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4.7: Resolver sistemas de equações usando determinantes

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    183202
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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Avalie o determinante de uma matriz 2×2
    • Avalie o determinante de uma matriz 3×3
    • Use a Regra de Cramer para resolver sistemas de equações
    • Resolva aplicativos usando determinantes

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Simplifique:\(5(−2)−(−4)(1)\).
      Se você perdeu esse problema, revise [link].
    2. Simplifique:\(−3(8−10)+(−2)(6−3)−4(−3−(−4))\).
      Se você perdeu esse problema, revise [link].
    3. Simplifique:\(\frac{−12}{−8}\).
      Se você perdeu esse problema, revise [link].

    Nesta seção, aprenderemos sobre outro método para resolver sistemas de equações lineares chamado regra de Cramer. Antes de começarmos a usar a regra, precisamos aprender algumas novas definições e notações.

    Avalie o determinante de uma\(2×2\) matriz

    Se uma matriz tem o mesmo número de linhas e colunas, nós a chamamos de matriz quadrada. Cada matriz quadrada tem um número real associado a ela chamado de determinante. Para encontrar o determinante da matriz quadrada\(\left[ \begin{matrix} a &b \\ c&d \end{matrix} \right] \), primeiro a escrevemos como\(\left| \begin{matrix} a &b \\ c&d \end{matrix} \right| \). Para obter o valor do número real do determinado, subtraímos os produtos das diagonais, conforme mostrado.

    Um determinante 2 por 2 é exibido, com a primeira linha sendo a, b e a segunda sendo c, d. Esses valores são escritos entre duas linhas verticais em vez de colchetes, como no caso das matrizes. Duas setas são mostradas, uma de a a d e outra de c a b. Esse determinante é igual a ad menos bc.

    DETERMINANTE

    O determinante de qualquer matriz quadrada\(\left[ \begin{matrix} a &b \\ c&d \end{matrix} \right] \), onde a, b, c e d são números reais, é

    \[\left| \begin{matrix} a &b \\ c&d \end{matrix} \right| =ad−bc \nonumber \]

    Exemplo\(\PageIndex{1}\)

    Avalie a determinação de ⓐ\(\left[ \begin{matrix} 4 &-2 \\ 3&-1 \end{matrix} \right] \)\(\left[ \begin{matrix} -3 &-4 \\ -2&0 \end{matrix} \right] \).

    Responda

      .
    Escreva o determinante. .
    Subtraia os produtos das diagonais. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .

      .
    Escreva o determinante. .
    Subtraia os produtos das diagonais. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .
    Exemplo\(\PageIndex{2}\)

    Avalie a determinação de ⓐ\(\left[ \begin{matrix} 5&−3\\2&−4 \end{matrix} \right] \)\(\left[ \begin{matrix} −4&−6\\0&7 \end{matrix} \right] \).

    Responda

    \(−14\); ⓑ\(−28\)

    Exemplo\(\PageIndex{3}\)

    Avalie a determinação de ⓐ\(\left[ \begin{matrix} −1&3\\−2&4 \end{matrix} \right] \)\(\left[ \begin{matrix} −7&−3\\−5&0 \end{matrix} \right] \).

    Responda

    ⓐ 2 ⓑ\(−15\)

    Avalie o determinante de uma\(3×3\) matriz

    Para avaliar o determinante de uma\(3×3\) matriz, temos que ser capazes de avaliar o menor de uma entrada no determinante. O menor de uma entrada é o\(2×2\) determinante encontrado ao eliminar a linha e a coluna no\(3×3\) determinante que contém a entrada.

    MENOR DE UMA ENTRADA EM\(3×3\) A DETERMINANT

    O menor de uma entrada em um\(3×3\) determinante é o\(2×2\) determinante encontrado ao eliminar a linha e a coluna no\(3×3\) determinante que contém a entrada.

