12.5: Teorema binomial

Last updated
Save as PDF

Page ID: 183093

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

Use o Triângulo de Pascal para expandir um binômio
Avalie um coeficiente binomial
Use o Teorema Binomial para expandir um binômio

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

Simplifique:$\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.
Se você perdeu esse problema, revise o Exemplo 1.25.
Expandir:$(3 x+5)^{2}$.
Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 5.32.
Expandir:$(x-y)^{2}$.
Se você perdeu esse problema, consulte o Exemplo 5.32.

Use o triângulo de Pascal para expandir um binômio

Em nosso trabalho anterior, temos binômios quadrados usando FOIL ou usando o Padrão de Quadrados Binomiais. Também podemos dizer que expandimos$(a+b)^{2}$.

$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$

Para expandir$(a+b)^{3}$, reconhecemos que isso é$(a+b)^{2}(a+b)$ e multiplicamos.

$(a+b)^{3}$
$(a+b)^{2}(a+b)$
$\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)(a+b)$
$a^{3}+2 a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b+2 a b^{2}+b^{3}$
$a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$

Para encontrar um método que seja menos tedioso e que funcione para expansões mais altas$(a+b)^{7}$, como, novamente, procuramos padrões em algumas expansões.

Tabela 12.4.1
	Número de termos	Primeiro mandato	Último mandato
$(a+b)^{1}=a+b$	$2$	$a^{1}$	$b^{1}$
$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$	$3$	$a^{2}$	$b^{2}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$	$4$	$a^{3}$	$b^{3}$
$(a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}$	$5$	$a^{4}$	$b^{4}$
$(a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5}$	$6$	$a^{5}$	$b^{5}$
$(a+b)^{n}$	$n$	$a^{n}$	$b^{n}$

Observe que o primeiro e o último termos mostram apenas uma variável. Lembre-se disso$a^{0}=1$, para que possamos reescrever o primeiro e o último termos para incluir as duas variáveis. Por exemplo, poderíamos expandir$(a+b)^{3}$ para mostrar cada termo com as duas variáveis.

Esta figura mostra o padrão a mais b elevado a 3 é igual a a uma potência de 3 vezes b a uma potência de 0 mais 3 vezes a a a uma potência de 2 vezes b a uma potência de 1 mais 3 a a uma potência de 0 vezes b a uma potência de 3. — Figura 12.4.1

Geralmente, não mostramos os expoentes zero, assim como costumamos escrever$x$ em vez de$1x$.

Nota

Padrões na expansão do$(a+b)^{n}$

O número de termos é$n+1$.
O primeiro termo é$a^{n}$ e o último termo é$b^{n}$.
Os expoentes$a$ diminuem em um em cada termo, indo da esquerda para a direita.
Os expoentes$b$ aumentam em um em cada termo, indo da esquerda para a direita.
A soma dos expoentes em qualquer termo é$n$.

Vejamos um exemplo para destacar os últimos três padrões.

Esta figura mostra o padrão a mais b elevado a 5 igual a mais 5 vezes a vezes b mais 10 vezes a vezes b mais 5 vezes a vezes b mais 5 vezes a vezes b mais b. — Figura 12.4.2

A partir dos padrões que identificamos, vemos que as variáveis na expansão de$(a+b)^{n}$, seriam

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}$.

Para encontrar os coeficientes dos termos, escrevemos nossas expansões novamente com foco nos coeficientes. Nós reescrevemos os coeficientes para a direita formando uma matriz de coeficientes.

