6.3: Resolvendo desigualdades de valor absoluto e escrevendo respostas em notação de intervalo
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A seção anterior ensinou como resolver equações de valor absoluto. Esta seção ensina como resolver desigualdades de valor absoluto. Para fazer isso, primeiro considere as duas propriedades a seguir:
Propriedade 1: Para todos os números\(b\) positivos e todos os números reais\(p\) e\(q\),
- \(|a| < b\)se e somente se\(−b < a < b\).
O conjunto de soluções é do formato\((p,q)\), um único intervalo aberto.
- \(|a| ≤ b\)se e somente se\(−b ≤ a ≤ b\).
O conjunto de soluções é do formato\([p,q]\), um único intervalo fechado.
Antes de considerar a Propriedade 2, é importante definir a união de dois intervalos. A união de quaisquer dois intervalos\(A\) e\(B\), é o conjunto de elementos em\(A\), ou\(B\), ou ambos. A união é representada com o símbolo\(∪\).
Propriedade 2: Para todos os números\(b\) positivos e todos os números reais\(p\) e\(q\),
- \(|a| > b\)se e somente se\(a < −b\) ou\(a > −b\)
O conjunto de soluções é da forma\((−∞, p) ∪ (q, ∞)\), um intervalo de disjunção.
- \(|a| ≥ b\)se e somente se\(a ≤ −b\) ou\(a ≥ b\).
O conjunto de soluções é da forma\((−∞, p] ∪ [q, ∞)\), um intervalo de disjunção.
Observe que antes que as propriedades das desigualdades sejam aplicadas, isole a expressão do valor absoluto em ambos os lados da desigualdade.
Resolva as seguintes desigualdades e represente graficamente o conjunto de soluções.
- \(|5x − 2| < 7\)
- \(|8x − 6| < −1\)
- \(2|x − 3| + 5 ≤ 9\)
Solução
- Essa é uma expressão de valor absoluto menor que um número positivo do formulário\(|a| < b\). Aplique a propriedade 1 (i) com\(a = 5x − 2\)\(b = 7\) e.
\(\begin{array} &&|5x − 2| < 7 &\text{Given} \\ &−7 < 5x − 2 < 7 &\text{Property 1 (i)} \end{array}\)
Para resolver a desigualdade, isole\(x\). A etapa anterior se torna,
\(\begin{array} &&−5 < 5x < 9 &\text{Add \(2\)para todos os lados}\\ &−1 < x <\ dfrac {9} {5} &\ text {Divida todos os lados por\(5\)}\ end {array}\)
O conjunto de soluções é o único intervalo aberto\(\left(−1, \dfrac{9}{5} \right)\) e o gráfico é mostrado na figura abaixo.
- Lembre-se de que o valor absoluto de qualquer número é a distância\(0\) até esse número na reta numérica. Isso significa que o valor absoluto de qualquer número é sempre maior ou igual\(0\) a.
Este exemplo mostra\(|8x − 6| < −1,\) o que não pode acontecer, pois uma distância nunca é negativa. Portanto, a desigualdade de valor absoluto não tem solução e o conjunto de soluções é o conjunto vazio, escrito\(\phi\).
- Para resolver\(2|x − 3| + 5 ≤ 9\), isole o valor absoluto.
\(\begin{array} &&2|x − 3| + 5 ≤ 9 &\text{Given} \\ &2|x − 3| ≤ 4 &\text{Subtract \(5\)de ambos os lados}\\ &|x − 3| ≤ 2 &\ text {Divida os dois lados por\(2\)}\ end {array}\)
Agora,\(|x − 3| ≤ 2\) é do formulário\(|a| ≤ b\). Aplique a propriedade 1 (ii) com\(a = x − 3\)\(b = 2\) e.
\(\begin{array} &&|x − 3| ≤ 2 & \\&− 2 ≤ x − 3 ≤ 2 &\text{Property 1(ii)} \\ &1 ≤ x ≤ 5 & \end{array}\)
O conjunto de soluções é o intervalo único\([1, 5]\) e o gráfico é mostrado na figura abaixo.
Resolva e represente graficamente o conjunto de soluções.
