2.2: Escalares e vetores (Parte 1)

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Objetivos de

Descreva a diferença entre quantidades vetoriais e escalares.
Identifique a magnitude e a direção de um vetor.
Explique o efeito da multiplicação de uma quantidade vetorial por um escalar.
Descreva como quantidades vetoriais unidimensionais são adicionadas ou subtraídas.
Explique a construção geométrica para a adição ou subtração de vetores em um plano.
Faça a distinção entre uma equação vetorial e uma equação escalar.

Muitas quantidades físicas conhecidas podem ser especificadas completamente fornecendo um único número e a unidade apropriada. Por exemplo, “um período de aula dura 50 minutos” ou “o tanque de gasolina do meu carro tem capacidade para 65 L” ou “a distância entre dois postes é de 100 m”. Uma quantidade física que pode ser especificada completamente dessa maneira é chamada de quantidade escalar. Escalar é sinônimo de “número”. Tempo, massa, distância, comprimento, volume, temperatura e energia são exemplos de quantidades escalares.

Quantidades escalares que têm as mesmas unidades físicas podem ser adicionadas ou subtraídas de acordo com as regras usuais de álgebra para números. Por exemplo, uma aula que termina 10 minutos antes de 50 min dura 50 min − 10 min = 40 min. Da mesma forma, uma porção de 60 cal de milho seguida por uma porção de rosquinhas de 200 cal fornece 60 cal + 200 cal = 260 cal de energia. Quando multiplicamos uma quantidade escalar por um número, obtemos a mesma quantidade escalar, mas com um valor maior (ou menor). Por exemplo, se o café da manhã de ontem tinha 200 cal de energia e o café da manhã de hoje tem quatro vezes mais energia do que tinha ontem, então o café da manhã de hoje tem 4 (200 cal) = 800 cal de energia. Duas quantidades escalares também podem ser multiplicadas ou divididas uma pela outra para formar uma quantidade escalar derivada. Por exemplo, se um trem percorre uma distância de 100 km em 1,0 h, sua velocidade é 100,0 km/1,0 h = 27,8 m/s, onde a velocidade é uma quantidade escalar derivada obtida pela divisão da distância pelo tempo.

Muitas quantidades físicas, no entanto, não podem ser descritas completamente por apenas um único número de unidades físicas. Por exemplo, quando a Guarda Costeira dos EUA envia um navio ou helicóptero para uma missão de resgate, a equipe de resgate deve saber não apenas a distância até o sinal de socorro, mas também a direção de onde o sinal está vindo para que possa chegar à sua origem o mais rápido possível. Quantidades físicas especificadas completamente fornecendo um número de unidades (magnitude) e uma direção são chamadas de quantidades vetoriais. Exemplos de grandezas vetoriais incluem deslocamento, velocidade, posição, força e torque. Na linguagem da matemática, as quantidades vetoriais físicas são representadas por objetos matemáticos chamados vetores (Figura\(\PageIndex{1}\)). Podemos adicionar ou subtrair dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar ou por outro vetor, mas não podemos dividir por um vetor. A operação de divisão por um vetor não está definida.

Uma foto de um cachorro. Abaixo da foto há uma seta horizontal que começa abaixo da cauda do cachorro e termina abaixo do nariz do cachorro. A seta é rotulada como Vetor D e seu comprimento é rotulado como magnitude D. O início (cauda) da seta é rotulado como “Do trilho de origem vetorial” e sua extremidade (cabeça) é rotulada como “Até a ponta de uma extremidade vetorial”. — Figura\(\PageIndex{1}\): Desenhamos um vetor do ponto inicial ou origem (chamado de “cauda” de um vetor) até o final ou ponto terminal (chamado de “cabeça” de um vetor), marcado por uma ponta de seta. Magnitude é o comprimento de um vetor e é sempre uma quantidade escalar positiva. (crédito: modificação da obra de Cate Sevilla)

Vamos examinar a álgebra vetorial usando um método gráfico para conhecer os termos básicos e desenvolver uma compreensão qualitativa. Na prática, no entanto, quando se trata de resolver problemas de física, usamos métodos analíticos, que veremos na próxima seção. Os métodos analíticos são mais simples computacionalmente e mais precisos do que os métodos gráficos. De agora em diante, para distinguir entre um vetor e uma quantidade escalar, adotamos a convenção comum de que uma letra em negrito com uma seta acima denota um vetor, e uma letra sem seta denota um escalar. Por exemplo, uma distância de 2,0 km, que é uma quantidade escalar, é indicada por d = 2,0 km, enquanto um deslocamento de 2,0 km em alguma direção, que é uma grandeza vetorial, é denotado por\(\vec{d}\).

