat{k} \, m/s^2$ dá a direção na notação vetorial unitária. A magnitude da aceleração é\[|\vec{a} (2.20\; s)| = \sqrt{5.0^{2} + 4.0^{2} + (-24.0)^{2}} = 24.8\; m/s^{2} \ldotp \nonumber\]

Significância

Neste exemplo, descobrimos que a aceleração depende do tempo e está mudando ao longo do movimento. Vamos considerar uma função de velocidade diferente para a partícula.

Exemplo 4.5: Encontrando uma aceleração de partículas

Uma partícula tem uma função de posição:$\vec{r} (t) = (10t − t^2) \hat{i} + 5t \hat{j} + 5t \hat{k} \,m$.

Qual é a velocidade?
O que é a aceleração?
Descreva o movimento de$t = 0\, s$.

Estratégia

Podemos obter algumas informações sobre o problema examinando a função de posição. É linear em y e z, então sabemos que a aceleração nessas direções é zero quando tomamos a segunda derivada. Além disso, observe que a posição na direção x é zero para t = 0 s e t = 10 s.

Solução

Tomando a derivada em relação ao tempo da função de posição, encontramos$\vec{v} (t) = (10 − 2t) \hat{i} + 5 \hat{j} + 5 \hat{k}\, m/s$. A função de velocidade é linear no tempo na direção x e é constante nas direções y e z.
Tomando a derivada da função de velocidade, descobrimos que\[\vec{a}(t) = −2\; \hat{i} \,m/s^{2} \ldotp \nonumber\] o vetor de aceleração é uma constante na direção x negativa.
A trajetória da partícula pode ser vista na Figura$\PageIndex{1}$. Vamos examinar primeiro as direções y e z. A posição da partícula aumenta constantemente em função do tempo com uma velocidade constante nessas direções. Na direção x, no entanto, a partícula segue um caminho em x positivo até t = 5 s, quando inverte a direção. Sabemos disso observando a função de velocidade, que se torna zero neste momento e negativa depois disso. Também sabemos disso porque a aceleração é negativa e constante, ou seja, a partícula está desacelerando ou acelerando na direção negativa. A posição da partícula chega a 25 m, onde ela então inverte a direção e começa a acelerar na direção x negativa. A posição chega a zero em t = 10 s.

Um sistema de coordenadas x y z é mostrado. Todos os eixos mostram a distância em metros e vão de -50 a 50 metros. Uma série de 10 pontos vermelhos é mostrada, com o sexto ponto rotulado como t = 6 s e o décimo como t = 10 s. A série vermelha de pontos começa na origem e se curva para cima (y e z aumentando com o tempo). Linhas tracejadas verticais conectam os pontos vermelhos a uma série de pontos azuis no plano x y. Os pontos azuis estão todos no primeiro quadrante (x e y positivos). Os pontos são regularmente espaçados ao longo da coordenada y, enquanto a coordenada x começa em 0, aumenta, atinge um máximo de x = 25 m em t = 5 e depois diminui de volta para x = 0 em t 10 s. — Figura$\PageIndex{1}$: A partícula começa no ponto (x, y, z) = (0, 0, 0) com vetor de posição$\vec{r}$ = 0. A projeção da trajetória no plano xy é mostrada. Os valores de y e z aumentam linearmente em função do tempo, enquanto x tem um ponto de virada em t = 5 s e 25 m, quando inverte a direção. Nesse ponto, o componente x da velocidade se torna negativo. Em t = 10 s, a partícula volta a 0 m na direção x.

Exercício 4.2

Suponha que a função de aceleração tenha a forma$\vec{a}$ (t) = a$\hat{i}$$\hat{j}$ + b + c$\hat{k}$ m/s ², onde a, b e c são constantes. O que se pode dizer sobre a forma funcional da função de velocidade?

Aceleração constante

O movimento multidimensional com aceleração constante pode ser tratado da mesma forma mostrada no capítulo anterior para movimentos unidimensionais. Anteriormente, mostramos que o movimento tridimensional é equivalente a três movimentos unidimensionais, cada um ao longo de um eixo perpendicular aos outros. Para desenvolver as equações relevantes em cada direção, vamos considerar o problema bidimensional de uma partícula se movendo no plano xy com aceleração constante, ignorando a componente z no momento. O vetor de aceleração é

\[\vec{a} = a_{0x}\; \hat{i} + a_{0y}\; \hat{j} \ldotp\]

Cada componente do movimento tem um conjunto separado de equações semelhante à Equação 3.10 — Equação 3.14 do capítulo anterior sobre movimento unidimensional. Mostramos apenas as equações de posição e velocidade nas direções x e y. Um conjunto similar de equações cinemáticas poderia ser escrito para movimento na direção z:

\[x(t) = x_{0} + (v_{x})_{avg} t \label{4.11}\]

\[v_{x}(t) = v_{0x} + a_{x}t \label{4.12}\]

\[x(t) = x_{0} + v_{0x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2} \label{4.13}\]

\[v_{x}^{2} (t) = v_{0x}^{2} + 2a_{x}(x − x_{0}) \label{4.14}\]

\[y(t) = y_{0} + (v_{y})_{avg} t \label{4.15}\]

\[v_{y}(t) = v_{0y} + a_{y} t \label{4.16}\]

\[y(t) = y_{0} + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} \label{4.17}\]

\[v_{y}^{2} (t) = v_{0y}^{2} + 2a_{y}(y − y_{0}) \ldotp \label{4.18}\]

Aqui, o índice 0 indica a posição ou velocidade inicial. A equação\ ref {4.11} a\ ref {4.18} pode ser substituída na Equação 4.2 e na Equação 4.5 sem o componente z para obter o vetor de posição e o vetor de velocidade em função do tempo em duas dimensões:

\[\vec{r} (t) = x(t)\; \hat{i} + y(t)\; \hat{j}\]

\[\vec{v} (t) = v_{x} (t)\; \hat{i} + v_{y} (t)\; \hat{j} \ldotp\]

O exemplo a seguir ilustra um uso prático das equações cinemáticas em duas dimensões.