    Para encontrar a menor entrada\(a_1\), eliminamos a linha e a coluna que a contêm. Então, eliminamos a primeira linha e a primeira coluna. Em seguida, escrevemos o\(2×2\) determinante que permanece.

    A primeira linha do determinante 3 por 3 é a1, b1, c1. A linha 2 é a2, b2, c2. A linha 3 é a3, b3, c3. a1 é destacada. As linhas riscam a primeira linha e a primeira coluna. O que resta é chamado de menor de a1. É mostrado como um determinante separado cuja primeira linha é b2, c2 e a segunda linha é b3, c3.

    Para encontrar a menor entrada\(b_2\), eliminamos a linha e a coluna que a contêm. Então, eliminamos a\(2^{nd}\) linha e a\(2^{nd}\) coluna. Em seguida, escrevemos o\(2×2\) determinante que permanece.

    A primeira linha do determinante 3 por 3 é a1, b1, c1. A linha 2 é a2, b2, c2. A linha 3 é a3, b3, c3. b2 é destacada. As linhas riscam a segunda linha e a segunda coluna. O que resta é menor de b2. É escrito como um determinante separado cuja primeira linha é a1, c1 e a segunda linha é a3, c3.

    Exemplo\(\PageIndex{4}\)

    Para o determinante\(\left| \begin{matrix} 4&−2&3\\1&0&−3\\−2&−4&2 \end{matrix} \right|\), encontre e depois avalie o menor de ⓐ\(a_1\)\(b_3\)\(c_2\).

    Responda

      .
    Elimine a linha e a coluna que contém\(a_1\). .
    Escreva o\(2×2\) determinante que resta. .
    Avalie. .
    Simplifique. .

    Elimine a linha e a coluna que contém\(b_3\). .
    Escreva o\(2×2\) determinante que resta. .
    Avalie. .
    Simplifique. .

      .
    Elimine a linha e a coluna que contém\(c_2\). .
    Escreva o\(2×2\) determinante que resta. .
    Avalie. .
    Simplifique. .
    Exemplo\(\PageIndex{5}\)

    Para o determinante\(\left| \begin{matrix} 1&−1&4\\0&2&−1\\−2&−3&3 \end{matrix} \right|\), encontre e depois avalie o menor de ⓐ\(a_1\)\(b_2\)\(c_3\).

    Responda

    ⓐ 3 ⓑ 11 ⓒ 2

    Exemplo\(\PageIndex{6}\)

    Para o determinante\(\left| \begin{matrix} −2&−1&0\\3&0&−1\\−1&−2&3 \end{matrix} \right|\), encontre e depois avalie o menor de ⓐ\(a_2\)\(b_3\)\(c_2\).

    Responda

    \(−3\) ⓑ 2 ⓒ 3

    Agora estamos prontos para avaliar um\(3×3\) determinante. Para fazer isso, expandimos o número de menores, o que nos permite avaliar o\(3×3\)\(2×2\) determinante usando determinantes — que já sabemos como avaliar!

    Para avaliar um\(3×3\) determinante expandindo por menores ao longo da primeira linha, usamos o seguinte padrão:

    Um determinante 3 por 3 é igual a a1 vezes menor de a1 menos b1 vezes menor de b1 mais c1 vezes menor de c1.

    Lembre-se de que, para encontrar o menor de uma entrada, eliminamos a linha e a coluna que contém a entrada.

    EXPANDINDO POR MENORES AO LONGO DA PRIMEIRA LINHA PARA AVALIAR UM\(3×3\) DETERMINANT

    Para avaliar um\(3×3\) determinante expandindo por menores ao longo da primeira linha, o seguinte padrão:

    Um determinante 3 por 3 é igual a a1 vezes menor de a1 menos b1 vezes menor de b1 mais c1 vezes menor de c1.

    Exemplo\(\PageIndex{7}\)

    Avalie o determinante expandindo\(\left| \begin{matrix} 2&−3&−1\\3&2&0\\−1&−1&−2 \end{matrix} \right|\) por menores ao longo da primeira linha.

