2.4: Sistemas de coordenadas e componentes de um vetor (Parte 1)
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- Descreva vetores em duas e três dimensões em termos de seus componentes, usando vetores unitários ao longo dos eixos.
- Faça a distinção entre os componentes vetoriais de um vetor e os componentes escalares de um vetor.
- Explique como a magnitude de um vetor é definida em termos dos componentes de um vetor.
- Identifique o ângulo de direção de um vetor em um plano.
- Explique a conexão entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas em um plano.
Os vetores geralmente são descritos em termos de seus componentes em um sistema de coordenadas. Mesmo na vida cotidiana, invocamos naturalmente o conceito de projeções ortogonais em um sistema de coordenadas retangulares. Por exemplo, se você pedir a alguém como chegar a um determinado local, é mais provável que você vá 40 km a leste e 30 km ao norte do que 50 km na direção 37° norte do leste.
Em um sistema retangular (cartesiano) de coordenadas xy em um plano, um ponto em um plano é descrito por um par de coordenadas (x, y). De forma semelhante, um vetor\(\vec{A}\) em um plano é descrito por um par de suas coordenadas vetoriais. A coordenada x do vetor\(\vec{A}\) é chamada de componente x e a coordenada y do vetor\(\vec{A}\) é chamada de componente y. O componente x do vetor é um vetor indicado por\(\vec{A}_{x}\). O componente y do vetor é um vetor indicado por\(\vec{A}_{y}\). No sistema cartesiano, os componentes vetoriais x e y de um vetor são as projeções ortogonais desse vetor nos\(y\) eixos\(x\) - e -, respectivamente. Dessa forma, seguindo a regra do paralelogramo para adição vetorial, cada vetor em um plano cartesiano pode ser expresso como a soma vetorial de seus componentes vetoriais:
\[ \vec{A} = \vec{A}_{x} + \vec{A}_{y} \ldotp \label{2.10}\]
Conforme ilustrado na Figura\(\PageIndex{1}\), vetor\(\vec{A}\) é a diagonal do retângulo em que o componente x\(\vec{A}_{x}\) é o lado paralelo ao eixo x e o componente y\(\vec{A}_{y}\) é o lado paralelo ao eixo y. \(\vec{A}_{x}\)O componente vetorial é ortogonal ao componente vetorial\(\vec{A}_{y}\).
É comum indicar a direção positiva no eixo x pelo vetor unitário\(\hat{i}\) e a direção positiva no eixo y pelo vetor unitário\(\hat{j}\). Vetores unitários dos eixos\(\hat{i}\) e\(\hat{j}\), definem duas direções ortogonais no plano. Conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\), os componentes x e y de um vetor agora podem ser escritos em termos dos vetores unitários dos eixos:
\[ \begin{cases} \vec{A}_{x} = A_{x} \hat{i} \\ \vec{A}_{y} = A_{y} \hat{j} \end{cases} \label{2.11}\]
Os vetores\(\vec{A}_{x}\) e\(\vec{A}_{y}\) definidos pela Equação 2.11 são os componentes vetoriais do vetor\(\vec{A}\). Os números A x e A y que definem os componentes vetoriais na Equação\ ref {2.11} são os componentes escalares do vetor\(\vec{A}\). Combinando a Equação\ ref {2.10} com a Equação\ ref {2.11}, obtemos a forma componente de um vetor:
\[\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j} \ldotp \label{2.12}\]
Se soubermos as coordenadas\(b(x_b, y_b)\) do ponto de origem de um vetor (onde b significa “começo”) e as coordenadas e (x e, y e) do ponto final de um vetor (onde e significa “fim”), podemos obter os componentes escalares de um vetor simplesmente subtraindo o ponto de origem coordenadas das coordenadas do ponto final:
\[ \begin{cases} A_{x} = x_{e} - x_{b} \\ A_{y} = y_{e} - y_{b} \ldotp \end{cases} \label{2.13}\]
Um ponteiro do mouse no monitor de um computador em sua posição inicial está no ponto (6,0 cm, 1,6 cm) em relação ao canto inferior esquerdo. Se você mover o ponteiro para um ícone localizado no ponto (2,0 cm, 4,5 cm), qual é o vetor de deslocamento do ponteiro?
Estratégia
A origem do sistema de coordenadas xy é o canto inferior esquerdo do monitor do computador. Portanto, o vetor unitário\(\hat{i}\) no eixo x aponta horizontalmente para a direita e o vetor unitário\(\hat{j}\) no eixo y aponta verticalmente para cima. A origem do vetor de deslocamento está localizada no ponto b (6,0, 1,6) e a extremidade do vetor de deslocamento está localizada no ponto e (2,0, 4,5). Substitua as coordenadas desses pontos na Equação\ ref {2.13} para encontrar os componentes escalares D x e D y do vetor de deslocamento\(\vec{D}\). Finalmente, substitua as coordenadas na Equação\ ref {2.12} para escrever o vetor de deslocamento na forma do componente vetorial.