Suponha que você diga a um amigo em um acampamento que descobriu um ótimo buraco de pesca a 6 km de sua barraca. É improvável que seu amigo consiga encontrar o buraco facilmente, a menos que você também comunique a direção em que ele pode ser encontrado em relação ao seu acampamento. Você pode dizer, por exemplo, “Caminhe cerca de 6 km a nordeste da minha barraca”. O conceito-chave aqui é que você precisa fornecer não uma, mas duas informações, a saber, a distância ou magnitude (6 km) e a direção (nordeste).

Deslocamento é um termo geral usado para descrever uma mudança de posição, como durante uma viagem da tenda até o buraco de pesca. O deslocamento é um exemplo de grandeza vetorial. Se você caminhar da tenda (localização A) até o buraco (localização B), conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\), o vetor\(\vec{D}\), representando seu deslocamento, é desenhado como a seta que se origina no ponto A e termina no ponto B. A ponta da seta marca o final do vetor. A direção do vetor de deslocamento\(\vec{D}\) é a direção da seta. O comprimento da seta representa a magnitude D do vetor\(\vec{D}\). Aqui, D = 6 km. Como a magnitude de um vetor é seu comprimento, que é um número positivo, a magnitude também é indicada colocando a notação do valor absoluto ao redor do símbolo que denota o vetor; assim, podemos escrever de forma equivalente que D ≡ |\(\vec{D}\) |. Para resolver um problema vetorial graficamente, precisamos desenhar o vetor\(\vec{D}\) em escala. Por exemplo, se assumirmos que 1 unidade de distância (1 km) é representada no desenho por um segmento de linha de comprimento u = 2 cm, o deslocamento total neste exemplo é representado por um vetor de comprimento d = 6u = 6 (2 cm) = 12 cm, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\). Observe que aqui, para evitar confusão, usamos D = 6 km para denotar a magnitude do deslocamento real e d = 12 cm para denotar o comprimento de sua representação no desenho.

Uma ilustração de um lago, a alguma distância a nordeste de uma tenda. O norte está na página, do leste à direita. A tenda é rotulada como localização A e o lago como localização B. Uma seta reta começa em A e termina em B. Três caminhos sinuosos, mostrados como linhas tracejadas, também começam em A e terminam em B. — Figura\(\PageIndex{2}\): O vetor de deslocamento do ponto A (a posição inicial no acampamento) para o ponto B (a posição final no buraco de pesca) é indicado por uma seta com origem no ponto A e final no ponto B. O deslocamento é o mesmo para qualquer um dos caminhos reais (curvas tracejadas) que podem ser percorridos entre pontos A e B.

Uma régua é mostrada, com a distância medida em centímetros. Um vetor é mostrado como uma seta paralela à régua, estendendo-se de sua extremidade em 0 c m até 12 c m, e é rotulado como vetor D. — Figura\(\PageIndex{3}\): Um deslocamento\(\vec{D}\) de magnitude 6 km é desenhado em escala como um vetor de comprimento de 12 cm quando o comprimento de 2 cm representa 1 unidade de deslocamento (que neste caso é 1 km).

Suponha que seu amigo caminhe do acampamento em A até a lagoa de pesca em B e depois volte: do lago de pesca em B até o acampamento em A. A magnitude do vetor de deslocamento\(\vec{D}_{AB}\) de A para B é a mesma que a magnitude do vetor de deslocamento\(\vec{D}_{BA}\) de B para A (é igual a 6 km em ambos) cases), para que possamos escrever\(\vec{D}_{AB}\) =\(\vec{D}_{BA}\). No entanto, vetor não\(\vec{D}_{AB}\) é igual ao vetor\(\vec{D}_{BA}\) porque esses dois vetores têm direções diferentes:\(\vec{D}_{AB}\) ≠\(\vec{D}_{BA}\). Na Figura 2.3, o vetor\(\vec{D}_{BA}\) seria representado por um vetor com origem no ponto B e extremidade no ponto A, indicando\(\vec{D}_{BA}\) pontos vetoriais a sudoeste, que são exatamente 180° opostos à direção do vetor\(\vec{D}_{AB}\). Dizemos que o vetor\(\vec{D}_{BA}\) é antiparalelo ao vetor\(\vec{D}_{AB}\) e escrevemos\(\vec{D}_{AB}\) =\(-\vec{D}_{BA}\), onde o sinal de menos indica a direção antiparalela.

