3.7: Gráficos de funções

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Nov 1, 2022
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- 3.6E: Exercícios
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Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

Use o teste de linha vertical
Identifique gráficos de funções básicas
Leia informações de um gráfico de uma função

Antes de começar, faça este teste de prontidão.

Avalie: ⓐ $2^3$ ⓑ $3^2$ .
Se você perdeu esse problema, revise [link].
Avalie: ⓐ $|7|$ ⓑ $|−3|$ .
Se você perdeu esse problema, revise [link].
Avalie: ⓐ $\sqrt{4}$ ⓑ $\sqrt{16}$ .
Se você perdeu esse problema, revise [link].

Use o teste de linha vertical

Na última seção, aprendemos como determinar se uma relação é uma função. As relações que analisamos foram expressas como um conjunto de pares ordenados, um mapeamento ou uma equação. Agora veremos como saber se um gráfico é o de uma função.

Um par ordenado $(x,y)$ é uma solução de uma equação linear, se a equação for uma afirmação verdadeira quando os valores x e y do par ordenado forem substituídos na equação.

O gráfico de uma equação linear é uma linha reta onde cada ponto na linha é uma solução da equação e cada solução dessa equação é um ponto nessa linha.

Na Figura, podemos ver que, no gráfico da equação $y=2x−3$ , para cada valor x há apenas um valor y, conforme mostrado na tabela anexa.

avião. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. A linha passa pelos pontos (0, menos 3), (1, menos 1) e (2, 1). A linha é rotulada como y igual a 2 x menos 3. Há várias setas verticais que relacionam valores no eixo x com pontos na linha. A primeira seta relaciona x igual a menos 2 no eixo x ao ponto (menos 2, menos 7) na linha. A segunda seta relaciona x igual a menos 1 no eixo x ao ponto (menos 1, menos 5) na linha. A próxima seta relaciona x igual a 0 no eixo x ao ponto (0, menos 3) na linha. A próxima seta relaciona x igual a 3 no eixo x ao ponto (3, 3) na linha. A última seta relaciona x igual a 4 no eixo x ao ponto (4, 5) na linha. A tabela tem 7 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de título com o rótulo y igual a 2 x menos 3. A segunda linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x, y e (x, y). A terceira linha tem as coordenadas menos 2, menos 7 e (menos 2, menos 7). A quarta linha tem as coordenadas menos 1, menos 5 e (menos 1, menos 5). A quinta linha tem as coordenadas 0, menos 3 e (0, menos 3). A sexta linha tem as coordenadas 3, 3 e (3, 3). A sétima linha tem as coordenadas 4, 5 e (4, 5). — Figura $\PageIndex{1}$

Uma relação é uma função se cada elemento do domínio tiver exatamente um valor no intervalo. Portanto, a relação definida pela equação $y=2x−3$ é uma função.

Se olharmos para o gráfico, cada linha tracejada vertical só cruza a linha em um ponto. Isso faz sentido, pois em uma função, para cada valor x, há apenas um valor y.

Se a linha vertical atingir o gráfico duas vezes, o valor x seria mapeado para dois valores y e, portanto, o gráfico não representaria uma função.

Isso nos leva ao teste da linha vertical. Um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas retangulares é o gráfico de uma função se cada linha vertical cruzar o gráfico em no máximo um ponto. Se alguma linha vertical cruzar o gráfico em mais de um ponto, o gráfico não representa uma função.

TESTE DE LINHA VERTICAL

Um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas retangulares é o gráfico de uma função se cada linha vertical cruzar o gráfico em no máximo um ponto.

Se alguma linha vertical cruzar o gráfico em mais de um ponto, o gráfico não representa uma função.

Exemplo $\PageIndex{1}$

Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.

$A figura tem dois gráficos. No gráfico a, há uma linha reta representada graficamente no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. A linha passa pelos pontos (0, 2), (3, 0) e (6, menos 2). No gráfico b, há uma parábola que se abre à direita representada graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. A parábola passa pelos pontos (menos 1, 0), (0, 1), (0, menos 1), (3, 2) e (3, menos 2).$

Responda

ⓐ Como qualquer linha vertical cruza o gráfico em no máximo um ponto, o gráfico é o gráfico de uma função.

$A figura tem uma linha reta representada graficamente no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. A linha passa pelos pontos (0, 2), (3, 0) e (6, menos 2). Três linhas retas verticais tracejadas são desenhadas em x igual a menos 5, x é igual a menos 3 e x é igual a 3. Cada linha cruza a linha inclinada em exatamente um ponto.$

ⓑ Uma das linhas verticais mostradas no gráfico a cruza em dois pontos. Esse gráfico não representa uma função.

