6.5: Estratégia geral para fatorar expressões polinomiais
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Ao final desta seção, você poderá:
- Reconheça e use o método apropriado para fatorar completamente um polinômio
Reconhecer e usar o método apropriado para fatorar completamente um polinômio
Agora você se familiarizou com todos os métodos de fatoração necessários neste curso. O gráfico a seguir resume todos os métodos de fatoração que abordamos e descreve uma estratégia que você deve usar ao fatorar polinômios.
- Existe um fator comum maior?
Considere isso. - O polinômio é binomial, trinomial ou há mais de três termos?
Se for um binômio:- É uma soma?
De quadrados? As somas dos quadrados não levam em consideração.
De cubos? Use o padrão de soma de cubos. - É uma diferença?
De quadrados? Fator como produto dos conjugados.
De cubos? Use a diferença do padrão de cubos.
- É do formulário\(x^2+bx+c\)? Desfaça FOIL.
- É do formulário\(ax^2+bx+c\)?
Se a e c forem quadrados, verifique se eles se encaixam no padrão do quadrado trinomial.
Use o método de tentativa e erro ou “\(ac\)”.
- Use o método de agrupamento.
- É uma soma?
- Confira.
É totalmente fatorado?
Os fatores se multiplicam de volta ao polinômio original?
Lembre-se de que um polinômio é completamente fatorado se, além dos monômios, seus fatores forem primos!
Fator completamente:\(7x^3−21x^2−70x\).
Solução
\(\begin{array} {ll} {7x^3−21x^2−70x} & \\ \text{Is there a GCF? Yes, }7x. & \\ \text{Factor out the GCF.} &7x(x^2−3x−10) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial,} & \\ \text{or are there more terms?} & \\ \text{Trinomial with leading coefficient 1.} & \\ \text{“Undo” FOIL.} &7x(x\hspace{8mm})(x\hspace{8mm}) \\ &7x(x+2)(x−5) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Neither binomial can be factored.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ & \\ & \\ \hspace{15mm}7x(x+2)(x−5) & \\ \hspace{10mm}7x(x^2−5x+2x−10) & \\ \hspace{15mm}7x(x^2−3x−10) & \\ \hspace{13mm}7x^3−21x^2−70x\checkmark & \end{array} \)
Fator completamente:\(8y^3+16y^2−24y\).
- Resposta
-
\(8y(y−1)(y+3)\)
Fator completamente:\(5y^3−15y^2−270y\).
- Resposta
-
\(5y(y−9)(y+6)\)
Tenha cuidado ao ser solicitado a fatorar um binômio, pois há várias opções!
Fator completamente:\(24y^2−150\)
Solução
\(\begin{array} {ll} &24y^2−150 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }6. & \\ \text{Factor out the GCF.} &6(4y^2−25) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial} & \\ \text{or are there more than three terms? Binomial.} & \\ \text{Is it a sum? No.} & \\ \text{Is it a difference? Of squares or cubes? Yes, squares.} &6((2y)^2−(5)^2) \\ \text{Write as a product of conjugates.} &6(2y−5)(2y+5) \\ & \\ & \\ \hspace{5mm}\text{Is the expression factored completely?} & \\ \hspace{5mm}\text{Neither binomial can be factored.} & \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ \hspace{5mm}\text{Multiply.} & \\ & \\ \hspace{15mm}6(2y−5)(2y+5) & \\ & \\ \hspace{18mm}6(4y^2−25) & \\ \hspace{18mm}24y^2−150\checkmark \end{array}\)
Fator completamente:\(16x^3−36x\).
- Resposta
-
\(4x(2x−3)(2x+3)\)
Fator completamente:\(27y^2−48\).
- Resposta
-
\(3(3y−4)(3y+4)\)
O próximo exemplo pode ser fatorado usando vários métodos. Reconhecer o padrão dos quadrados trinomiais facilitará seu trabalho.
Fator completamente:\(4a^2−12ab+9b^2\).