Diz-se que dois vetores que têm direções idênticas são vetores paralelos, ou seja, eles são paralelos entre si. Dois vetores paralelos\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\) são iguais, indicados por\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\), se e somente se tiverem magnitudes iguais |\(\vec{A}\) | = |\(\vec{B}\) |. Diz-se que dois vetores com direções perpendiculares entre si são vetores ortogonais. Essas relações entre vetores são ilustradas na Figura\(\PageIndex{4}\).

Figura a: Dois exemplos do vetor A paralelo ao vetor B. Em um, A e B estão na mesma linha, um após o outro, mas A é maior que B. No outro, A e B são paralelos entre si com suas caudas alinhadas, mas A é menor que B. Figura b: Um exemplo de vetor A antiparalelo ao vetor B. Pontos do vetor A à esquerda e é maior que o vetor B, que aponta para a direita. O ângulo entre eles é de 180 graus. Figura c: Um exemplo do vetor A antiparalelo ao vetor negativo A: A aponta para a direita e —A aponta para a esquerda. Ambos têm o mesmo comprimento. Figura d: Dois exemplos de vetor A igual ao vetor B: Em um, A e B estão na mesma linha, um após o outro, e ambos têm o mesmo comprimento. No outro, A e B são paralelos entre si com as caudas alinhadas e ambas têm o mesmo comprimento. Figura e: Dois exemplos do vetor A ortogonal ao vetor B: Em um, A aponta para baixo e B aponta para a direita, encontrando-se em um ângulo reto, e ambos têm o mesmo comprimento. No outro, aponta para baixo e para a direita e B aponta para baixo e para a esquerda, encontrando A em um ângulo reto. Ambos têm o mesmo comprimento. — Figura\(\PageIndex{4}\): Várias relações entre dois vetores\(\vec{A}\)\(\vec{B}\) e. (a)\(\vec{A}\) ≠\(\vec{B}\) porque A ≠ B. (b)\(\vec{A}\) ≠\(\vec{B}\) porque não são paralelos e A ≠ B. (c)\(\vec{A}\) ≠\(- \vec{A}\) porque eles têm direções diferentes (mesmo que |\(\vec{A}\) | = |\(- \vec{A}\) | = A). (d)\(\vec{A}\) =\(\vec{B}\) porque são paralelos e têm magnitudes idênticas A = B. (e)\(\vec{A}\) ≠\(\vec{B}\) porque têm direções diferentes (não são paralelas); aqui, suas direções diferem em 90°, o que significa que são ortogonais.

Exercício 2.1

Duas lanchas chamadas Alice e Bob estão se movendo em um lago. Dadas as informações sobre seus vetores de velocidade em cada uma das seguintes situações, indique se seus vetores de velocidade são iguais ou não.

Alice se move para o norte aos 6 nós e Bob se move para o oeste aos 6 nós.
Alice se move para o oeste a 6 nós e Bob se move para o oeste a 3 nós.
Alice se move para nordeste a 6 nós e Bob se move para o sul a 3 nós.
Alice se move para nordeste a 6 nós e Bob se move para sudoeste a 6 nós.
Alice se move para nordeste a 2 nós e Bob se aproxima da costa nordeste a 2 nós.

Álgebra de vetores em uma dimensão

Os vetores podem ser multiplicados por escalares, adicionados a outros vetores ou subtraídos de outros vetores. Podemos ilustrar esses conceitos vetoriais usando um exemplo da viagem de pesca vista na Figura\(\PageIndex{5}\).

