7.E: Mecânica Quântica (Exercícios)

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Perguntas conceituais

7.1 Funções de onda

1. Qual é a unidade física de uma função de onda\(\displaystyle Ψ(x,t)\)? Qual é a unidade física do quadrado dessa função de onda?

2. A magnitude de uma função de onda\(\displaystyle (Ψ∗(x,t)Ψ(x,t))\) pode ser um número negativo? Explique.

3. Que tipo de quantidade física representa uma função de onda de um elétron?

4. Qual é o significado físico de uma função de onda de uma partícula?

5. Qual é o significado da expressão “valor esperado”? Explique.

7.2 O Princípio da Incerteza de Heisenberg

6. Se o formalismo da mecânica quântica é “mais exato” do que o da mecânica clássica, por que não usamos a mecânica quântica para descrever o movimento de um sapo saltador? Explique.

7. O comprimento de onda de Broglie de uma partícula pode ser conhecido com precisão? A posição de uma partícula pode ser conhecida com precisão?

8. Podemos medir a energia de uma partícula localizada livre com total precisão?

9. Podemos medir a posição e o momento de uma partícula com total precisão?

7.3 A equação de Schrdinger

10. Qual é a diferença entre uma função de onda\(\displaystyle ψ(x,y,z)\) e uma função de onda\(\displaystyle Ψ(x,y,z,t)\) para a mesma partícula?

11. Se uma partícula quântica está em um estado estacionário, isso significa que ela não se move?

12. Explique a diferença entre as equações de Schrdinger dependentes do tempo e independentes.

13. Suponha que uma função de onda seja descontínua em algum ponto. Essa função pode representar um estado quântico de alguma partícula física? Por quê? Por que não?

7.4 A partícula quântica em uma caixa

14. Usando a partícula quântica em um modelo de caixa, descreva como as possíveis energias da partícula estão relacionadas ao tamanho da caixa.

15. É possível que, quando medimos a energia de uma partícula quântica em uma caixa, a medição retorne um valor menor do que a energia do estado fundamental? Qual é o maior valor da energia que podemos medir para essa partícula?

16. Para uma partícula quântica em uma caixa, o primeiro estado excitado (\(\displaystyle Ψ_2\)) tem valor zero na posição do ponto médio na caixa, de modo que a densidade da probabilidade de encontrar uma partícula nesse ponto é exatamente zero. Explique o que há de errado com o seguinte raciocínio: “Se a probabilidade de encontrar uma partícula quântica no ponto médio é zero, a partícula nunca está nesse ponto, certo? Como é que a partícula pode cruzar esse ponto em seu caminho do lado esquerdo para o lado direito da caixa?

7.5 O oscilador harmônico quântico

17. É possível medir a energia\(\displaystyle 0.75ℏω\) de um oscilador harmônico quântico? Por quê? Por que não? Explique.

18. Explique a conexão entre a hipótese de Planck de quanta de energia e as energias do oscilador harmônico quântico.

19. Se um oscilador harmônico clássico pode estar em repouso, por que o oscilador harmônico quântico nunca pode estar em repouso? Isso viola o de Bohr?

princípio da correspondência?

20. Use um exemplo de uma partícula quântica em uma caixa ou um oscilador quântico para explicar o significado físico do princípio de correspondência de Bohr.

21. Podemos medir simultaneamente a posição e a energia de um oscilador quântico? Por quê? Por que não?

7.6 O tunelamento quântico de partículas através de barreiras potenciais

22. Quando um elétron e um próton da mesma energia cinética encontram uma barreira potencial da mesma altura e largura, qual deles encontrará

atravessar a barreira com mais facilidade? Por quê?

23. O que diminui mais a probabilidade de tunelamento: dobrar a largura da barreira ou reduzir pela metade a energia cinética da partícula incidente?

24. Explique a diferença entre um potencial de caixa e um potencial de um ponto quântico.

25. Uma partícula quântica pode 'escapar' de um poço de potencial infinito como esse em uma caixa? Por quê? Por que não?

26. Um diodo de túnel e um diodo de tunelamento ressonante utilizam o mesmo princípio físico do tunelamento quântico. De que forma importante eles são diferentes?