$A figura tem uma abertura de parábola à direita representada graficamente no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. A parábola passa pelos pontos (menos 1, 0), (0, 1), (0, menos 1), (3, 2) e (3, menos 2). Três linhas retas verticais tracejadas são desenhadas em x igual a menos 2, x é igual a menos 1 e x é igual a 2. A linha vertical x — menos 2 não cruza a parábola. A linha vertical x é igual a menos 1 cruza a parábola em exatamente um ponto. A linha vertical x é igual a 3 cruza a parábola em dois pontos separados.$

Exemplo $\PageIndex{2}$

Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.

$A figura tem dois gráficos. No gráfico a, há uma parábola que se abre representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 2 a 10. A parábola passa pelos pontos (0, menos 1), (menos 1, 0), (1, 0), (menos 2, 3) e (2, 3). No gráfico b, há um círculo representado graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. O círculo passa pelos pontos (menos 2, 0), (2, 0), (0, menos 2) e (0, 2).$

Responda: ⓐ sim ⓑ não

Exemplo $\PageIndex{3}$

Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.

$A figura tem dois gráficos. No gráfico a, há uma elipse representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A elipse passa pelos pontos (0, menos 3), (menos 2, 0), (2, 0) e (0, 3). No gráfico b, há uma linha reta representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 12 a 12. O eixo y vai de menos 12 a 12. A linha passa pelos pontos (0, menos 2), (2, 0) e (4, 2).$

Responda: ⓐ não ⓑ sim

Identifique gráficos de funções básicas

Usamos a equação $y=2x−3$ e seu gráfico à medida que desenvolvemos o teste da linha vertical. Dissemos que a relação definida pela equação $y=2x−3$ é uma função.

Podemos escrever isso como na notação de função como $f(x)=2x−3$ . Ainda significa a mesma coisa. O gráfico da função é o gráfico de todos os pares ordenados $(x,y)$ onde $y=f(x)$ . Assim, podemos escrever os pares ordenados como $(x,f(x))$ . Parece diferente, mas o gráfico será o mesmo.

Compare o gráfico mostrado $y=2x−3$ anteriormente na Figura com o gráfico $f(x)=2x−3$ mostrado na Figura. Nada mudou, exceto a notação.

Essa figura tem um gráfico ao lado de uma tabela. O gráfico tem uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. A linha passa pelos pontos (0, menos 3), (1, menos 1) e (2, 1). A linha é rotulada como f de x igual a 2 x menos 3. Há várias setas verticais que relacionam valores no eixo x com pontos na linha. A primeira seta relaciona x igual a menos 2 no eixo x ao ponto (menos 2, menos 7) na linha. A segunda seta relaciona x igual a menos 1 no eixo x ao ponto (menos 1, menos 5) na linha. A próxima seta relaciona x igual a 0 no eixo x ao ponto (0, menos 3) na linha. A próxima seta relaciona x igual a 3 no eixo x ao ponto (3, 3) na linha. A última seta relaciona x igual a 4 no eixo x ao ponto (4, 5) na linha. A tabela tem 7 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de título com o rótulo f de x igual a 2 x menos 3. A segunda linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x, f de x e (x, f de x). A terceira linha tem as coordenadas menos 2, menos 7 e (menos 2, menos 7). A quarta linha tem as coordenadas menos 1, menos 5 e (menos 1, menos 5). A quinta linha tem as coordenadas 0, menos 3 e (0, menos 3). A sexta linha tem as coordenadas 3, 3 e (3, 3). A sétima linha tem as coordenadas 4, 5 e (4, 5). — Figura $\PageIndex{2}$

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

O gráfico de uma função é o gráfico de todos os seus pares ordenados, (x, y) (x, y) ou usando a notação da função, (x, f (x)) (x, f (x)) onde y=f (x) .y=f (x).

$\begin{array} {ll} {f} &{\text{name of function}} \\ {x} &{\text{x-coordinate of the ordered pair}} \\ {f(x)} &{\text{y-coordinate of the ordered pair}} \\ \nonumber \end{array}$

À medida que avançamos em nosso estudo, é útil estar familiarizado com os gráficos de várias funções básicas e ser capaz de identificá-las.

Por meio de nossos trabalhos anteriores, estamos familiarizados com os gráficos de equações lineares. O processo que usamos para decidir se $y=2x−3$ é uma função se aplicaria a todas as equações lineares. Todas as equações lineares não verticais são funções. As linhas verticais não são funções, pois o valor x tem infinitos valores y.

Escrevemos equações lineares em várias formas, mas será muito útil para nós aqui usar a forma de interceptação de inclinação da equação linear. A forma de interceptação de inclinação de uma equação linear é $y=mx+b$ . Na notação de função, essa função linear se torna $f(x)=mx+b$ onde m é a inclinação da linha e b é o intercepto y.