Três ilustrações da mesma tenda e lago a nordeste da tenda. North está na página. A localização da tenda é o ponto A, e a localização do lago é o ponto B. Uma localização entre A e B, cerca de 2/3 do caminho de A a B, é rotulada como ponto C. Na figura a, o vetor de A a B é mostrado como uma seta azul, começando em A e terminando em B, e rotulado como vetor D sub A B. O vetor de A a C é mostrado em vermelho seta, começando em A e terminando em C e rotulada como vetor D sub A C. Três caminhos sinuosos são mostrados como linhas tracejadas que começam em A e terminam em B. A Figura b adiciona o seguinte à ilustração da figura a: O ponto D é adicionado a meio caminho entre o ponto A e B. O vetor de A a D é mostrado como uma seta roxa, começando em A e terminando em D e rotulado como vetor D sub A D. O vetor de D a B é mostrado como uma seta laranja, começando em D e terminando em B e rotulado como vetor D sub D B. A Figura c adiciona uma seta verde do ponto C ao ponto D e é rotulada como vetor D sub C D. O vetor D sub C D aponta na direção oposta a essa dos outros vetores, em direção à tenda e não em direção ao lago. — Figura\(\PageIndex{5}\): Vetores de deslocamento para uma viagem de pesca. (a) Parar para descansar no ponto C enquanto caminhava do acampamento (ponto A) até a lagoa (ponto B). (b) Voltando para a caixa de equipamento derrubada (ponto D). (c) Terminando na lagoa de pesca.

Suponha que seu amigo saia do ponto A (o acampamento) e caminhe na direção do ponto B (a lagoa de pesca), mas, ao longo do caminho, pare para descansar em algum ponto C localizado a três quartos da distância entre A e B, começando do ponto A (Figura\(\PageIndex{5a}\)). Qual é seu vetor de deslocamento\(\vec{D}_{AC}\) quando ele atinge o ponto C? Sabemos que se ele caminhar até B, seu vetor de deslocamento em relação a A é\(\vec{D}_{AB}\), que tem magnitude D _AB = 6 km e uma direção de nordeste. Se ele caminhar apenas uma fração de 0,75 da distância total, mantendo a direção nordeste, no ponto C ele deve estar a 0,75 D _AB = 4,5 km de distância do acampamento em A. Portanto, seu vetor de deslocamento no ponto de descanso C tem magnitude D _AC = 4,5 km = 0,75 D _AB e é paralelo a o vetor de deslocamento\(\vec{D}_{AB}\). Tudo isso pode ser afirmado sucintamente na forma da seguinte equação vetorial:

\[\vec{D}_{AC} = 0.75\; \vec{D}_{AB} \ldotp \nonumber\]

Em uma equação vetorial, ambos os lados da equação são vetores. A equação anterior é um exemplo de vetor multiplicado por um escalar positivo (número)\(\alpha\) = 0,75. O resultado,\(\vec{D}_{AC}\), dessa multiplicação é um novo vetor com uma direção paralela à direção do vetor original\(\vec{D}_{AB}\). Em geral, quando um vetor\(\vec{D}_{A}\) é multiplicado por um escalar positivo\(\alpha\), o resultado é um novo vetor\(\vec{D}_{B}\) paralelo a\(\vec{D}_{A}\):

\[\vec{B} = \alpha \vec{A} \label{2.1}\]

A magnitude\(\vec{B}\) | | desse novo vetor é obtida multiplicando a magnitude |\(\vec{A}\) | do vetor original, conforme expresso pela equação escalar:

\[ B = | \alpha | A \ldotp \label{2.2}\]

Em uma equação escalar, os dois lados da equação são números. A equação\ ref {2.2} é uma equação escalar porque as magnitudes dos vetores são quantidades escalares (e números positivos). Se o escalar\(\alpha\) for negativo na equação vetorial Equation\ ref {2.1}, então a magnitude\(\vec{B}\) | | do novo vetor ainda é dada pela Equação\ ref {2.2}, mas a direção do novo vetor\(\vec{B}\) é antiparalela à direção de\(\vec{A}\). Esses princípios são ilustrados na Figura\(\PageIndex{6a}\) por dois exemplos em que o comprimento do vetor\(\vec{A}\) é de 1,5 unidades. Quando\(\alpha\) = 2, o novo vetor\(\vec{B}\) = 2\(\vec{A}\) tem comprimento B = 2A = 3,0 unidades (duas vezes maior que o vetor original) e é paralelo ao vetor original. Quando\(\alpha\) = −2, o novo vetor\(\vec{C}\) = −2\(\vec{A}\) tem comprimento C = |−2| A = 3,0 unidades (duas vezes mais longo que o vetor original) e é antiparalelo ao vetor original.