Problemas

7.1 Funções de onda

27. Calcule\(\displaystyle |Ψ(x,t)|^2\) para a função\(\displaystyle Ψ(x,t)=ψ(x)sinωt\), onde\(\displaystyle ω\) está uma constante real.

28. Dada a função de valor complexo\(\displaystyle f(x,y)=(x−iy)/(x+iy)\), calcule\(\displaystyle |f(x,y)|^2\).

29. Qual das funções a seguir, e por quê, se qualifica para ser uma função de onda de uma partícula que pode se mover ao longo de todo o eixo real?

(uma)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−x^2}\);

(b)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−x};\)

(c)\(\displaystyle ψ(x)=Atanx\);

(d)\(\displaystyle ψ(x)=A(sinx)/x\);

(e)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−|x|}\).

30. Uma partícula com massa m se movendo ao longo do eixo x e seu estado quântico é representada pela seguinte função de onda:\(\displaystyle Ψ(x,t)=\begin{cases}0&x<0\\Axe^{−αx}e^{−iEt/ℏ}&,x≥0\end{cases}\), onde\(\displaystyle α=2.0×10^{10}m^{−1}\).

(a) Encontre a constante de normalização.

(b) Encontre a probabilidade de que a partícula possa ser encontrada no intervalo\(\displaystyle 0≤x≤L\).

(d) Encontre o valor esperado da energia cinética.

31. A função de onda de uma partícula com massa m é dada por\(\displaystyle ψ(x)=\begin{cases}Acosαx&−\frac{π}{2α}≤x≤+\frac{π}{2α}\\0&otherwise\end{cases}\), onde\(\displaystyle α=1.00×10^{10}/m\).

(a) Encontre a constante de normalização.

(b) Encontre a probabilidade de que a partícula possa ser encontrada no intervalo\(\displaystyle 0≤x≤0.5×10^{−10}m\).

(d) Encontre seu momentum médio.

(e) Encontre sua energia cinética média\(\displaystyle −0.5×10^{−10}m≤x≤+0.5×10^{−10}m\).

7.2 O Princípio da Incerteza de Heisenberg

32. A medição da velocidade de uma\(\displaystyle α\) partícula -foi realizada com uma precisão de 0,02 mm/s. Qual é a incerteza mínima em sua posição?

33. Um gás de átomos de hélio a 273 K está em um recipiente cúbico com 25,0 cm de lado.

(a) Qual é a incerteza mínima nos componentes de momentum dos átomos de hélio?

(b) Qual é a incerteza mínima nos componentes de velocidade?

(b) à velocidade média de um átomo em cada direção.

34. Se a incerteza no\(\displaystyle y\) componente -da posição de um próton for 2,0 pm, encontre a incerteza mínima na medição simultânea da\(\displaystyle y\) componente -de velocidade do próton. Qual é a incerteza mínima na medição simultânea do componente xx da velocidade do próton?

35. Algumas partículas elementares instáveis têm uma energia de repouso de 80,41 GeV e uma incerteza na energia de repouso de 2,06 GeV. Estime a vida útil dessa partícula.

36. Um átomo em um estado metaestável tem uma vida útil de 5,2 ms. Encontre a incerteza mínima na medição da energia do estado excitado.

37. As medições indicam que um átomo permanece em um estado excitado por um tempo médio de 50,0 ns antes de fazer uma transição para o estado fundamental com a emissão simultânea de um fóton de 2,1 eV.

(a) Estime a incerteza na frequência do fóton.

(b) Que fração da frequência média do fóton é essa?

38. Suponha que um elétron esteja confinado a uma região de comprimento de 0,1 nm (da ordem do tamanho de um átomo de hidrogênio).

(a) Qual é a incerteza mínima de seu momentum?

(b) Qual seria a incerteza no momento se a região de comprimento confinado dobrasse para 0,2 nm?

7.3 A equação de Schrdinger

39. Combine equação\(7.4.1\) e equação\(7.4.2\) para mostrar\(\displaystyle k^2=\frac{ω^2}{c^2}\).

40. Mostre que\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\) é uma solução válida para a equação dependente do tempo de SchrDinger.