A mais b elevado a 0 é igual a 1. O nível superior do Triângulo de Pascal é 1. A mais b elevado a 1 é igual a 1 a mais 1 b. O segundo nível do Triângulo de Pascal é 1, 1. A mais b elevado a 2 é igual a 1 a elevado a 2 mais 2 a b mais 1 b elevado a 2. O terceiro nível do Triângulo de Pascal é 1, 2, 1. A mais b elevado a 3 é igual a 1 a à potência de 3 mais 3 a elevado a à potência de 2 b mais 3 a b elevado a 2 mais 1 b elevado a 3. O quarto nível do Triângulo de Pascal é 1,3,3,1. A mais b elevado a 4 é igual a 1 a à potência de 4 mais 4 a à potência de 3 b mais 6 a elevado a 2 b elevado a 2 mais 4 a b elevado a 3 mais 1 b elevado a 4. O quinto nível do Triângulo de Pascal é 1, 4, 6, 4, 1. A mais b elevado a 5 é igual a 1 a à potência de 5 mais 5 a à potência de 4 b mais 10 a elevado a 3 b elevado a 2 mais 10 a elevado a elevado a 2 b elevado a 3. A sexta linha do Triângulo de Pascal é 1, 5, 10, 10, 5, 1. — Figura 12.4.3

A matriz à direita é chamada de Triângulo de Pascal. Observe que cada número na matriz é a soma dos dois números mais próximos na linha acima. Podemos encontrar a próxima linha começando e terminando com um e depois adicionando dois números adjacentes.

Esta figura mostra o Triângulo de Pascal. O primeiro nível é 1. O segundo nível é 1, 1. O terceiro nível é 1, 2, 1. O quarto nível é 1, 3, 3, 1. O quinto nível é 1, 4, 6, 4, 1. O sexto nível é 1, 5, 10, 10, 5, 1. O sétimo nível é 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. — Figura 12.4.4

Esse triângulo fornece os coeficientes dos termos quando expandimos binômios.

Definição$\PageIndex{1}$

Triângulo de Pascal

No próximo exemplo, usaremos esse triângulo e os padrões que reconhecemos para expandir o binômio.

Exemplo$\PageIndex{1}$

Use o Triângulo de Pascal para expandir$(x+y)^{6}$.

Solução:

Sabemos que as variáveis dessa expansão seguirão o padrão que identificamos. Os expoentes diferentes de zero$x$ começarão em seis e diminuirão para um. Os expoentes diferentes de zero$y$ começarão em um e aumentarão para seis. A soma dos expoentes em cada termo será seis. Em nosso padrão,$a=x$$b=y$ e.

$\begin{array}{l}{(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1} b^{1}+\_\_\_a^{n-2} b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}} \\ {(x+y)^{6}=x^{6}+\_\_\_x^{5} y^{1}+\_\_\_x^{4} y^{2}+\_\_\_x^{3} y^{3}+\_\_\_x^{2} y^{4}+\_\_\_x^{1} y^{5}+y^{6}}\end{array}$

Esta figura mostra a mais b elevado à potência de n é igual a a à potência de n mais a à potência se n menos 1 b elevado a 1 mais a à potência de n menos 2 b elevado à potência se 2 mais reticências mais a à potência de 1 b elevado a n menos 1 mais b elevado à potência de n. A figura a seguir mostra x mais y à potência de n. A figura a seguir mostra x mais y elevado a potência de 6 é igual a x à potência de 6 mais x à potência de 5 y à potência de 1 mais x à potência de 4 y à potência de 2 mais x à potência de 3 y à potência de 3 mais x à potência de 2 y à potência de 4 mais x à potência de 1 y à potência de 5 mais y à potência de 6. — Figura 12.4.6

Exercício$\PageIndex{1}$

Use o Triângulo de Pascal para expandir$(x+y)^{5}$.

Responda: $\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}$

Exercício$\PageIndex{2}$

Use o Triângulo de Pascal para expandir$(p+q)^{7}$.

Responda: $\begin{array}{c}{p^{7}+7 p^{6} q+21 p^{5} q^{2}+35 p^{4} q^{3}} {+35 p^{3} q^{4}+21 p^{2} q^{5}+7 p q^{6}+q^{7}}\end{array}$

No próximo exemplo, queremos expandir um binômio com uma variável e uma constante. Precisamos identificar$a$ e$b$ aplicar cuidadosamente o padrão.

Exemplo$\PageIndex{2}$

Use o Triângulo de Pascal para expandir$(x+3)^{5}$.