- \(\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3\)
- \(2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5\)
- \(|2 − 4x| ≥ −7\)
Solução
- A desigualdade de valor absoluto\(\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3\) está na forma de\(|a| ≥ b\). Aplique a propriedade 2 (ii) com\(a = \dfrac{6 − x}{10}\) e\(b = 3\) para resolver a desigualdade.
\(\begin{array} & & &\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3 &&\text{Given} \\ &\dfrac{6 − x}{10} ≤ −3 &\text{ or } &\dfrac{6 − x}{10} ≥ 3 &\text{Property 2 (ii)} \\ &6 − x ≤ −30 &\text{ or } &6 − x ≥ 30 &\text{Multiply by \(10\)ambos os lados}\\ &−x ≤ −36 &\ text {ou} &−x ≥ 24 &\ text {Subtrair\(6\) de ambos os lados}\\ &x ≥ 36 &\ text {ou} &x ≤ −24 &\ text {Multiplique por\(−1\)}\ end {array}\)
Observe que, como as desigualdades foram multiplicadas por um número negativo\(−1\), ou seja, a direção da desigualdade mudou.
O conjunto de soluções é a união dos dois intervalos. Assim,\((−∞, −24] ∪ [36, ∞)\) é a solução definida na notação de intervalo. O gráfico da solução é mostrado na figura abaixo.
- Isole o valor absoluto.
\(\begin{array} &&2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5 &\text{Given} \\ &7 < \left| \dfrac{3}{4} x − 3 \right| &\text{Add \(5\)para ambos os lados}\ end {array}\)
Observe que a desigualdade acima é lida da direita para a esquerda como “o valor absoluto da expressão\(\dfrac{3}{4} x − 3\) é maior que\(7\)” ou alterna equivalentemente a ordem da desigualdade de valor absoluto para ter\(\dfrac{3}{4} x − 3 > 7\), que é uma forma mais familiar de resolver.
Agora,\(\dfrac{3}{4} x − 3 > 7\) é do formulário\(|a| > b\). Use a Propriedade 2 (ii) com\(a = \dfrac{3x}{4} − 3\)\(b = 7\) e.
\(\begin{array} && &\dfrac{3}{4} x − 3 > 7 &&\text{Given} \\ &\dfrac{3}{4} x − 3 < −7 &\text{ or } &\dfrac{3}{4}x − 3 > 7 &\text{Property 2 (ii)}\\ &\dfrac{3}{4} x < −4 &\text{ or } &\dfrac{3}{4} x > 10 &\text{Add \(3\)para todos os lados}\\ &x < −\ dfrac {16} {3} &\ text {or} &x >\ dfrac {40} {3} &\ text {Multiplique os dois lados por\(\dfrac{4}{3}\).} \ end {matriz}\)
O conjunto de soluções é a união dos dois intervalos,\((− ∞, −\dfrac{16}{3}] ∪ [\dfrac{40}{3}, ∞)\). O gráfico da solução é mostrado na figura abaixo
- Como\(|2 − 4x|\) é sempre maior ou igual a\(0\) qualquer número real\(x\), a desigualdade de valor absoluto é verdadeira para todos os números reais. \(x\)Seja qualquer número real, negativo ou positivo, então o valor absoluto será\(0\) ou um número positivo.
Portanto, o conjunto de soluções são todos os números reais na reta numérica, conforme mostrado na figura abaixo. A solução definida na notação de intervalo é\((−∞, ∞)\).
Resolva as seguintes desigualdades, escreva as respostas em notação de intervalo e represente graficamente os conjuntos de soluções:
- \(|−6x + 1| < 20\)
- \(\left| \dfrac{2}{3} x + 5 \right| > 5\)
- \(\left| 5 − \dfrac{1}{4} x \right| < −71\)
- \(2 \left| − x + \dfrac{4}{5} \right| ≤ \dfrac{5}{2}\)
- \(−\dfrac{1}{7} < |x + 10| − 10\)
- \(|−12 − 3x| < −0.6\)
- \(\left|\dfrac{16 − 2x}{8} \right| ≥ 11\)
- \(|2 − 6x| − 5 ≥ −9\)
- \(\left| \dfrac{2}{3} x − \dfrac{1}{4} \right| ≤ \dfrac{1}{12}\)
- \(|.02x + 5| < .02\)
- \(\left| \dfrac{1}{2} − x \right| < 8\)
- \(| − 6x + 9| − 5 < −6\)