2.9: Produtos de vetores (Parte 2)

Os produtos vetoriais de dois vetores (o produto cruzado)

A multiplicação vetorial de dois vetores produz um produto vetorial.

Produto vetorial (produto cruzado)

O produto vetorial de dois vetores\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) é indicado por\(\vec{A}\) ×\(\vec{B}\) e é frequentemente chamado de produto cruzado. O produto vetorial é um vetor que tem sua direção perpendicular a ambos os vetores\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) e. Em outras palavras, o vetor\(\vec{A}\) ×\(\vec{B}\) é perpendicular ao plano que contém vetores\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\), conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\). A magnitude do produto vetorial é definida como

\[ |\vec{A} × \vec{B}| = AB \sin \varphi, \label{2.35} \]

onde o ângulo\(\varphi\), entre os dois vetores, é medido de vetor\(\vec{A}\) (primeiro vetor no produto) para vetor\(\vec{B}\) (segundo vetor no produto), conforme indicado na Figura\(\PageIndex{1}\), e está entre 0° e 180°.

De acordo com a Equação\ ref {2.35}, o produto vetorial desaparece para pares de vetores que são paralelos (\(\varphi\)= 0°) ou antiparalelos (\(\varphi\)= 180°) porque sin 0° = sin 180° = 0.

Figura\(\PageIndex{1}\): O produto vetorial de dois vetores é desenhado no espaço tridimensional. (a) O produto vetorial\(\vec{A} \times \vec{B}\) é um vetor perpendicular ao plano que contém vetores\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) e. Pequenos quadrados desenhados em perspectiva marcam ângulos retos entre\(\vec{A}\) e\(\vec{C}\), e entre\(\vec{B}\) e de\(\vec{C}\) forma que, se\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\) estiverem no chão, o vetor\(\vec{B}\) aponta verticalmente para cima até o teto. (b) O produto vetorial\(\vec{B} \times \vec{A}\) é um vetor antiparalelo ao vetor\(\vec{A} \times \vec{B}\).

Na linha perpendicular ao plano que contém vetores\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\) há duas direções alternativas — para cima ou para baixo, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\) — e a direção do produto vetorial pode ser qualquer uma delas. Na orientação padrão para a direita, onde o ângulo entre os vetores é medido no sentido anti-horário a partir do primeiro vetor, o vetor\(\vec{A} \times \vec{B}\) aponta para cima, como visto na Figura\(\PageIndex{1}\) (a). Se invertermos a ordem da multiplicação, de forma que agora\(\vec{B}\) vem em primeiro lugar no produto, então o vetor\(\vec{B} \times \vec{A}\) deve apontar para baixo, como visto na Figura\(\PageIndex{1}\) (b). Isso significa que os vetores\(\vec{A} \times \vec{B}\)\(\vec{B} \times \vec{A}\) são antiparalelos entre si e que a multiplicação vetorial não é comutativa, mas anticomutativa. A propriedade anticomutativa significa que o produto vetorial inverte o sinal quando a ordem de multiplicação é invertida:

\[\vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A} \ldotp \label{2.36}\]

A régua da mão direita do saca-rolhas é um mnemônico comum usado para determinar a direção do produto vetorial. Conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\), um saca-rolhas é colocado em uma direção perpendicular ao plano que contém vetores\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\), e sua alça é girada na direção do primeiro para o segundo vetor no produto. A direção do produto cruzado é dada pela progressão do saca-rolhas.

Figura\(\PageIndex{2}\): A régua do lado direito do saca-rolhas pode ser usada para determinar a direção do produto transversal\(\vec{A} \times \vec{B}\). Coloque um saca-rolhas na direção perpendicular ao plano que contém os vetores\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\) gire-o na direção do primeiro para o segundo vetor no produto. A direção do produto cruzado é dada pela progressão do saca-rolhas. (a) Movimento ascendente significa que o vetor do produto cruzado aponta para cima. (b) Movimento descendente significa que o vetor do produto cruzado aponta para baixo.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): The Torque of a Force

A vantagem mecânica que uma ferramenta familiar chamada chave oferece (Figura\(\PageIndex{3}\)) depende da magnitude F da força aplicada, de sua direção em relação à alça da chave e da distância da porca que essa força é aplicada. A distância R da porca até o ponto em que o vetor de força\(\vec{F}\) está conectado é chamada de braço da alavanca e é representada pelo vetor radial\(\vec{R}\). A quantidade vetorial física que faz a porca girar é chamada de torque (indicado por\(\vec{\tau}\)) e é o produto vetorial do braço da alavanca com a força:\(\vec{\tau} = \vec{R} \times \vec{F}\).

