Capítulo 12 Exercícios de revisão
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Sequências
Nos exercícios a seguir, escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é dado.
- \(a_{n}=7 n-5\)
- \(a_{n}=3^{n}+4\)
- \(a_{n}=2^{n}+n\)
- \(a_{n}=\frac{2 n+1}{4^{n}}\)
- \(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\)
- Resposta
-
2. \(7,13,31,85,247\)
4. \(\frac{3}{4}, \frac{5}{16}, \frac{7}{64}, \frac{9}{256}, \frac{11}{1024}\)
Nos exercícios a seguir, encontre um termo geral para a sequência cujos primeiros cinco termos são mostrados.
- \(9,18,27,36,45, \dots\)
- \(-5,-4,-3,-2,-1, \dots\)
- \(\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e}, 1, e, \ldots\)
- \(1,-8,27,-64,125, \ldots\)
- \(-\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-\frac{3}{5},-\frac{2}{3},-\frac{5}{7}, \dots\)
- Resposta
-
1. \(a_{n}=9 n\)
3. \(a_{n}=e^{n-4}\)
5. \(a_{n}=-\frac{n}{n+2}\)
Nos exercícios a seguir, usando notação fatorial, escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é dado.
- \(a_{n}=4 n !\)
- \(a_{n}=\frac{n !}{(n+2) !}\)
- \(a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n+1)^{2}}\)
- Resposta
-
2. \(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{42}\)
Nos exercícios a seguir, expanda a soma parcial e encontre seu valor.
- \(\sum_{i=1}^{7}(2 i-5)\)
- \(\sum_{i=1}^{3} 5^{i}\)
- \(\sum_{k=0}^{4} \frac{4}{k !}\)
- \(\sum_{k=1}^{4}(k+1)(2 k+1)\)
- Resposta
-
1. \(\begin{array}{l}{-3+(-1)+1+3+5} {+7+9=21}\end{array}\)
3. \(4+4+2+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{65}{6}\)
Nos exercícios a seguir, escreva cada soma usando a notação de soma.
- \(-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}\)
- \(4-8+12-16+20-24\)
- \(4+2+\frac{4}{3}+1+\frac{4}{5}\)
- Resposta
-
1. \(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}}\)
3. \(\sum_{n=1}^{5} \frac{4}{n}\)
Sequências aritméticas
Nos exercícios a seguir, determine se cada sequência é aritmética e, em caso afirmativo, indique a diferença comum.
- \(1,2,4,8,16,32, \dots\)
- \(-7,-1,5,11,17,23, \dots\)
- \(13,9,5,1,-3,-7, \dots\)
- Resposta
-
2. A sequência é aritmética com diferença comum\(d=6\).
Nos exercícios a seguir, escreva os primeiros cinco termos de cada sequência aritmética com o primeiro termo dado e a diferença comum.
- \(a_{1}=5\)e\(d=3\)
- \(a_{1}=8\)e\(d=-2\)
- \(a_{1}=-13\)e\(d=6\)
- Resposta
-
1. \(5,8,11,14,17\)
3. \(-13,-7,-1,5,11\)
Nos exercícios a seguir, encontre o termo descrito usando as informações fornecidas.
- Encontre o vigésimo quinto termo de uma sequência em que o primeiro termo é cinco e a diferença comum é três.
- Encontre o trigésimo termo de uma sequência em que o primeiro termo está\(16\) e a diferença comum é\(−5\).
- Encontre o décimo sétimo termo de uma sequência em que o primeiro termo é\(−21\) e a diferença comum é dois.
- Resposta
-
2. \(-129\)
Nos exercícios a seguir, encontre o termo indicado e forneça a fórmula para o termo geral.
- Encontre o décimo oitavo termo de uma sequência em que o quinto termo é\(12\) e a diferença comum é sete.
- Encontre o vigésimo primeiro termo de uma sequência em que o sétimo termo está\(14\) e a diferença comum é\(−3\).
- Resposta
-
1. \(a_{18}=103 .\)O termo geral é\(a_{n}=7 n-23\).
Nos exercícios a seguir, encontre o primeiro termo e a diferença comum da sequência com os termos fornecidos. Dê a fórmula para o termo geral.
- O quinto termo é\(17\) e o décimo quarto termo é\(53\).
- O terceiro termo é\(−26\) e o décimo sexto termo é\(−91\).
- Resposta
-
1. \(a_{1}=1, d=4 .\)O termo geral é\(a_{n}=4 n-3\).
Nos exercícios a seguir, encontre a soma dos primeiros\(30\) termos de cada sequência aritmética.
- \(7,4,1,-2,-5, \dots\)
- \(1,6,11,16,21, \ldots\)
- Resposta
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1. \(-430\)
Nos exercícios a seguir, encontre a soma dos primeiros quinze termos da sequência aritmética cujo termo geral é dado.
- \(a_{n}=4 n+7\)
- \(a_{n}=-2 n+19\)
- Resposta
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1. \(585\)
Nos exercícios a seguir, encontre cada soma.