41. \(\displaystyle Ψ(x,t)=Asin(kx−ωt)\)Mostre\(\displaystyle Ψ(x,t)=Acos(kx−ωt)\) isso e não obedeça à equação dependente do tempo de SchrDinger.

42. Mostre que quando\(\displaystyle Ψ_1(x,t)\) e\(\displaystyle Ψ_2(x,t)\) são soluções para a equação de Schrdinger dependente do tempo e A, B são números, então uma função\(\displaystyle Ψ(x,t)\) que é uma superposição dessas funções também é uma solução:\(\displaystyle Ψ(x,t)=AΨ_1(x,t)+BΨ_1(x,t)\).

43. Uma partícula com massa m é descrita pela seguinte função de onda:\(\displaystyle ψ(x)=Acoskx+Bsinkx\), onde A, B e k são constantes. Supondo que a partícula esteja livre, mostre que essa função é a solução da equação estacionária de Schrdinger para essa partícula e encontre a energia que a partícula tem nesse estado.

44. Encontre o valor esperado da energia cinética para a partícula no estado,\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\). Que conclusão você pode tirar da sua solução?

45. Encontre o valor esperado do quadrado do momento quadrado da partícula no estado,\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\). Que conclusão você pode tirar da sua solução?

46. Um próton livre tem uma função de onda dada por\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(5.02×10^{11}x−8.00×10^{15}t)}\). O coeficiente de x é inverso em metros (\(\displaystyle m^{−1}\)) e o coeficiente em t é inverso em segundos (\(\displaystyle s^{−1}\)). Encontre seu impulso e energia.

7.4 A partícula quântica em uma caixa

47. Suponha que um elétron em um átomo possa ser tratado como se estivesse confinado a uma caixa de largura\(\displaystyle 2.0Å\). Qual é a energia do estado fundamental do elétron? Compare seu resultado com a energia cinética do estado fundamental do átomo de hidrogênio no modelo de Bohr do átomo de hidrogênio.

48. Suponha que um próton em um núcleo possa ser tratado como se estivesse confinado a uma caixa unidimensional de largura 10,0 fm.

(a) Quais são as energias do próton quando ele está nos estados correspondentes a\(\displaystyle n=1, n=2,\) e\(\displaystyle n=3\)?

(b) Quais são as energias dos fótons emitidos quando o próton faz as transições do primeiro e segundo estados excitados para o estado fundamental?

49. Um elétron confinado a uma caixa tem a energia do estado fundamental de 2,5 eV. Qual é a largura da caixa?

50. Qual é a energia do estado fundamental (em eV) de um próton confinado a uma caixa unidimensional do tamanho do núcleo de urânio que tem um raio de aproximadamente 15,0 fm?

51. Qual é a energia do estado fundamental (em eV) de uma partícula αα confinada a uma caixa unidimensional do tamanho do núcleo de urânio que tem um raio de aproximadamente 15,0 fm?

52. Para excitar um elétron em uma caixa unidimensional do primeiro estado excitado até o terceiro estado excitado, é necessário 20,0 eV. Qual é a largura da caixa?

53. Um elétron confinado a uma caixa de 0,15 nm de largura por barreiras infinitas de energia potencial emite um fóton quando faz uma transição do primeiro estado excitado para o estado fundamental. Encontre o comprimento de onda do fóton emitido.

54. Se a energia do primeiro estado excitado do elétron na caixa for 25,0 eV, qual é a largura da caixa?

55. Suponha que um elétron confinado a uma caixa emita fótons. O comprimento de onda mais longo registrado é 500,0 nm. Qual é a largura da caixa?

56. As\(\displaystyle H_2\) moléculas de hidrogênio são mantidas a 300,0 K em um recipiente cúbico com um comprimento lateral de 20,0 cm. Suponha que você possa tratar as moléculas como se elas estivessem se movendo em uma caixa unidimensional.

(a) Encontre a energia do estado fundamental da molécula de hidrogênio no recipiente.