Solução:

Identificamos o$a$ e$b$ do padrão.

Esta figura mostra como identificamos a mais b elevado a n, no padrão x mais 3 elevado a 5. — Figura 12.4.7

Em nosso padrão,$a=x$$b=3$ e.

Sabemos que as variáveis dessa expansão seguirão o padrão que identificamos. A soma dos expoentes em cada termo será cinco.

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n} $

$(x+3)^{5}=x^{5}+\_\_\_x^{4}\cdot3^{1}+\_\_\_x^{3}\cdot3^{2}+\_\_\_x^{2}\cdot3^{3}+\_\_\_x^{1}\cdot3^{4}+3^{5}$

Exercício$\PageIndex{3}$

Use o Triângulo de Pascal para expandir$(x+2)^{4}$.

Responda: $x^{4}+8 x^{3}+24 x^{2}+32 x+16$

Exercício$\PageIndex{4}$

Use o Triângulo de Pascal para expandir$(x+1)^{6}$.

Responda: $\begin{array}{l}{x^{6}+6 x^{5}+15 x^{4}+20 x^{3}+15 x^{2}} {+6 x+1}\end{array}$

No próximo exemplo, o binômio é uma diferença e o primeiro termo tem uma constante multiplicada pela variável. Depois de identificarmos o$a$ e$b$ do padrão, devemos novamente aplicar o padrão com cuidado.

Exemplo$\PageIndex{3}$

Use o Triângulo de Pascal para expandir$(3x-2)^{4}$.

Solução:

Identificamos o$a$ e$b$ do padrão.

Esta figura mostra como identificamos a mais b elevado a n, no padrão 3 x menos 2 elevado a 4. — Figura 12.4.9

Em nosso padrão,$a=3x$$b=-2$ e.

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n} $

$(3 x-2 )^{4}=1 \cdot\left(\stackrel{3}{x}+4(3 x)^{3}(-2)^{1}+6(3 x)^{2}(-2)^{2}+4(3 x)^{1}(-2)^{3}+1 \cdot(-2)^{4}\right.$

$(3 x-2)^{4}=81 x^{4}+4\left(27 x^{3}\right)(-2)+6\left(9 x^{2}\right)(4)+4(3 x)(-8)+1 \cdot 16$

$(3 x-2 )^{4}=81 x^{4}-216 x^{3}+216 x^{2}-96 x+16$

Exercício$\PageIndex{5}$

Use o Triângulo de Pascal para expandir$(2x-3)^{4}$.

Responda: $16 x^{4}-96 x^{3}+216 x^{2}-216 x+81$

Exercício$\PageIndex{6}$

Use o Triângulo de Pascal para expandir$(2x-1)^{6}$.

Responda: $\begin{array}{l}{64 x^{6}-192 x^{5}+240 x^{4}-160 x^{3}} {+60 x^{2}-12 x+1}\end{array}$

Avalie um coeficiente binomial

Embora o Triângulo de Pascal seja um método para expandir um binômio, também veremos outro método. Antes de chegarmos a isso, precisamos introduzir um pouco mais de notação fatorial. Essa notação não é usada apenas para expandir binômios, mas também no estudo e uso da probabilidade.

Para encontrar os coeficientes dos termos dos binômios expandidos, precisaremos ser capazes de avaliar a notação$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ que é chamada de coeficiente binomial. Lemos$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ como “$n$escolha$r$” ou “$n$tomada$r$ de cada vez”.

Definição$\PageIndex{1}$

Um coeficiente binomial$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$, onde$r$ e$b$ são números inteiros com$0 \leq r \leq n$, é definido como

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

Lemos$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ como “$n$escolher$r$” ou “$n$$r$tirada de cada vez”.

Exemplo$\PageIndex{4}$

Avalie:

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)$

Solução:

a. Usaremos a definição de um coeficiente binomial,

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)$

Use a definição$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, onde$n=5, r=1$.

$\frac{5 !}{1 !(5-1) !}$

Simplifique.