Solução
Identificamos x b = 6,0, x e = 2,0, y b = 1,6 e y e = 4,5, onde a unidade física é de 1 cm. Os componentes escalares x e y do vetor de deslocamento são
\[D_{x} = x_{e} - x_{b} = (2.0 - 6.0)\; cm = -4.0\; cm,\]
\[D_{y} = y_{e} - y_{b} = (4.5 - 1.6)\; cm = + 2.9\; cm \ldotp\]
A forma do componente vetorial do vetor de deslocamento é
\[\vec{D} = D_{x}\; \hat{i} + D_{y}\; \hat{j} = (-4.0\; cm)\; \hat{i} + (2.9\; cm)\; \hat{j} = (-4.0\; \hat{i} + 2.9\; \hat{j})\; cm \ldotp \label{2.14}\]
Essa solução é mostrada na Figura\(\PageIndex{2}\).
Significância
Observe que a unidade física — aqui, 1 cm — pode ser colocada com cada componente imediatamente antes do vetor unitário ou globalmente para ambos os componentes, como na Equação\ ref {2.14}. Muitas vezes, a última maneira é mais conveniente porque é mais simples.
O vetor componente x\(\vec{D}_{x}\) = −4,0\(\hat{i}\) = 4,0 (\(- \hat{i}\)) do vetor de deslocamento tem a magnitude\(\vec{D}_{x}\) | | = |− 4,0||\(\hat{i}\) | = 4,0 porque a magnitude do vetor unitário é |\(\hat{i}\) | = 1. Observe também que a direção do componente x é\(− \hat{i}\), que é antiparalela à direção do eixo +x; portanto, o vetor do componente x\(\vec{D}_{x}\) aponta para a esquerda, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\). O componente x escalar do vetor\(\vec{D}\) é D x = −4,0. Da mesma forma, o vetor componente y\(\vec{D}_{y}\) =\(+ 2.9 \hat{j}\) do vetor de deslocamento tem magnitude\(\vec{D}_{y}\) | | = |2,9||\(\hat{j}\) | = 2,9 porque a magnitude do vetor unitário é |\(\hat{j}\) | = 1. A direção do componente y é\(+ \hat{j}\), que é paralela à direção do eixo +y. Portanto, o vetor do componente y\(\vec{D}_{y}\) aponta para cima, conforme visto na Figura\(\PageIndex{2}\). O componente y escalar do vetor\(\vec{D}\) é D y = + 2,9. O vetor de deslocamento\(\vec{D}\) é o resultado de seus dois componentes vetoriais.
A forma do componente vetorial do vetor de deslocamento Equation\ ref {2.14} nos diz que o ponteiro do mouse foi movido no monitor 4,0 cm para a esquerda e 2,9 cm para cima a partir de sua posição inicial.
Uma mosca azul pousa em uma folha de papel milimetrado em um ponto localizado a 10,0 cm à direita da borda esquerda e 8,0 cm acima da borda inferior e caminha lentamente até um ponto localizado a 5,0 cm da borda esquerda e 5,0 cm da borda inferior. Escolha o sistema de coordenadas retangulares com a origem no canto inferior esquerdo do papel e encontre o vetor de deslocamento da mosca. Ilustre sua solução representando graficamente.
Quando conhecemos os componentes escalares A x e A y de um vetor\(\vec{A}\), podemos encontrar sua magnitude A e seu ângulo de direção\(\theta_{A}\). O ângulo de direção — ou direção, abreviadamente — é o ângulo que o vetor forma com a direção positiva no eixo x. O ângulo\(\theta_{A}\) é medido no sentido anti-horário do eixo +x até o vetor (Figura\(\PageIndex{3}\)). Como os comprimentos A, A x e A y formam um triângulo reto, eles são relacionados pelo teorema de Pitágoras:
\[A^{2} = A_{x}^{2} + A_{y}^{2} \Leftrightarrow A = \sqrt{A_{x}^{2} + A_{y}^{2}} \ldotp \label{2.15}\]
Essa equação funciona mesmo se os componentes escalares de um vetor forem negativos. O ângulo\(\theta_{A}\) de direção de um vetor é definido por meio da função tangente do ângulo\(\theta_{A}\) no triângulo mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\):
\[ \tan \theta = \frac{A_{y}}{A_{x}} \Rightarrow \theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{A_{y}}{A_{x}}\right) \ldotp \label{2.16}\]
Quando o vetor está no primeiro quadrante ou no quarto quadrante, onde o componente A x é positivo (Figura\(\PageIndex{4}\)), o ângulo\(\theta\) na Equação\ ref {2.16}) é idêntico ao ângulo de direção\(\theta_{A}\). Para vetores no quarto quadrante, o ângulo\(\theta\) é negativo, o que significa que, para esses vetores, o ângulo de direção\(\theta_{A}\) é medido no sentido horário a partir do eixo x positivo. Da mesma forma, para vetores no segundo quadrante, o ângulo\(\theta\) é negativo. Quando o vetor está no segundo ou terceiro quadrante, onde o componente A x é negativo, o ângulo de direção é\(\theta_{A}\) =\(\theta\) + 180° (Figura\(\PageIndex{4}\)).