(b) Suponha que a molécula tenha uma energia térmica dada por\(\displaystyle k_BT/2\) e encontre o número quântico correspondente n do estado quântico que corresponderia a essa energia térmica.

57. Um elétron está confinado a uma caixa de largura de 0,25 nm.

(a) Desenhe um diagrama de nível de energia representando os primeiros cinco estados do elétron.

(b) Calcule os comprimentos de onda dos fótons emitidos quando o elétron faz transições entre o quarto e o segundo estado excitado, entre o segundo estado excitado e o estado fundamental e entre o terceiro e o segundo estado excitado.

58. Um elétron em uma caixa está no estado fundamental com energia de 2,0 eV.

(a) Encontre a largura da caixa.

(b) Quanta energia é necessária para excitar o elétron até seu primeiro estado excitado?

(c) Se o elétron fizer uma transição de um estado excitado para o estado fundamental com a emissão simultânea de um fóton de 30,0 eV, encontre o número quântico do estado excitado?

7.5 O oscilador harmônico quântico

59. Mostre que os dois estados de energia mais baixos do oscilador harmônico simples\( ψ_0(x) \) e\( ψ_1(x) \) de\[\psi_n (x) = N_n e^{-\beta^2 x^2/2} H_n (\beta x) \nonumber \] com\(n = 0,1,2,3, ...\) satisfazem a equação de Schrdinger relacionada, independente do tempo\[-\dfrac{\hbar}{2m} \dfrac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \dfrac{1}{2}m\omega^2 x^2 \psi(x) = E\psi (x). \nonumber \]

60. Se a energia do estado fundamental de um oscilador harmônico simples for 1,25 eV, qual é a frequência de seu movimento?

61. Quando um oscilador harmônico quântico faz uma transição do\(\displaystyle (n+1)\) estado para o estado n e emite um fóton de 450 nm, qual é sua frequência?

62. As vibrações da molécula de hidrogênio\(\displaystyle H_2\) podem ser modeladas como um oscilador harmônico simples com a constante\(\displaystyle k=1.13×10^3N/m\) e a massa da mola\(\displaystyle m=1.67×10^{−27}kg\).

(a) Qual é a frequência vibracional dessa molécula?

(b) Quais são a energia e o comprimento de onda do fóton emitido quando a molécula faz a transição entre o terceiro e o segundo estado excitado?

63. Uma partícula com massa de 0,030 kg oscila para frente e para trás em uma mola com frequência de 4,0 Hz. Na posição de equilíbrio, ela tem uma velocidade de 0,60 m/s. Se a partícula estiver em um estado de energia definida, determine seu número quântico de energia.

64. Encontre o valor esperado\(\displaystyle x^2\) ⟩ do quadrado da posição para um oscilador harmônico quântico no estado fundamental. Nota:\(\displaystyle ∫^{+∞}_{−∞}dxx^2e ^{−ax^2}=\sqrt{π}(2a^{3/2})^{−1}\).

65. Determine o valor esperado da energia potencial para um oscilador harmônico quântico no estado fundamental. Use isso para calcular o valor esperado da energia cinética.

66. Verifique se\(\displaystyle ψ_1(x)\) dada pela Equação 7.57 é uma solução da equação de SchrDinger para o oscilador harmônico quântico.

67. Estime a energia do estado fundamental do oscilador harmônico quântico pelo princípio da incerteza de Heisenberg. Comece assumindo que o produto das incertezas\(\displaystyle Δx\)\(\displaystyle Δp\) está no mínimo. Escreva\(\displaystyle Δp\) em termos de\(\displaystyle Δx\) e suponha que para o estado fundamental\(\displaystyle x≈Δx\) e\(\displaystyle p≈Δp\), em seguida, escreva a energia do estado fundamental em termos de x. Finalmente, encontre o valor de x que minimiza a energia e encontre o mínimo da energia.

68. Uma massa de 0,250 kg oscila em uma mola com a força constante de 110 N/m. Calcule o nível de energia do solo e a separação entre os níveis de energia adjacentes. Expresse os resultados em joules e elétron-volts. Os efeitos quânticos são importantes?