    Responda
      .
    Expandir por menores ao longo da primeira linha .
    Avalie cada determinante. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .
    Exemplo\(\PageIndex{8}\)

    Avalie o determinante\(\left| \begin{matrix} 3&−2&4\\0&−1&−2\\2&3&−1 \end{matrix} \right|\), expandindo por menores ao longo da primeira linha.

    Responda

    37

    Exemplo\(\PageIndex{9}\)

    Avalie o determinante\(\left| \begin{matrix} 3&−2&−2\\2&−1&4\\−1&0&−3 \end{matrix} \right|\), expandindo por menores ao longo da primeira linha.

    Responda

    7

    Para avaliar um\(3×3\) determinante, podemos expandir por menores usando qualquer linha ou coluna. Escolher uma linha ou coluna diferente da primeira linha às vezes facilita o trabalho.

    Quando expandimos em qualquer linha ou coluna, devemos ter cuidado com o sinal dos termos na expansão. Para determinar o sinal dos termos, usamos o seguinte gráfico de padrão de sinais.

    \[\left| \begin{matrix} +&−&+\\−&+&−\\+&−&+ \end{matrix} \right|\nonumber\]

    PADRÃO DE SINAL

    Ao expandir por menores usando uma linha ou coluna, o sinal dos termos na expansão segue o seguinte padrão. \[\left| \begin{matrix} +&−&+\\−&+&−\\+&−&+ \end{matrix} \right|\nonumber\]

    Observe que o padrão do sinal na primeira linha corresponde aos sinais entre os termos na expansão pela primeira linha.

    Um determinante 3 por 3 tem a linha 1: mais, menos, mais, linha 2: menos, mais, menos e linha 3: mais, menos, mais. Cada um dos três sinais na primeira linha aponta para um determinante menor na expansão de um determinante de 3 por 3. Mais pontos para o menor de a1, menos para o menor de b1 e mais para o menor de c1.

    Como podemos expandir em qualquer linha ou coluna, como decidimos qual linha ou coluna usar? Normalmente, tentamos escolher uma linha ou coluna que facilitará nosso cálculo. Se o determinante contiver um 0, usar a linha ou coluna que contém o 0 facilitará os cálculos.

    Exemplo\(\PageIndex{10}\)

    Avalie o determinante\(\left| \begin{matrix} 4&−1&−3\\3&0&2\\5&−4&−3 \end{matrix} \right|\) por meio da expansão por menores.

    Responda

    Para expandir por menores, procuramos uma linha ou coluna que facilitará nossos cálculos. Como 0 está na segunda linha e na segunda coluna, expandir por qualquer uma delas é uma boa escolha. Como a segunda linha tem menos negativos do que a segunda coluna, expandiremos pela segunda linha.

      .
    Expanda usando a segunda linha.  
    Tenha cuidado com os sinais. .
    Avalie cada determinante. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .
    Adicionar. .
    Exemplo\(\PageIndex{11}\)

    Avalie o determinante\(\left| \begin{matrix} 2&−1&−3\\0&3&−4\\3&−4&−3 \end{matrix} \right|\) por meio da expansão por menores.

    Resposta

    \(−11\)

    Exemplo\(\PageIndex{12}\)

    Avalie o determinante\(\left| \begin{matrix} −2&−1&−3\\−1&2&2\\4&−4&0 \end{matrix} \right|\) por meio da expansão por menores.

    Resposta

    8

    Use a regra de Cramer para resolver sistemas de equações

    A Regra de Cramer é um método de resolver sistemas de equações usando determinantes. Ele pode ser derivado resolvendo a forma geral dos sistemas de equações por eliminação. Aqui vamos demonstrar a regra para ambos os sistemas de duas equações com duas variáveis e para sistemas de três equações com três variáveis.

    Vamos começar com os sistemas de duas equações com duas variáveis.

