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8.2: Multiplicação polinomial

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    Os polinômios podem ser classificados como:

    • Monômios se contiverem um termo.
    • Binômios se contiverem dois termos.
    • Trinômios se contiverem três termos.
    • Polinômios se contiverem três ou mais termos.

    Não há exemplos ou trabalhos de casa nesta seção.

    Multiplicação de dois monômios

    Definição: Multiplicação de dois monômios

    Para multiplicar dois monômios, multiplique os termos somando os expoentes e multiplicando os coeficientes numéricos.

    Exemplo Template:index

    Multiplique dois monômios:

    1. \((3x^2 )(6x^3 )\)
    2. \((4x)(x)\)
    3. \((−2x^3 )(−7x^4 )\)
    Solução
    1. \(\begin{array} &&(3x^2 )(6x^3 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3)(6)(x^{2+3}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents on the variables using the Product Rule for Exponents} \\ &18x^5 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(4x)(x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(4)(1)(x^{1+1}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents. The coefficient on \(x\)é\(1\), e o expoente em cada um\(x\) é\(1\).}\\ &4x^2 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Solution}\ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&(−2x^3 )(−7x^4 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(−2)(−7)(x^{3+4}) &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents.} \\ &14x^7 &\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    Exercício Template:index

    Multiplique dois monômios:

    1. \((−3x^4 )(9x^7 )\)
    2. \((2x)(2x)\)
    3. \((−4x^7 )(5x^5 )\)
    4. \((−6x^2 )(−x^2 )\)

    Multiplicação de um polinômio por um monômio

    Definição: Multiplicação de um polinômio por um monômio

    Para multiplicar um polinômio por um monômio, multiplique todos os termos do polinômio pelo monômio. Mantenha todas as subtrações no polinômio original com o termo após a subtração como sinal do coeficiente do termo.

    Exemplo Template:index

    Multiplique um polinômio por um monômio:

    1. \(3x^2 (15x^2 − 5x)\)
    2. \(−7x(3x^2 − 2x + 9)\)
    3. \(5x(4x^3 − 2x^2 + x − 3)\)
    Solução
    1. \(\begin{array} &&3x^2 (15x^2 − 5x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3x^2 )(15x^2 ) + (3x^2 )(−5x) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply all terms of the polynomial by the monomial. Then simplify by multiplying the pairs of monomials.} \\ &45x^4 + (−15x^3 ) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &45x^4 − 15x^3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&−7x(3x^2 − 2x + 9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(−7x)(3x^2 ) + (−7x)(−2x) + (−7x)(9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Multiply the coefficients and add the exponents. The coefficient on \(x\)é\(1\), e o expoente em cada um\(x\) é\(1\).}\\ &−21x^3 + 14x^2 − 63x &\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Solution}\ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &&5x(4x^3 − 2x^2 + x − 3) &\text{Example problem} \\ &(5x)(4x^3 ) + (5x)(−2x^2 ) + (5x)(x) + (5x)(−3) &\text{Multiply the coefficients and add the exponents.} \\ &20x^4 − 10x^3 + 5x^2 − 15x &\text{Solution} \end{array}\)
    Exercício Template:index

    Multiplique um polinômio por um monômio:

    1. \((−6x)(x^2 − 3)\)
    2. \((3x^4 )(2x^2 − x − 5)\)
    3. \((−4x^5 )(x^4 − 3x^3 + 3x^2 − x − 7)\)
    4. \((x^2 )(−x^3 − 12)\)

    Multiplicação de dois binômios

    Definição: Multiplicação de dois binômios

    Para multiplicar dois binômios, use a técnica FOIL para multiplicar: primeiros termos, termos externos, termos internos e últimos termos. FOIL garante que todos os termos no primeiro binômio sejam multiplicados por todos os termos no segundo binômio. A ordem de multiplicação dos termos não importa, pois a multiplicação é comutativa. Tenha o cuidado de combinar quaisquer termos semelhantes para simplificar totalmente a solução.