- \(\sum_{i=1}^{50}(4 i-5)\)
- \(\sum_{i=1}^{30}(-3 i-7)\)
- \(\sum_{i=1}^{35}(i+10)\)
- Resposta
-
1. \(4850\)
3. \(980\)
Sequências e séries geométricas
Nos exercícios a seguir, determine se a sequência é geométrica e, em caso afirmativo, indique a proporção comum.
- \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
- \(5,10,15,20,25,30, \dots\)
- \(112,56,28,14,7, \frac{7}{2}, \ldots\)
- \(9,-18,36,-72,144,-288, \dots\)
- Resposta
-
2. A sequência não é geométrica.
4. A sequência é geométrica com proporção comum\(r=−2\).
Nos exercícios a seguir, escreva os primeiros cinco termos de cada sequência geométrica com o primeiro termo e a razão comum fornecidos.
- \(a_{1}=-3\)e\(r=5\)
- \(a_{1}=128\)e\(r=\frac{1}{4}\)
- \(a_{1}=5\)e\(r=-3\)
- Resposta
-
2. \(128,32,8,2, \frac{1}{2}\)
Nos exercícios a seguir, encontre o termo indicado de uma sequência em que o primeiro termo e a proporção comum são fornecidos.
- Encontre\(a_{9}\) dados\(a_{1}=6\) e\(r=2\)
- Encontre\(a_{11}\) dados\(a_{1}=10,000,000\) e\(r=0.1\)
- Resposta
-
1. \(1,536\)
Nos exercícios a seguir, encontre o termo indicado da sequência dada. Encontre o termo geral da sequência.
- \(a_{12}\)Descoberta da sequência,\(6,-24,96,-384,1536,-6144, \dots\)
- \(a_{9}\)Descoberta da sequência,\(4374,1458,486,162,54,18, \ldots\)
- Resposta
-
1. \(a_{12}=-25,165,824 .\)O termo geral é\(a_{n}=6(-4)^{n-1}\)
Nos exercícios a seguir, encontre a soma dos primeiros quinze termos de cada sequência geométrica.
- \(-4,8,-16,32,-64,128 \ldots\)
- \(3,12,48,192,768,3072 \ldots\)
- \(3125,625,125,25,5,1 \ldots\)
- Resposta
-
1. \(5,460\)
3. \(\approx 3906.25\)
Nos exercícios a seguir, encontre a soma
- \(\sum_{i=1}^{8} 7(3)^{i}\)
- \(\sum_{i=1}^{6} 24\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)
- Resposta
-
2. \(\frac{189}{8}=23.625\)
Nos exercícios a seguir, encontre a soma de cada série geométrica infinita.
- \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}+\frac{1}{729}-\dots\)
- \(49+7+1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\ldots\)
- Resposta
-
2. \(\frac{343}{6} \approx 57.167\)
Nos exercícios a seguir, escreva cada decimal repetido como uma fração.
- \(0 . \overline{8}\)
- \(0 . \overline{36}\)
- Resposta
-
2. \(\frac{4}{11}\)
Nos exercícios a seguir, resolva o problema.
- Qual é o efeito total na economia de um desconto fiscal do governo de $\(360\) para cada família, a fim de estimular a economia se cada família gastar\(60\)% do desconto em bens e serviços?
- Adam acabou de conseguir seu primeiro emprego em tempo integral depois de terminar o ensino médio aos 17 anos. Ele decidiu investir $\(300\) por mês em um IRA (uma anuidade). Os juros sobre a anuidade são\(7\)%, que são compostos mensalmente. Quanto estará na conta de Adam quando ele se aposentar em seu sexagésimo sétimo aniversário?
- Resposta
-
2. \(\$ 1,634,421.27\)
Teorema binomial
Nos exercícios a seguir, expanda cada binômio usando o Triângulo de Pascal.
- \((a+b)^{7}\)
- \((x-y)^{4}\)
- \((x+6)^{3}\)
- \((2 y-3)^{5}\)
- \((7 x+2 y)^{3}\)
- Resposta
-
2. \(x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4}\)
4. \(\begin{array}{l}{32 y^{5}-240 y^{4}+720 y^{3}-1080 y^{2}} {+810 y-243}\end{array}\)
Nos exercícios a seguir, avalie.
-
- \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {1}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{12} \\ {12}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{13} \\ {0}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {3}\end{array}\right)\)
-
- \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {1}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {5}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {5}\end{array}\right)\)
-
- \(\left( \begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{15} \\ {15}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {2}\end{array}\right)\)
- Resposta
-
1.
- \(11\)
- \(1\)
- \(1\)
- \(56\)
3.
- \(1\)
- \(1\)
- \(1\)
- \(55\)
Nos exercícios a seguir, expanda cada binômio usando o Teorema Binomial.
- \((p+q)^{6}\)
- \((t-1)^{9}\)
- \((2 x+1)^{4}\)
- \((4 x+3 y)^{4}\)
- \((x-3 y)^{5}\)
- Resposta
-
2. \(\begin{array}{l}{t^{9}-9 t^{8}+36 t^{7}-84 t^{6}+126 t^{5}} {-126 t^{4}+84 t^{3}-36 t^{2}+9 t-1}\end{array}\)
4. \(\begin{array}{l}{256 x^{4}+768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {+432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}\)
Nos exercícios a seguir, encontre o termo indicado na expansão do binômio.