Para soltar uma porca enferrujada, uma força de 20,00-N é aplicada na alça da chave em ângulo\(\varphi\) = 40° e a uma distância de 0,25 m da porca, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\) (a). Encontre a magnitude e a direção do torque aplicado à porca. Qual seria a magnitude e a direção do torque se a força fosse aplicada em ângulo\(\varphi\) = 45°, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\) (b)? Para qual valor de ângulo\(\varphi\) o torque tem a maior magnitude?

Figura\(\PageIndex{3}\): Uma chave oferece aderência e vantagem mecânica na aplicação de torque para girar uma porca. (a) Gire no sentido anti-horário para soltar a porca. (b) Gire no sentido horário para apertar a porca.

Estratégia

Adotamos o quadro de referência mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\), onde os vetores\(\vec{R}\)\(\vec{F}\) estão no plano xy e a origem está na posição da porca. A direção radial ao longo do vetor\(\vec{R}\) (apontando para longe da origem) é a direção de referência para medir o ângulo\(\varphi\) porque\(\vec{R}\) é o primeiro vetor no produto vetorial\(\vec{\tau}\) =\(\vec{R} \times \vec{F}\). O vetor\(\vec{\tau}\) deve estar ao longo do eixo z porque esse é o eixo perpendicular ao plano xy, onde ambos\(\vec{R}\)\(\vec{F}\) estão. Para calcular a magnitude\(\tau\), usamos a Equação\ ref {2.35}. Para encontrar a direção de\(\vec{\tau}\), usamos a régua do lado direito do saca-rolhas (Figura\(\PageIndex{2}\)).

Solução

Para a situação em (a), a régua do saca-rolhas fornece a direção de\(\vec{R} \times \vec{F}\) na direção positiva do eixo z. Fisicamente, isso significa que o vetor de torque\(\vec{\tau}\) aponta para fora da página, perpendicularmente à alça da chave. Identificamos F = 20,00 N e R = 0,25 m e calculamos a magnitude usando a Equação\ ref {2.35}:

\[\tau = |\vec{R} \times \vec{F}| = RF \sin \varphi = (0.25\; m)(20.00\; N) \sin 40^{o} = 3.21\; N \cdotp m \ldotp\]

Para a situação em (b), a régua do saca-rolhas fornece a direção de\(\vec{R} \times \vec{F}\) na direção negativa do eixo z. Fisicamente, significa que o vetor\(\vec{\tau}\) aponta para a página, perpendicularmente à alça da chave inglesa. A magnitude desse torque é

\[\tau = |\vec{R} \times \vec{F}| = RF \sin \varphi = (0.25\; m)(20.00\; N) \sin 45^{o} = 3.53\; N \cdotp m \ldotp\]

O torque tem o maior valor quando sin\(\varphi\) = 1, o que acontece quando\(\varphi\) = 90°. Fisicamente, isso significa que a chave é mais eficaz — nos dando a melhor vantagem mecânica — quando aplicamos a força perpendicular à alça da chave. Para a situação neste exemplo, esse melhor valor de torque é\(\tau_{best}\) = RF = (0,25 m) (20,00 N) = 5,00 N • m.