O domínio é o conjunto de todos os números reais e o intervalo também é o conjunto de todos os números reais.

FUNÇÃO LINEAR

$Esta figura tem um gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. A linha passa pelo ponto (0, b). Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual a x mais b”, “m, b: todos os números reais”, “m: inclinação da linha”, “b: intercepto y”, “Domínio: (infinito negativo, infinito)” e “Alcance: (infinito negativo, infinito)”.$

Usaremos as técnicas gráficas que usamos anteriormente para representar graficamente as funções básicas.

Exemplo $\PageIndex{4}$

Gráfico: $f(x)=−2x−4$ .

Responda

	$f(x)=−2x−4$
Nós reconhecemos isso como uma função linear.
Encontre a inclinação e a interceptação y.	$m=−2$ $b=−4$
Gráfico usando o intercepto de inclinação.	$.$

Exemplo $\PageIndex{5}$

Gráfico: $f(x)=−3x−1$

Responda: $A figura tem o gráfico de uma função linear no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. A linha passa pelos pontos (1, menos 4), (0, menos 1) e (menos 1, 2).$

Exemplo $\PageIndex{6}$

Gráfico: $f(x)=−4x−5$

Responda: $A figura tem o gráfico de uma função linear no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 6 a 6. A linha passa pelos pontos (menos 2, 3), (0, menos 5) e (menos 1, menos 1).$

A próxima função cujo gráfico examinaremos é chamada de função constante e sua equação é da forma $f(x)=b$ , onde b é qualquer número real. Se substituirmos o $f(x)$ por y, obteremos $y=b$ . Nós reconhecemos isso como a linha horizontal cujo intercepto y é b. O gráfico da função $f(x)=b$ também é a linha horizontal cujo intercepto y é b.

Observe que para qualquer número real que colocarmos na função, o valor da função será b. Isso nos diz que o intervalo tem apenas um valor, b.

FUNÇÃO CONSTANTE

$Esta figura tem um gráfico de uma linha reta horizontal no plano de coordenadas x y. A linha passa pelo ponto (0, b). Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual a sb”, “b: qualquer número real”, “b: intercepto y”, “Domínio: (infinito negativo, infinito)” e “Alcance: b”.$

Exemplo $\PageIndex{7}$

Gráfico: $f(x)=4$ .

Responda

	$f(x)=4$
Nós reconhecemos isso como uma função constante.
O gráfico será uma linha horizontal de passagem $(0,4)$ .	$.$

Exemplo $\PageIndex{8}$

Gráfico: $f(x)=−2$ .

Responda: $A figura tem o gráfico de uma função constante no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 12 a 12. O eixo y vai de menos 12 a 12. A linha passa pelos pontos (0, menos 2), (1, menos 2) e (2, menos 2).$

Exemplo $\PageIndex{9}$

Gráfico: $f(x)=3$ .

Responda: $A figura tem o gráfico de uma função constante no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 12 a 12. O eixo y vai de menos 12 a 12. A linha passa pelos pontos (0, 3), (1, 3) e (2, 3).$

A função de identidade $f(x)=x$ é um caso especial da função linear. Se escrevermos em forma de função linear $f(x)=1x+0$ , vemos que a inclinação é 1 e o intercepto y é 0.

FUNÇÃO DE IDENTIDADE

$Esta figura tem um gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. A linha passa pelos pontos (0, 0), (1, 1) e (2, 2). Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual a x”, “m: 1”, “b: 0”, “Domínio: (infinito negativo, infinito)” e “Alcance: (infinito negativo, infinito)”.$

A próxima função que examinaremos não é uma função linear. Portanto, o gráfico não será uma linha. O único método que temos para representar graficamente essa função é a plotagem de pontos. Como essa é uma função desconhecida, nos certificamos de escolher vários valores positivos e negativos, bem como 0 para nossos valores x.

Gráfico: $f(x)=x^2$ .

Responda

Nós escolhemos valores x. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico conforme mostrado.

$Essa figura tem um gráfico ao lado de uma tabela. No gráfico, há uma parábola que se abre representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 4 a 4. O eixo y vai de menos 2 a 6. A parábola passa pelos pontos (menos 3, 9), (menos 2, 4), (menos 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) e (3, 9). A tabela tem 8 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x, f de x iguais a x ao quadrado e (x, f de x). A segunda linha tem as coordenadas menos 3, 9 e (menos 3, 9). A terceira linha tem as coordenadas menos 2, 4 e (menos 2, 4). A quarta linha tem as coordenadas menos 1, 1 e (menos 1, 1). A quinta linha tem as coordenadas 0, 0 e (0, 0). A sexta linha tem as coordenadas 1, 1 e (1, 1). A sétima linha tem as coordenadas 2, 4 e (2, 4). A sétima linha tem as coordenadas 3, 9 e (3, 9).$

Exemplo $\PageIndex{11}$

Gráfico: $f(x)=x^2$ .

