7.S: Mecânica Quântica (Resumo)

Termos-chave

função anti-simétrica	função ímpar
Interpretação natural	afirma que o quadrado de uma função de onda é a densidade de probabilidade
função complexa	função contendo partes reais e imaginárias
interpretação de Copenhague	afirma que quando um observador não está olhando ou quando uma medição não está sendo feita, a partícula tem muitos valores de quantidades mensuráveis, como posição
princípio da correspondência	no limite das grandes energias, as previsões da mecânica quântica concordam com as previsões da mecânica clássica
níveis de energia	estados de energia definida, geralmente representados por linhas horizontais em um diagrama de “escada” de energia
número quântico de energia	índice que rotula os estados de energia permitidos
princípio da incerteza de tempo de energia	relação energia-tempo para incertezas nas medições simultâneas da energia de um estado quântico e de sua vida útil
função uniforme	em uma dimensão, uma função simétrica com a origem do sistema de coordenadas
valor esperado	valor médio da quantidade física assumindo um grande número de partículas com a mesma função de onda
emissão de campo	emissão de elétrons das superfícies do condutor quando um forte campo elétrico externo é aplicado na direção normal à superfície do condutor
energia do estado fundamental	estado de energia mais baixo no espectro de energia
Princípio da incerteza de Heisenberg	impõe limites ao que pode ser conhecido a partir de medições simultâneas de posição e momento; afirma que, se a incerteza na posição for pequena, a incerteza sobre o momento é grande e vice-versa
poço quadrado infinito	função potencial que é zero em uma faixa fixa e infinitamente além dessa faixa
operador de momentum	operador que corresponde ao momento de uma partícula
nanotecnologia	tecnologia baseada na manipulação de nanoestruturas, como moléculas ou átomos individuais, para produzir nano-dispositivos, como circuitos integrados
condição de normalização	requer que a densidade de probabilidade integrada em todo o espaço físico resulte no número um
função ímpar	em uma dimensão, uma função antisimétrica com a origem do sistema de coordenadas
operador de posição	operador que corresponde à posição de uma partícula
barreira potencial	função potencial que sobe e desce com o aumento dos valores de posição
número quântico principal	número quântico de energia
densidade de probabilidade	quadrado da função de onda da partícula
ponto quântico	pequena região de um nanocristal semicondutor embutido em outro nanocristal semicondutor, atuando como um poço potencial para elétrons
tunelamento quântico	fenômeno em que as partículas penetram através de uma barreira de energia potencial com uma altura maior que a energia total das partículas
tunelamento ressonante	o tunelamento de elétrons através de um poço potencial de altura finita que ocorre somente quando as energias dos elétrons correspondem a um nível de energia no poço, ocorre em pontos quânticos
diodo de tunelamento ressonante	ponto quântico com um viés de tensão aplicado sobre ele
microscópio de tunelamento de varredura (STM)	dispositivo que utiliza o fenômeno de tunelamento quântico em superfícies metálicas para obter imagens de estruturas em nanoescala
Equação dependente do tempo de SchrDinger	equação no espaço e no tempo que nos permite determinar as funções de onda de uma partícula quântica
Equação independente do tempo de SchrDinger	equação no espaço que nos permite determinar as funções de onda de uma partícula quântica; essa função de onda deve ser multiplicada por um fator de modulação de tempo para obter a função de onda dependente do tempo
estado de onda estacionária	estado estacionário para o qual as partes real e imaginária de (x, t) (x, t) oscilam para cima e para baixo como uma onda estacionária (geralmente modelada com funções seno e cosseno)
redução estadual	processo hipotético no qual uma partícula observada ou detectada “salta para” um estado definido, frequentemente descrito em termos do colapso da função de onda da partícula
estado estacionário	estado para o qual a função de densidade de probabilidade\(\displaystyle |Ψ(x,t)|^2\),, não varia no tempo
fator de modulação temporal	fator\(\displaystyle e^{−iωt}\) que multiplica a função de onda independente do tempo quando a energia potencial da partícula é independente do tempo
probabilidade de transmissão	também chamada de probabilidade de tunelamento, a probabilidade de uma partícula passar por uma barreira de potencial
diodo de túnel	junção de tunelamento de elétrons entre dois semicondutores diferentes
probabilidade de tunelamento	também chamada de probabilidade de transmissão, a probabilidade de uma partícula passar por uma barreira de potencial
função de onda	função que representa o estado quântico de uma partícula (sistema quântico)
colapso da função de onda	equivalente à redução estadual
pacote de ondas	superposição de muitas ondas de matéria plana que podem ser usadas para representar uma partícula localizada

