7.4: A equação de Schrdinger
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Ao final desta seção, você poderá:
- Descreva o papel que a equação de SchrDinger desempenha na mecânica quântica
- Explicar a diferença entre as equações de Schrdinger dependentes do tempo e independentes
- Interprete as soluções da equação de SchrDinger
Nas duas seções anteriores, descrevemos como usar uma função de onda mecânica quântica e discutimos o princípio da incerteza de Heisenberg. Nesta seção, apresentamos uma teoria completa e formal da mecânica quântica que pode ser usada para fazer previsões. Ao desenvolver essa teoria, é útil revisar a teoria das ondas da luz. Para uma onda de luz, o campo elétrico\(E(x,t)\) obedece à relação
\[\dfrac{\partial^2E}{\partial x^2} = \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2E}{\partial t^2}, \label{eq1} \]
onde\(c\) é a velocidade da luz e o símbolo\(∂\) representa uma derivada parcial. (Lembre-se de Oscillations que uma derivada parcial está intimamente relacionada a uma derivada comum, mas envolve funções de mais de uma variável. Ao tomar a derivada parcial de uma função por uma determinada variável, todas as outras variáveis são mantidas constantes.) Uma onda de luz consiste em um número muito grande de fótons, então a quantidade\(|E(x,t)|^2\) pode ser interpretada como uma densidade de probabilidade de encontrar um único fóton em um determinado ponto do espaço (por exemplo, em uma tela de visualização).
Existem muitas soluções para essa equação. Uma solução de particular importância é
\[E(x,t) = A \, \sin \, (kx - \omega t), \label{eq2} \]
onde\(A\) está a amplitude do campo elétrico,\(k\) é o número da onda e\(ω\) é a frequência angular. Combinando esta equação com a Equação\ ref {eq1} dá
\[k^2 = \dfrac{\omega^2}{c^2},\label{eq3} \]
De acordo com as equações de de Broglie, temos\(p=ℏk\)\(E=ℏω\) e. Substituindo essas equações na Equação\ ref {eq3} dá
\[p = \dfrac{E}{c}, \nonumber \]
ou
\[E = pc. \label{eq5} \]
Portanto, de acordo com a equação geral de energia-momento de Einstein (Equação 5.10.26), a Equação\ ref {eq5} descreve uma partícula com massa restante zero. Isso é consistente com nosso conhecimento de um fóton.
Esse processo pode ser revertido. Podemos começar com a equação energia-momento de uma partícula e depois perguntar qual equação de onda corresponde a ela. A equação energia-momento de uma partícula não relativista em uma dimensão é
\[E = \dfrac{p^2}{2m} + U(x,t), \nonumber \]
onde p é o momento, m é a massa e U é a energia potencial da partícula. A equação de onda que a acompanha acaba sendo uma equação chave na mecânica quântica, chamada de equação dependente do tempo de SchrDinger.
A equação que descreve a energia e o momento de uma função de onda é conhecida como equação de SchrDinger:
\[-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi \, (x,t)}{\partial x^2} + U \, (x,t) \, \Psi \, (x,t) = i \hbar \dfrac{\partial \Psi \, (x,t)}{\partial t}. \label{SchroDep} \]
Conforme descrito em Energia Potencial e Conservação de Energia, a força na partícula descrita por esta equação é dada por
\[F = - \dfrac{\partial U \, (x,t)}{\partial x}. \label{7.24} \]
Essa equação desempenha um papel na mecânica quântica semelhante à segunda lei de Newton na mecânica clássica. Uma vez especificada a energia potencial de uma partícula — ou, equivalentemente, uma vez especificada a força sobre a partícula — podemos resolver essa equação diferencial para a função de onda. A solução para a equação da segunda lei de Newton (também uma equação diferencial) em uma dimensão é uma função x (t) que especifica onde um objeto está a qualquer momento t. A solução para a equação dependente do tempo de Schrdinger fornece uma ferramenta — a função de onda — que pode ser usada para determinar onde a partícula provavelmente estará. Essa equação também pode ser escrita em duas ou três dimensões. Resolver a equação dependente do tempo de Schrdinger geralmente requer a ajuda de um computador.