- Sétimo mandato de\((a+b)^{9}\)
- Terceiro mandato de\((x-y)^{7}\)
- Resposta
-
1. \(84a^{6} b^{3}\)
Nos exercícios a seguir, encontre o coeficiente do termo indicado na expansão do binômio.
- \(y^{4}\)prazo de\((y+3)^{6}\)
- \(x^{5}\)prazo de\((x-2)^{8}\)
- \(a^{3} b^{4}\)prazo de\((2 a+b)^{7}\)
- Resposta
-
1. \(135\)
3. \(280\)
Teste prático
Nos exercícios a seguir, escreva os primeiros cinco termos da sequência cujo termo geral é dado.
- \(a_{n}=\frac{5 n-3}{3^{n}}\)
- \(a_{n}=\frac{(n+2) !}{(n+3) !}\)
- Encontre um termo geral para a sequência,\(-\frac{2}{3},-\frac{4}{5},-\frac{6}{7},-\frac{8}{9},-\frac{10}{11}, \dots\)
- Expanda a soma parcial e encontre seu valor. \(\sum_{i=1}^{4}(-4)^{i}\)
- Escreva o seguinte usando a notação de soma. \(-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{16}-\frac{1}{25}\)
- Escreva os primeiros cinco termos da progressão aritmética com o primeiro termo dado e a diferença comum. \(a_{1}=-13\)e\(d=3\)
- Encontre o vigésimo termo de uma progressão aritmética em que o primeiro termo é dois e a diferença comum é\(−7\).
- Encontre o vigésimo terceiro termo de uma progressão aritmética cujo sétimo termo é\(11\) e a diferença comum é três. Em seguida, encontre uma fórmula para o termo geral.
- Encontre o primeiro termo e a diferença comum de uma sequência aritmética cujo nono termo é\(−1\) e o décimo sexto termo é\(−15\). Em seguida, encontre uma fórmula para o termo geral.
- Encontre a soma dos primeiros\(25\) termos da progressão aritmética,\(5,9,13,17,21, \dots\)
- Encontre a soma dos primeiros\(50\) termos da progressão aritmética cujo termo geral é\(a_{n}=-3 n+100\).
- Encontre a soma. \(\sum_{i=1}^{40}(5 i-21)\)
- Resposta
-
2. \(\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}\)
4. \(-4+16-64+256=204\)
6. \(-13,-10,-7,-4,-1\)
8. \(a_{23}=59 .\)O termo geral é\(a_{n}=3 n-10\).
10. \(1,325\)
12. \(3,260\)
Nos exercícios a seguir, determine se a sequência é aritmética, geométrica ou nenhuma delas. Se for aritmética, então encontre a diferença comum. Se geométrico, então encontre a proporção comum.
- \(14,3,-8,-19,-30,-41, \ldots\)
- \(324,108,36,12,4, \frac{4}{3}, \ldots\)
- Escreva os primeiros cinco termos da sequência geométrica com o primeiro termo e a razão comum fornecidos. \(a_{1}=6\)\(r=−2\)e.
- Na sequência geométrica cujo primeiro termo e razão comum são\(a_{1}=5\) e\(r=4\), encontre\(a_{11}\).
- Encontre\(a_{10}\) a sequência geométrica,\(1250,250,50,10,2, \frac{2}{5}, \ldots\) Em seguida, encontre uma
fórmula para o termo geral. - Encontre a soma dos primeiros treze termos da sequência geométrica,\(2,-6,18,-54,162,-486 \ldots\)
- Resposta
-
2. A sequência é geométrica com proporção comum\(r=\frac{1}{3}\).
4. \(5,242,880\)
6. \(797,162\)
Nos exercícios a seguir, encontre a soma.
- \(\sum_{i=1}^{9} 5(2)^{i}\)
- \(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}-\frac{1}{125}+\frac{1}{625}-\frac{1}{3125}+\dots\)
- Escreva o decimal repetido como uma fração. \(0 . \overline{81}\)
- Dave acabou de conseguir seu primeiro emprego em tempo integral depois de terminar o ensino médio aos 18 anos. Ele decidiu investir $\(450\) por mês em um IRA (uma anuidade). Os juros sobre a anuidade são\(6\)%, que são compostos mensalmente. Quanto estará na conta de Adam quando ele se aposentar em seu sexagésimo quinto aniversário?
- Expanda o binômio usando o Triângulo de Pascal. \((m-2 n)^{5}\)
- Avalie cada coeficiente binomial.
- \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {1}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{16} \\ {16}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{12} \\ {0}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{10} \\ {6}\end{array}\right)\)
- Expanda o binômio usando o Teorema Binomial. \((4 x+5 y)^{3}\)
- Resposta
-
2. \(\frac{5}{6}\)
4. \(\$ 1,409,344.19\)
6.
- \(8\)
- \(1\)
- \(1\)
- \(210\)