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8.3: Fatorando e encontrando soluções polinomiais (zeros)

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Existem várias maneiras de encontrar soluções de polinômios que são trinômios da forma\(ax^2 + bx + c = 0\). Essas soluções também são chamadas de zeros reais dos polinômios.

    1. Método de fatoração por tentativa e verificação: Com esse método, o objetivo é criar dois binômios que, quando multiplicados juntos, resultam no trinômio dado. Esse método pode ser muito difícil quando o trinômio dado tem grandes valores de\(a\)\(c\) e. Quando a fatoração estiver concluída, encontre todos os zeros reais usando a propriedade do fator zero e definindo cada fator como igual a\(0\) e resolva por\(x\).
    2. Método de fatoração fatorial por agrupamento: Com esse método, o objetivo é criar quatro termos dividindo o termo intermediário em dois termos, cujos coeficientes têm um produto de\(a ∗ c\) e têm uma soma de\(b\). A ordem dos termos centrais não importa. Depois que os quatro termos forem criados, emparelhe os dois primeiros termos com parênteses, emparelhe os dois segundos termos com parênteses e exclua o GCF de ambos os pares. O binômio repetido resultante é um fator, e os fatores GCF se combinam para formar o segundo binômio. Esse é o método mais fácil de usar em qualquer trinômio fatorável do formulário\(ax^2 + bx + c\), mas pode ter uma pequena curva de aprendizado. Quando a fatoração estiver concluída, encontre todos os zeros reais usando a propriedade do fator zero e definindo cada fator como igual a\(0\) e resolva por\(x\).
    3. A fórmula quadrática: A fórmula quadrática pode ser usada para encontrar os zeros reais de um trinômio fatorável. Consulte o Índice para encontrar a seção que explica como usar a Fórmula Quadrática.
    Exemplo Template:index

    Fatore as expressões usando qualquer um dos métodos discutidos nesta seção (esses exemplos de problemas demonstrarão o método Fator by Grouping):