Solução
\(\begin{array} {ll} &4a^2−12ab+9b^2 \\ \text{Is there a GCF? No.} & \\ \text{Is it a binomial, trinomial, or are there more terms?} & \\ \text{Trinomial with }a\neq 1.\text{ But the first term is a perfect square.} \\ \text{Is the last term a perfect square? Yes.} &(2a)^2−12ab+(3b)^2 \\ \text{Does it fit the pattern, }a^2−2ab+b^2?\text{ Yes.} &(2a)^2 −12ab+ (3b)^2 \\ &\hspace{7mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{−2(2a)(3b)}{\,}^{\swarrow}\\ \text{Write it as a square.} &(2a−3b)^2 \\ & \\ & \\ \quad\text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \quad\text{The binomial cannot be factored.} & \\ \text{Check your answer.} \\ & \\ & \\ \quad\text{Multiply.} & \\ \hspace{30mm}(2a−3b)^2 \\ \hspace{20mm} (2a)^2−2·2a·3b+(3b)^2 \\ \hspace{24mm}4a^2−12ab+9b^2\checkmark & \end{array} \)
Fator completamente:\(4x^2+20xy+25y^2\).
- Responda
-
\((2x+5y)^2\)
Fator completamente:\(9x^2−24xy+16y^2\).
- Responda
-
\((3x−4y)^2\)
Lembre-se de que as somas dos quadrados não levam em consideração, mas as somas dos cubos sim!
Fator completamente\(12x^3y^2+75xy^2\).
Solução
\(\begin{array} {ll} &12x^3y^2+75xy^2 \\ \text{Is there a GCF? Yes, }3xy^2. & \\ \text{Factor out the GCF.} &3xy^2(4x^2+25) \\ \text{In the parentheses, is it a binomial, trinomial, or are} & \\ \text{there more than three terms? Binomial.} & \\ & \\ \text{Is it a sum? Of squares? Yes.} &\text{Sums of squares are prime.} \\ & \\ & \\ \quad\text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check:} & \\ & \\ & \\ \quad\text{Multiply.} & \\ \hspace{15mm}3xy^2(4x^2+25) & \\ \hspace{14mm}12x^3y^2+75xy^2\checkmark \end{array} \)
Fator completamente:\(50x^3y+72xy\).
- Responda
-
\(2xy(25x^2+36)\)
Fator completamente:\(27xy^3+48xy\).
- Responda
-
\(3xy(9y^2+16)\)
Ao usar o padrão de soma ou diferença de cubos, tenha cuidado com os sinais.
Fator completamente:\(24x^3+81y^3\).
Solução
| Existe um GCF? Sim, 3. |  |
| Considere isso. |  |
| Entre parênteses, é um binômio, trinomial, ou há mais de três termos? Binomial. |
|
| É uma soma ou diferença? Soma. | |
| De quadrados ou cubos? Soma dos cubos. |  |
| Escreva-o usando o padrão de soma de cubos. |  |
| A expressão é totalmente considerada? Sim. |  |
| Verifique multiplicando. |
Fator completamente:\(250m^3+432n^3\).
- Responda
-
\(2(5m+6n)(25m^2−30mn+36n^2)\)
Fator completamente:\(2p^3+54q^3\).
- Responda
-
\(2(p+3q)(p^2−3pq+9q^2)\)
Fator completamente:\(3x^5y−48xy\).
Solução
\(\begin{array} {ll} &3x^5y−48xy \\ \text{Is there a GCF? Factor out }3xy &3xy(x^4−16) \\ \begin{array} {l} \text{Is the binomial a sum or difference? Of squares or cubes?} \\ \text{Write it as a difference of squares.} \end{array} &3xy\left((x^2)^2−(4)2\right) \\ \text{Factor it as a product of conjugates} &3xy(x^2−4)(x^2+4) \\ \text{The first binomial is again a difference of squares.} &3xy\left((x)^2−(2)^2\right)(x^2+4) \\ \text{Factor it as a product of conjugates.} &3xy(x−2)(x+2)(x^2+4) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ 3xy(x−2)(x+2)(x^2+4) & \\ 3xy(x^2−4)(x^2+4) & \\ 3xy(x^4−16) & \\ 3x^5y−48xy\checkmark & \end{array}\)
Fator completamente:\(4a^5b−64ab\).
- Responda
-
\(4ab(a^2+4)(a−2)(a+2)\)
Fator completamente:\(7xy^5−7xy\).
- Responda
-
\(7xy(y^2+1)(y−1)(y+1)\)
Fator completamente:\(4x^2+8bx−4ax−8ab\).
Solução
\(\begin{array} {ll} &4x^2+8bx−4ax−8ab \\ \text{Is there a GCF? Factor out the GCF, }4. &4(x^2+2bx−ax−2ab) \\ \text{There are four terms. Use grouping.} &4[x(x+2b)−a(x+2b)]4(x+2b)(x−a) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{25mm}4(x+2b)(x−a) & \\ \hspace{20mm} 4(x^2−ax+2bx−2ab) & \\ \hspace{20mm}4x^2+8bx−4ax−8ab\checkmark \end{array}\)
Fator completamente:\(6x^2−12xc+6bx−12bc\).