$\frac{5 !}{1 !(4) !}$

Reescrever$5!$ como$5\cdot 4!$

$\frac{5 \cdot 4 !}{1 ! \cdot 4 !}$

Simplifique, removendo fatores comuns.

$\frac{5\cdot \cancel{4 !}}{1 ! \cdot \cancel{4 !}}$

Simplifique.

$5$

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)=5$

b.$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)$

Use a definição$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, onde$n=7, r=7$.

$\frac{7 !}{7 !(7-7) !}$

Simplifique.

$\frac{7 !}{7 !(0) !}$

Simplifique. Lembrar$0!=1$.

$1$

$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)=1$

c.$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)$

Use a definição$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, onde$n=4, r=0$.

$\frac{4 !}{0 !(4-0) !}$

Simplifique.

$\frac{4 !}{0 !(4) !}$

Simplifique.

$1$

$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)=1$

d.$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)$

Use a definição$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, onde$n=8, r=5$.

$\frac{8 !}{5 !(8-5) !}$

Simplifique.

$\frac{8 !}{5 !(3) !}$

Reescreva$8!$ como$8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!$ e remova os fatores comuns.

$\frac{8\cdot7\cdot\cancel{6}\cdot\cancel{5!}}{\cancel{5!}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{2}\cdot1}$

Simplifique.

$56$

$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)=56$

Exercício$\PageIndex{7}$

Avalie cada coeficiente binomial:

$\left( \begin{array}{l}{6} \\ {1}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {8}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {3}\end{array}\right)$

Responda

$6$
$1$
$1$
$35$

Exercício$\PageIndex{8}$

Avalie cada coeficiente binomial:

$\left( \begin{array}{l}{2} \\ {1}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{11} \\ {11}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{6} \\ {5}\end{array}\right)$

Responda

$2$
$1$
$1$
$6$

No exemplo anterior,,$(a)$$(b)$,$(c)$ demonstre algumas propriedades especiais dos coeficientes binomiais.

Definição$\PageIndex{2}$

Propriedades dos coeficientes binomiais

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

Use o teorema binomial para expandir um binômio

Agora estamos prontos para usar o método alternativo de expansão de binômios. O Teorema Binomial usa o mesmo padrão para as variáveis, mas usa o coeficiente binomial para o coeficiente de cada termo.

Definição$\PageIndex{3}$

Teorema binomial

Para qualquer número real$a$ e$b$, um inteiro positivo$n$,

$(a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}$

Exemplo$\PageIndex{5}$

Use o Teorema Binomial para expandir$(p+q)^{4}$.

Solução:

Identificamos o$a$ e$b$ do padrão.

Esta figura mostra como identificamos a mais b elevado à potência de n, no padrão p mais q elevado a 4. — Figura 12.4.11

Em nosso padrão,$a=p$$b=q$ e.

Usamos o Teorema Binomial.

Substitua os valores$a=p, b=q$$n=4$ e.

$(p+q)^{4}=\left( \begin{array}{c}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{4-1} q^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{4-2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p^{4-3} q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}$

Simplifique os expoentes.

$(p+q)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{3} q+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}$

Avalie os coeficientes, lembre-se,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

$(p+q)^{4}=1 p^{4}+4 p^{3} q^{1}+\frac{4 !}{2 !(2) !} p^{2} q^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !} p^{1} q^{3}+1 q^{4}$
$(p+q)^{4}=p^{4}+4 p^{3} q+6 p^{2} q^{2}+4 p q^{3}+q^{4}$

Exercício$\PageIndex{9}$

Use o Teorema Binomial para expandir$(x+y)^{5}$.

Responda: $\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}$

Exercício$\PageIndex{10}$

Use o Teorema Binomial para expandir$(m+n)^{6}$.

