6.2: Resolvendo equações de valor absoluto

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Para resolver equações de valor absoluto, primeiro considere as duas propriedades de valor absoluto a seguir:

Definição: Propriedades do valor absoluto

Propriedade 1: Para$b > 0$,$|a| = b$ se e somente se$a = b$ ou$a = −b$

Propriedade 2: Para quaisquer números reais$a$ e$b$,$|a| = |b|$ se e somente se$a = b$ ou$a = −b$

Antes da aplicação da Propriedade 1, isole a expressão do valor absoluto em qualquer lado da equação.
Verifique as soluções substituindo-as novamente na equação original.
As soluções são apresentadas como um conjunto de soluções do formulário$\{p, q\}$, onde$p$ e$q$ são quaisquer números reais.
O conjunto de soluções de uma equação de valor absoluto é representado graficamente como pontos em uma reta numérica.

Exemplo Template:index

Resolva cada equação e represente graficamente o conjunto de soluções.

$|x| = 7$
$|5x – 3| = 2$
$|20 – x| = −80$

Solução

Para resolver$|x| = 7$, aplique a Propriedade 1 com$a = x$$b = 7$ e.

Portanto, as soluções são,$x = −7$ e$x = 7$, e o conjunto de soluções é$\{-7,7\}$. O gráfico do conjunto de soluções é mostrado na figura abaixo.

$clipboard_e4e661622afb19f733118b1049d678a57.png$

O método de resolução de equações usado na parte a pode ser estendido para a equação dada nesta parte com$a = 5x – 3$$b = 2$ e.

Assim, a equação do valor absoluto$|5x – 3| = 2$ é equivalente a:

$\begin{array} &&5x − 3 = 2 &\text{ or } &5x − 3 = −2 &\text{Property 1} \\ &5x = 5 &\text{ or } &5x = 1 &\text{Add \(3$em ambos os lados das equações}\\ &x = 1 &\ text {ou} &x =\ dfrac {1} {5} &\ text {Divida pelos$5$ dois lados das equações}\ end {array}\)

Agora, verifique se$x = 1$ e$x = \dfrac{1}{5}$ são soluções para a equação de valor absoluto dada.

$\begin{array} &&\text{For } x = 1 &\text{For } x = \dfrac{1}{5} &\\ &|5x − 3| = 2 &|5x − 3| = 2 &\text{Given} \\ &|5(1) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &|5 \left( \dfrac{1}{5} \right) − 3| \stackrel{?}{=} 2 &\text{Substitute the \(x$-valores}\\ &|5 − 3|\ stackrel {?} {=} 2 &|1 − 3|\ stackrel {?} {=} 2 &\ text {Simplifique}\\ &|2|\ stackrel {?} {=} 2 &|− 2|\ stackrel {?} {=} 2 &\ text {Aplicar a definição do valor absoluto}\\ &2 = 2\;\ checkmark &2 = 2\;\ checkmark\ end {array}\)

Como as equações acima são verdadeiras, então,$x = 1$ e$x = \dfrac{1}{5}$ são soluções para a equação de valor absoluto dada. O conjunto de soluções é$\left\{\dfrac{1}{5} , 1\right\}$. O gráfico do conjunto de soluções é mostrado na figura abaixo.

$clipboard_e78f4a9bbcf248134874230631b7dada3.png$

Como um valor absoluto nunca pode ser negativo, não há números reais$x$ que se tornem$|20 – x| = −80$ realidade. A equação não tem solução e o conjunto de soluções é$∅$.

Exemplo Template:index

Resolva e represente graficamente o conjunto de soluções.

$\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18$
$4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5$
$|4x – 3| = |x + 6|$

Solução

Observe que a expressão do valor absoluto não está isolada, o que significa que as propriedades não podem ser aplicadas. Primeiro, isole$\left| \dfrac{4}{3}x + 3 \right|$ no lado esquerdo da equação e, em seguida, aplique a Propriedade 1.