    REGRA DE CRAMER PARA RESOLVER UM SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES

    Para o sistema de equações\(\left\{\begin{array} {l} a_1x+b_1y=k_1 \\ a_2x+b_2y=k_2\end{array}\right.\), a solução\((x,y)\) pode ser determinada por

    x é Dx sobre D e y é Dy sobre D, onde D é determinante com a linha 1: a1, b1 e a linha 2 a2, b2, usam coeficientes das variáveis; Dx é determinante com a linha 1: k1, b1 e linha 2: k2, b2, substitua os coeficientes x pelas consoantes; Dy é determinante com a linha 1: a1, k1 e linha 2: a2, k2, substitua o y coeficientes com constantes

    Observe que para formar o determinante D, usamos os coeficientes das variáveis.

    As equações são a1x mais b1y é igual a k1 e a2x mais b2y é igual a k2. Aqui, a1, a2, b1, b2 são coeficientes. O determinante é D com a linha 1: a1, b1 e a linha 2: a2, b2. A coluna 1 tem coeficientes de x e a coluna 2 tem coeficientes de

    Observe que, para formar o determinante\(D_x\)\(D_y\), substituímos as constantes pelos coeficientes da variável que estamos encontrando.

    As equações são a1x mais b1y é igual a k1 e a2x mais b2y é igual a k2. Aqui, a1, a2, b1, b2 são coeficientes. O determinante é que Dx tem linha 1: k1, b1 e linha 2: k2, b2. Aqui, as colunas 1 e 2 são constantes e coeficientes de y, respectivamente. O determinante Dy tem a linha 1: a1, k1 e a linha 2: a2, k2. Aqui, as colunas 1 e 2 são coeficientes de x e constantes, respectivamente.

    Exemplo\(\PageIndex{13}\): How to Solve a System of Equations Using Cramer’s Rule

    Resolva usando a regra de Cramer:\(\left\{ \begin{array} {l} 2x+y=−4\\3x−2y=−6\end{array}\right.\)

    Resposta

    As equações são 2x mais y é igual a menos 4 e 3x menos 2y é igual a menos 6. Etapa 1. Avalie o determinante D, usando os coeficientes das variáveis. O determinante D tem a linha 1:2, 1 e a linha 2:3, menos 2. Então, D é menos 7.Etapa 2. Avalie o determinante Dx. Use as constantes no lugar dos coeficientes x. Substituímos os coeficientes de x, 2 e 3, pelas constantes, menos 4 e menos 6. Obtemos Dx igual a 14.Etapa 3. Avalie o determinante Dy. Use as constantes no lugar dos coeficientes y. Substituímos os coeficientes de y, 1 e 2, pelas constantes, menos 4 e menos 6. Obtemos Dy igual a 0.Etapa 4. Encontre x e y. Substituindo valores de D, Dx e Dy nas equações x igual a Dx sobre D e y igual a Dy sobre D, obtemos x igual a menos 2 e y igual a 0.Etapa 5. Escreva a solução como um par ordenado menos 2, 0.Etapa 6. Verifique se o par ordenado é uma solução para ambas as equações originais.

    Exemplo\(\PageIndex{14}\)

    Resolva usando a regra de Cramer:\(\left\{\begin{array} {l} 3x+y=−3 \\ 2x+3y=6 \end{array} \right.\)

    Resposta

    \((−\frac{15}{7},\frac{24}{7})\)

    Exemplo\(\PageIndex{15}\)

    Resolva usando a regra de Cramer:\(\left\{\begin{array} {l} −x+y=2\\2x+y=−4 \end{array} \right.\)

    Resposta

    \((−2,0)\)

    RESOLVA UM SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES USANDO A REGRA DE CRAMER.
    1. Avalie o determinante D, usando os coeficientes das variáveis.
    2. Avalie o determinante\(D_x\). Use as constantes no lugar dos coeficientes x.
    3. Avalie o determinante\(D_y\). Use as constantes no lugar dos coeficientes y.
    4. Encontre x e y. \(x=\frac{D_x}{D}\),\(y=\frac{D_y}{D}\)
    5. Escreva a solução como um par ordenado.
    6. Verifique se o par ordenado é uma solução para ambas as equações originais.

