2.8: Produtos de vetores (Parte 1)
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- Explique a diferença entre o produto escalar e o produto vetorial de dois vetores.
- Determine o produto escalar de dois vetores.
- Determine o produto vetorial de dois vetores.
- Descreva como os produtos dos vetores são usados na física.
Um vetor pode ser multiplicado por outro vetor, mas não pode ser dividido por outro vetor. Existem dois tipos de produtos de vetores usados amplamente em física e engenharia. Um tipo de multiplicação é uma multiplicação escalar de dois vetores. Tomar um produto escalar de dois vetores resulta em um número (um escalar), como o nome indica. Os produtos escalares são usados para definir as relações de trabalho e energia. Por exemplo, o trabalho que uma força (um vetor) realiza em um objeto enquanto causa seu deslocamento (um vetor) é definido como um produto escalar do vetor de força com o vetor de deslocamento. Um tipo bem diferente de multiplicação é uma multiplicação vetorial de vetores. A obtenção de um produto vetorial de dois vetores retorna como resultado um vetor, como o nome sugere. Os produtos vetoriais são usados para definir outras quantidades vetoriais derivadas. Por exemplo, ao descrever rotações, uma grandeza vetorial chamada torque é definida como um produto vetorial de uma força aplicada (um vetor) e seu braço de alavanca (um vetor). É importante distinguir entre esses dois tipos de multiplicações vetoriais porque o produto escalar é uma quantidade escalar e um produto vetorial é uma quantidade vetorial.
O produto escalar de dois vetores (o produto escalar)
A multiplicação escalar de dois vetores produz um produto escalar.
O produto escalar\(\vec{A}\; \cdotp \vec{B}\) de dois vetores\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\) é um número definido pela equação
\[ \vec{A}\; \cdotp \vec{B} = AB \cos \varphi, \label{2.27}\]
onde\(\phi\) está o ângulo entre os vetores (mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\)). O produto escalar também é chamado de produto escalar devido à notação de pontos que o indica.
Na definição do produto escalar, a direção do ângulo\(\varphi\) não importa e\(\varphi\) pode ser medida de um dos dois vetores para o outro porque\(\cos \varphi\) =\(\cos (−\varphi)\) =\(cos (2 \pi − \varphi)\). O produto escalar é um número negativo quando 90° <\(\varphi\) ≤ 180° e é um número positivo quando 0° ≤\(\phi\) < 90°. Além disso, o produto escalar de dois vetores paralelos é\(\vec{A} \cdotp \vec{B}\) = AB cos 0° = AB, e o produto escalar de dois vetores antiparalelos é\(\vec{A}\; \cdotp \vec{B}\) = AB cos 180° = −AB. O produto escalar de dois vetores ortogonais desaparece:\(\vec{A}\; \cdotp \vec{B}\) = AB cos 90° = 0. O produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado de sua magnitude:
\[\vec{A}^{2} \equiv \vec{A}\; \cdotp \vec{A} = AA \cos 0^{o} = A^{2} \label{2.28}\]
Para os vetores mostrados na Figura 2.3.6, encontre o produto escalar\(\vec{A}\; \cdotp \vec{F}\).
Estratégia
Da Figura 2.3.6, as magnitudes dos vetores\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\) são A = 10,0 e F = 20,0. O ângulo\(\theta\), entre eles, é a diferença:\(\theta = \varphi - \alpha\) = 110° − 35° = 75°. Substituir esses valores na Equação\ ref {2.27} fornece o produto escalar.
Solução
Um cálculo simples nos dá
\[\vec{A}\; \cdotp \vec{F} = AF \cos \theta = (10.0)(20.0) \cos 75^{o} = 51.76 \ldotp\]
Para os vetores dados na Figura 2.3.6, encontre os produtos escalares\(\vec{A}\; \cdotp \vec{B}\)\(\vec{B}\; \cdotp \vec{C}\) e.