    1. \(4x^2 − 3x − 10\)
    2. \(8x^2 − 2x − 3\)
    3. \(12x − 14x^3 + 22x^2\)
    4. \(\dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4}\)
    5. \(\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1}\)
    Solução
    1. \(\begin{array} &&4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)é\(4∗(−10) = −40\), Sum é\(b = −3\). Para usar o fator por agrupamento,}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {são necessários dois termos intermediários que se multiplicam a um produto de\(−40\) e somam a uma soma de\(−3\).}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {\(8\)e \(5\)são bons candidatos; Como o produto deve ser negativo, um desses valores deve ser negativo.}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ texto {\(−8\)e positivo\(5\) funcionarão, porque seu produto é\(−40\) e sua soma é\(−3\).}\\ & ; 4x^2 − 8x + 5x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Quatro termos, a soma dos dois termos intermediários é o termo médio original,\\(−3x\)}\ & (4x^2 − 8x) + (5x − 10) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Criar pares de termos}\\ &4 x (x − 2) + 5 (x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Fator o GCF de cada par- um fator binomial repetido está sempre presente}\\ & (4x + 5) (x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Solução. Certifique-se de verificar por FOIL.} \ end {matriz}\)
    1. \(\begin{array} &&8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)é\(8∗(−3) = −24\), Sum é\(b = −2\). Para usar o fator por agrupamento,}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {são necessários dois termos intermediários que se multiplicam em um produto de\(−24\) e somam a uma soma de\(−2\).}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {\(6\)e\(4\) são bons candidatos; Como o produto deve ser negativo, um desses valores deve ser negativo.}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {\(−6\)e positivo\(4\) funcionará, porque seu produto é\(−24\) e sua soma é\(−2\).}\\ 8x^2 + 4x − 6x − 3 &\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Quatro termos, a soma dos dois termos intermediários é o termo intermediário original,\(−2x\).}\\ & & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {A ordem dos dois termos intermediários não importa.}\\ & (8x^2 + 4x) + (−6x − 3) &\;\;\;\;\;\;\ ;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ text {Crie pares de termos. Observe a adição entre os parênteses;}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {o terceiro dos quatro termos era negativo aqui, então o sinal permanece com o termo.}\\ &4x (2x + 1) + (−3) (2x + 1) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Fator o GCF de cada par - um fator binomial repetido está sempre presente}\\ & (4x − 3) (2x + 1) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ text {Solução. Certifique-se de verificar por FOIL.} \ end {matriz}\)
    1. \(\begin{array} && 12x − 14x^3 + 22x^2 &\text{Example problem} \\ &−14x^3 + 22x^2 + 12x &\text{Reorder the terms in decreasing order of variable degree.} \\ &2x(−7x^2 + 11x + 6) &\text{Factor out the GCF so a trinomial results that can be factored using factor by grouping.} \\ & &\text{The GCF of \(2x\)será incluído na resposta final, então não se esqueça disso.}\\ &−7x^2 + 11x + 6 &\ text {Produto\(ac\) é\(−7 ∗ 6 = −42\), Soma é\(b = 11\). Para usar fator por agrupamento,}\\ & &\ text {dois termos intermediários são necessários que se multiplicam até um produto de\(−42\) e somados a uma soma de\(11\).}\\ & &\ text {Não há números que atendam a esses dois requisitos,}\\ & &\ text {o que significa que o trinômio não é fatorável em fatores inteiros.}\\ &−7x^2 + 11x + 6 &\ text {Para encontrar os fatores e os zeros do polinômio, use a Fórmula Quadrática.}\\ & &\ text {Let\(a = −7\),,\(b = 11\),\(c = 6\)}\\ &x =\ dfrac {−11 ±\ sqrt {11^2 − 4 (−7) (6)}} {2 (−7)} &\ text {Fórmula quadrática}\\ &x =\ dfrac {−11 ±\ sqrt {121 + 168}} {-14} &\ text {Simplifique}\\ &x =\ dfrac {11 ±\ sqrt {289}} {14} &\ text {Separar de todos os termos}\\ &x =\ dfrac {11 ±\ sqrt {289}} {14} = 2,\;\; x =\ dfrac {11 −\ sqrt {289}} {14} = 2,\;\; x =\ dfrac {11 −\ sqrt {289}} {14} = 2,\;\; x =\ dfrac {11 − 9}} {14} = −\ dfrac {3} {7} &\ text {Respostas exatas para os zeros na forma radical, seguidas pelo número real\(−1\) forma.}\\ & (x − 2),\;\; (x + -\ dfrac {3} {7}) &\ text {Fatores. Tome cuidado para inserir o correto\(±\) nos fatores.}\\ & &\ text {Encontre as soluções e, em seguida, faça engenharia reversa para descobrir o fator que produzirá essa solução.}\\ & &\ text {A primeira solução da Fórmula Quadrática foi\(x = 2\).}\\ & &\ text {Um fator de \((x − 2)\)quando definido igual a\(0\) produzirá a solução de\(x = 2\).}\\ & &\ text {A segunda solução da Fórmula Quadrática foi\(x = −\dfrac{3}{7}\).}\\ & &\ text {Um fator de\((x + −\dfrac{3}{7})\) produzirá a solução de\(x = −\dfrac{3}{7}\).}\\ &2x (x − 2) (x +\ dfrac {3} {7}) &\ text { Fatores polinomiais, incluindo o GCF original que foi considerado no início desse problema.} \ end {matriz}\)
    1. \(\begin{array} && \dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{2(x^2 + 1)[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Factor out the GCF from the numerator.} \\ &\dfrac{2\cancel{(x^2 + 1)}[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{\cancel{(x^2 + 1)}(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[−x^2 − 1 + 4x^2]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &\dfrac{2(3x^2 − 1)}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} −\dfrac{(x + 2)}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the expression with a positive exponent (move it to the denominator).} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)}{\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}{2x + 1}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the numerator with a common denominator.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} (2x + 1)} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplified.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{3}{2}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)
    Exercício Template:index

    Considere o uso de qualquer método discutido nesta seção:

    1. \(5x^2 − 23x − 10\)
    2. \(8x^2 + 2x − 3\)
    3. \(3x^2 − 7x − 6\)
    4. \(10x^2 + 13x − 5\)
    5. \(12x^5 − 17x^4 + 6x^3\)
    6. \(\dfrac{(2x^2 − 1)^2 (−2) + (2x)2(2x^2 − 1)(2x)}{(2x^2 − 1)^4}\)
    7. \(\dfrac{2(2x − 3)^{\frac{1}{3}} − (x − 1)(2x − 3)^{-\frac{2}{3}}}{2x − 3^{\frac{2}{3}}}\)

    Fórmula quadrática

    Definição: Fórmula quadrática

    A fórmula quadrática é usada para resolver (ou encontrar os zeros) de um polinômio (equação quadrática) de grau\(2\) que está na forma\(ax^2 + bx + c = 0\). A fórmula quadrática é:

    \[x = \dfrac{−b ± \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a} \nonumber \]

    onde\(a\),\(b\), e\(c\) são os coeficientes da forma padrão de uma equação quadrática,\(ax^2 + bx + c = 0\).

    Exemplo Template:index

    Para as funções a seguir, encontre todos os zeros\(f\) usando a Fórmula Quadrática. Expresse a resposta final como respostas exatas (na forma radical) e também como decimais, arredondadas para a casa dos milésimos.

    1. \(f(x) = −2x^2 + 4x − 1\)
    2. \(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\)
    Solução
    1. Conjunto\(f(x) = 0: −2x^2 + 4x − 1 = 0\). Essa função é escrita no formato\(ax^2 + bx + c = 0\)\(a = −2\), com\(b = 4\)\(c = −1\) e.

    Substituindo\(a\),\(b\) e\(c\) na Fórmula Quadrática, por esses valores:

    \(\begin{array} &&x = \dfrac{−4 ± \sqrt{4^2 − 4(−2)(−1)}}{2(−2)} &\;\;\;\;\;\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{(16 − 8)}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{8}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± 2 \sqrt{2}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify the radical} \\ &x = \dfrac{2 ± \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers in radical form} \\ &x = \dfrac{2 − \sqrt{2}}{2} ,\;\; x = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers written as two roots} \\ &x = 0.293 \text{ and } x = 1.707 &\;\;\;\;\;\text{Approximation answers rounded to the thousandths place} \end{array}\)

    1. A função\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\) é uma função cúbica. \(x\)Fatize todos os três termos antes de usar a equação quadrática no fator trinomial:\(x(x^2 − 3x − 4) = 0\)\(a = 1\), com,\(b = −3\)\(c = −4\) e.

    Não se esqueça de que o\(x\) que foi levado em consideração é uma raiz, a saber\(x = 0\).

    Substituindo\(a\),\(b\) e\(c\) na Fórmula Quadrática, por esses valores:

    \(\begin{array} &&x = \dfrac{3 ± \sqrt{(−3)2 − 4(1)(−4)}}{2(1)} &\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{(16 + 9)}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{25}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± 5}{2} &\text{Simplify further} \\ &x = \dfrac{3 − 5}{2} ,\;\;x = \dfrac{−2}{2} ,\;\; x = −1 &\text{Second root (first root is \(x = 0\))}\\ &x =\ dfrac {3 + 5} {2},\;\; x =\ dfrac {8} {2},\;\; x = 4 &\ text {Terceira raiz}\ end {matriz}\)

    Existem três soluções, ou raízes da função cúbica\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x: x = 0\),\(x = −1\)\(x = 4\) e.

    Exercício Template:index

    Para as funções a seguir, encontre todos os zeros\(f\) usando a Fórmula Quadrática. Expresse a resposta final como respostas exatas (na forma radical) e também como decimais, arredondadas para a casa dos milésimos.

    1. \(f(t) = 9t^3 − 18t^2 + 6t\)
    2. \(f(x) = x^5 − 4x^4 − 32x^3\)
    3. \(f(x) = 18 − 3x − 2x^2\)
    4. \(f(x) = 12x^2 + 11x − 5\)
    5. \(f(x) = 3x^2 − 6x + 2\)