Responda: $\begin{array}{l}{m^{6}+6 m^{5} n+15 m^{4} n^{2}+20 m^{3} n^{3}} {+15 m^{2} n^{4}+6 m n^{5}+n^{6}}\end{array}$

Observe que quando expandimos$(p+q)^{4}$ no último exemplo, usando o Teorema Binomial, obtivemos os mesmos coeficientes que obteríamos usando o Triângulo de Pascal.

A figura acima é P mais q elevado a 4 é igual a 4 escolha 0 vezes p à potência de 4 mais 4 escolha 1 vezes p à potência de 3 q mais 4 escolha 2 vezes p à potência de 2 q à potência de 2 mais 4 escolha 3 vezes p q elevado à potência de 3 mais 4 escolha 4 vezes q elevado a 4. P mais q elevado a 4 é igual a p à potência de 4 p à potência de 3 q mais 6 p à potência de 2 q elevado a 2 mais 4 p q elevado a 3 mais q elevado a 4. Esta figura à direita mostra o Triângulo de Pascal. O primeiro nível é 1. O segundo nível é 1, 1. O terceiro nível é 1, 2, 1. O quarto nível é 1, 3, 3, 1. O quinto nível é 1, 4, 6, 4, 1. O sexto nível é 1, 5, 10, 10, 5, 1. O sétimo nível é 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. — Figura 12.4.12

No exemplo a seguir, o binômio é uma diferença. Quando o binômio é uma diferença, devemos ter cuidado ao identificar os valores que usaremos no padrão.

Exemplo$\PageIndex{6}$

Use o Teorema Binomial para expandir$(x-2)^{5}$.

Solução:

Identificamos o$a$ e$b$ do padrão.

Esta figura mostra x menos 2 elevado a 5. — Figura 12.4.13

Em nosso padrão,$a=x$$b=-2$ e.

Usamos o Teorema Binomial.

Substitua os valores$a=x, b=-2$,$n=5$ e.

$(x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{5-1}(-2)^{1}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{5-2}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{5-3}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x^{5-4}(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}$

Simplifique os coeficientes. Lembre-se,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$.

$(x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{4}(-2)+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{3}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{2}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}$

$(x-2)^{5}=1 x^{5}+5(-2) x^{4}+\frac{5 !}{2 ! \cdot 3 !}(-2)^{2} x^{3}+\frac{5 !}{3 ! 2 !}(-2)^{3} x^{2}+\frac{5 !}{4 !1 !}(-2)^{4} x+1(-2)^{5}$

$(x-2)^{5}=x^{5}+5(-2) x^{4}+10 \cdot 4 \cdot x^{3}+10(-8) x^{2}+5 \cdot 16 \cdot x+1(-32)$

$(x-2)^{5}=x^{5}-10 x^{4}+40 x^{3}-80 x^{2}+80 x-32$

Exercício$\PageIndex{11}$

Use o Teorema Binomial para expandir$(x-3)^{5}$.

Responda: $\begin{array}{l}{x^{5}-15 x^{4}+90 x^{3}-270 x^{2}} {+405 x-243}\end{array}$

Exercício$\PageIndex{12}$

Use o Teorema Binomial para expandir$(y-1)^{6}$.

Responda: $\begin{array}{l}{y^{6}-6 y^{5}+15 y^{4}-20 y^{3}+15 y^{2}} {-6 y+1}\end{array}$

As coisas podem ficar confusas quando os dois termos têm um coeficiente e uma variável.

Exemplo$\PageIndex{7}$

Use o Teorema Binomial para expandir$(2x-3y)^{4}$.

Solução:

Identificamos o$a$ e$b$ do padrão.

Esta figura mostra como identificamos a mais b elevado a n, no padrão 2 x menos 3 y vezes a potência de 4. — Figura 12.4.14

Em nosso padrão,$a=2x$$b=-3y$ e.

Usamos o Teorema Binomial.

Substitua os valores$a=2x, b=-3y$$n=4$ e.

$(2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{4-1}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{4-2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{4-3}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) (-3y)^{4}$

Simplifique os expoentes.