Responda: $Essa figura tem um gráfico ao lado de uma tabela. No gráfico, há uma parábola que se abre representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 4 a 8. A parábola passa pelos pontos (menos 2, 4), (menos 1, 1), (0, 0), (1, 1) e (2, 4).$

Exemplo $\PageIndex{12}$

$f(x)=−x^2$

Responda: $Essa figura tem um gráfico ao lado de uma tabela. No gráfico, há uma parábola que se abre representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 4 a 8. A parábola passa pelos pontos (menos 2, menos 4), (menos 1, menos 1), (0, 0), (1, menos 1) e (2, menos 4).$

Observando o resultado em Exemplo, podemos resumir as características da função quadrada. Chamamos esse gráfico de parábola. Ao considerarmos o domínio, observe que qualquer número real pode ser usado como um valor x. O domínio é todo em números reais.

O intervalo não é todo em números reais. Observe que o gráfico consiste em valores de y nunca abaixo de zero. Isso faz sentido, pois o quadrado de qualquer número não pode ser negativo. Portanto, o intervalo da função quadrada é composto por todos números reais não negativos.

FUNÇÃO QUADRADA

$Esta figura tem um gráfico de uma parábola se abrindo representado graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 4 a 4. O eixo y vai de menos 2 a 6. A parábola passa pelos pontos (menos 2, 4), (menos 1, 1), (0, 0), (1, 1) e (2, 4). Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual a x ao quadrado”, “Domínio: (infinito negativo, infinito)” e “Alcance: [0, infinito)”.$

A próxima função que examinaremos também não é uma função linear, então o gráfico não será uma linha. Novamente, usaremos a plotagem de pontos e nos certificaremos de escolher vários valores positivos e negativos, bem como 0 para nossos valores x.

Gráfico: $f(x)=x^3$ .

Responda

Nós escolhemos valores x. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico.

$Esta figura tem uma linha curva representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 4 a 4. O eixo y vai de menos 4 a 4. A linha curva passa pelos pontos (menos 2, menos 8), (menos 1, menos 1), (0, 0), (1, 1) e (2, 8). Ao lado do gráfico está uma tabela. A tabela tem 6 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x, f de x iguais a x ao cubo e (x, f de x). A segunda linha tem as coordenadas menos 2, menos 8 e (menos 2, menos 8). A terceira linha tem as coordenadas menos 1, menos 1 e (menos 1, menos 1). A quarta linha tem as coordenadas 0, 0 e (0, 0). A quinta linha tem as coordenadas 1, 1 e (1, 1). A sexta linha tem as coordenadas 2, 8 e (2, 8).$

Exemplo $\PageIndex{14}$

Gráfico: $f(x)=x^3$ .

Responda: $Esta figura tem uma linha curva representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha curva passa pelos pontos (menos 2, menos 8), (menos 1, menos 1), (0, 0), (1, 1) e (2, 8).$

Exemplo $\PageIndex{15}$

Gráfico: $f(x)=−x^3$ .

Responda: $Esta figura tem uma linha curva representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha curva passa pelos pontos (menos 2, 8), (menos 1, 1), (0, 0), (1, menos 1) e (2, menos 8).$

Analisando o resultado em Exemplo, podemos resumir as características da função de cubo. Ao considerarmos o domínio, observe que qualquer número real pode ser usado como um valor x. O domínio é todo em números reais.

O intervalo é todo em números reais. Isso faz sentido, pois o cubo de qualquer número diferente de zero pode ser positivo ou negativo. Portanto, o alcance da função de cubo é todo em números reais.

FUNÇÃO DE CUBO

$Esta figura tem uma linha curva representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 4 a 4. O eixo y vai de menos 4 a 4. A linha curva passa pelos pontos (menos 2, menos 8), (menos 1, menos 1), (0, 0), (1, 1) e (2, 8).). Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual a x ao cubo”, “Domínio: (infinito negativo, infinito)” e “Alcance: (infinito negativo, infinito)”.$

A próxima função que examinaremos não faz o quadrado nem o cubo dos valores de entrada, mas usa a raiz quadrada desses valores.

Vamos representar graficamente a função $f(x)=\sqrt{x}$ e, em seguida, resumir as características da função. Lembre-se de que só podemos obter a raiz quadrada de números reais não negativos, então nosso domínio será os números reais não negativos.

Exemplo $\PageIndex{16}$

$f(x)=\sqrt{x}$

Responda

Nós escolhemos valores x. Como usaremos a raiz quadrada, escolhemos números que são quadrados perfeitos, para facilitar nosso trabalho. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico.