Significância

Ao resolver problemas mecânicos, geralmente não precisamos usar a regra do saca-rolhas, como veremos agora na seguinte solução equivalente. Observe que, depois de identificarmos que o vetor\(\vec{R} \times \vec{F}\) está ao longo do eixo z, podemos escrever esse vetor em termos do vetor unitário\(\hat{k}\) do eixo z:

\[\vec{R} \times \vec{F} = RF \sin \varphi \hat{k} \ldotp\]

Nessa equação, o número que se multiplica\(\hat{k}\) é o componente z escalar do vetor\(\vec{R} \times \vec{F}\). No cálculo desse componente, deve-se ter cuidado para que o ângulo\(\varphi\) seja medido no sentido anti-horário de\(\vec{R}\) (primeiro vetor) a\(\vec{F}\) (segundo vetor) Seguindo este princípio para os ângulos, obtemos RF sin (+ 40°) = + 3,2 N • m para a situação em (a), e obtemos RF sin (−45°) = −3 .5 N • m para a situação em (b). No último caso, o ângulo é negativo porque o gráfico na Figura\(\PageIndex{3}\) indica que o ângulo é medido no sentido horário; mas o mesmo resultado é obtido quando esse ângulo é medido no sentido anti-horário porque + (360° − 45°) = + 315° e sin (+ 315°) = sin (−45°). Dessa forma, obtemos a solução sem referência à régua do saca-rolhas. Para a situação em (a), a solução é\(\vec{R} \times \vec{F}\) = + 3,2 N • m\(\hat{k}\); para a situação em (b), a solução é\(\vec{R} \times \vec{F}\) = −3,5 N •\(\hat{k}\) m.

Exercício 2.15

Para os vetores dados na Figura 2.3.6, encontre os produtos vetoriais\(\vec{A} \times \vec{B}\)\(\vec{C} \times \vec{F}\) e.

Semelhante ao produto escalar (Equação 2.8.10), o produto cruzado tem a seguinte propriedade distributiva:

\[\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C} \ldotp \label{2.37}\]

A propriedade distributiva é aplicada com frequência quando os vetores são expressos em suas formas de componentes, em termos de vetores unitários de eixos cartesianos. Quando aplicamos a definição do produto cruzado, Equação\ ref {2.35}, a vetores unitários\(\hat{i}\)\(\hat{j}\), e\(\hat{k}\) que definem as direções positivas x, y e z no espaço, descobrimos que

\[\hat{i} \times \hat{i} = \hat{j} \times \hat{j} = \hat{k} \times \hat{k} = 0 \ldotp \label{2.38}\]

Todos os outros produtos cruzados desses três vetores unitários devem ser vetores de magnitudes unitárias porque\(\hat{i}\)\(\hat{j}\), e\(\hat{k}\) são ortogonais. Por exemplo, para o par\(\hat{i}\) e\(\hat{j}\), a magnitude é |\(\hat{i} \times \hat{j}\) | = ij sin 90° = (1) (1) (1) = 1. A direção do produto vetorial\(\hat{i} \times \hat{j}\) deve ser ortogonal ao plano xy, o que significa que ele deve estar ao longo do eixo z. Os únicos vetores unitários ao longo do eixo z são −\(\hat{k}\) ou +\(\hat{k}\). Pela regra do saca-rolhas, a direção do vetor\(\hat{i} \times \hat{j}\) deve ser paralela ao eixo z positivo. Portanto, o resultado da multiplicação\(\hat{i} \times \hat{j}\) é idêntico a +\(\hat{k}\). Podemos repetir um raciocínio semelhante para os pares restantes de vetores unitários. Os resultados dessas multiplicações são

\[\begin{cases} \hat{i} \times \hat{j} = + \hat{k}, \\ \hat{j} \times \hat{k} = + \hat{i}, \\ \hat{k} \times \hat{i} = + \hat{j} \ldotp \end{cases} \label{2.39}\]