$(2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{1}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right)(-3 y)^{4}$

Avalie os coeficientes. Lembre-se,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

$(2 x-3 y)^{4}=1(2 x)^{4}+4(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\frac{4 !}{2 !(2 x) !}(2 x)^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !}(2 x)^{3}(-3 y)^{3}+1(-3 y)^{4}$

$(2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}+4 \cdot 8 x^{3}(-3 y)+6\left(4 x^{2}\right)\left(9 y^{2}\right)+4(2 x)\left(-27 y^{3}\right)+81 y^{4}$

$(2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}-96 x^{3} y+216 x^{2} y^{2}-216 x y^{3}+81 y^{4}$

Exercício$\PageIndex{13}$

Use o Teorema Binomial para expandir$(3x-2y)^{5}$.

Responda: $\begin{array}{l}{243 x^{5}-810 x^{4} y+1080 x^{3} y^{2}} {-720 x^{2} y^{3}+240 x y^{4}-32 y^{5}}\end{array}$

Exercício$\PageIndex{14}$

Use o Teorema Binomial para expandir$(4x-3y)^{4}$.

Responda: $\begin{array}{l}{256 x^{4}-768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {-432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}$

A verdadeira beleza do Teorema Binomial é que ele fornece uma fórmula para qualquer termo específico da expansão sem precisar calcular a soma total. Vamos procurar um padrão no Teorema Binomial.

Esta figura mostra a mais b elevado a n igual a n escolha 0 vezes a à potência de n b à potência de 0 mais n escolha 1 vezes a à potência de n menos 1 b ao 1 mais n escolha 2 vezes a à potência de n menos 2 b elevado a 2 b elevado a 2 mais reticências mais n escolha r vezes a à potência de n menos r mais reticências mais n escolha n vezes b elevado a n. — Figura 12.4.15

Observe que, em cada caso, o expoente no$b$ é um a menos que o número do termo. O$(r+1)^{st}$ termo é o termo em que o expoente de$b$ está$r$. Assim, podemos usar o formato do$(r+1)^{st}$ termo para encontrar o valor de um termo específico.

Nota

Encontre um termo específico em uma expansão binomial

O$(r+1)^{s t}$ termo na expansão de$(a+b)^{n}$ é

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}$

Exemplo$\PageIndex{8}$

Encontre o quarto termo de$(x+y)^{7}$.

Solução:

Tabela 12.4.1
Em nosso padrão,$n=7, a=x$$b=y$ e.	$.$
Estamos procurando o quarto mandato. Desde$r+1=4$ então$r=3$.
Escreva a fórmula	$.$
Substitua os valores$n=7, r=3, a=x$,$b=y$ e.	$.$
$.$	$.$
Simplifique.	$.$
Simplifique.	$.$

Exercício$\PageIndex{15}$

Encontre o terceiro termo de$(x+y)^{6}$.

Responda: $15x^{4}y^{2}$

Exercício$\PageIndex{16}$

Encontre o quinto termo de$(a+b)^{8}$.

Responda: $8ab^{7}$

Exemplo$\PageIndex{9}$

Encontre o coeficiente do$x^{6}$ termo de$(x+3)^{9}$.

Solução:

Tabela 12.4.2
Em nosso padrão, então$n=9, a=x$,$b=3$ e.	$.$ Figura 12.4.23
Estamos procurando o coeficiente do$x^{6}$ termo. Desde então$a=x$, e$x^{9-r}=x^{6}$, nós sabemos$r=3$.
Escreva a fórmula.	$.$ Figura 12.4.24
Substitua os valores$n=9, 4=3, a=x$,$b=3$ e.	$.$ Figura 12.4.25
$.$ Figura 12.4.26	$.$ Figura 12.4.27
Simplifique.	$.$ Figura 12.4.28
Simplifique.	$.$ Figura 12.4.29
Simplifique.	$.$ Figura 12.4.30

Exercício$\PageIndex{17}$

Encontre o coeficiente do$x^{5}$ termo de$(x+4)^{8}$.