- Responda
-
\(6(x+b)(x−2c)\)
Fator completamente:\(16x^2+24xy−4x−6y\).
- Responda
-
\(2(4x−1)(2x+3y)\)
Tirar o GCF completo na primeira etapa sempre facilitará seu trabalho.
Fator completamente:\(40x^2y+44xy−24y\).
Solução
\(\begin{array} {ll} &40x^2y+44xy−24y \\ \text{Is there a GCF? Factor out the GCF, }4y. &4y(10x^2+11x−6) \\ \text{Factor the trinomial with }a\neq 1. &4y(10x^2+11x−6) \\ &4y(5x−2)(2x+3) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{25mm}4y(5x−2)(2x+3) & \\ \hspace{24mm}4y(10x^2+11x−6) & \\ \hspace{22mm}40x^2y+44xy−24y\checkmark \end{array}\)
Fator completamente:\(4p^2q−16pq+12q\).
- Responda
-
\(4q(p−3)(p−1)\)
Fator completamente:\(6pq^2−9pq−6p\).
- Responda
-
\(3p(2q+1)(q−2)\)
Quando fatoramos um polinômio com quatro termos, na maioria das vezes o separamos em dois grupos de dois termos. Lembre-se de que também podemos separá-lo em um trinômio e depois em um termo.
Fator completamente:\(9x^2−12xy+4y^2−49\).
Solução
\(\begin{array} {ll} &9x^2−12xy+4y^2−49 \\ \text{Is there a GCF? No.} & \\ \begin{array} {l} \text{With more than 3 terms, use grouping. Last 2 terms} \\ \text{have no GCF. Try grouping first 3 terms.} \end{array} &9x^2−12xy+4y^2−49 \\ \begin{array} {l} \text{Factor the trinomial with }a\neq 1. \text{ But the first term is a} \\ \text{perfect square.} \end{array} & \\ \text{Is the last term of the trinomial a perfect square? Yes.} &(3x)^2−12xy+(2y)^2−49 \\ \text{Does the trinomial fit the pattern, }a^2−2ab+b^2? \text{ Yes.} &(3x)^2 −12xy+ (2y)^2−49 \\ &\hspace{7mm} {\,}^{\searrow}{\,}_{−2(3x)(2y))}{\,}^{\swarrow} \\ \text{Write the trinomial as a square.} &(3x−2y)^2−49 \\ \begin{array} {ll} \text{Is this binomial a sum or difference? Of squares or} \\ \text{cubes? Write it as a difference of squares.} \end{array} &(3x−2y)^2−72 \\ \text{Write it as a product of conjugates.} &((3x−2y)−7)((3x−2y)+7) \\ &(3x−2y−7)(3x−2y+7) \\ \text{Is the expression factored completely? Yes.} & \\ \text{Check your answer.} & \\ \text{Multiply.} & \\ \hspace{23mm}(3x−2y−7)(3x−2y+7) & \\ \hspace{10mm}9x^2−6xy−21x−6xy+4y^2+14y+21x−14y−49 \qquad & \\ \hspace{25mm}9x^2−12xy+4y^2−49\checkmark & \end{array}\)
Fator completamente:\(4x^2−12xy+9y^2−25\).
- Responda
-
\((2x−3y−5)(2x−3y+5)\)
Fator completamente:\(16x^2−24xy+9y^2−64\).
- Responda
-
\((4x−3y−8)(4x−3y+8)\)
Conceitos chave
- Como usar uma estratégia geral para fatorar polinômios.
- Existe um fator comum maior?
Considere isso. - O polinômio é binomial, trinomial ou há mais de três termos?
Se for um binômio:
é uma soma?
De quadrados? As somas dos quadrados não levam em consideração.
De cubos? Use o padrão de soma de cubos.
É uma diferença?
De quadrados? Fator como produto dos conjugados.
De cubos? Use a diferença do padrão de cubos.
Se for um trinômio:
é da forma\(x^2+bx+c\)? Desfaça FOIL.
É do formulário\(ax^2+bx+c\)?
Se a e c forem quadrados, verifique se eles se encaixam no padrão do quadrado trinomial.
Use o método de tentativa e erro ou “\(ac\)”.
Se tiver mais de três termos:
use o método de agrupamento. - Confira.
É totalmente fatorado?
Os fatores se multiplicam de volta ao polinômio original?
- Existe um fator comum maior?