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12.4E: Exercícios

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    A prática leva à perfeição

    Exercício\(\PageIndex{21}\) Determine if a Sequence is Geometric

    Nos exercícios a seguir, determine se a sequência é geométrica e, em caso afirmativo, indique a proporção comum.

    1. \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
    2. \(2,10,50,250,1250,6250, \dots\)
    3. \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \dots\)
    4. \(54,18,6,2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \dots\)
    5. \(-3,6,-12,24,-48,96, \dots\)
    6. \(2,-6,18,-54,162,-486, \dots\)
    Resposta

    1. A sequência é geométrica com proporção comum\(r=4\).

    3. A sequência é geométrica com proporção comum\(r=\frac{1}{2}\).

    5. A sequência é geométrica com proporção comum\(r=−2\).

    Exercício\(\PageIndex{22}\) Determine if a Sequence is Geometric

    Nos exercícios a seguir, determine se cada sequência é aritmética, geométrica ou nenhuma delas. Se for aritmética, indique a diferença comum. Se geométrico, indique a proporção comum.

    1. \(48,24,12,6,3, \frac{3}{2}, \ldots\)
    2. \(12,6,0,-6,-12,-18, \dots\)
    3. \(-7,-2,3,8,13,18, \dots\)
    4. \(5,9,13,17,21,25, \ldots\)
    5. \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots\)
    6. \(4,8,12,24,48,96, \dots\)
    Resposta

    1. A sequência é geométrica com proporção comum\(r=\frac{1}{2}\).

    3. A sequência é aritmética com diferença comum\(d=5\).

    5. A sequência é geométrica com proporção comum\(r=\frac{1}{2}\).

    Exercício\(\PageIndex{23}\) Determine if a Sequence is Geometric

    Nos exercícios a seguir, escreva os primeiros cinco termos de cada sequência geométrica com o primeiro termo e a razão comum fornecidos.

    1. \(a_{1}=4\)e\(r=3\)
    2. \(a_{1}=9\)e\(r=2\)
    3. \(a_{1}=-4\)e\(r=-2\)
    4. \(a_{1}=-5\)e\(r=-3\)
    5. \(a_{1}=27\)e\(r=\frac{1}{3}\)
    6. \(a_{1}=64\)e\(r=\frac{1}{4}\)
    Resposta

    1. \(4,12,36,108,324\)

    3. \(-4,8,-16,32,-64\)

    5. \(27,9,3,1, \frac{1}{3}\)

    Exercício\(\PageIndex{24}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence
    1. Encontre\(a_{11}\) um dado\(a_{1}=8\)\(r=3\) e.
    2. Encontre\(a_{13}\) um dado\(a_{1}=7\)\(r=2\) e.
    3. Encontre\(a_{10}\) um dado\(a_{1}=-6\)\(r=-2\) e.
    4. Encontre\(a_{15}\) um dado\(a_{1}=-4\)\(r=-3\) e.
    5. Encontre\(a_{10}\) um dado\(a_{1}=100,000\)\(r=0.1\) e.
    6. Encontre\(a_{8}\) um dado\(a_{1}=1,000,000\)\(r=0.01\) e.
    Resposta

    1. \(472,392\)

    3. \(3,072\)

    5. \(0.0001\)

    Exercício\(\PageIndex{25}\) Find the General Term (\(n\)th Term) of a Geometric Sequence

    Nos exercícios a seguir, encontre o termo indicado da sequência dada. Encontre o termo geral para a sequência.

    1. \(a_{9}\)Descoberta da sequência,\(9,18,36,72,144,288, \dots\)
    2. \(a_{12}\)Descoberta da sequência,\(5,15,45,135,405,1215, \dots\)
    3. \(a_{15}\)Descoberta da sequência,\(-486,162,-54,18,-6,2, \dots\)
    4. \(a_{16}\)Descoberta da sequência,\(224,-112,56,-28,14,-7, \ldots\)
    5. \(a_{10}\)Descoberta da sequência,\(1,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001, \ldots\)
    6. \(a_{9}\)Descoberta da sequência,\(1000,100,10,1,0.1,0.01, \dots\)
    Resposta

    1. \(a_{9}=2,304 .\)O termo geral é\(a_{n}=9(2)^{n-1}\).

    3. \(a_{15}=-\frac{2}{19,683} .\)O termo geral é\(a_{n}=-486\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}\).

    5. \(a_{10}=0.000000001 .\)O termo geral é\(a_{n}=(0.1)^{n-1}\).

    Exercício\(\PageIndex{26}\) Find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

    Nos exercícios a seguir, encontre a soma dos primeiros quinze termos de cada sequência geométrica.

    1. \(8,24,72,216,648,1944, \dots\)
    2. \(7,14,28,56,112,224, \dots\)
    3. \(-6,12,-24,48,-96,192, \dots\)
    4. \(-4,12,-36,108,-324,972, \ldots\)
    5. \(81,27,9,3,1, \frac{1}{3}, \ldots\)
    6. \(256,64,16,4,1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \dots\)
    Resposta

    1. \(57,395,624\)

    3. \(-65,538\)

    5. \(\frac{7,174,453}{59,049} \approx 121.5\)

    Exercício\(\PageIndex{27}\) Find the Sum of the First \(n\) terms of a Geometric Sequence

    Nos exercícios a seguir, encontre a soma da sequência geométrica.

