6.3: Resolvendo desigualdades de valor absoluto e escrevendo respostas em notação de intervalo

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

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A seção anterior ensinou como resolver equações de valor absoluto. Esta seção ensina como resolver desigualdades de valor absoluto. Para fazer isso, primeiro considere as duas propriedades a seguir:

Definição: Propriedades das desigualdades de valor absoluto

Propriedade 1: Para todos os números$b$ positivos e todos os números reais$p$ e$q$,

$|a| < b$se e somente se$−b < a < b$.

O conjunto de soluções é do formato$(p,q)$, um único intervalo aberto.

$|a| ≤ b$se e somente se$−b ≤ a ≤ b$.

O conjunto de soluções é do formato$[p,q]$, um único intervalo fechado.

Antes de considerar a Propriedade 2, é importante definir a união de dois intervalos. A união de quaisquer dois intervalos$A$ e$B$, é o conjunto de elementos em$A$, ou$B$, ou ambos. A união é representada com o símbolo$∪$.

Propriedade 2: Para todos os números$b$ positivos e todos os números reais$p$ e$q$,

$|a| > b$se e somente se$a < −b$ ou$a > −b$

O conjunto de soluções é da forma$(−∞, p) ∪ (q, ∞)$, um intervalo de disjunção.

$|a| ≥ b$se e somente se$a ≤ −b$ ou$a ≥ b$.

O conjunto de soluções é da forma$(−∞, p] ∪ [q, ∞)$, um intervalo de disjunção.

Observe que antes que as propriedades das desigualdades sejam aplicadas, isole a expressão do valor absoluto em ambos os lados da desigualdade.

Exemplo Template:index

Resolva as seguintes desigualdades e represente graficamente o conjunto de soluções.

$|5x − 2| < 7$
$|8x − 6| < −1$
$2|x − 3| + 5 ≤ 9$

Solução

Essa é uma expressão de valor absoluto menor que um número positivo do formulário$|a| < b$. Aplique a propriedade 1 (i) com$a = 5x − 2$$b = 7$ e.

$\begin{array} &&|5x − 2| < 7 &\text{Given} \\ &−7 < 5x − 2 < 7 &\text{Property 1 (i)} \end{array}$

Para resolver a desigualdade, isole$x$. A etapa anterior se torna,

$\begin{array} &&−5 < 5x < 9 &\text{Add \(2$para todos os lados}\\ &−1 < x <\ dfrac {9} {5} &\ text {Divida todos os lados por$5$}\ end {array}\)

O conjunto de soluções é o único intervalo aberto$\left(−1, \dfrac{9}{5} \right)$ e o gráfico é mostrado na figura abaixo.

$clipboard_eee2ec390ebb3481038f3625204438819.png$

Lembre-se de que o valor absoluto de qualquer número é a distância$0$ até esse número na reta numérica. Isso significa que o valor absoluto de qualquer número é sempre maior ou igual$0$ a.

Este exemplo mostra$|8x − 6| < −1,$ o que não pode acontecer, pois uma distância nunca é negativa. Portanto, a desigualdade de valor absoluto não tem solução e o conjunto de soluções é o conjunto vazio, escrito$\phi$.

Para resolver$2|x − 3| + 5 ≤ 9$, isole o valor absoluto.

$\begin{array} &&2|x − 3| + 5 ≤ 9 &\text{Given} \\ &2|x − 3| ≤ 4 &\text{Subtract \(5$de ambos os lados}\\ &|x − 3| ≤ 2 &\ text {Divida os dois lados por$2$}\ end {array}\)

Agora,$|x − 3| ≤ 2$ é do formulário$|a| ≤ b$. Aplique a propriedade 1 (ii) com$a = x − 3$$b = 2$ e.

$\begin{array} &&|x − 3| ≤ 2 & \\&− 2 ≤ x − 3 ≤ 2 &\text{Property 1(ii)} \\ &1 ≤ x ≤ 5 & \end{array}$

O conjunto de soluções é o intervalo único$[1, 5]$ e o gráfico é mostrado na figura abaixo.

$clipboard_e335bc0a4c68c53a86ca3273caf045e67.png$

Exemplo Template:index

Resolva e represente graficamente o conjunto de soluções.