7.6 O tunelamento quântico de partículas através de barreiras potenciais

69. Mostre que a função de onda em

(a) A equação 7.68 satisfaz a Equação 7.61, e

(b) A equação 7.69 satisfaz a Equação 7.63.

70. Um elétron de 6,0 eV impacta em uma barreira com altura de 11,0 eV. Encontre a probabilidade de o elétron atravessar a barreira se a largura da barreira for

(a) 0,80 nm e

(b) 0,40 nm.

71. Um elétron de 5,0 eV impacta em uma barreira de 0,60 nm. Encontre a probabilidade de o elétron atravessar a barreira se a altura da barreira for

(a) 7,0 eV;

(b) 9,0 eV; e

72. Um elétron de 12,0 eV encontra uma barreira de altura de 15,0 eV. Se a probabilidade do tunelamento de elétrons através da barreira for de 2,5%, determine sua largura.

73. Uma partícula quântica com energia cinética inicial de 32,0 eV encontra uma barreira quadrada com altura de 41,0 eV e largura de 0,25 nm. Encontre a probabilidade de que a partícula passe por essa barreira se a partícula for

(a) um elétron e,

(b) um próton.

74. Um modelo simples de decaimento nuclear radioativo pressupõe que as\(\displaystyle α\) partículas -estão presas dentro de um poço de potencial nuclear cujas paredes são as barreiras de uma largura finita de 2,0 fm e altura de 30,0 MeV. Encontre a probabilidade de tunelamento através da barreira potencial da parede para partículas αα com energia cinética

(a) 29,0 MeV e

(b) 20,0 MeV. A massa da\(\displaystyle α\) partícula -é\(\displaystyle m=6.64×10^{−27}kg\).

75. Um múon, uma partícula quântica com uma massa de aproximadamente 200 vezes a de um elétron, incide em uma barreira potencial de altura de 10,0 eV. A energia cinética do múon impactante é de 5,5 eV e apenas cerca de 0,10% da amplitude quadrada de sua função de onda de entrada filtra através da barreira. Qual é a largura da barreira?

76. Um grão de areia com massa de 1,0 mg e energia cinética de 1,0 J incide em uma barreira de energia potencial com altura de 1,000001 J e largura de 2500 nm. Quantos grãos de areia precisam cair nessa barreira antes que, em média, um passe?

Problemas adicionais

77. Mostre que se a incerteza na posição de uma partícula estiver na ordem do comprimento de onda de Broglie, então a incerteza em seu momento está na ordem do valor de seu momento.

78. A massa\(\displaystyle ρ\) de um méson é medida\(\displaystyle 770MeV/c^2\) com uma incerteza de\(\displaystyle 100MeV/c^2\). Estime a vida útil desse méson.

79. Uma partícula de massa m está confinada a uma caixa de largura L. Se a partícula estiver no primeiro estado excitado, quais são as probabilidades de encontrar a partícula em uma região de largura de 0,020 L em torno do ponto x dado:

(uma)\(\displaystyle x=0.25L\);

(b)\(\displaystyle x=0.40L\);

(c)\(\displaystyle x=0.75L\); e

(d)\(\displaystyle x=0.90L\).

80. Uma partícula em uma caixa [0; L] está no terceiro estado excitado. Quais são suas posições mais prováveis?

81. Uma bola de bilhar de 0,20 kg salta para frente e para trás sem perder sua energia entre as almofadas de uma mesa de 1,5 m de comprimento

(a) Se a bola estiver no estado fundamental, quantos anos ela precisa passar de uma almofada para a outra? Você pode comparar esse intervalo de tempo com a idade do universo.

(b) Quanta energia é necessária para fazer a bola passar do estado fundamental para o primeiro estado excitado? Compare-a com a energia cinética da bola se movendo a 2,0 m/s.

82. Encontre o valor esperado da posição ao quadrado quando a partícula na caixa está em seu terceiro estado excitado e o comprimento da caixa é L.

83. Considere um poço quadrado infinito com limites de parede\(\displaystyle x=0\)\(\displaystyle x=L\) e. Mostre que a função\(\displaystyle ψ(x)=Asinkx\) é a solução para a equação estacionária de Schrdinger para a partícula em uma caixa somente se\(\displaystyle k=\sqrt{2mE}/ℏ\). Explique por que essa é uma função de onda aceitável somente se k for um múltiplo inteiro de\(\displaystyle π/L\).