Você move o ponteiro do mouse no monitor da tela de sua posição inicial no ponto (6,0 cm, 1,6 cm) até um ícone localizado no ponto (2,0 cm, 4,5 cm). Qual é a magnitude e a direção do vetor de deslocamento do ponteiro?
Estratégia
No exemplo\(\PageIndex{1}\), encontramos o vetor\(\vec{D}\) de deslocamento do ponteiro do mouse (veja Equação\ ref {2.14}). Identificamos seus componentes escalares D x = −4,0 cm e D y = + 2,9 cm e substituímos na Equação\ ref {2.15} e na Equação\ ref {2.16} para encontrar a magnitude D e a direção\(\theta_{D}\), respectivamente.
Solução
A magnitude do vetor\(\vec{D}\) é
\[D = \sqrt{D_{x}^{2} + D_{y}^{2}} = \sqrt{(-4.0\; cm)^{2} + (2.9\; cm)^{2}} = \sqrt{(4.0)^{2} + (2.9)^{2}}\; cm = 4.9\; cm \ldotp\]
O ângulo de direção é
\[ \tan \theta = \frac{D_{y}}{D_{x}} = \frac{+2.9\; cm}{-4.0\; cm} = -0.725 \Rightarrow \theta = \tan^{-1} (-0.725) = -35.9^{o} \ldotp\]
O vetor\(\vec{D}\) está no segundo quadrante, então seu ângulo de direção é
\[\theta_{D} = \theta + 180^{o} = -35.9^{o}+ 180^{o} = 144.1^{o} \ldotp\]
Se o vetor de deslocamento de uma mosca azul andando em uma folha de papel milimetrado for\(\vec{D} = (−5.00\; \hat{i} − 3.00\; \hat{j})\) cm, encontre sua magnitude e direção.
Em muitas aplicações, as magnitudes e direções das quantidades vetoriais são conhecidas e precisamos encontrar a resultante de muitos vetores. Por exemplo, imagine 400 carros se movendo na ponte Golden Gate, em São Francisco, sob um vento forte. Cada carro dá à ponte um impulso diferente em várias direções e gostaríamos de saber o tamanho possível do impulso resultante. Já adquirimos alguma experiência com a construção geométrica de somas vetoriais, então sabemos que a tarefa de encontrar a resultante desenhando os vetores e medindo seus comprimentos e ângulos pode se tornar intratável rapidamente, levando a grandes erros. Preocupações como essa não aparecem quando usamos métodos analíticos. O primeiro passo em uma abordagem analítica é encontrar componentes vetoriais quando a direção e a magnitude de um vetor são conhecidas.
Vamos voltar ao triângulo direito na Figura\(\PageIndex{3}\). O quociente do lado adjacente A x à hipotenusa A é a função cosseno do ângulo de direção\(\theta_{A}\), A x /A = cos\(\theta_{A}\), e o quociente do lado oposto A y à hipotenusa A é a função senoidal de\(\theta_{A}\) A y /A = sin\(\theta_{A}\). Quando a magnitude A e a direção\(\theta_{A}\) são conhecidas, podemos resolver essas relações para os componentes escalares:
\[\begin{cases} A_{x} = A \cos \theta_{A} \\ A_{y} = A \sin \theta_{A} \ldotp \end{cases} \label{2.17}\]
Ao calcular componentes vetoriais com a Equação\ ref {2.17}, deve-se tomar cuidado com o ângulo. O ângulo de direção A de\(\theta\) um vetor é o ângulo medido no sentido anti-horário da direção positiva no eixo x até o vetor. A medição no sentido horário fornece um ângulo negativo.
Uma equipe de resgate de uma criança desaparecida segue um cão de busca chamado Trooper. O soldado vagueia muito e faz muitos testes por muitos caminhos diferentes. O soldado finalmente encontra a criança e a história tem um final feliz, mas seus deslocamentos em várias pernas parecem realmente complicados. Em uma das pernas, ele caminha 200,0 m para sudeste, depois corre para o norte cerca de 300,0 m. Na terceira perna, ele examina cuidadosamente os aromas por 50,0 m na direção 30° oeste do norte. Na quarta etapa, Trooper vai diretamente para o sul por 80,0 m, pega um cheiro fresco e vira 23° a oeste do sul por 150,0 m. Encontre os componentes escalares dos vetores de deslocamento de Trooper e seus vetores de deslocamento na forma de componentes vetoriais para cada perna.