Equações-chave

Condição de normalização em uma dimensão	\(\displaystyle P(x=−∞,+∞)=∫_{−∞}^∞∣Ψ(x,t)∣^2dx=1\)
Probabilidade de encontrar uma partícula em um intervalo estreito de posição em uma dimensão\(\displaystyle (x,x+dx)\)	\(\displaystyle P(x,x+dx)=Ψ^∗(x,t)Ψ(x,t)dx\)
Valor esperado da posição em uma dimensão	\(\displaystyle ⟨x⟩=∫_{−∞}^∞Ψ^∗(x,t)xΨ(x,t)dx\)
Princípio de incerteza posição-momentum de Heisenberg	\(\displaystyle ΔxΔp≥\frac{ℏ}{2}\)
Princípio da incerteza energia-tempo de Heisenberg	\(\displaystyle ΔEΔt≥\frac{ℏ}{2}\)
Equação dependente do tempo de SchrDinger	\(\displaystyle −\frac{ℏ^2}{2m}\frac{∂^2Ψ(x,t)}{∂x^2}+U(x,t)Ψ(x,t)=iℏ\frac{∂Ψ(x,t)}{∂t}\)
Forma geral da função de onda para um potencial independente do tempo em uma dimensão	\(\displaystyle Ψ(x,t)=ψ(x)e^{−iω}\)
Equação independente do tempo de SchrDinger	\(\displaystyle −\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2ψ(x)}{dx^2}+U(x)ψ(x)=Eψ(x)\)
Equação de SchrDinger (partícula livre)	\(\displaystyle −\frac{ℏ^2}{2m}\frac{∂^2ψ(x)}{∂x^2}=Eψ(x)\)
Energias permitidas (partícula em caixa de comprimento L)	\(\displaystyle E_n=n^2\frac{π^2ℏ^2}{2mL^2},n=1,2,3,...\)
Estados estacionários (partícula em uma caixa de comprimento L)	\(\displaystyle ψ_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sin\frac{nπx}{L},n=1,2,3,...\)
Função de energia potencial de um oscilador harmônico	\(\displaystyle U(x)=\frac{1}{2}mω^2x^2\)
Equação de SchrDinger (oscilador harmônico)	\(\displaystyle −\frac{ℏ^{2}}{2m}\frac{d^2ψ(x)}{dx^2}+\frac{1}{2}mω^2x^2ψ(x)=Eψ(x)\)
O espectro de energia	\(\displaystyle E_n=(n+\frac{1}{2})ℏω,n=0,1,2,3,...\)
As funções da onda de energia	\(\displaystyle ψ_n(x)=N_ne^{−β^2x^2/2}H_n(βx),n=0,1,2,3,...\)
Barreira potencial	\(\displaystyle U(x)=\begin{cases}0,& \mathrm{when} \: x<0\\ U_0,& \mathrm{when} \: 0≤x≤L\\0,& \mathrm{when} \: x>L\end{cases}\)
Definição do coeficiente de transmissão	\(\displaystyle T(L,E)=\frac{|ψ_{tra}(x)|^2}{|ψ_{in}(x)|^2}\)
Um parâmetro no coeficiente de transmissão	\(\displaystyle β^2=\frac{2m}{ℏ^2}(U_0−E)\)
Coeficiente de transmissão, exato	\(\displaystyle T(L,E)=\frac{1}{cosh^2βL+(γ/2)^2sinh^2βL}\)
Coeficiente de transmissão, aproximado	\(\displaystyle T(L,E)=16\frac{E}{U_0}(1−\frac{E}{U_0})e^{−2βL}\)

Resumo

7.1: Funções de onda

• Na mecânica quântica, o estado de um sistema físico é representado por uma função de onda.
• Na interpretação de Born, o quadrado da função de onda da partícula representa a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em torno de um local específico no espaço.
• As funções de onda devem primeiro ser normalizadas antes de usá-las para fazer previsões.
• O valor esperado é o valor médio de uma quantidade que requer uma função de onda e uma integração.