    Exemplo Template:index

    Multiplique dois binômios:

    1. \((3x − 4)(2x + 5)\)
    2. \((5x^2 − 2)(5x^2 + 2)\)
    3. \((7x^3 − 4x^2 )(x − 5)\)
    Solução
    1. \(\begin{array} &&(3x − 4)(2x + 5) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(3x)(2x) + (3x)(5) + (−4)(2x) + (−4)(5) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^2 + 15x + (−8x) + (−20) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^2 + 7x − 20 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(5x^2 − 2)(5x^2 + 2) &\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(5x^2 )(5x^2 ) + (5x^2 )(2) + (−2)(5x^2 ) + (−2)(2) &\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &25x^4 + 10x^2 + (−10x^2 ) + (−4) &\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &25x^4 − 4 &\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(7x^3 − 4x^2 )(x − 5) &\text{Example problem} \\ &(7x^3 )(x) + (7x^3 )(−5) + (−4x^2 )(x) + (−4x^2 )(−5) &\text{FOIL the terms to multiply all terms in the first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &7x^4 + (−35x^3 ) + (−4x^3 ) + 20x^2 &\text{Combine like terms and simplify} \\ &7x^4 − 39x^3 + 20x^2 &\text{Solution} \end{array}\)
    Exercício Template:index

    Multiplique dois binômios:

    1. \((2x − 3)(6x + 5)\)
    2. \((3x^2 − 4)(3x^2 + 4)\)
    3. \((−4x^5 − 2)(7x^3 + 3)\)
    4. \((2x − 7)(3x − 8)\)

    Multiplicação de dois polinômios

    Definição: Multiplicação de dois polinômios

    Para multiplicar dois polinômios, use a propriedade distributiva para multiplicar cada termo no primeiro polinômio por cada termo no segundo polinômio. Termos semelhantes são então combinados para simplificar a solução.

    Exemplo Template:index

    Multiplique dois polinômios:

    1. \((2x + 5)(3x^2 − 6x + 9)\)
    2. \((2x^2 + 4x − 5)(3x − 2)\)
    3. \((x^2 − x + 3)(2x^2 + 6x − 1)\)
    Solução
    1. \(\begin{array} &&(2x + 5)(3x^2 − 6x + 9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(2x)(3x^2 ) + (2x)(−6x) + (2x)(9) + (5)(3x^2 ) + (5)(−6x) + (5)(9) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^3 + (−12x^2 ) + 18x + 15x^2 + (−30x) + 45 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^3 + 3x^2 − 12x + 45 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(2x^2 + 4x − 5)(3x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &(2x^2 )(3x) + (2x^2 )(−2) + (4x)(3x) + (4x)(−2) + (−5)(3x) + (−5)(−2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &6x^3 + (−4x^2 ) + 12x^2 + (−8x) + (−15x) + 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Combine like terms and simplify} \\ &6x^3 + 8x^2 − 23x + 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Solution} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&(x^2 − x + 3)(2x^2 + 6x − 1) &\text{Example problem} \\ &(x^2 )(2x^2 ) + (x^2 )(6x) + (x^2 )(−1) + (−x)(2x^2 ) + (−x)(6x) + (−x)(−1) + (3)(2x^2 ) + (3)(6x) + (3)(−1) &\text{FOIL the terms to multiply all terms in the} \\ & & \text{first binomial by all terms in the second binomial.} \\ &2x^4 + 6x^3 + (−1x^2 ) + (−2x^3 ) + (−6x^2 ) + x + 6x^2 + 18x + (−3) &\text{Combine like terms and simplify} \\ &2x^4 + 4x^3 − x^2 + 19x − 3 &\text{Solution} \end{array}\)
    Exercício Template:index

    Multiplique dois polinômios:

    1. \((x^2 − 2x − 1)(2x^2 − 7x − 8)\)
    2. \((3x^2 − 5)(x^2 + 4x − 3)\)
    3. \((4x^3 − 2x + 1)(6x^2 + 3)\)
    4. \((2x^3 − 3x + 4)(2x^2 − 8x + 2)\)