Observe que na Equação\ ref {2.39}, os três vetores\(\hat{i}\) unitários\(\hat{k}\) aparecem na ordem cíclica mostrada em um diagrama na Figura\(\PageIndex{4}\) (a).\(\hat{j}\) A ordem cíclica significa que, na fórmula do produto,\(\hat{i}\) segue\(\hat{k}\) e vem antes\(\hat{j}\), ou\(\hat{k}\) segue\(\hat{j}\) e vem antes\(\hat{i}\), ou\(\hat{j}\) segue\(\hat{i}\) e vem antes\(\hat{k}\). O produto cruzado de dois vetores unitários diferentes é sempre um terceiro vetor unitário. Quando dois vetores unitários no produto cruzado aparecem na ordem cíclica, o resultado dessa multiplicação é o vetor unitário restante, conforme ilustrado na Figura\(\PageIndex{4}\) (b). Quando os vetores unitários no produto cruzado aparecem em uma ordem diferente, o resultado é um vetor unitário que é antiparalelo ao vetor unitário restante (ou seja, o resultado está com o sinal de menos, conforme mostrado pelos exemplos na Figura\(\PageIndex{4}\) (c) e na Figura\(\PageIndex{4}\) (d). Na prática, quando a tarefa é encontrar produtos cruzados de vetores que são dados na forma de componentes vetoriais, essa regra para a multiplicação cruzada de vetores unitários é muito útil.

Figura\(\PageIndex{4}\): (a) O diagrama da ordem cíclica dos vetores unitários dos eixos. (b) Os únicos produtos cruzados em que os vetores unitários aparecem na ordem cíclica. Esses produtos têm o sinal positivo. (c, d) Dois exemplos de produtos cruzados em que os vetores unitários não aparecem na ordem cíclica. Esses produtos têm o sinal negativo.

Suponha que desejemos encontrar o produto cruzado\(\vec{A} \times \vec{B}\) para vetores\(\vec{A}\) = A _x\(\hat{i}\) + A _y\(\hat{j}\) + A _z\(\hat{k}\) e\(\vec{B}\) = B _x\(\hat{i}\) + B _y\(\hat{j}\) + B _{\(\hat{k}\)z.} Podemos usar a propriedade distributiva (Equação\ ref {2.37}), a propriedade anticomutativa (Equação\ ref {2.36}) e os resultados na Equação\ ref {2.38} e na Equação\ ref {2.39} para vetores unitários para realizar a seguinte álgebra:

\[\begin{split} \vec{A} \times \vec{B} & = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}) \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}\; \hat{i} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) + A_{y}\; \hat{j} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) + A_{z}\; \hat{k} \times (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}B_{x}\; \hat{i} \times \hat{i} + A_{x}B_{y}\; \hat{i} \times \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{i} \times \hat{k} \\ & + A_{y}B_{x}\; \hat{j} \times \hat{i} + A_{y}B_{y}\; \hat{j} \times \hat{j} + A_{y}B_{z}\; \hat{j} \times \hat{k} \\ & + A_{z}B_{x}\; \hat{k} \times \hat{i} + A_{z}B_{y}\; \hat{k} \times \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{k} \times \hat{k} \\ & = A_{x}B_{x}(0) + A_{x}B_{y}(+\hat{k}) + A_{x}B_{z}(-\hat{j}) \\ & + A_{y}B_{x}(-\hat{k}) + A_{y}B_{y}(0) + A_{y}B_{z}(+\hat{i}) \\ & + A_{z}B_{x}(+\hat{j}) + A_{z}B_{y}(- \hat{i}) + A_{z}B_{z}(0) \ldotp \end{split}\]

Ao realizar operações algébricas envolvendo o produto cruzado, tenha muito cuidado ao manter a ordem correta de multiplicação, pois o produto cruzado é anticomutativo. As duas últimas etapas que ainda precisamos executar para concluir nossa tarefa são, primeiro, agrupar os termos que contêm um vetor unitário comum e, segundo, fatorar. Dessa forma, obtemos a seguinte expressão muito útil para o cálculo do produto cruzado:

\[\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} = (A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y})\; \hat{i} + (A_{z}B_{x} - A_{x}B_{z})\; \hat{j} + (A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x})\; \hat{k} \ldotp \label{2.40}\]

Nessa expressão, os componentes escalares do vetor de produtos cruzados são

\[\begin{cases} C_{x} = A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y}, \\ C_{y} = A_{z}B_{x} - A_{x}B_{z}, \\ C_{z} = A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x} \ldotp \end{cases} \label{2.41}\]

Ao encontrar o produto cruzado, na prática, podemos usar a Equação\ ref {2.35} ou a Equação\ ref {2.40}, dependendo de qual delas parece ser menos complexa computacionalmente. Ambos levam ao mesmo resultado final. Uma forma de garantir que o resultado final esteja correto é usar os dois.