Considere o caso especial de uma partícula livre. Uma partícula livre não experimenta força (\(F = 0\)). Com base na Equação\ ref {7.24}, isso requer apenas isso
\[U \, (x,t) = U_0 = constant. \label{7.25} \]
Para simplificar, definimos\(U_0 = 0\). A equação de SchrDinger então se reduz para
\[-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2 \Psi \, (x,t)}{\partial x^2} = i \hbar \dfrac{\partial \Psi \, (x,t)}{\partial t}.\label{7.26} \]
Uma solução válida para essa equação é
\[\Psi \, (x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}.\label{7.27} \]
Não é de surpreender que essa solução contenha um número imaginário (\(i = \sqrt{-1}\)) porque a própria equação diferencial contém um número imaginário. Como enfatizado anteriormente, no entanto, as previsões de mecânica quântica dependem apenas de\(|\Psi \, (x,t)|^2\), que produz valores completamente reais. Observe que as soluções reais de ondas planas\(\Psi \, (x,t) = A \, sin \, (kx - \omega t)\) e\(\Psi \, (x,t) = A \, cos \, (kx - \omega t)\), não obedecem à equação de Schrödinger. A tentação de pensar que uma função de onda pode ser vista, tocada e sentida na natureza é eliminada pelo aparecimento de um número imaginário. Na teoria da mecânica quântica de SchrDinger, a função de onda é meramente uma ferramenta para calcular coisas.
Se a função de energia potencial (U) não depender do tempo, é possível mostrar que
\[\Psi \, (x,t) = \psi (x) \, e^{-i\omega t} \label{7.28} \]
satisfaz a equação dependente do tempo de SchrDinger, onde\(\psi (x)\) é uma função independente do tempo e e−iω te−iω t é uma função independente do espaço. Em outras palavras, a função de onda é separável em duas partes: uma parte somente espacial e uma parte somente temporal. Às vezes, o fator\(e^{-i\omega t}\) é chamado de fator de modulação de tempo, pois modifica a função somente de espaço. De acordo com de Broglie, a energia de uma onda de matéria é dada por\(E = \hbar \omega\), onde E é sua energia total. Assim, a equação acima também pode ser escrita como
\[\Psi \, (x,t) = \psi (x) \, e^{-iEt/\hbar}. \label{stationary} \]
Qualquer combinação linear de tais estados (estado misto de energia ou momento) também é uma solução válida para essa equação. Esses estados podem, por exemplo, descrever uma partícula localizada (veja a Figura 7.3.1)
Uma partícula com massa m está se movendo ao longo do eixo x em um potencial dado pela função de energia potencial\(U(x) = 0.5 m \, \omega^2x^2\). Calcule o produto\(\Psi \, (x,t)^* U(x) \, \Psi \, (x,t)\). Expresse sua resposta em termos da função de onda independente do tempo,\(\psi (x)\).
Resposta:
\(0.5 \, m\omega^2 x^2 \, \psi (x)^* \psi(x)\)
Combinando a Equação\ ref {estacionária} e a Equação\ ref {SchroDep}, a equação dependente do tempo de Schrödinger se reduz à equação independente do tempo de SchrDinger.
\[- \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + U \, (x) \, \psi (x) = E \, \psi(x), \label{SchroIndep} \]
onde\(E\) é a energia total da partícula (um número real).
Observe que usamos “big psi” (\(\Psi\)) para a função de onda dependente do tempo e “little psi” (\(\psi\)) para a função de onda independente do tempo. A solução da função de onda para essa equação deve ser multiplicada pelo fator de modulação de tempo para obter a função de onda dependente do tempo.
Nas próximas seções, resolveremos a equação independente do tempo de SchrDinger para três casos: uma partícula quântica em uma caixa, um oscilador harmônico simples e uma barreira quântica. Esses casos fornecem lições importantes que podem ser usadas para resolver sistemas mais complicados. As\(\psi(x)\) soluções de função de onda independentes do tempo devem satisfazer três condições:
- \(\psi (x)\)deve ser uma função contínua.
- A primeira derivada de em\(\psi(x)\) relação ao espaço,\(d\psi (x) /dx\), deve ser contínua, a menos que\(V (x) = \infty\).
- \(\psi (x)\)não deve divergir (“explodir”) em\(x = \pm \infty\).
A primeira condição evita saltos repentinos ou lacunas na função de onda. A segunda condição exige que a função de onda seja suave em todos os pontos, exceto em casos especiais. (Em um curso mais avançado sobre mecânica quântica, por exemplo, picos potenciais de profundidade e altura infinitas são usados para modelar sólidos). A terceira condição exige que a função de onda seja normalizável. Essa terceira condição decorre da interpretação de Born da mecânica quântica. Ele garante que\(|\psi(x)|^2\) seja um número finito para que possamos usá-lo para calcular probabilidades.
Qual das seguintes funções de onda é uma solução de função de onda válida para a equação de SchrDinger?
Resposta:
Nenhuma. A primeira função tem uma descontinuidade; a segunda curva nem é uma função - ela tem valor duplo; e a terceira função diverge, portanto, não é normalizável.