Responda: $7,168$

Exercício$\PageIndex{18}$

Encontre o coeficiente do$x^{4}$ termo de$(x+2)^{7}$.

Responda: $280$

Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com sequências.

Conceitos-chave

Padrões na expansão de\ ((a+b) ^ {n}\ (
- O número de termos é$n+1$.
- O primeiro termo é$a^{n}$ e o último termo é$b^{n}$.
- Os expoentes$a$ diminuem em um em cada termo, indo da esquerda para a direita.
- Os expoentes$b$ aumentam em um em cada termo, indo da esquerda para a direita.
- A soma dos expoentes em qualquer termo é$n$.
Triângulo de Pascal

Coeficiente binomial $\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)$: Um coeficiente binomial$\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)$, onde$r$ e$n$ são números inteiros com$0≤r≤n$, é definido como

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

Lemos$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ como “$n$escolha$r$” ou “$n$tomada$r$ de cada vez”.

Propriedades dos coeficientes binomiais

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

Teorema binomial:

Para qualquer número$a$ real$b$ e número inteiro positivo$n$,

	Número de termos	Primeiro mandato	Último mandato
\((a+b)^{1}=a+b\)	\(2\)	\(a^{1}\)	\(b^{1}\)
\((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\)	\(3\)	\(a^{2}\)	\(b^{2}\)
\((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\)	\(4\)	\(a^{3}\)	\(b^{3}\)
\((a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}\)	\(5\)	\(a^{4}\)	\(b^{4}\)
\((a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5}\)	\(6\)	\(a^{5}\)	\(b^{5}\)
\((a+b)^{n}\)	\(n\)	\(a^{n}\)	\(b^{n}\)

Nota

Definição\(\PageIndex{1}\)

Exemplo\(\PageIndex{1}\)

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

Exercício\(\PageIndex{3}\)

Exercício\(\PageIndex{4}\)

Exemplo\(\PageIndex{3}\)

Exercício\(\PageIndex{5}\)

Exercício\(\PageIndex{6}\)

Definição\(\PageIndex{1}\)

Exemplo\(\PageIndex{4}\)

Exercício\(\PageIndex{7}\)

Exercício\(\PageIndex{8}\)

Definição\(\PageIndex{2}\)

Definição\(\PageIndex{3}\)

Exemplo\(\PageIndex{5}\)

Exercício\(\PageIndex{9}\)

Exercício\(\PageIndex{10}\)

Exemplo\(\PageIndex{6}\)

Exercício\(\PageIndex{11}\)

Exercício\(\PageIndex{12}\)

Exemplo\(\PageIndex{7}\)

Exercício\(\PageIndex{13}\)

Exercício\(\PageIndex{14}\)

Nota

Exemplo\(\PageIndex{8}\)

Exercício\(\PageIndex{15}\)

Exercício\(\PageIndex{16}\)

Exemplo\(\PageIndex{9}\)

Exercício\(\PageIndex{17}\)

Exercício\(\PageIndex{18}\)

Em nosso padrão,\(n=7, a=x\)\(b=y\) e.	$.$
Estamos procurando o quarto mandato. Desde\(r+1=4\) então\(r=3\).
Escreva a fórmula	$.$
Substitua os valores\(n=7, r=3, a=x\),\(b=y\) e.	$.$
$.$	$.$
Simplifique.	$.$
Simplifique.	$.$

Em nosso padrão, então\(n=9, a=x\),\(b=3\) e.	$.$ Figura 12.4.23
Estamos procurando o coeficiente do\(x^{6}\) termo. Desde então\(a=x\), e\(x^{9-r}=x^{6}\), nós sabemos\(r=3\).
Escreva a fórmula.	$.$ Figura 12.4.24
Substitua os valores\(n=9, 4=3, a=x\),\(b=3\) e.	$.$ Figura 12.4.25
$.$ Figura 12.4.26	$.$ Figura 12.4.27
Simplifique.	$.$ Figura 12.4.28
Simplifique.	$.$ Figura 12.4.29
Simplifique.	$.$ Figura 12.4.30