$Esta figura tem uma meia linha curva representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de 0 a 8. O eixo y vai de 0 a 8. A meia-linha curva começa no ponto (0, 0) e depois sobe e vai para a direita. A meia linha curva passa pelos pontos (1, 1) e (4, 2). Ao lado do gráfico está uma tabela. A tabela tem 5 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x, f de x é igual à raiz quadrada de x e (x, f de x). A segunda linha tem as coordenadas 0, 0 e (0, 0). A terceira linha tem as coordenadas 1, 1 e (1, 1). A quarta linha tem as coordenadas 4, 2 e (4, 2). A quinta linha tem as coordenadas 9, 3 e (9, 3).$

Exemplo $\PageIndex{17}$

Gráfico: $f(x)=x$ .

Responda: $Esta figura tem uma meia linha curva representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de 0 a 10. O eixo y vai de 0 a 10. A meia-linha curva começa no ponto (0, 0) e depois sobe e vai para a direita. A meia linha curva passa pelos pontos (1, 1), (4, 2) e (9, 3).$

Exemplo $\PageIndex{18}$

Gráfico: $f(x)=−\sqrt{x}$ .

Responda: $Esta figura tem uma meia linha curva representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de 0 a 10. O eixo y vai de menos 10 a 0. A meia-linha curva começa no ponto (0, 0) e depois desce e para a direita. A meia linha curva passa pelos pontos (1, menos 1), (4, menos 2) e (9, menos 3).$

FUNÇÃO DE RAIZ QUADRADA

Nossa última função básica é a função de valor absoluto, $f(x)=|x|$ . Lembre-se de que o valor absoluto de um número é sua distância de zero. Como nunca medimos a distância como um número negativo, nunca obteremos um número negativo na faixa.

Gráfico: $f(x)=|x|$ .

Responda

Nós escolhemos valores x. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico.

$Esta figura tem uma linha em forma de v representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 4 a 4. O eixo y vai de menos 1 a 6. A linha em forma de v passa pelos pontos (menos 3, 3), (menos 2, 2), (menos 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) e (3, 3). Ao lado do gráfico está uma tabela. A tabela tem 8 linhas e 3 colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho com os cabeçalhos x, f de x é igual ao valor absoluto de x e (x, f de x). A segunda linha tem as coordenadas menos 3, 3 e (menos 3, 3). A terceira linha tem as coordenadas menos 2, 2 e (menos 2, 2). A quarta linha tem as coordenadas menos 1, 1 e (menos 1, 1). A quinta linha tem as coordenadas 0, 0 e (0, 0). A sexta linha tem as coordenadas 1, 1 e (1, 1). A sétima linha tem as coordenadas 2, 2 e (2, 2). A oitava linha tem as coordenadas 3, 3 e (3, 3).$

Exemplo $\PageIndex{20}$

Gráfico: $f(x)=|x|$ .

Responda: $Esta figura tem uma linha em forma de v representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 2 a 10. A linha em forma de v passa pelos pontos (menos 3, 3), (menos 2, 2), (menos 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) e (3, 3).$

Exemplo $\PageIndex{21}$

Gráfico: $f(x)=−|x|$ .

Responda: $Esta figura tem uma linha em forma de v representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 8 a 4. A linha em forma de v passa pelos pontos (menos 3, menos 3), (menos 2, menos 2), (menos 1, menos 1), (0, 0), (1, menos 1), (2, menos 2) e (3, menos 3).$

FUNÇÃO DE VALOR ABSOLUTO

$Esta figura tem uma linha em forma de v representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 4 a 4. O eixo y vai de menos 1 a 6. A linha em forma de v passa pelos pontos (menos 3, 3), (menos 2, 2), (menos 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) e (3, 3). O ponto (0, 0) em que a linha muda de inclinação é chamado de vértice. Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual ao valor absoluto de x”, “Domínio: (infinito negativo, infinito)” e “Alcance: [0, infinito)”.$

Leia informações de um gráfico de uma função

Nas ciências e nos negócios, os dados geralmente são coletados e depois representados graficamente. O gráfico é analisado, as informações são obtidas do gráfico e, em seguida, muitas vezes as previsões são feitas a partir dos dados.

Começaremos lendo o domínio e o alcance de uma função em seu gráfico.

Lembre-se de que o domínio é o conjunto de todos os valores x nos pares ordenados na função. Para encontrar o domínio, examinamos o gráfico e encontramos todos os valores de x que têm um valor correspondente no gráfico. Siga o valor x para cima ou para baixo verticalmente. Se você clicar no gráfico da função, x estará no domínio.

Lembre-se de que o intervalo é o conjunto de todos os valores y nos pares ordenados na função. Para encontrar o intervalo, examinamos o gráfico e encontramos todos os valores de y que têm um valor correspondente no gráfico. Siga o valor y para a esquerda ou para a direita na horizontal. Se você acertar o gráfico da função, y estará no intervalo.