    Para resolver um sistema de três equações com três variáveis com a Regra de Cramer, basicamente fazemos o que fizemos para um sistema de duas equações. No entanto, agora temos que resolver três variáveis para obter a solução. Os determinantes também serão os\(3×3\) que tornarão nosso trabalho mais interessante!

    REGRA DE CRAMER PARA RESOLVER UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES

    Para o sistema de equações\(\left\{\begin{array} {l} a_1x+b_1y+c_1z=k_1\\a_2x+b_2y+c_2z=k_2\\a_3x+b_3y+c_3z=k_3\end{array}\right.\), a solução\((x,y,z)\) pode ser determinada por

    x é Dx sobre D, y é Dy sobre D e z é Dz sobre D, onde D é determinante com a linha 1: a1, b1, c1, linha 2: a2, b2, c2, linha 3: a3, b3, c3, use coeficientes das variáveis; Dx é determinante com a linha 1: k1, b1, c1, linha 2: k2, b2, b2 2, c2 e linha 3: k3, b3, c3, substitua os coeficientes x pelas consoantes; Dy é determinante com a linha 1: a1, k1, c1, linha 2: a2, k2, c2 e linha 3: a3, k3, c3, substitua os coeficientes y por constantes; Dz é determinante pela linha 1: a1, b1, k1; linha 2: a2, b2, k2, linha 3: a3, b3, k3; substitua o z coeficientes com constantes.

    Exemplo\(\PageIndex{16}\)

    Resolva o sistema de equações usando a Regra de Cramer:\(\left\{\begin{array} {l} 3x−5y+4z=5\\5x+2y+z=0\\2x+3y−2z=3 \end{array} \right.\)

    Resposta
    Avalie o determinante D. .
    Expanda por menores usando a coluna 1.  
    . .
    Avalie os determinantes. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .
    Avalie o determinante\(D_x\). Use as
    constantes para substituir os coeficientes de x.
    .
    Expanda por menores usando a coluna 1. .
    Avalie os determinantes. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .
    Avalie o determinante Dy.Dy. Use as
    constantes para substituir os coeficientes de y.
    .
    . .
    Avalie os determinantes. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .
    Avalie o determinante Dz.Dz. Use as
    constantes para substituir os coeficientes de z.
    .
    . .
    Avalie os determinantes. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .
    Encontre x, y e z. .
    Substitua os valores. .
    Simplifique. .
    Escreva a solução como uma tripla ordenada. .
    Verifique se o triplo ordenado é uma solução
    para todas as três equações originais.
    Deixamos o cheque para você.
      A solução é\((2,−3,−4)\).
    Exemplo\(\PageIndex{17}\)

    Resolva o sistema de equações usando a Regra de Cramer:\(\left\{\begin{array} {l} 3x+8y+2z=−5\\2x+5y−3z=0\\x+2y−2z=−1 \end{array} \right.\)

    Resposta

    \((−9,3,−1)\)

    Exemplo\(\PageIndex{18}\)

    Resolva o sistema de equações usando a Regra de Cramer:\(\left\{\begin{array} {l} 3x+y−6z=−3\\2x+6y+3z=0\\3x+2y−3z=−6 \end{array} \right.\)

    Resposta

    \((−6,3,−2)\)

    A regra de Cramer não funciona quando o valor do determinante D é 0, pois isso significaria que estaríamos dividindo por 0. Mas quando\(D=0\), o sistema é inconsistente ou dependente.

    Quando os valores de\(D=0\) e\(D_x,\space D_y\) e D são todos zero, o sistema é consistente e dependente e há infinitas soluções.