No sistema de coordenadas cartesiano, os produtos escalares do vetor unitário de um eixo com outros vetores unitários de eixos sempre desaparecem porque esses vetores unitários são ortogonais:
\[\hat{i}\; \cdotp\; \hat{j} = |\hat{i}||\hat{j}| \cos 90^{o} = (1)(1)(0) = 0, \label{2.29}\]
\[\hat{i}\; \cdotp\; \hat{k} = |\hat{i}||\hat{k}| \cos 90^{o} = (1)(1)(0) = 0,\]
\[\hat{k} \cdotp\; \hat{j} = |\hat{k}||\hat{j}| \cos 90^{o} = (1)(1)(0) = 0 \ldotp\]
Nessas equações, usamos o fato de que as magnitudes de todos os vetores unitários são um:\(|\hat{i}| = |\hat{j}| = |\hat{k}|\) = 1. Para vetores unitários dos eixos, a Equação\ ref {2.28} fornece as seguintes identidades:
\[\hat{i}\; \cdotp\; \hat{i} = i^{2} = \hat{j}\; \cdotp\; \hat{j} = j^{2} = \hat{k}\; \cdotp\; \hat{k} = 1 \ldotp \label{2.30}\]
O produto escalar também\(\vec{A}\; \cdotp \vec{B}\) pode ser interpretado como o produto de B com a projeção A\(_{\parallel}\) do vetor\(\vec{A}\) na direção do vetor\(\vec{B}\) (Figura\(\PageIndex{1}\) (b)) ou o produto de A com a projeção B\(_{\parallel}\) do vetor\(\vec{B}\) na direção do vetor \(\vec{A}\)(Figura\(\PageIndex{1}\) (c)):
\[\begin{split} \vec{A}\; \cdotp \vec{B} & = AB \cos \varphi \\ & = B(A \cos \varphi) = BA_{\parallel} \\ & = A(B \cos \varphi) = AB_{\parallel} \ldotp \end{split}\]
Por exemplo, no sistema de coordenadas retangulares em um plano, o componente x escalar de um vetor é seu produto escalar com o vetor unitário\(\hat{i}\), e o componente y escalar de um vetor é seu produto escalar com o vetor unitário\(\hat{j}\):
\[ \begin{cases} \vec{A}\; \cdotp\; \hat{i} = |\vec{A}||\hat{i}| \cos \theta_{A} = A \cos \theta_{A} = A \cos \theta_{A} = A_{x} \\ \vec{A}\; \cdotp\; \hat{j} = |\vec{A}||\hat{j}| \cos (90^{o} - \theta_{A}) = A \sin \theta_{A} = A_{y} \end{cases}\]
A multiplicação escalar de vetores é comuntativa,
\[\vec{A}\; \cdotp \vec{B} = \vec{B}\; \cdotp \vec{A}, \label{2.31}\]
\[\vec{A}\; \cdotp (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A}\; \cdotp \vec{B} + \vec{A}\; \cdotp \vec{C} \ldotp \label{2.32}\]
Podemos usar as leis comutativas e distributivas para derivar várias relações para vetores, como expressar o produto escalar de dois vetores em termos de seus componentes escalares.
Para vetor\(\vec{A} = A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}\) em um sistema de coordenadas retangulares, use Equation\ ref {2.29} até Equation\ ref {2.32} para mostrar que\(\vec{A}\; \cdotp \hat{i} = A_{x} \vec{A}\; \cdotp\; \hat{j} = A_{y}\)\(\vec{A}\; \cdotp\; \hat{k} = A_{z}\) e.
Quando os vetores na Equação\ ref {2.27} são dados em suas formas de componentes vetoriais,
\[\vec{A} = A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}\; and \vec{B} = B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k},\]
podemos calcular seu produto escalar da seguinte forma:
\[\begin{split} \vec{A}\; \cdotp \vec{B} & = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k})\; \cdotp (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) \\ & = A_{x}B_{x}\; \hat{i}\; \cdotp\; \hat{i} + A_{x}B_{y}\; \hat{i}\; \cdotp\; \hat{j} + A_{x}B_{z}\; \hat{i}\; \cdotp\; \hat{k} \\ & + A_{y}B_{x}\; \hat{j} \cdotp\; \hat{i} + A_{y}B_{y}\; \hat{j}\; \cdotp\; \hat{j} + A_{y}B_{z}\; \hat{j} \cdotp\; \hat{k} \\ & + A_{z}B_{x}\; \hat{k}\; \cdotp\; \hat{i} + A_{z}B_{y}\; \hat{k}\; \cdotp\; \hat{j} + A_{z}B_{z}\; \hat{k}\; \cdotp\; \hat{k} \ldotp \end{split}\]
Como os produtos escalares de dois vetores unitários diferentes de eixos fornecem zero, e os produtos escalares de vetores unitários com eles mesmos fornecem um (veja Equação\ ref {2.29} e Equação\ ref {2.30}), existem apenas três termos diferentes de zero nessa expressão. Assim, o produto escalar simplifica para
\[\vec{A}\; \cdotp \vec{B} = A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} + A_{z}B_{z} \ldotp \label{2.33}\]
Podemos usar a Equação\ ref {2.33} para o produto escalar em termos de componentes escalares de vetores para encontrar o ângulo entre dois vetores. Quando dividimos a Equação\ ref {2.27} por AB, obtemos a equação para cos\(\varphi\), na qual substituímos a Equação\ ref {2.33}:
\[\cos \varphi = \frac{\vec{A}\; \cdotp \vec{B}}{AB} = \frac{A_{x}B_{x} + A_{y}B_{y} + A_{z}B_{z}}{AB} \ldotp \label{2.34}\]
Ângulo\(\varphi\) entre vetores\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\) é obtido tomando o cosseno inverso da expressão na Equação\ ref {2.34}.