Exemplo $\PageIndex{22}$

Use o gráfico da função para encontrar seu domínio e alcance. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.

$Esta figura tem um segmento de linha curva representado graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 4 a 4. O eixo y vai de menos 4 a 4. O segmento de linha curva passa pelos pontos (menos 3, menos 1), (1,5, 3) e (3, 1). O intervalo [menos 3, 3] está marcado no eixo horizontal. O intervalo [menos 1, 3] está marcado no eixo vertical.$

Responda

Para encontrar o domínio, examinamos o gráfico e encontramos todos os valores de x que correspondem a um ponto no gráfico. O domínio é destacado em vermelho no gráfico. O domínio é $[−3,3]$ .

Para encontrar o intervalo, examinamos o gráfico e encontramos todos os valores de y que correspondem a um ponto no gráfico. O intervalo é destacado em azul no gráfico. O alcance é $[−1,3]$ .

Exemplo $\PageIndex{23}$

Use o gráfico da função para encontrar seu domínio e alcance. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.

$Esta figura tem um segmento de linha curva representado graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. O segmento de linha curva passa pelos pontos (menos 5, menos 4), (0, menos 3) e (1, 2). O intervalo [menos 5, 1] está marcado no eixo horizontal. O intervalo [menos 4, 2] está marcado no eixo vertical.$

Responda: O domínio é $[−5,1]$ . O alcance é $[−4,2]$ .

Exemplo $\PageIndex{24}$

Use o gráfico da função para encontrar seu domínio e alcance. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.

$Esta figura tem um segmento de linha curva representado graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 4 a 5. O eixo y vai de menos 6 a 4. O segmento de linha curva passa pelos pontos (menos 2, 1), (0, 3) e (4, menos 5). O intervalo [menos 2, 4] está marcado no eixo horizontal. O intervalo [menos 5, 3] está marcado no eixo vertical.$

Responda: O domínio é $[−2,4]$ . O alcance é $[−5,3]$ .

Agora vamos ler as informações do gráfico que você poderá ver em futuras aulas de matemática.

Exemplo $\PageIndex{25}$

Use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.

$Esta figura tem uma linha curva ondulada representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 2 vezes pi a 2 vezes pi. O eixo y vai de menos 4 a 4. O segmento de linha curva passa pelos pontos (menos 2 vezes pi, 0), (menos 3 dividido por 2 vezes pi, 1), (pi negativo, 0), (menos 1 dividido por 2 vezes pi, negativo 1), (0, 0), (1 dividido por 2 vezes pi, 1), (pi, 0), (3 dividido por 2 vezes pi, menos 1) e (2 vezes pi, 0). Os pontos (menos 3 dividido por 2 vezes pi, 1) e (1 dividido por 2 vezes pi, 1) são os pontos mais altos no gráfico. Os pontos (menos 1 dividido por 2 vezes pi, menos 1) e (3 dividido por 2 vezes pi, menos 1) são os pontos mais baixos do gráfico. O padrão se estende infinitamente para a esquerda e para a direita.$

ⓐ Encontre: $f(0)$ .
ⓑ Encontre: $f(32\pi)$ .
ⓒ Encontre: $f(−12\pi)$ .
ⓓ Encontre os valores para x quando $f(x)=0$ .
ⓔ Encontre as interceptações x.
ⓕ Encontre as interceptações y.
ⓖ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓗ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo.

Responda: ⓐ Quando $x=0$ , a função cruza o eixo y em 0. Então, $f(0)=0$ .
ⓑ Quando $x=32\pi$ , o valor y da função é $−1$ . Então, $f(32\pi)=−1$ .
ⓒ Quando $x=−12\pi$ , o valor y da função é $−1$ . Então, $f(−12\pi)=−1$ .
ⓓ A função é 0 nos pontos, $(−2\pi,0), (−\pi,0), (0,0),(\pi,0),(2\pi,0)$ . Os valores de x quando $f(x)=0$ são $−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi$ .
ⓔ As interceptações x ocorrem quando $y=0$ . Portanto, as interceptações x ocorrem quando $f(x)=0$ . Os interceptos x são $(−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)$ .
ⓕ As interceptações y ocorrem quando x=0,x=0. Portanto, as interceptações y ocorrem em $f(0)$ . O intercepto y é $(0,0)$ .
ⓖ Essa função tem um valor quando x é de $−2\pi$ para $2\pi$ . Portanto, o domínio na notação de intervalo é $[−2\pi,2\pi]$ .
ⓗ Os valores desta função, ou valores de y, vão de 1 $−1$ a 1. Portanto, o intervalo, em notação de intervalo, é $[−1,1]$ .