    Quando os valores de\(D=0\) e\(D_x,\space D_y\) e e não\(D_z\) são todos zero, o sistema é inconsistente e não há solução.

    SISTEMAS DE EQUAÇÕES DEPENDENTES E INCONSISTENTES

    Para qualquer sistema de equações, onde o valor do determinante\(D=0\),

    \[ \begin{array} {lll} \textbf{Value of determinants} &\textbf{Type of system} &\textbf{Solution} \\ {D=0\text{ and }D_x,\space D_y\text{ and }D_z\text{ are all zero}} &\text{consistent and dependent} &\text{infinitely many solutions} \\ {D=0\text{ and }D_x,\space D_y\text{ and }D_z\text{ are not all zero}} &\text{inconsistent} &\text{no solution} \end{array} \nonumber\]

    No próximo exemplo, usaremos os valores dos determinantes para encontrar a solução do sistema.

    Exemplo\(\PageIndex{19}\)

    Resolva o sistema de equações usando a regra de Cramer:\(\left\{\begin{array} {l} x+3y=4\\−2x−6y=3 \end{array} \right.\)

    Resposta

    \(\begin{array} {ll} {} &{\left\{\begin{array} {l} x+3y=4\\−2x−6y=3 \end{array} \right.} \\ {\begin{array} {l} \text{Evaluate the determinantD,using the} \\ \text{coefficients of the variables.} \end{array}} &{D=\left|\begin{matrix} 1&3\\−2&−6\end{matrix}\right|} \\ {} &{D=−6−(−6)} \\ {} &{D=0} \end{array} \)

    Não podemos usar a Regra de Cramer para resolver esse sistema. Mas, analisando o valor dos determinantes\(D_x\)\(D_y\), podemos determinar se o sistema é dependente ou inconsistente.

    \(\begin{array} {ll} {\text{Evaluate the determinant }D_x.} &{D_x=\left|\begin{matrix} 4&3\\3&−6\end{matrix}\right|} \\ {} &{D_x=−24−9} \\ {} &{D_x=15} \end{array} \)

    Como nem todos os determinantes são zero, o sistema é inconsistente. Não há solução.

    Exemplo\(\PageIndex{20}\)

    Resolva o sistema de equações usando a regra de Cramer:\(\left\{\begin{array} {l} 4x−3y=8\\8x−6y=14 \end{array} \right.\)

    Resposta

    sem solução

    Exemplo\(\PageIndex{21}\)

    Resolva o sistema de equações usando a regra de Cramer:\(\left\{\begin{array} {l} x=−3y+4\\2x+6y=8 \end{array} \right.\)

    Resposta

    soluções infinitas

    Resolva aplicativos usando determinantes

    Uma aplicação interessante de determinantes nos permite testar se os pontos são colineares. Três pontos\((x_1,y_1)\)\((x_2,y_2)\) e\((x_3,y_3)\) são colineares se e somente se o determinante abaixo for zero.

    \[\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right|=0\nonumber\]

    TESTE PARA PONTOS COLINEARES

    Três pontos\((x_1,y_1)\),\((x_2,y_2)\) e\((x_3,y_3)\) são colineares se e somente se

    \[\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right|=0\nonumber\]

    Usaremos essa propriedade no próximo exemplo.

    Exemplo\(\PageIndex{22}\)

    Determine se os pontos\((5,−5)\)\((4,−3)\), e\((3,−1)\) são colineares.

    Resposta
      .
    Substitua os valores pelo determinante.
    \((5,−5)\),\((4,−3)\), e\((3,−1)\)
    .
    Avalie o determinante expandindo
    por menores usando a coluna 3.
    .
    Avalie os determinantes. .
    Simplifique. .
    Simplifique. .
      O valor do determinado é 0, então os
    pontos são colineares.
    Exemplo\(\PageIndex{23}\)

    Determine se os pontos\((3,−2)\)\((5,−3)\), e\((1,−1)\) são colineares.