$\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3$
$2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5$
$|2 − 4x| ≥ −7$

Solução

A desigualdade de valor absoluto$\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3$ está na forma de$|a| ≥ b$. Aplique a propriedade 2 (ii) com$a = \dfrac{6 − x}{10}$ e$b = 3$ para resolver a desigualdade.

$\begin{array} & & &\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3 &&\text{Given} \\ &\dfrac{6 − x}{10} ≤ −3 &\text{ or } &\dfrac{6 − x}{10} ≥ 3 &\text{Property 2 (ii)} \\ &6 − x ≤ −30 &\text{ or } &6 − x ≥ 30 &\text{Multiply by \(10$ambos os lados}\\ &−x ≤ −36 &\ text {ou} &−x ≥ 24 &\ text {Subtrair$6$ de ambos os lados}\\ &x ≥ 36 &\ text {ou} &x ≤ −24 &\ text {Multiplique por$−1$}\ end {array}\)

Observe que, como as desigualdades foram multiplicadas por um número negativo$−1$, ou seja, a direção da desigualdade mudou.

O conjunto de soluções é a união dos dois intervalos. Assim,$(−∞, −24] ∪ [36, ∞)$ é a solução definida na notação de intervalo. O gráfico da solução é mostrado na figura abaixo.

$clipboard_e994fe946d0c11e329dc3c0829b29b123.png$

Isole o valor absoluto.

$\begin{array} &&2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5 &\text{Given} \\ &7 < \left| \dfrac{3}{4} x − 3 \right| &\text{Add \(5$para ambos os lados}\ end {array}\)

Observe que a desigualdade acima é lida da direita para a esquerda como “o valor absoluto da expressão$\dfrac{3}{4} x − 3$ é maior que$7$” ou alterna equivalentemente a ordem da desigualdade de valor absoluto para ter$\dfrac{3}{4} x − 3 > 7$, que é uma forma mais familiar de resolver.

Agora,$\dfrac{3}{4} x − 3 > 7$ é do formulário$|a| > b$. Use a Propriedade 2 (ii) com$a = \dfrac{3x}{4} − 3$$b = 7$ e.

$\begin{array} && &\dfrac{3}{4} x − 3 > 7 &&\text{Given} \\ &\dfrac{3}{4} x − 3 < −7 &\text{ or } &\dfrac{3}{4}x − 3 > 7 &\text{Property 2 (ii)}\\ &\dfrac{3}{4} x < −4 &\text{ or } &\dfrac{3}{4} x > 10 &\text{Add \(3$para todos os lados}\\ &x < −\ dfrac {16} {3} &\ text {or} &x >\ dfrac {40} {3} &\ text {Multiplique os dois lados por$\dfrac{4}{3}$.} \ end {matriz}\)

O conjunto de soluções é a união dos dois intervalos,$(− ∞, −\dfrac{16}{3}] ∪ [\dfrac{40}{3}, ∞)$. O gráfico da solução é mostrado na figura abaixo

$clipboard_efb943e2ff7407d1b4777246c86c52bee.png$

Como$|2 − 4x|$ é sempre maior ou igual a$0$ qualquer número real$x$, a desigualdade de valor absoluto é verdadeira para todos os números reais. $x$Seja qualquer número real, negativo ou positivo, então o valor absoluto será$0$ ou um número positivo.

Portanto, o conjunto de soluções são todos os números reais na reta numérica, conforme mostrado na figura abaixo. A solução definida na notação de intervalo é$(−∞, ∞)$.

$clipboard_e0e607828723541fb83638051b94dbe29.png$

Exercício Template:index

Resolva as seguintes desigualdades, escreva as respostas em notação de intervalo e represente graficamente os conjuntos de soluções:

$|−6x + 1| < 20$
$\left| \dfrac{2}{3} x + 5 \right| > 5$
$\left| 5 − \dfrac{1}{4} x \right| < −71$
$2 \left| − x + \dfrac{4}{5} \right| ≤ \dfrac{5}{2}$
$−\dfrac{1}{7} < |x + 10| − 10$
$|−12 − 3x| < −0.6$
$\left|\dfrac{16 − 2x}{8} \right| ≥ 11$
$|2 − 6x| − 5 ≥ −9$
$\left| \dfrac{2}{3} x − \dfrac{1}{4} \right| ≤ \dfrac{1}{12}$
$|.02x + 5| < .02$
$\left| \dfrac{1}{2} − x \right| < 8$
$| − 6x + 9| − 5 < −6$