A Figura a mostra o vetor A apontando para a direita. Tem magnitude A=1,5. O vetor B=2 o vetor temporal A aponta para a direita e tem magnitude B = 2 A = 3,0. Vetor C = -2 vezes o vetor A e tem magnitude B = 2,0. A Figura b mostra que o vetor A aponta para a direita e tem magnitude A=1,5. O vetor B é mostrado abaixo do vetor A, com suas caudas alinhadas. O vetor B aponta para a direita e tem magnitude 2,0. Em outra visualização, o vetor A é mostrado com o vetor B começando na cabeça de A e se estendendo ainda mais à direita. Abaixo deles está um vetor, rotulado como vetor R = vetor A mais vetor B, apontando para a direita cuja cauda está alinhada com a cauda do vetor A e cuja cabeça está alinhada com a cabeça do vetor B. A magnitude do vetor R é igual à magnitude A mais magnitude B = 3,5. A Figura c mostra que o vetor A aponta para a direita e tem magnitude A=1,5. O vetor B é mostrado abaixo do vetor A, com suas caudas alinhadas. O vetor menos B aponta para a direita e tem magnitude 3,2. Em outra visualização, o vetor A é mostrado com o vetor menos B apontando para a esquerda e com a cabeça encontrando a cabeça do vetor A. Abaixo deles está um vetor, rotulado como vetor D = vetor A menos vetor B, menor que B e apontando para a esquerda, cuja cabeça está alinhada com a cabeça do vetor B. A magnitude do vetor D é igual à magnitude da quantidade A menos B = 1,7. — Figura\(\PageIndex{6}\): Álgebra de vetores em uma dimensão. (a) Multiplicação por um escalar. (b) Adição de dois vetores (\(\vec{R}\)é chamada de resultante de vetores (\(\vec{A}\)e (\(\vec{B}\)). (c) Subtração de dois vetores (\(\vec{D}\)é a diferença de vetores (\(\vec{A}\)e\(\vec{B}\)).

Agora, suponha que seu companheiro de pesca saia do ponto A (o acampamento), caminhando na direção do ponto B (o buraco de pesca), mas ele percebe que perdeu sua caixa de equipamento quando parou para descansar no ponto C (localizado a três quartos da distância entre A e B, começando do ponto A). Então, ele se vira para trás e refaz seus passos na direção do acampamento e encontra a caixa deitada no caminho em algum ponto D, a apenas 1,2 km do ponto C (veja a Figura\(\PageIndex{5b}\)). Qual é seu vetor de deslocamento\(\vec{D}_{AD}\) quando ele encontra a caixa no ponto D? Qual é o vetor\(\vec{D}_{DB}\) de deslocamento dele do ponto D até o buraco? Já estabelecemos que no ponto de repouso C seu vetor de deslocamento é\(\vec{D}_{AC}\) = 0,75\(\vec{D}_{AB}\). Começando no ponto C, ele caminha para sudoeste (em direção ao acampamento), o que significa que seu novo vetor\(\vec{D}_{CD}\) de deslocamento do ponto C ao ponto D é antiparalelo\(\vec{D}_{AB}\) a. Sua magnitude |\(\vec{D}_{CD}\) | é D _CD = 1,2 km = 0,2 D _AB, então seu segundo vetor de deslocamento é\(\vec{D}_{CD}\) = −0,2\(\vec{D}_{AB}\). Seu deslocamento total\(\vec{D}_{AD}\) em relação ao acampamento é a soma vetorial dos dois vetores de deslocamento: vetor\(\vec{D}_{AC}\) (do acampamento até o ponto de descanso) e vetor\(\vec{D}_{CD}\) (do ponto de descanso até o ponto em que ele encontra sua caixa):

\[\vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AC} + \vec{D}_{CD} \ldotp \label{2.3}\]

A soma vetorial de dois (ou mais vetores) é chamada de vetor resultante ou, abreviadamente, resultante. Quando os vetores no lado direito da Equação\ ref {2.3} são conhecidos, podemos encontrar o resultado da\(\vec{D}_{AD}\) seguinte forma:

\[\vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AC} + \vec{D}_{CD} = 0.75\; \vec{D}_{AB} - 0.2\; \vec{D}_{AB} = (0.75 - 0.2) \vec{D}_{AB} = 0.55 \vec{D}_{AB} \ldotp \label{2.4}\]