Estratégia
Vamos adotar um sistema de coordenadas retangulares com o eixo x positivo na direção geográfica leste, com a direção y positiva apontada para o norte geográfico. Explicitamente, o vetor unitário\(\hat{i}\) do eixo x aponta para o leste e o vetor unitário\(\hat{j}\) do eixo y aponta para o norte. O soldado faz cinco pernas, então há cinco vetores de deslocamento. Começamos identificando suas magnitudes e ângulos de direção, depois usamos a Equação\ ref {2.17} para encontrar os componentes escalares dos deslocamentos e a Equação\ ref {2.12} para os vetores de deslocamento.
Solução
Na primeira perna, a magnitude do deslocamento é L 1 = 200,0 m e a direção é sudeste. Para o ângulo de direção,\(\theta_{1}\) podemos tomar 45° medidos no sentido horário a partir da direção leste ou 45° + 270° medidos no sentido anti-horário a partir da direção leste. Com a primeira opção,\(\theta_{1}\) = −45°. Com a segunda opção,\(\theta_{1}\) = + 315°. Podemos usar qualquer um desses dois ângulos. Os componentes são
\[ L_{1x} = L_{1} \cos \theta_{1} = (200.0\; m) \cos 315^{o} = 141.4\; m,\]
\[ L_{1y} = L_{1} \sin\theta_{1} = (200.0\; m) \sin 315^{o} = -141.4\; m,\]
O vetor de deslocamento da primeira perna é
\[\vec{L}_{1} = L_{1x}\; \hat{i} + L_{1y}\; \hat{j} = (14.4\; \hat{i} - 141.4\; \hat{j})\; m \ldotp\]
Na segunda etapa das andanças do Soldado, a magnitude do deslocamento é L 2 = 300,0 m e a direção é norte. O ângulo de direção é\(\theta_{2}\) = + 90°. Obtemos os seguintes resultados:
\[ L_{2x} = L_{2} \cos \theta_{2} = (300.0\; m) \cos 90^{o} = 0.0,\]
\[ L_{2y} = L_{2} \sin \theta_{2} = (300.0\; m) \sin 90^{o} = 300.0\; m,\]
\[\vec{L}_{2} = L_{2x}\; \hat{i} + L_{2y}\; \hat{j} = (300.0\; m)\; \hat{j} \ldotp\]
Na terceira perna, a magnitude do deslocamento é L 3 = 50,0 m e a direção é 30° oeste do norte. O ângulo de direção medido no sentido anti-horário a partir da direção leste é\(\theta\) 3 = 30° + 90° = + 120°. Isso dá as seguintes respostas:
\[ L_{3x} = L_{3} \cos \theta_{3} = (50.0\; m) \cos 120^{o} = -25.0\; m,\]
\[ L_{3y} = L_{3} \sin \theta_{3} = (50.0\; m) \sin 120^{o} = + 43.3\; m,\]
\[\vec{L}_{3} = L_{3x}\; \hat{i} + L_{3y}\; \hat{j} = (-25.0\; \hat{i} + 43.3\; \hat{j})\; m \ldotp\]
Na quarta etapa da excursão, a magnitude do deslocamento é L 4 = 80,0 m e a direção é sul. O ângulo de direção pode ser considerado como\(\theta_{4}\) = −90° ou\ (\ theta_ {4} = + 270°. Nós obtemos
\[ L_{4x} = L_{4} \cos \theta_{4} = (80.0\; m) \cos (-90^{o}) = 0,\]
\[ L_{4y} = L_{4} \sin \theta_{4} = (80.0\; m) \sin (-90^{o}) = -80.0\; m,\]
\[\vec{L}_{4} = L_{4x}\; \hat{i} + L_{4y}\; \hat{j} = (-80.0\; m)\; \hat{j} \ldotp\]
Na última perna, a magnitude é L 5 = 150,0 m e o ângulo é\(\theta_{5}\) = −23° + 270° = + 247° (23° oeste do sul), o que dá
\[ L_{5x} = L_{5} \cos \theta_{5} = (150.0\; m) \cos 247^{o} = -58.6\; m,\]
\[ L_{5y} = L_{5} \sin \theta_{5} = (150.0\; m) \sin 247^{o} = -138.1\; m,\]
\[\vec{L}_{5} = L_{5x}\; \hat{i} + L_{5y}\; \hat{j} = (-58.6\; \hat{i} - 138.1\; \hat{j})\; m \ldotp\]
Se o Trooper correr 20 m para oeste antes de descansar, qual é seu vetor de deslocamento?