Exemplo\(\PageIndex{2}\): A Particle in a Magnetic Field

Ao se mover em um campo magnético, algumas partículas podem sofrer uma força magnética. Sem entrar em detalhes — um estudo detalhado dos fenômenos magnéticos vem em capítulos posteriores —, vamos reconhecer que o campo magnético\(\vec{B}\) é um vetor, a força magnética\(\vec{F}\) é um vetor e a velocidade\(\vec{u}\) da partícula é um vetor. O vetor de força magnética é proporcional ao produto vetorial do vetor de velocidade com o vetor de campo magnético, que expressamos como\(\vec{F}\) =\(\zeta \vec{u} \times \vec{B}\). Nessa equação, uma constante\(\zeta\) cuida da consistência em unidades físicas, para que possamos omitir unidades físicas em vetores\(\vec{u}\)\(\vec{B}\) e. Neste exemplo, vamos supor que a constante\(\zeta\) seja positiva. Uma partícula que se move no espaço com vetor de velocidade\(\vec{u}\) = −5,0\(\hat{i}\) − 2,0\(\hat{j}\) + 3,5\(\hat{k}\) entra em uma região com um campo magnético e experimenta uma força magnética. Encontre a força\(\vec{F}\) magnética nessa partícula no ponto de entrada da região onde o vetor do campo magnético é (a)\(\vec{B}\) = 7,2\(\hat{i}\) −\(\hat{j}\) − 2,4\(\hat{k}\) e (b)\(\vec{B}\) = 4,5\(\hat{k}\). Em cada caso, encontre a magnitude F da força magnética e do ângulo que\(\theta\) o vetor de força\(\vec{F}\) faz com o vetor de campo magnético fornecido\(\vec{B}\).

Estratégia

Primeiro, queremos encontrar o produto vetorial\(\vec{u} \times \vec{B}\), porque então podemos determinar a força magnética usando\(\vec{F}\) =\(\zeta \vec{u} \times \vec{B}\). A magnitude F pode ser encontrada usando componentes, F =\(\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}\), ou calculando a magnitude |\(\vec{u} \times \vec{B}\) | diretamente usando a Equação\ ref {2.35}. Na última abordagem, teríamos que encontrar o ângulo entre os vetores\(\vec{u}\)\(\vec{B}\) e. Quando temos\(\vec{F}\), o método geral para encontrar o ângulo de direção\(\theta\) envolve o cálculo do produto escalar\(\vec{F} \cdotp \vec{B}\) e a substituição na Equação 2.8.13. Para calcular o produto vetorial, podemos usar Equation\ ref {2.40} ou computar o produto diretamente, da maneira que for mais simples.

Solução

Os componentes do vetor de velocidade são u _x = −5,0, u _y = −2,0 e u _z = 3,5. (a) Os componentes do vetor do campo magnético são B _x = 7,2, B _y = −1,0 e B _z = −2,4. Substituí-los na Equação\ ref {2.41} fornece os componentes escalares do vetor\(\vec{F} = \zeta \vec{u} \times \vec{B}\):

\[\begin{cases} F_{x} = \zeta (u_{y}B_{z} - u_{z}B_{y}) = \zeta [(-2.0)(-2.4) - (3.5)(-1.0)] = 8.3 \zeta \\ F_{y} = \zeta (u_{z}B_{x} - u_{x}B_{z}) = \zeta [(3.5)(7.2) - (-5.0)(-2.4)] = 13.2 \zeta \\ F_{z} = \zeta (u_{x}B_{y} - u_{y}B_{x}) = \zeta [(-5.0)(-1.0) - (-2.0)(7.2)] = 19.4 \zeta \end{cases}\]

Assim, a força magnética é\(\vec{F}\) =\(\zeta\) (8,3\(\hat{i}\) + 13,2\(\hat{j}\) + 19,4\(\hat{k}\)) e sua magnitude é

\[F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}} = \zeta \sqrt{(8.3)^{2} + (13.2)^{2} + (19.4)^{2}} = 24.9 \zeta \ldotp\]