    1. \(\sum_{i=1}^{15}(2)^{i}\)
    2. \(\sum_{i=1}^{10}(3)^{i}\)
    3. \(\sum_{i=1}^{9} 4(2)^{i}\)
    4. \(\sum_{i=1}^{8} 5(3)^{i}\)
    5. \(\sum_{i=1}^{10} 9\left(\frac{1}{3}\right)^{i}\)
    6. \(\sum_{i=1}^{15} 4\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)
    Resposta

    1. \(65,534\)

    3. \(4088\)

    5. \(\frac{29,524}{6561} \approx 4.5\)

    Exercício\(\PageIndex{28}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

    Nos exercícios a seguir, encontre a soma de cada série geométrica infinita.

    1. \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\frac{1}{243}+\frac{1}{729}+\ldots\)
    2. \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\ldots\)
    3. \(6-2+\frac{2}{3}-\frac{2}{9}+\frac{2}{27}-\frac{2}{81}+\ldots\)
    4. \(-4+2-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\dots\)
    5. \(6+12+24+48+96+192+\dots\)
    6. \(5+15+45+135+405+1215+\ldots\)
    7. \(1,024+512+256+128+64+32+\ldots\)
    8. \(6,561+2187+729+243+81+27+\dots\)
    Resposta

    1. \(\frac{3}{2}\)

    3. \(\frac{9}{2}\)

    5. nenhuma soma como\(r≥1\)

    7.\ (2.048\ (

    Exercício\(\PageIndex{29}\) Find the Sum of an Infinite Geometric Series

    Nos exercícios a seguir, escreva cada decimal repetido como uma fração.

    1. \(0 . \overline{3}\)
    2. \(0 . \overline{6}\)
    3. \(0 . \overline{7}\)
    4. \(0 . \overline{2}\)
    5. \(0 . \overline{45}\)
    6. \(0 . \overline{27}\)
    Resposta

    1. \(\frac{1}{3}\)

    3. \(\frac{7}{9}\)

    5. \(\frac{5}{11}\)

    Exercício\(\PageIndex{30}\) Apply Geometric Sequences and Series in the Real World

    Nos exercícios a seguir, resolva o problema.

    1. Encontre o efeito total na economia de cada desconto fiscal do governo para cada família, a fim de estimular a economia se cada família gastar a porcentagem indicada do desconto em bens e serviços.
    Desconto de imposto para cada família Porcentagem gasta em bens e serviços Efeito total na economia
    uma. $\(1,000\) \(85\)%  
    b. $\(1,000\) \(75\)%  
    c. $\(1,500\) \(90\)%  
    d. $\(1,500\) \(80\)%  
    Tabela 12.3.3

    2. Os novos avós decidem investir $\(100\) por mês em uma anuidade para o neto. A conta pagará\(6\)% de juros por ano, que são compostos mensalmente (\(12\)vezes por ano). Quanto estará na conta da criança no vigésimo primeiro aniversário?

    3. Berenice acabou de conseguir seu primeiro emprego em tempo integral depois de se formar na faculdade com a idade\(30\). Ela decidiu investir $\(500\) por trimestre em um IRA (uma anuidade). Os juros sobre a anuidade são\(7\)%, que são compostos trimestralmente (\(4\)vezes por ano). Quanto ficará na conta da Berenice quando ela se aposentar com a idade\(65\)?

    4. Alice quer comprar uma casa em cerca de cinco anos. Ela está depositando $\(500\) por mês em uma anuidade que ganha\(5\)% por ano que é composta mensalmente (\(12\)vezes por ano). Quanto Alice terá pelo pagamento inicial em cinco anos?

    5. Myra acabou de conseguir seu primeiro emprego em tempo integral depois de se formar na faculdade. Ela planeja fazer um mestrado, assim como depositar $ por ano\(2,500\) de seu bônus de fim de ano em uma anuidade. A anuidade paga\(6.5\)% ao ano e é composta anualmente. Quanto ela economizará em cinco anos para fazer o mestrado?

    Resposta

    1. a. $\(6666.67\) b. $\(4000\) c. $\(15,000\) d. $\(7500\)

    3. $\(295,581.88\)

    5. $\(14,234.10\)

    Exercício\(\PageIndex{31}\) Writing Exercises
    1. Com suas próprias palavras, explique como determinar se uma sequência é geométrica.
    2. Com suas próprias palavras, explique como encontrar o termo geral de uma sequência geométrica.
    3. Com suas próprias palavras, explique a diferença entre uma sequência geométrica e uma série geométrica.
    4. Com suas próprias palavras, explique como determinar se uma série geométrica infinita tem uma soma e como encontrá-la.
    Resposta

    2. As respostas podem variar.

    4. As respostas variarão

    Verificação automática

    Esta figura mostra sete linhas e quatro colunas. A primeira linha é a linha do cabeçalho e diz: “Eu posso”, “Com confiança”, “Com alguma ajuda” e “Não, eu não entendo. A primeira coluna diz: “Determine se uma sequência é geométrica”, “Encontre o termo geral (enésimo termo) de a”, “Sequência geométrica”, “Encontre a soma de uma série geométrica infinita”, Use sequências geométricas para resolver aplicações”. As colunas restantes estão em branco.
    Figura 12.3.11
    1. Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.
    2. O que essa lista de verificação lhe diz sobre seu domínio desta seção? Quais etapas você tomará para melhorar?