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12.5E: Exercícios

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    A prática leva à perfeição

    Exercício\(\PageIndex{19}\) Use Pascal's Triangle to Expand a Binomial

    Nos exercícios a seguir, expanda cada binômio usando o Triângulo de Pascal.

    1. \((x+y)^{4}\)
    2. \((a+b)^{8}\)
    3. \((m+n)^{10}\)
    4. \((p+q)^{9}\)
    5. \((x-y)^{5}\)
    6. \((a-b)^{6}\)
    7. \((x+4)^{4}\)
    8. \((x+5)^{3}\)
    9. \((y+2)^{5}\)
    10. \((y+1)^{7}\)
    11. \((z-3)^{5}\)
    12. \((z-2)^{6}\)
    13. \((4x-1)^{3}\)
    14. \((3x-1)^{5}\)
    15. \((3 x-4)^{4}\)
    16. \((3 x-5)^{3}\)
    17. \((2 x+3 y)^{3}\)
    18. \((3 x+5 y)^{3}\)
    Responda

    2. \(\begin{array}{l}{a^{8}+8 a^{7} b+28 a^{6} b^{2}+56 a^{5} b^{3}} {+70 a^{4} b^{4}+56 a^{3} b^{5}+28 a^{2} b^{6}} {+8 a b^{7}+b^{8}}\end{array}\)

    4. \(\begin{array}{l}{p^{9}+9 p^{8} q+36 p^{7} q^{2}+84 p^{6} q^{3}} {+126 p^{5} q^{4}+126 p^{4} q^{5}+84 p^{3} q^{6}} {+36 p^{2} q^{7}+9 p q^{8}+q^{9}}\end{array}\)

    6. \(\begin{array}{l}{a^{6}-6 a^{5} b+15 a^{4} b^{2}-20 a^{3} b^{3}} {+15 a^{2} b^{4}-6 a b^{5}+b^{6}}\end{array}\)

    8. \(x^{3}+15 x^{2}+75 x+125\)

    10. \(\begin{array}{l}{y^{7}+7 y^{6}+21 y^{5}+35 y^{4}+35 y^{3}} {+21 y^{2}+7 y+1}\end{array}\)

    12. \(\begin{array}{l}{z^{6}-12 z^{5}+60 z^{4}-160 z^{3}+240 z^{2}} \\ {-192 z+64}\end{array}\)

    14. \(\begin{array}{l}{243 x^{5}-405 x^{4}+270 x^{3}-90 x^{2}} {+15 x-1}\end{array}\)

    16. \(27 x^{3}-135 x^{2}+225 x-125\)

    18. \(27 x^{3}+135 x^{2} y+225 x y^{2}+125 y^{3}\)

    Exercício\(\PageIndex{20}\) Evaluate a Binomial Coefficient
      1. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{10} \\ {10}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{6} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {3}\end{array}\right)\)
      1. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {4}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{3} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {3}\end{array}\right)\)
      1. \(\left( \begin{array}{l}{3} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {9}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {3}\end{array}\right)\)
      1. \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {1}\end{array}\right)\)
      2. \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {5}\end{array}\right)\)
      3. \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {0}\end{array}\right)\)
      4. \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {9}\end{array}\right)\)
    Responda

    2.

    1. \(7\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(45\)

    4.

    1. \(4\)
    2. \(1\)
    3. \(1\)
    4. \(55\)
    Exercício\(\PageIndex{21}\) Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

    Nos exercícios a seguir, expanda cada binômio.

    1. \((x+y)^{3}\)
    2. \((m+n)^{5}\)
    3. \((a+b)^{6}\)
    4. \((s+t)^{7}\)
    5. \((x-2)^{4}\)
    6. \((y-3)^{4}\)
    7. \((p-1)^{5}\)
    8. \((q-4)^{3}\)
    9. \((3x-y)^{5}\)
    10. \((5x-2y)^{4}\)
    11. \((2x+5y)^{4}\)
    12. \((3x+4y)^{5}\)
    Responda

    2. \(\begin{array}{l}{m^{5}+5 m^{4} n+10 m^{3} n^{2}+10 m^{2} n^{3}} {+5 m n^{4}+n^{5}}\end{array}\)

    4. \(\begin{array}{l}{s^{7}+7 s^{6} t+21 s^{5} t^{2}+35 s^{4} t^{3}} {+35 s^{3} t^{4}+21 s^{2} t^{5}+7 s t^{6}+t^{7}}\end{array}\)

    6. \(y^{4}-12 y^{3}+54 y^{2}-108 y+81\)

    8. \(q^{3}-12 q^{2}+48 q-64\)

    10. \(\begin{array}{l}{625 x^{4}-1000 x^{3} y+600 x^{2} y^{2}} {-160 x y^{3}+16 y^{4}}\end{array}\)

    12. \(\begin{array}{l}{243 x^{5}+1620 x^{4} y+4320 x^{3} y^{2}} {+5760 x^{2} y^{3}+3840 x y^{4}+1024 y^{5}}\end{array}\)

    Exercício\(\PageIndex{22}\) Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

    Nos exercícios a seguir, encontre o termo indicado na expansão do binômio.

    1. Sexto mandato de\((x+y)^{10}\)
    2. Quinto mandato de\((a+b)^{9}\)
    3. Quarto mandato de\((x-y)^{8}\)
    4. Sétimo mandato de\((x-y)^{11}\)
    Responda

    2. \(126a^{5} b^{4}\)

    4. \(462x^{5} y^{6}\)

    Exercício\(\PageIndex{23}\) Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

    Nos exercícios a seguir, encontre o coeficiente do termo indicado na expansão do binômio.

    1. \(y^{3}\)prazo de\((y+5)^{4}\)
    2. \(x^{6}\)prazo de\((x+2)^{8}\)
    3. \(x^{5}\)prazo de\((x-4)^{6}\)
    4. \(x^{7}\)prazo de\((x-3)^{9}\)
    5. \(a^{4} b^{2}\)prazo de\((2 a+b)^{6}\)
    6. \(p^{5} q^{4}\)prazo de\((3 p+q)^{9}\)
    Responda

    2. \(112\)

    4. \(324\)

    6. \(30,618\)

    Exercício\(\PageIndex{24}\) Writing Exercises
    1. Com suas próprias palavras, explique como encontrar as linhas do Triângulo de Pascal. Escreva as primeiras cinco linhas do Triângulo de Pascal.
    2. Com suas próprias palavras, explique o padrão de expoentes para cada variável na expansão de.
    3. Com suas próprias palavras, explique a diferença entre\((a+b)^{n}\)\((a-b)^{n}\) e.
    4. Com suas próprias palavras, explique como encontrar um termo específico na expansão de um binômio sem expandir tudo. Use um exemplo para ajudar a explicar.
    Responda

    2. As respostas podem variar

    4. As respostas podem variar

    Verificação automática

    a. Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

    Esta figura mostra uma tabela com quatro linhas e quatro colunas. A primeira linha é a linha do cabeçalho e lê. “Eu posso”, “Com confiança”, “Com alguma ajuda” e “Não, eu não entendo”. A primeira coluna, começando na segunda linha, diz: “Use o triângulo de Pascal para expandir um binômio”, “Avalie um coeficiente binomial” e “Use o teorema binomial para expandir um binômio”. As colunas restantes estão em branco.
    Figura 12.4.31

    b. Em uma escala de 1 a 10, como você classificaria seu domínio desta seção à luz de suas respostas na lista de verificação? Como você pode melhorar isso?