Para calcular o ângulo\(\theta\), talvez precisemos encontrar a magnitude do vetor do campo magnético

\[B = \sqrt{B_{x}^{2} + B_{y}^{2} + B_{z}^{2}} = \sqrt{(7.2)^{2} + (-1.0)^{2} + (-2.4)^{2}} = 7.6,\]

e o produto escalar\(\vec{F} \cdotp \vec{B}\):

\[\vec{F} \cdotp \vec{B} = F_{x}B_{x} + F_{y}B_{y} + F_{z}B_{z} = (8.3 \zeta)(7.2) + (13.2 \zeta)(-1.0) + (19.4 \zeta)(-2.4) = \ldotp\]

Agora, substituindo na Equação 2.8.13, obtém-se o ângulo\(\theta\):

\[\cos \theta = \frac{\vec{F} \cdotp \vec{B}}{FB} = \frac{0}{(18.2 \zeta)(7.6)} = 0 \Rightarrow \theta = 90^{o} \ldotp\]

Portanto, o vetor de força magnética é perpendicular ao vetor do campo magnético. (Poderíamos ter economizado algum tempo se tivéssemos computado o produto escalar anteriormente.)

(b) Como vetor\(\vec{B}\) = 4,5\(\hat{k}\) tem apenas um componente, podemos realizar a álgebra rapidamente e encontrar o produto vetorial diretamente:

\[\begin{split} \vec{F} & = \zeta \vec{u} \times \vec{B} = \zeta (-5.0 \hat{i} - 2.0 \hat{j} + 3.5 \hat{k}) \times (4.5 \hat{k}) \\ & = \zeta [(-5.0)(4.5) \hat{i} \times \hat{k} + (-2.0)(4.5) \hat{j} \times \hat{k} + (3.5)(4.5) \hat{k} \times \hat{k}] \\ & = \zeta [-22.5 (- \hat{j}) - 9.0 (+ \hat{i}) + 0] = \zeta (-9.0 \hat{i} + 22.5 \hat{j}) \ldotp \end{split}\]

A magnitude da força magnética é

\[F = \sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}} = \zeta \sqrt{(-9.0)^{2} + (22.5)^{2} + (0.0)^{2}} = 24.2 \zeta \ldotp\]

Porque o produto escalar é

\[\vec{F} \cdotp \vec{B} = F_{x}B_{x} + F_{y}B_{y} + F_{z}B_{z} = (-9.0 \zeta)(90) + (22.5 \zeta)(0) + (0)(4.5) = 0,\]

o vetor de força magnética\(\vec{F}\) é perpendicular ao vetor do campo magnético\(\vec{B}\).

Significância

Mesmo sem realmente calcular o produto escalar, podemos prever que o vetor de força magnética deve estar sempre perpendicular ao vetor do campo magnético devido à forma como esse vetor é construído. Ou seja, o vetor de força magnética é o produto vetorial\(\vec{F}\) =\(\zeta \vec{u} \times \vec{B}\) e, pela definição do produto vetorial (veja a Figura\(\PageIndex{1}\)), o vetor\(\vec{F}\) deve ser perpendicular a ambos os vetores\(\vec{u}\)\(\vec{B}\) e.

Exercício 2.16

Dados dois vetores\(\vec{A} = - \hat{i} + \hat{j}\) e\(\vec{B}\) = 3\(\hat{i}\) −\(\hat{j}\), encontre (a)\(\vec{A} \times \vec{B}\), (b)\(\vec{A} \times (\vec{B}\) | |, (c) o ângulo entre\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\) e (d) o ângulo entre\(\vec{A} \times \vec{B}\) um vetor\(\vec{C} = \hat{i} + \hat{k}\).

Concluindo esta seção, queremos enfatizar que “produto escalar” e “produto cruzado” são objetos matemáticos totalmente diferentes que têm significados diferentes. O produto escalar é um escalar; o produto cruzado é um vetor. Os capítulos posteriores usam os termos produto escalar e produto escalar de forma intercambiável. Da mesma forma, os termos produto cruzado e produto vetorial são usados de forma intercambiável.

Colaboradores

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