Exemplo $\PageIndex{26}$

Use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.

$Esta figura tem uma linha curva ondulada representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 2 vezes pi a 2 vezes pi. O eixo y vai de menos 6 a 6. O segmento de linha curva passa pelos pontos (menos 2 vezes pi, 0), (menos 3 dividido por 2 vezes pi, 2), (pi negativo, 0), (menos 1 dividido por 2 vezes pi, negativo 2), (0, 0), (1 dividido por 2 vezes pi, 2), (pi, 0), (3 dividido por 2 vezes pi, menos 2) e (2 vezes pi, 0). Os pontos (menos 3 dividido por 2 vezes pi, 2) e (1 dividido por 2 vezes pi, 2) são os pontos mais altos no gráfico. Os pontos (menos 1 dividido por 2 vezes pi, menos 2) e (3 dividido por 2 vezes pi, menos 2) são os pontos mais baixos do gráfico. A linha se estende infinitamente para a esquerda e para a direita.$

ⓐ Encontre: f (0) .f (0).
ⓑ Encontre: f (12\ pi) .f (12\ pi).
ⓒ Encontre: f (−32\ pi) .f (−32\ pi).
ⓓ Encontre os valores para x quando f (x) =0.f (x) =0.
ⓔ Encontre as interceptações x.
ⓕ Encontre as interceptações y.
ⓖ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓗ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo.

Responda: ⓐ $f(0)=0$ ⓑ $f=(\pi2)=2$ ⓒ $f=(−3\pi2)=2$ ⓓ $f(x)=0$ para $x=−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi$ ⓔ $(−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)$ ⓕ (0,0) (0,0) ⓖ $[−2\pi,2\pi]$ ⓗ $[−2,2]$

Exemplo $\PageIndex{27}$

Use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.

$Esta figura tem uma linha curva ondulada representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 2 vezes pi a 2 vezes pi. O eixo y vai de menos 6 a 6. O segmento de linha curva passa pelos pontos (menos 2 vezes pi, 1), (menos 3 dividido por 2 vezes pi, 0), (pi negativo, menos 1), (menos 1 dividido por 2 vezes pi, 0), (0, 1), (1 dividido por 2 vezes pi, 0), (pi, menos 1), (3 dividido por 2 vezes pi, 0) e (2 vezes pi, 1). Os pontos (menos 2 vezes pi, 1), (0, 1) e (2 vezes pi, 1) são os pontos mais altos no gráfico. Os pontos (pi negativo, menos 1) e (pi, menos 1) são os pontos mais baixos do gráfico. O padrão se estende infinitamente para a esquerda e para a direita.$

ⓐ Encontre: $f(0)$ .
ⓑ Encontre: $f(\pi)$ .
ⓒ Encontre: $f(−\pi)$ .
ⓓ Encontre os valores para x quando $f(x)=0$ .
ⓔ Encontre as interceptações x.
ⓕ Encontre as interceptações y.
ⓖ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓗ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo.

Responda: ⓐ $f(0)=1$ ⓑ $f(\pi)=−1$ ⓒ $f(−\pi)=−1$ ⓓ $f(x)=0$ para $x=−3\pi2,−\pi2,\pi2,3\pi2$ ⓔ $(−2pi,0),(−pi,0),(0,0),(pi,0),(2pi,0)$ ⓕ $(0,1)$ ⓖ $[−2pi,2pi]$ ⓗ $[−1,1]$

Acesse esse recurso on-line para obter instruções e práticas adicionais com gráficos de funções.

