2.6: Álgebra de vetores
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- Aplique métodos analíticos de álgebra vetorial para encontrar vetores resultantes e resolver equações vetoriais para vetores desconhecidos.
- Interprete situações físicas em termos de expressões vetoriais.
Os vetores podem ser somados e multiplicados por escalares. A adição vetorial é associativa (Equação 2.2.8) e comutativa (Equação 2.2.7), e a multiplicação vetorial pela soma dos escalares é distributiva (Equação 2.2.9). Além disso, a multiplicação escalar pela soma dos vetores é distributiva:
\[\alpha(\vec{A} + \vec{B}) = \alpha \vec{A} + \alpha{B} \ldotp \label{2.22}\]
Nesta equação,\(\alpha\) é qualquer número (um escalar). Por exemplo, um vetor antiparalelo ao vetor\(\vec{A}\) = A x\(\hat{i}\) + A y\(\hat{j}\) + A z\(\hat{k}\) pode ser expresso simplesmente multiplicando\(\vec{A}\) pelo escalar\(\alpha\) = −1:
\[- \vec{A} = A_{x} \hat{i} - A_{y} \hat{j} - A_{z} \hat{k} \ldotp \label{2.23}\]
Em um sistema de coordenadas cartesianas em que\(\hat{i}\) denota leste geográfico,\(\hat{j}\) denota norte geográfico e\(\hat{k}\) altitude acima do nível do mar, um comboio militar avança sua posição em território desconhecido com velocidade\(\vec{v}\) = (4,0\(\hat{i}\) + 3,0\(\hat{j}\) + 0,1\(\hat{k}\)) km /h. Se o comboio tivesse que recuar, em que direção geográfica ele estaria se movendo?
Solução
O vetor de velocidade tem o terceiro componente\(\vec{v}_{z}\) = (+ 0,1 km/h)\(\hat{k}\), que diz que o comboio está subindo a uma taxa de 100 m/h em terrenos montanhosos. Ao mesmo tempo, sua velocidade é de 4,0 km/h para o leste e 3,0 km/h para o norte, então ele se move no solo na direção de −1 (3 /4) ≈ 37° ao norte do leste. Se o comboio tivesse que recuar, seu novo vetor de velocidade\(\vec{u}\) teria que ser antiparalelo\(\vec{v}\) e estar na forma\(\vec{u} = - \alpha \vec{v}\), onde\(\alpha\) está um número positivo. Assim, a velocidade do recuo seria\(\vec{u}\) =\(\alpha\) (−4,0\(\hat{i}\) − 3,0\(\hat{j}\) − 0,1\(\hat{k}\)) km/h. O sinal negativo do terceiro componente indica que o comboio estaria descendo. O ângulo de direção da velocidade de recuo é tan −1 (−3\(\alpha\) − 4\(\alpha\)) ≈ 37° ao sul de oeste. Portanto, o comboio estaria se movendo no solo na direção 37° ao sul de oeste enquanto descia em seu caminho de volta.
A generalização do número zero para álgebra vetorial é chamada de vetor nulo, denotado por\(\vec{0}\). Todos os componentes do vetor nulo são zero,\(\vec{0}\) = 0\(\hat{i}\) + 0\(\hat{j}\) + 0\(\hat{k}\), então o vetor nulo não tem comprimento nem direção.
Dois vetores\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\) são vetores iguais se e somente se sua diferença for o vetor nulo:\(\vec{0}\) =\(\vec{A}\) −\(\vec{B}\) = (A x\(\hat{i}\) + A y\(\hat{j}\) + A z\(\hat{k}\)) − (B x\(\hat{i}\) + B y \(\hat{j}\)+ B z\(\hat{k}\)) = (A x − B x)\(\hat{i}\) + (A y − B y)\(\hat{j}\) + (A z − B z)\(\hat{k}\). Essa equação vetorial significa que devemos ter simultaneamente A x − B x = 0, A y − B y = 0 e A z − B z = 0. Portanto, podemos escrever\(\vec{A} = \vec{B}\) se e somente se os componentes correspondentes dos\(\vec{A}\) vetores\(\vec{B}\) forem iguais:
\[ \vec{A} = \vec{B} \Leftrightarrow \begin{cases} A_{x} = B_{x} \\ A_{y} = B_{y} \\ A_{z} = B_{z} \end{cases} \ldotp \label{2.24}\]
Dois vetores são iguais quando seus componentes escalares correspondentes são iguais. Resolver vetores em seus componentes escalares (ou seja, encontrar seus componentes escalares) e expressá-los analiticamente na forma de componentes vetoriais (dada pela Equação 2.5.4) nos permite usar álgebra vetorial para encontrar somas ou diferenças de muitos vetores analiticamente (ou seja, sem usar métodos gráficos). Por exemplo, para encontrar a resultante de dois vetores\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\), simplesmente os adicionamos componente por componente, da seguinte forma:
\[\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_{x}\; \hat{i} + A_{y}\; \hat{j} + A_{z}\; \hat{k}) + (B_{x}\; \hat{i} + B_{y}\; \hat{j} + B_{z}\; \hat{k}) = (A_{x} + B_{x})\; \hat{i} + (A_{y} + B_{y})\; \hat{j} + (A_{z} + B_{z})\; \hat{k} \ldotp\]
Dessa forma, usando a Equação\ ref {2.24}, os componentes escalares do vetor resultante\(\vec{R}\) = R x\(\hat{i}\) + R y\(\hat{j}\) + R z\(\hat{k}\) são as somas dos componentes escalares correspondentes dos vetores\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\):
\[ \begin{cases} R_{x} = A_{x} + B_{x}, \\ R_{y} = A_{y} + B_{y}, \\ R_{z} = A_{z} + B_{z} \end{cases} \ldotp\]
Métodos analíticos podem ser usados para encontrar componentes de uma resultante de muitos vetores. Por exemplo, se quisermos somar N vetores\(\vec{F}_{1}\),\(\vec{F}_{2}\),\(\vec{F}_{3}\),...,\(\vec{F}_{N}\), onde cada vetor é\(\vec{F}_{k}\) = F kx\(\hat{i}\) + F ky\(\hat{j}\) + F kz\(\hat{k}\), o vetor resultante\(\vec{F}_{R}\) é
\[ \vec{F}_{R} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} + \ldots + \vec{F}_{N} = \sum_{k = 1}^{N} \vec{F}_{k} = \sum_{k = 1}^{N} \big(F_{kx} \hat{i} + F_{ky} \hat{j} + F_{kz} \hat{k}\big) = \bigg(\sum_{k = 1}^{N} F_{kx}\bigg) \hat{i} + \bigg(\sum_{k = 1}^{N} F_{ky}\bigg) \hat{j} + \bigg(\sum_{k = 1}^{N} F_{kz}\bigg) \hat{k} \ldotp\]
Portanto, os componentes escalares do vetor resultante são
\[ \begin{cases} F_{Rx} = \sum_{k = 1}^{N} F_{kx} = F_{1x} + F_{2x} + \ldots + F_{Nx} \\ F_{Ry} = \sum_{k = 1}^{N} F_{ky} = F_{1y} + F_{2y} + \ldots + F_{Ny} \\ F_{Rz} = \sum_{k = 1}^{N} F_{kz} = F_{1z} + F_{2z} + \ldots + F_{Nz} \ldotp \end{cases} \label{2.25}\]
Tendo encontrado os componentes escalares, podemos escrever o resultante na forma de componente vetorial:
\[\vec{F}_{R} = F_{Rx}\; \hat{i} + F_{Ry}\; \hat{j} + F_{Rz}\; \hat{k} \ldotp\]
Métodos analíticos para encontrar a resultante e, em geral, para resolver equações vetoriais são muito importantes na física porque muitas quantidades físicas são vetores. Por exemplo, usamos esse método em cinemática para encontrar vetores de deslocamento resultantes e vetores de velocidade resultantes, em mecânica para encontrar vetores de força resultantes e os resultantes de muitas quantidades vetoriais derivadas, e em eletricidade e magnetismo para encontrar campos vetoriais elétricos ou magnéticos resultantes.
Em muitas situações físicas, muitas vezes precisamos saber a direção de um vetor. Por exemplo, podemos querer saber a direção de um vetor de campo magnético em algum ponto ou a direção do movimento de um objeto. Já dissemos que a direção é dada por um vetor unitário, que é uma entidade adimensional, ou seja, não tem unidades físicas associadas a ela. Quando o vetor em questão está ao longo de um dos eixos em um sistema cartesiano de coordenadas, a resposta é simples, porque então seu vetor unitário de direção é paralelo ou antiparalelo à direção do vetor unitário de um eixo. Por exemplo, a direção do vetor\(\vec{d}\) = −5 m\(\hat{i}\) é vetor unitário\(\hat{d}\) = −\(\hat{i}\). A regra geral para encontrar o vetor unitário\(\hat{V}\) de direção para qualquer vetor\(\vec{V}\) é dividi-lo por sua magnitude V:
\[\hat{V} = \frac{\vec{V}}{V} \ldotp \label{2.26}\]
Vemos nessa expressão que o vetor unitário de direção é de fato adimensional porque o numerador e o denominador na Equação\ ref {2.26} têm a mesma unidade física. Dessa forma, a Equação\ ref {2.26} nos permite expressar o vetor unitário de direção em termos de vetores unitários dos eixos. O exemplo 2.7.6 ilustra esse princípio.