Quando seu amigo finalmente chega ao lago em B, seu vetor de deslocamento\(\vec{D}_{AB}\) do ponto A é a soma vetorial de seu vetor de deslocamento\(\vec{D}_{AD}\) do ponto A ao ponto D e seu vetor de deslocamento\(\vec{D}_{DB}\) do ponto D para o buraco de pesca:\(\vec{D}_{AB}\) =\(\vec{D}_{AD}\) +\(\vec{D}_{DB}\) (veja a Figura \(\PageIndex{5c}\)). Isso significa que seu vetor de deslocamento\(\vec{D}_{DB}\) é a diferença de dois vetores:

\[\vec{D}_{DB} = \vec{D}_{AB} − \vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AB} + (− \vec{D}_{AD}) \ldotp \label{2.5}\]

Observe que a diferença de dois vetores nada mais é do que uma soma vetorial de dois vetores porque o segundo termo na Equação\ ref {2.5} é vetor\(- \vec{D}_{AD}\) (que é antiparalelo a\(\vec{D}_{AD}\)). Quando substituímos a Equação\ ref {2.4} pela Equação\ ref {2.5}, obtemos o segundo vetor de deslocamento:

\[\vec{D}_{DB} = \vec{D}_{AB} − \vec{D}_{AD} = \vec{D}_{AB} − 0.55\; \vec{D}_{AB} = (1.0 − 0.55)\; \vec{D}_{AB} = 0.45\; \vec{D}_{AB} \ldotp \label{2.6}\]

Esse resultado significa que seu amigo andou D _DB = 0,45 D _AB = 0,45 (6,0 km) = 2,7 km do ponto em que ele encontra sua caixa de equipamento até o buraco de pesca.

Quando os vetores\(\vec{A}\) se\(\vec{B}\) encontram ao longo de uma linha (ou seja, em uma dimensão), como no exemplo de acampamento, sua resultante\(\vec{R}\) =\(\vec{A}\) +\(\vec{B}\) e sua diferença\(\vec{D}\) =\(\vec{A}\) −\(\vec{B}\) estão na mesma direção. Podemos ilustrar a adição ou subtração de vetores desenhando os vetores correspondentes em escala em uma dimensão, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{6}\).

Para ilustrar o resultado quando\(\vec{A}\) e\(\vec{B}\) são dois vetores paralelos, nós os desenhamos ao longo de uma linha colocando a origem de um vetor no final do outro vetor de forma direta (veja a Figura (\ PageIndex {6b}\)). A magnitude dessa resultante é a soma de suas magnitudes: R = A + B. A direção da resultante é paralela a ambos os vetores. Quando o vetor\(\vec{A}\) é antiparalelo ao vetor\(\vec{B}\), nós os desenhamos ao longo de uma linha de forma frente a frente (Figura (\ PageIndex {6c}\)) ou cauda a cauda. A magnitude da diferença vetorial, então, é o valor absoluto D = |A − B| da diferença de suas magnitudes. A direção do vetor de diferença\(\vec{D}\) é paralela à direção do vetor mais longo.

Em geral, em uma dimensão — assim como em dimensões mais altas, como em um plano ou no espaço — podemos adicionar qualquer número de vetores e podemos fazer isso em qualquer ordem porque a adição de vetores é comutativa,

\[\vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A} \ldotp \label{2.7}\]

e associativo,

\[ (\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C} = \vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) \ldotp \label{2.8}\]

Além disso, a multiplicação por um escalar é distributiva:

\[ \alpha_{1} \vec{A} + \alpha_{2} \vec{A} = (\alpha_{1} + \alpha_{2}) \vec{A} \ldotp \label{2.9}\]

Usamos a propriedade distributiva na Equação\ ref {2.4} e na Equação\ ref {2.6}.

Ao adicionar muitos vetores em uma dimensão, é conveniente usar o conceito de vetor unitário. Um vetor unitário, que é indicado por um símbolo de letra com um chapéu, como\(\hat{u}\), tem uma magnitude de um e não tem nenhuma unidade física, de modo que |\(\hat{u}\) | ≡ u = 1. A única função de um vetor unitário é especificar a direção. Por exemplo, em vez de dizer que o vetor\(\vec{D}_{AB}\) tem uma magnitude de 6,0 km e uma direção de nordeste, podemos introduzir um vetor unitário\(\hat{u}\) que aponta para o nordeste e dizer sucintamente que\(\vec{D}_{AB}\) = (6,0 km)\(\hat{u}\). Então, a direção sudoeste é simplesmente dada pelo vetor unitário\(- \hat{u}\). Dessa forma, o deslocamento de 6,0 km na direção sudoeste é expresso pelo vetor

\[\vec{D}_{BA} = (−6.0\; km)\; \hat{u} \ldotp \nonumber\]