7.2: O Princípio da Incerteza de Heisenberg

• O princípio da incerteza de Heisenberg afirma que é impossível medir simultaneamente os componentes x da posição e do momento de uma partícula com uma precisão arbitrariamente alta. O produto das incertezas experimentais é sempre maior ou igual\(\displaystyle ℏ/2\) a.
• As limitações desse princípio não têm nada a ver com a qualidade do aparato experimental, mas se originam na natureza ondulatória da matéria.
• O princípio da incerteza de energia e tempo expressa a observação experimental de que um estado quântico que existe apenas por um curto período de tempo não pode ter uma energia definida.

7.3: A equação de Schrdinger

• A equação de SchrDinger é a equação fundamental da mecânica quântica das ondas. Isso nos permite fazer previsões sobre as funções das ondas.
• Quando uma partícula se move em um potencial independente do tempo, uma solução da equação de Schrdinger dependente do tempo é um produto de uma função de onda independente do tempo e um fator de modulação do tempo.
• A equação de SchrDinger pode ser aplicada a muitas situações físicas.

7.4: A partícula quântica em uma caixa

• Os estados de energia de uma partícula quântica em uma caixa são encontrados resolvendo a equação de Schrdinger independente do tempo.
• Para resolver a equação de Schrdinger independente do tempo para uma partícula em uma caixa e encontrar os estados estacionários e as energias permitidas, exigimos que a função de onda termine na parede da caixa.
• Os estados de energia de uma partícula em uma caixa são quantizados e indexados pelo número quântico principal.
• A imagem quântica difere significativamente da imagem clássica quando uma partícula está em um estado de baixa energia de um número quântico baixo.
• No limite dos números quânticos altos, quando a partícula quântica está em um estado altamente excitado, a descrição quântica de uma partícula em uma caixa coincide com a descrição clássica, no espírito do princípio de correspondência de Bohr.

7.5: O oscilador harmônico quântico

• O oscilador harmônico quântico é um modelo construído em analogia com o modelo de um oscilador harmônico clássico. Ele modela o comportamento de muitos sistemas físicos, como vibrações moleculares ou pacotes de ondas na óptica quântica.
• As energias permitidas de um oscilador quântico são discretas e espaçadas uniformemente. O espaçamento de energia é igual ao quântico de energia de Planck.
• A energia do estado fundamental é maior que zero. Isso significa que, diferentemente de um oscilador clássico, um oscilador quântico nunca está em repouso, mesmo no fundo de um poço potencial, e sofre flutuações quânticas.
• Os estados estacionários (estados de energia definida) têm valores diferentes de zero também em regiões além dos pontos de inflexão clássicos. Quando no estado fundamental, é mais provável que um oscilador quântico seja encontrado em torno da posição mínima do poço potencial, que é a posição menos provável para um oscilador clássico.
• Para números quânticos altos, o movimento de um oscilador quântico se torna mais semelhante ao movimento de um oscilador clássico, de acordo com o princípio de correspondência de Bohr.

7.6 O tunelamento quântico de partículas através de barreiras potenciais

• Uma partícula quântica que incide em uma barreira potencial de largura e altura finitas pode cruzar a barreira e aparecer do outro lado. Esse fenômeno é chamado de “tunelamento quântico”. Ele não tem um análogo clássico.
• Para encontrar a probabilidade de tunelamento quântico, assumimos a energia de uma partícula incidente e resolvemos a equação estacionária de Schrdinger para encontrar funções de onda dentro e fora da barreira. A probabilidade de tunelamento é uma razão entre as amplitudes quadradas da onda após a barreira e a onda incidente.
• A probabilidade de tunelamento depende da energia da partícula incidente em relação à altura da barreira e à largura da barreira. É fortemente afetado pela largura da barreira de forma exponencial e não linear, de modo que uma pequena mudança na largura da barreira causa uma mudança desproporcionalmente grande na probabilidade de transmissão.
• Os fenômenos de tunelamento quântico governam os decaimentos nucleares radioativos. Eles são utilizados em muitas tecnologias modernas, como STM e nanoeletrônica. O STM nos permite ver átomos individuais em superfícies metálicas. Os dispositivos de tunelamento de elétrons revolucionaram a eletrônica e nos permitem construir dispositivos eletrônicos rápidos de tamanhos em miniatura.