    Resposta

    sim

    Exemplo\(\PageIndex{24}\)

    Determine se os pontos\((−4,−1)\)\((−6,2)\), e\((−2,−4)\) são colineares.

    Resposta

    sim

    Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais na resolução de sistemas de desigualdades lineares por meio de gráficos.

    • Resolvendo sistemas de desigualdades lineares por meio de gráficos
    • Sistemas de desigualdades lineares

    Conceitos-chave

    • Determinante: O determinante de qualquer matriz quadrada\(\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right]\), onde a, b, c e d são números reais, é

      \[\left|\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right|=ad−bc\nonumber\]

    • Expansão por menores ao longo da primeira linha para avaliar um determinante 3 × 3: Para avaliar um\(3×3\) determinante expandindo por menores ao longo da primeira linha, o seguinte padrão:
      Um determinante 3 por 3 é igual a a1 vezes menor de a1 menos b1 vezes menor de b1 mais c1 vezes menor de c1.
    • Padrão de sinal: Ao expandir por menores usando uma linha ou coluna, o sinal dos termos na expansão segue o seguinte padrão.

      \[\left|\begin{matrix}+&−&+\\−&+&−\\+&−&+\end{matrix}\right|\nonumber\]

    • Regra de Cramer: Para o sistema de equações\(\left\{\begin{array} {l} a_1x+b_1y=k_1\\a_2x+b_2y=k_2\end{array}\right.\), a solução\((x,y)\) pode ser determinada pelo
      x é Dx sobre D e y é Dy sobre D, onde D é determinante com a linha 1: a1, b1 e a linha 2 a2, b2, usam coeficientes das variáveis; Dx é determinante com a linha 1: k1, b1 e linha 2: k2, b2, substitua os coeficientes x pelas consoantes; Dy é determinante com a linha 1: a1, k1 e linha 2: a2, k2, substitua o y coeficientes com constantes.
      Aviso de que, para formar o determinante D, usamos os coeficientes das variáveis.
    • Como resolver um sistema de duas equações usando a regra de Cramer.
      1. Avalie o determinante D, usando os coeficientes das variáveis.
      2. Avalie o determinante\(D_x\). Use as constantes no lugar dos coeficientes x.
      3. Avalie o determinante\(D_y\). Use as constantes no lugar dos coeficientes y.
      4. Encontre x e y. \(x=\frac{D_x}{D}\),\(y=\frac{D_y}{D}\).
      5. Escreva a solução como um par ordenado.
      6. Verifique se o par ordenado é uma solução para ambas as equações originais.
      7. Sistemas de equações dependentes e inconsistentes: Para qualquer sistema de equações, onde o valor do determinante\(D=0\),\[ \begin{array} {lll} \textbf{Value of determinants} &\textbf{Type of system} &\textbf{Solution} \\ {D=0\text{ and }D_x,\space D_y\text{ and }D_z\text{ are all zero}} &\text{consistent and dependent} &\text{infinitely many solutions} \\ {D=0\text{ and }D_x,\space D_y\text{ and }D_z\text{ are not all zero}} &\text{inconsistent} &\text{no solution} \end{array} \nonumber\]
      8. Teste para pontos colineares: três pontos\((x_1,y_1)\),\((x_2,y_2)\), e\((x_3,y_3)\) são colineares se e somente se

        \[\left|\begin{matrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{matrix}\right|=0\nonumber\]

    Glossário

    determinante
    Cada matriz quadrada tem um número real associado a ela chamado de determinante.
    menor de uma entrada em um determinante 3 × 33 × 3
    O menor de uma entrada em um determinante 3 × 33 × 3 é o determinante 2 × 22 × 2 encontrado pela eliminação da linha e da coluna no determinante 3 × 33 × 3 que contém a entrada.
    matriz quadrada
    Uma matriz quadrada é uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas.