3.7: Gráficos de funções
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Ao final desta seção, você poderá:
- Use o teste de linha vertical
- Identifique gráficos de funções básicas
- Leia informações de um gráfico de uma função
Antes de começar, faça este teste de prontidão.
Use o teste de linha vertical
Na última seção, aprendemos como determinar se uma relação é uma função. As relações que analisamos foram expressas como um conjunto de pares ordenados, um mapeamento ou uma equação. Agora veremos como saber se um gráfico é o de uma função.
Um par ordenado\((x,y)\) é uma solução de uma equação linear, se a equação for uma afirmação verdadeira quando os valores x e y do par ordenado forem substituídos na equação.
O gráfico de uma equação linear é uma linha reta onde cada ponto na linha é uma solução da equação e cada solução dessa equação é um ponto nessa linha.
Na Figura, podemos ver que, no gráfico da equação\(y=2x−3\), para cada valor x há apenas um valor y, conforme mostrado na tabela anexa.

Uma relação é uma função se cada elemento do domínio tiver exatamente um valor no intervalo. Portanto, a relação definida pela equação\(y=2x−3\) é uma função.
Se olharmos para o gráfico, cada linha tracejada vertical só cruza a linha em um ponto. Isso faz sentido, pois em uma função, para cada valor x, há apenas um valor y.
Se a linha vertical atingir o gráfico duas vezes, o valor x seria mapeado para dois valores y e, portanto, o gráfico não representaria uma função.
Isso nos leva ao teste da linha vertical. Um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas retangulares é o gráfico de uma função se cada linha vertical cruzar o gráfico em no máximo um ponto. Se alguma linha vertical cruzar o gráfico em mais de um ponto, o gráfico não representa uma função.
Um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas retangulares é o gráfico de uma função se cada linha vertical cruzar o gráfico em no máximo um ponto.
Se alguma linha vertical cruzar o gráfico em mais de um ponto, o gráfico não representa uma função.
Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.
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ⓐ Como qualquer linha vertical cruza o gráfico em no máximo um ponto, o gráfico é o gráfico de uma função.
ⓑ Uma das linhas verticais mostradas no gráfico a cruza em dois pontos. Esse gráfico não representa uma função.
Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.
- Responda
-
ⓐ sim ⓑ não
Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.
- Responda
-
ⓐ não ⓑ sim
Identifique gráficos de funções básicas
Usamos a equação\(y=2x−3\) e seu gráfico à medida que desenvolvemos o teste da linha vertical. Dissemos que a relação definida pela equação\(y=2x−3\) é uma função.
Podemos escrever isso como na notação de função como\(f(x)=2x−3\). Ainda significa a mesma coisa. O gráfico da função é o gráfico de todos os pares ordenados\((x,y)\) onde\(y=f(x)\). Assim, podemos escrever os pares ordenados como\((x,f(x))\). Parece diferente, mas o gráfico será o mesmo.
Compare o gráfico mostrado\(y=2x−3\) anteriormente na Figura com o gráfico\(f(x)=2x−3\) mostrado na Figura. Nada mudou, exceto a notação.

O gráfico de uma função é o gráfico de todos os seus pares ordenados, (x, y) (x, y) ou usando a notação da função, (x, f (x)) (x, f (x)) onde y=f (x) .y=f (x).
\[\begin{array} {ll} {f} &{\text{name of function}} \\ {x} &{\text{x-coordinate of the ordered pair}} \\ {f(x)} &{\text{y-coordinate of the ordered pair}} \\ \nonumber \end{array}\]
À medida que avançamos em nosso estudo, é útil estar familiarizado com os gráficos de várias funções básicas e ser capaz de identificá-las.
Por meio de nossos trabalhos anteriores, estamos familiarizados com os gráficos de equações lineares. O processo que usamos para decidir se\(y=2x−3\) é uma função se aplicaria a todas as equações lineares. Todas as equações lineares não verticais são funções. As linhas verticais não são funções, pois o valor x tem infinitos valores y.
Escrevemos equações lineares em várias formas, mas será muito útil para nós aqui usar a forma de interceptação de inclinação da equação linear. A forma de interceptação de inclinação de uma equação linear é\(y=mx+b\). Na notação de função, essa função linear se torna\(f(x)=mx+b\) onde m é a inclinação da linha e b é o intercepto y.
O domínio é o conjunto de todos os números reais e o intervalo também é o conjunto de todos os números reais.
Usaremos as técnicas gráficas que usamos anteriormente para representar graficamente as funções básicas.
Gráfico:\(f(x)=−2x−4\).
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\(f(x)=−2x−4\) Nós reconhecemos isso como uma função linear. Encontre a inclinação e a interceptação y. \(m=−2\)
\(b=−4\)Gráfico usando o intercepto de inclinação.
Gráfico:\(f(x)=−3x−1\)
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-
Gráfico:\(f(x)=−4x−5\)
- Responda
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A próxima função cujo gráfico examinaremos é chamada de função constante e sua equação é da forma\(f(x)=b\), onde b é qualquer número real. Se substituirmos o\(f(x)\) por y, obteremos\(y=b\). Nós reconhecemos isso como a linha horizontal cujo intercepto y é b. O gráfico da função\(f(x)=b\) também é a linha horizontal cujo intercepto y é b.
Observe que para qualquer número real que colocarmos na função, o valor da função será b. Isso nos diz que o intervalo tem apenas um valor, b.
Gráfico:\(f(x)=4\).
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-
\(f(x)=4\) Nós reconhecemos isso como uma função constante. O gráfico será uma linha horizontal de passagem\((0,4)\).
Gráfico:\(f(x)=−2\).
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Gráfico:\(f(x)=3\).
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A função de identidade\(f(x)=x\) é um caso especial da função linear. Se escrevermos em forma de função linear\(f(x)=1x+0\), vemos que a inclinação é 1 e o intercepto y é 0.
A próxima função que examinaremos não é uma função linear. Portanto, o gráfico não será uma linha. O único método que temos para representar graficamente essa função é a plotagem de pontos. Como essa é uma função desconhecida, nos certificamos de escolher vários valores positivos e negativos, bem como 0 para nossos valores x.
Gráfico:\(f(x)=x^2\).
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Nós escolhemos valores x. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico conforme mostrado.
Gráfico:\(f(x)=x^2\).
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\(f(x)=−x^2\)
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Observando o resultado em Exemplo, podemos resumir as características da função quadrada. Chamamos esse gráfico de parábola. Ao considerarmos o domínio, observe que qualquer número real pode ser usado como um valor x. O domínio é todo em números reais.
O intervalo não é todo em números reais. Observe que o gráfico consiste em valores de y nunca abaixo de zero. Isso faz sentido, pois o quadrado de qualquer número não pode ser negativo. Portanto, o intervalo da função quadrada é composto por todos números reais não negativos.
A próxima função que examinaremos também não é uma função linear, então o gráfico não será uma linha. Novamente, usaremos a plotagem de pontos e nos certificaremos de escolher vários valores positivos e negativos, bem como 0 para nossos valores x.
Gráfico:\(f(x)=x^3\).
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Nós escolhemos valores x. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico.
Gráfico:\(f(x)=x^3\).
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Gráfico:\(f(x)=−x^3\).
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Analisando o resultado em Exemplo, podemos resumir as características da função de cubo. Ao considerarmos o domínio, observe que qualquer número real pode ser usado como um valor x. O domínio é todo em números reais.
O intervalo é todo em números reais. Isso faz sentido, pois o cubo de qualquer número diferente de zero pode ser positivo ou negativo. Portanto, o alcance da função de cubo é todo em números reais.
A próxima função que examinaremos não faz o quadrado nem o cubo dos valores de entrada, mas usa a raiz quadrada desses valores.
Vamos representar graficamente a função\(f(x)=\sqrt{x}\) e, em seguida, resumir as características da função. Lembre-se de que só podemos obter a raiz quadrada de números reais não negativos, então nosso domínio será os números reais não negativos.
\(f(x)=\sqrt{x}\)
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Nós escolhemos valores x. Como usaremos a raiz quadrada, escolhemos números que são quadrados perfeitos, para facilitar nosso trabalho. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico.
Gráfico:\(f(x)=x\).
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Gráfico:\(f(x)=−\sqrt{x}\).