$\begin{array} &&\left| \dfrac{4}{3} x + 3 \right| + 8 = 18 &\text{Given equation} \\ & \left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 &\text{Subtract \(8$de ambos os lados da equação}\ end {array}\)

Com o valor absoluto agora isolado, resolva$\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10$ usando a Propriedade 1, com$a = \dfrac{4}{3} x + 3$ e da$b = 10$ seguinte forma,

$\begin{array} && &\left| \dfrac{4}{3} + 3 \right| = 10 & & \\ &\dfrac{4}{3} + 3 = 10 &\text{ or } & \dfrac{4}{3} + 3 = -10 &\text{Property 1} \\ &\dfrac{4}{3} x = 7 &\text{ or } &\dfrac{4}{3}x = −13 &\text{Subtract \(3$de ambos os lados}\\ &x =\ dfrac {21} {4} &\ text {ou} &x = −\ dfrac {39} {4} &\ text {Multiplique os dois lados por$\dfrac{3}{4}$}\ end {array}\)

Verifique as soluções$x = −\dfrac{39}{4}$ e$x = \dfrac{21}{4}$ substitua-as na equação original do valor absoluto. O conjunto de soluções é$\left\{ −\dfrac{39}{4}, \dfrac{21}{4} \right\}$ e o gráfico do conjunto de soluções é mostrado na figura abaixo.

$clipboard_e42b1bbc90f71c52e8a95664a185e2c67.png$

Semelhante à parte a, isole a expressão do valor absoluto. Então, primeiro isole$\left| \dfrac{1}{3} x − 6 \right|$ no lado esquerdo da equação e aplique a Propriedade 1.

$\begin{array} &&4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| − 5 = −5 &\text{Given equation} \\ &4 \left| \dfrac{1}{3}x − 6 \right| = 0 &\text{Add \(5$em ambos os lados da equação}\\ &\ left|\ dfrac {1} {3} x − 6\ right| = 0 &\ text {Divida pelos$4$ dois lados da equação}\ end {array}\)

O valor absoluto é isolado. Como$0$ é o único número cujo valor absoluto é$0$, a expressão$\dfrac{1}{3}x − 6$ deve ser igual$0$ a. Então,

$\begin{array} &&\dfrac{1}{3}x − 6 = 0 & \\ &\dfrac{1}{3}x − 6 &\text{Add \(6$em ambos os lados da equação}\\ &x = 18 &\ text {Multiplique os dois lados por$3$}\ end {array}\)

A solução é$18$ e o conjunto de soluções é$\{18\}$. Verifique se ele satisfaz a equação original. O gráfico do conjunto de soluções é mostrado na figura abaixo.

$clipboard_e2acd5153df84bfef5569962926db627b.png$

$|4x − 7| = |x + 14|$Observe que, para resolver$|4x − 7| = |x + 14|$, use a Propriedade 2 com$a = 4x − 7$$b = x + 14$ e.

$\begin{array} && &|4x − 7| = |x + 14| & &\text{Given} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −(x + 14) &\text{Property 2} \\ &4x−7 = x+14 &\text{ or } &4x − 7 = −x − 14 &\text{Distribute \(−1$para simplificar a equação correta}\\ &4x = x + 21 &\ text {ou} &4x = −x − 7 &\ text {Adicionar$7$ aos dois lados de cada igualdade}\\ &3x = 21 &\ text {ou} &5x = −7 &\ text {Simplify}\\ &x = 7 &\ text {ou} &x = −\ dfrac {7} {5} & text {Divida cada equação por o$x$ -coeficiente}\ end {array}\)

Verifique as soluções$x = −\dfrac{7}{5}$ e$x = 7$ substitua-as na equação original do valor absoluto. O conjunto de soluções é$\left\{ −\dfrac{7}{5}, 7\right\}$. O gráfico da solução é mostrado na figura abaixo.

$clipboard_eb0f0ab26e578678046e463bf1d8ac854.png$

Exercício Template:index

Resolva cada equação, verifique a solução e faça um gráfico do conjunto de soluções.

$|x| = 19$
$|x − 4| = 10$
$|2x − 5| = 12$
$\left|\dfrac{x}{11} \right| = 2.5$
$|x − 3.8| = −2.7$
$|3x − 4.5| = 9.3$
$\dfrac{8}{3} |x − 6| = 14$
$|x + 15| − 19 = 7$
$|11x + 3| + 28 = 16$
$ \left| \dfrac{8}{7} x + 9 \right| − 2 = 8$
$ −3|2x − 7| + 13 = 13$
$ 8 − 5|10x + 6| = 5$
$ |5x − 14| = |3x − 9|$
$ |15x| = |x − 21|$
$ |4x − 7| = |5(2x + 3)|$
$ \dfrac{7}{8} = \dfrac{3x}{2} + \dfrac{2x}{5}$