Encontre o domínio e o intervalo

Conceitos-chave

Teste de linha vertical
- Um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas retangulares é o gráfico de uma função se cada linha vertical cruzar o gráfico em no máximo um ponto.
- Se alguma linha vertical cruzar o gráfico em mais de um ponto, o gráfico não representa uma função.
Gráfico de uma função
- O gráfico de uma função é o gráfico de todos os seus pares ordenados, (x, y) (x, y) ou usando a notação da função, (x, f (x)) (x, f (x)) onde y=f (x) .y=f (x).
  fxf (x) nome da função-coordenada x da coordenada par ordenada do par ordenado fnome da funçãoxx-coordenada do par ordenado coordenada y do par ordenado
Função linear
$Esta figura tem um gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. A linha passa pelo ponto (0, b). Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual a x mais b”, “m, b: todos os números reais”, “m: inclinação da linha”, “b: intercepto y”, “Domínio: (infinito negativo, infinito)” e “Alcance: (infinito negativo, infinito)”.$
Função constante
$Esta figura tem um gráfico de uma linha reta horizontal no plano de coordenadas x y. A linha passa pelo ponto (0, b). Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual a sb”, “b: qualquer número real”, “b: intercepto y”, “Domínio: (infinito negativo, infinito)” e “Alcance: b”.$
Função de identidade
$Esta figura tem um gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. A linha passa pelos pontos (0, 0), (1, 1) e (2, 2). Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual a x”, “m: 1”, “b: 0”, “Domínio: (infinito negativo, infinito)” e “Alcance: (infinito negativo, infinito)”.$
Função quadrada
$Esta figura tem um gráfico de uma parábola se abrindo representado graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 4 a 4. O eixo y vai de menos 2 a 6. A parábola passa pelos pontos (menos 2, 4), (menos 1, 1), (0, 0), (1, 1) e (2, 4). Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual a x ao quadrado”, “Domínio: (infinito negativo, infinito)” e “Alcance: [0, infinito)”.$
Função Cube
$Esta figura tem uma linha curva representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 4 a 4. O eixo y vai de menos 4 a 4. A linha curva passa pelos pontos (menos 2, menos 8), (menos 1, menos 1), (0, 0), (1, 1) e (2, 8).). Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual a x ao cubo”, “Domínio: (infinito negativo, infinito)” e “Alcance: (infinito negativo, infinito)”.$
Função de raiz quadrada
$Esta figura tem uma meia linha curva representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de 0 a 8. O eixo y vai de 0 a 8. A meia-linha curva começa no ponto (0, 0) e depois sobe e vai para a direita. A meia linha curva passa pelos pontos (1, 1) e (4, 2). Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual à raiz quadrada de x”, “Domínio: [0, infinito)” e “Intervalo: [0, infinito)”.$
Função de valor absoluto
$Esta figura tem uma linha em forma de v representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 4 a 4. O eixo y vai de menos 1 a 6. A linha em forma de v passa pelos pontos (menos 3, 3), (menos 2, 2), (menos 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2) e (3, 3). O ponto (0, 0) em que a linha muda de inclinação é chamado de vértice. Ao lado do gráfico estão os seguintes: “f de x é igual ao valor absoluto de x”, “Domínio: (infinito negativo, infinito)” e “Alcance: [0, infinito)”.$

Objetivos de

Use o teste de linha vertical

TESTE DE LINHA VERTICAL

Exemplo3.7.1\PageIndex{1}

Exemplo3.7.2\PageIndex{2}

Exemplo3.7.3\PageIndex{3}

Identifique gráficos de funções básicas

GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO

FUNÇÃO LINEAR

Exemplo3.7.4\PageIndex{4}

Exemplo3.7.5\PageIndex{5}

Exemplo3.7.6\PageIndex{6}

FUNÇÃO CONSTANTE

Exemplo3.7.7\PageIndex{7}

Exemplo3.7.8\PageIndex{8}

Exemplo3.7.9\PageIndex{9}

FUNÇÃO DE IDENTIDADE

Exemplo3.7.11\PageIndex{11}

Exemplo3.7.12\PageIndex{12}

FUNÇÃO QUADRADA

Exemplo3.7.14\PageIndex{14}

Exemplo3.7.15\PageIndex{15}

FUNÇÃO DE CUBO

Exemplo3.7.16\PageIndex{16}

Exemplo3.7.17\PageIndex{17}

Exemplo3.7.18\PageIndex{18}

FUNÇÃO DE RAIZ QUADRADA

Exemplo3.7.20\PageIndex{20}

Exemplo3.7.21\PageIndex{21}

FUNÇÃO DE VALOR ABSOLUTO

Leia informações de um gráfico de uma função

Exemplo3.7.22\PageIndex{22}

Exemplo3.7.23\PageIndex{23}

Exemplo3.7.24\PageIndex{24}

Exemplo3.7.25\PageIndex{25}

Exemplo3.7.26\PageIndex{26}

Exemplo3.7.27\PageIndex{27}

Conceitos-chave

Exemplo $\PageIndex{1}$

Exemplo $\PageIndex{2}$

Exemplo $\PageIndex{3}$

Exemplo $\PageIndex{4}$

Exemplo $\PageIndex{5}$

Exemplo $\PageIndex{6}$

Exemplo $\PageIndex{7}$

Exemplo $\PageIndex{8}$

Exemplo $\PageIndex{9}$

Exemplo $\PageIndex{11}$

Exemplo $\PageIndex{12}$

Exemplo $\PageIndex{14}$

Exemplo $\PageIndex{15}$

Exemplo $\PageIndex{16}$

Exemplo $\PageIndex{17}$

Exemplo $\PageIndex{18}$

Exemplo $\PageIndex{20}$

Exemplo $\PageIndex{21}$

Exemplo $\PageIndex{22}$

Exemplo $\PageIndex{23}$

Exemplo $\PageIndex{24}$

Exemplo $\PageIndex{25}$

Exemplo $\PageIndex{26}$

Exemplo $\PageIndex{27}$