84. Considere um poço quadrado infinito com limites de parede\(\displaystyle x=0\)\(\displaystyle x=L\) e. Explique por que a função não\(\displaystyle ψ(x)=Acoskx\) é uma solução para a equação estacionária de Schrdinger para a partícula em uma caixa.

85. Os átomos em uma rede cristalina vibram em movimentos harmônicos simples. Supondo que um átomo de rede tenha uma massa de\(\displaystyle 9.4×10^{−26}kg\), qual é a constante de força da rede se um átomo de rede fizer uma transição do estado fundamental para o primeiro estado excitado quando absorve um\(\displaystyle 525-µm\) fóton?

86. Uma molécula diatômica se comporta como um oscilador harmônico quântico com a força constante de 12,0 N/m e massa\(\displaystyle 5.60×10^{−26}kg\).

(a) Qual é o comprimento de onda do fóton emitido quando a molécula faz a transição do terceiro estado excitado para o segundo estado excitado?

(b) Encontre a energia fundamental das vibrações para esta molécula diatômica.

87. Um elétron com energia cinética de 2,0 MeV encontra uma barreira de energia potencial de altura 16,0 MeV e largura de 2,00 nm. Qual é a probabilidade de o elétron emergir do outro lado da barreira?

88. Um feixe de prótons monoenergéticos com energia de 2,0 MeV cai sobre uma barreira de energia potencial de altura 20,0 MeV e de largura de 1,5 fm. Qual porcentagem do feixe é transmitida pela barreira?

Problemas de desafio

89. Um elétron em uma molécula orgânica longa usada em um laser de tinta se comporta aproximadamente como uma partícula quântica em uma caixa com largura de 4,18 nm. Encontre o fóton emitido quando o elétron faz uma transição do primeiro estado excitado para o estado fundamental e do segundo estado excitado para o primeiro estado excitado.

90. No STM, uma elevação da ponta acima da superfície que está sendo escaneada pode ser determinada com grande precisão, porque a corrente de tunelamento de elétrons entre os átomos da superfície e os átomos da ponta é extremamente sensível à variação da lacuna de separação entre eles de um ponto a outro ao longo da superfície. Supondo que a corrente de elétrons de tunelamento esteja em proporção direta à probabilidade de tunelamento e que a probabilidade de tunelamento seja de uma boa aproximação expressa pela função exponencial\(\displaystyle e^{−2βL}\) com\(\displaystyle β=10.0/nm\), determine a razão da corrente de tunelamento quando a ponta estiver 0,500 nm acima do superfície até a corrente quando a ponta está 0,515 nm acima da superfície.

91. Se o STM detectar características de superfície com alturas locais de cerca de 0,00200 nm, qual porcentagem de mudança na corrente de elétrons de tunelamento a eletrônica do STM deve ser capaz de detectar? Suponha que a corrente de elétrons de tunelamento tenha características dadas no problema anterior.

92. Use o princípio da incerteza de Heisenberg para estimar a energia do estado fundamental de uma partícula oscilando em uma mola com frequência angular,\(\displaystyle ω=\sqrt{k/m}\), onde k é a constante da mola e m é a massa.

93. Suponha que um poço quadrado infinito se estenda\(\displaystyle −L/2\) de\(\displaystyle +L/2\) a. Resolva a equação de Schrdinger independente do tempo para encontrar as energias permitidas e os estados estacionários de uma partícula com massa m que está confinada a esse poço. Em seguida, mostre que essas soluções podem ser obtidas fazendo a transformação de coordenadas\(\displaystyle x'=x−L/2\) para as soluções obtidas para o poço que se estende entre 0 e L.

94. Uma partícula de massa m confinada a uma caixa de largura L está em seu primeiro estado excitado\(\displaystyle ψ_2(x)\).

(a) Encontre sua posição média (que é o valor esperado da posição).

(b) Onde é mais provável que a partícula seja encontrada?