Três cães estão puxando um bastão em direções diferentes, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\). O primeiro cão puxa com força\(\vec{F}_{1}\) = (10,0\(\hat{i}\) − 20,4\(\hat{j}\) + 2,0\(\hat{k}\)) N, o segundo cão puxa com força\(\vec{F}_{2}\) = (−15,0\(\hat{i}\) − 6,2\(\hat{k}\)) N e o terceiro cão puxa com força\(\vec{F}_{3}\) = (5,0\(\hat{i}\) + 12,5\(\hat{j}\)) N. Qual é o ângulo entre forças\(\vec{F}_{1}\) e\(\vec{F}_{2}\)?
Estratégia
Os componentes do vetor de força\(\vec{F}_{1}\) são F 1x = 10,0 N, F 1y = −20,4 N e F 1z = 2,0 N, enquanto os do vetor de força\(\vec{F}_{2}\) são F 2x = −15,0 N, F 2y = 0,0 N e F 2z = −6,2 N. Computando o produto escalar desses vetores e suas magnitudes, e substituindo pela Equação\ ref {2.34} fornece o ângulo de interesse.
Solução
As magnitudes das forças\(\vec{F}_{1}\) e\(\vec{F}_{2}\) são
\[F_{1} = \sqrt{F_{1x}^{2} + F_{1y}^{2} + F_{1z}^{2}} = \sqrt{10.0^{2} + 20.4^{2} + 2.0^{2}}N = 22.8\; N\]
e
\[F_{2} = \sqrt{F_{2x}^{2} + F_{2y}^{2} + F_{2z}^{2}} = \sqrt{15.0^{2} + 6.2^{2}}N = 16.2\; N \ldotp\]
Substituir os componentes escalares na Equação\ ref {2.33} produz o produto escalar
\[\begin{split} \vec{F}_{1}\; \cdotp \vec{F}_{2} & = F_{1x}F_{2x} + F_{1y}F_{2y} + F_{1z}F_{2z} \\ & = (10.0\; N)(-15.0\; N) + (-20.4\; N)(0.0\; N) + (2.0\; N)(-6.2\; N) \\ & = -162.4\; N^{2} \ldotp \end{split}\]
Finalmente, substituir tudo na Equação\ ref {2.34} fornece o ângulo
\[\cos \varphi = \frac{\vec{F}_{1}\; \cdotp \vec{F}_{2}}{F_{1}F_{2}} = \frac{-162.4\; N^{2}}{(22.8\; N)(16.2\; N)} = -0.439 \Rightarrow \varphi = \cos^{-1} (-0.439) = 116.0^{o} \ldotp\]
Significância
Observe que quando os vetores são dados em termos dos vetores unitários dos eixos, podemos encontrar o ângulo entre eles sem conhecer os detalhes sobre as direções geográficas que os vetores unitários representam. Aqui, por exemplo, a direção+x pode estar para o leste e a direção+y pode estar para o norte. Mas o ângulo entre as forças no problema é o mesmo se a direção+x estiver para o oeste e a direção+y estiver para o sul.
Encontre o ângulo entre as forças\(\vec{F}_{1}\) e\(\vec{F}_{3}\) no Exemplo\(\PageIndex{2}\).
Quando a força\(\vec{F}\) puxa um objeto e causa seu deslocamento\(\vec{D}\), dizemos que a força executa o trabalho. A quantidade de trabalho que a força faz é o produto escalar\(\vec{F}\; \cdotp \vec{D}\). Se o bastão em Example\(\PageIndex{2}\) se mover momentaneamente e for deslocado pelo vetor\(\vec{D}\) = (−7,9\(\hat{j}\) − 4,2\(\hat{k}\)) cm, quanto trabalho é feito pelo terceiro cão em Example\(\PageIndex{2}\)?
Estratégia
Calculamos o produto escalar do vetor de deslocamento\(\vec{D}\) com vetor de força\(\vec{F}_{3}\) = (5,0\(\hat{i}\) + 12,5\(\hat{j}\)) N, que é a atração do terceiro cão. Vamos usar W 3 para denotar o trabalho realizado pela força\(\vec{F}_{3}\) no deslocamento\(\vec{D}\).
Solução
O cálculo do trabalho é uma aplicação direta do produto escalar:
\[\begin{split} W_{3} & = \vec{F}_{3}\; \cdotp \vec{D} = F_{3x}D_{x} + F_{3y}D_{y} + F_{3z}D_{z} \\ & = (5.0\; N)(0.0\; cm) + (12.5\; N)(-7.9\; cm) + (0.0\; N)(-4.2\; cm) \\ & = -98.7\; N\; \cdotp cm \ldotp \end{split}\]
Significância
A unidade de trabalho SI é chamada de joule (J), onde 1 J = 1 N · m. A unidade cm · N pode ser escrita como 10 −2 m · N = 10 −2 J, então a resposta pode ser expressa como W 3 = −0,9875 J ≈ −1,0 J.
Quanto trabalho é feito pelo primeiro cão e pelo segundo cão em Exemplo\(\PageIndex{2}\) sobre o deslocamento em Example\(\PageIndex{3}\)?