Exemplo 4.6: Um esquiador

$\PageIndex{2}$A figura mostra um esquiador se movendo com uma aceleração de 2,1 m/s ² descendo uma inclinação de 15° em t = 0. Com a origem do sistema de coordenadas na frente do alojamento, sua posição inicial e velocidade são

\[\vec{r} (0) = (7.50\; \hat{i} - 50.0\; \hat{j}) m \nonumber\]

\[\vec{v} (0) = (4.1\; \hat{i} - 1.1\; \hat{j}) m/s \nonumber\]

Quais são os componentes x e y da posição e velocidade do esquiador em função do tempo?
Quais são a posição e a velocidade dela em t = 10,0 s?

É mostrada uma ilustração de um esquiador em um sistema de coordenadas x y. O esquiador está se movendo ao longo de uma linha que está 15 graus abaixo da direção horizontal x e tem uma aceleração de a = 2,1 metros por segundo quadrado também direcionada em sua direção de movimento. A aceleração é representada como uma seta roxa. — Figura$\PageIndex{2}$: Um esquiador tem uma aceleração de 2,1 m/s ² em uma inclinação de 15°. A origem do sistema de coordenadas está no alojamento de esqui.

Estratégia

Como estamos avaliando os componentes das equações de movimento nas direções x e y, precisamos encontrar os componentes da aceleração e colocá-los nas equações cinemáticas. Os componentes da aceleração são encontrados consultando o sistema de coordenadas na Figura$\PageIndex{2}$. Então, inserindo os componentes da posição inicial e da velocidade nas equações de movimento, podemos resolver sua posição e velocidade em um momento posterior t.

Solução

A origem do sistema de coordenadas está no topo da colina com o eixo y na vertical para cima e o eixo x na horizontal. Ao observar a trajetória do esquiador, o componente x da aceleração é positivo e o componente y é negativo. Como o ângulo é de 15° abaixo da inclinação, encontramos $$a_ {x} = (2.1\; m/s^ {2})\ cos (15^ {o}) = 2.0\; m/s^ {2} $$ $a_ {y} = (−2.1\; m/s^ {2})\ sin (15^ {o}) = −0,54\; m/s^ {2} ldotp$$ Inserindo a posição inicial e a velocidade nas Equações\ ref {4.12} e\ ref {4.13} para x, temos $$x (t) = 75,0\; m + (4.1\; m/s) t +\ frac {1 } {2} (2,0\; m/s^ {2}) t^ {2} $$$v_ {x} (t) = 4,1\; m/s + (2,0\; m/s^ {2}) t\ ldotp$$ Para y, temos $$y (t) = -50,0.0\; m + (-1,1\; m/s) t +\ frac {1} {2} (-1,1\; m/s) t +\ frac {1} {2} (0,54\; m/s^ {2}) t^ {2} $$ $v_ {y} (t) = -1,1\; m/s + (-0,54\; m/s^ {2}) t\ ldotp$$
Agora que temos as equações de movimento para x e y como funções do tempo, podemos calculá-las em t = 10,0 s: $$x (10,0\; s) = 75,0\; m + (4,1\; m/s) (10,0\; s) +\ frac {1} {2} (2.0\; m/s^ {2}) (10,0\; s) ^ {2} = 216,0\; m$$ $v_ {x} (10,0\; s) = 4,1\; m/s + (2,0\; m/s^ {2}) (10,0\; s) = 24,1\; m/s$$ $y (10,0) = -50,0.0\; m + (-1,1\; m/s) (10,0\; s) +\ frac {1} {2} (-0,54\; m/s^ {2}) (10,0\; s) ^ {2} $$ $v_ {y} (10,0\; s) = -1,1\; m/s + (-0,54\; m/s^ {2}) (10,0\; s)\ ldotp$$ A posição e a velocidade em t = 10,0 s são, finalmente, $$\ vec {r} (10,0\; s) = (216,0\;\ hat {i} - 88,0\;\ hat {j}) m$$\ vec {v} (10,0\; s) = (24.1\;\ hat {i} - 6,5\;\ hat {j} ) m/s\ ldotp$$ A magnitude da velocidade do esquiador a 10,0 s é 25 m/s, que é 60 mi/h.

Significância

É útil saber que, dadas as condições iniciais de posição, velocidade e aceleração de um objeto, podemos encontrar a posição, a velocidade e a aceleração em qualquer momento posterior.

Com Equations\ ref {4.8} -\ ref {4.10}, concluímos o conjunto de expressões para a posição, velocidade e aceleração de um objeto se movendo em duas ou três dimensões. Se as trajetórias dos objetos se parecerem com as “setas vermelhas” na imagem de abertura do capítulo, as expressões para posição, velocidade e aceleração podem ser bem complicadas. Nas seções a seguir, examinamos dois casos especiais de movimento em duas e três dimensões, observando o movimento do projétil e o movimento circular.

Simulação

Neste site da University of Colorado Boulder, você pode explorar a posição, a velocidade e a aceleração de uma joaninha com uma simulação interativa que permite alterar esses parâmetros.