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Nossa última função básica é a função de valor absoluto,\(f(x)=|x|\). Lembre-se de que o valor absoluto de um número é sua distância de zero. Como nunca medimos a distância como um número negativo, nunca obteremos um número negativo na faixa.
Gráfico:\(f(x)=|x|\).
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Nós escolhemos valores x. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico.
Gráfico:\(f(x)=|x|\).
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Gráfico:\(f(x)=−|x|\).
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Leia informações de um gráfico de uma função
Nas ciências e nos negócios, os dados geralmente são coletados e depois representados graficamente. O gráfico é analisado, as informações são obtidas do gráfico e, em seguida, muitas vezes as previsões são feitas a partir dos dados.
Começaremos lendo o domínio e o alcance de uma função em seu gráfico.
Lembre-se de que o domínio é o conjunto de todos os valores x nos pares ordenados na função. Para encontrar o domínio, examinamos o gráfico e encontramos todos os valores de x que têm um valor correspondente no gráfico. Siga o valor x para cima ou para baixo verticalmente. Se você clicar no gráfico da função, x estará no domínio.
Lembre-se de que o intervalo é o conjunto de todos os valores y nos pares ordenados na função. Para encontrar o intervalo, examinamos o gráfico e encontramos todos os valores de y que têm um valor correspondente no gráfico. Siga o valor y para a esquerda ou para a direita na horizontal. Se você acertar o gráfico da função, y estará no intervalo.
Use o gráfico da função para encontrar seu domínio e alcance. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.
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Para encontrar o domínio, examinamos o gráfico e encontramos todos os valores de x que correspondem a um ponto no gráfico. O domínio é destacado em vermelho no gráfico. O domínio é\([−3,3]\).
Para encontrar o intervalo, examinamos o gráfico e encontramos todos os valores de y que correspondem a um ponto no gráfico. O intervalo é destacado em azul no gráfico. O alcance é\([−1,3]\).
Use o gráfico da função para encontrar seu domínio e alcance. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.
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O domínio é\([−5,1]\). O alcance é\([−4,2]\).
Use o gráfico da função para encontrar seu domínio e alcance. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.
- Responda
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O domínio é\([−2,4]\). O alcance é\([−5,3]\).
Agora vamos ler as informações do gráfico que você poderá ver em futuras aulas de matemática.
Use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.
ⓐ Encontre:\(f(0)\).
ⓑ Encontre:\(f(32\pi)\).
ⓒ Encontre:\(f(−12\pi)\).
ⓓ Encontre os valores para x quando\(f(x)=0\).
ⓔ Encontre as interceptações x.
ⓕ Encontre as interceptações y.
ⓖ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓗ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo.
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ⓐ Quando\(x=0\), a função cruza o eixo y em 0. Então,\(f(0)=0\).
ⓑ Quando\(x=32\pi\), o valor y da função é\(−1\). Então,\(f(32\pi)=−1\).
ⓒ Quando\(x=−12\pi\), o valor y da função é\(−1\). Então,\(f(−12\pi)=−1\).
ⓓ A função é 0 nos pontos,\((−2\pi,0), (−\pi,0), (0,0),(\pi,0),(2\pi,0)\). Os valores de x quando\(f(x)=0\) são\(−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi\).
ⓔ As interceptações x ocorrem quando\(y=0\). Portanto, as interceptações x ocorrem quando\(f(x)=0\). Os interceptos x são\((−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)\).
ⓕ As interceptações y ocorrem quando x=0,x=0. Portanto, as interceptações y ocorrem em\(f(0)\). O intercepto y é\((0,0)\).
ⓖ Essa função tem um valor quando x é de\(−2\pi\) para\(2\pi\). Portanto, o domínio na notação de intervalo é\([−2\pi,2\pi]\).
ⓗ Os valores desta função, ou valores de y, vão de 1\(−1\) a 1. Portanto, o intervalo, em notação de intervalo, é\([−1,1]\).
Use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.

ⓐ Encontre: f (0) .f (0).
ⓑ Encontre: f (12\ pi) .f (12\ pi).
ⓒ Encontre: f (−32\ pi) .f (−32\ pi).
ⓓ Encontre os valores para x quando f (x) =0.f (x) =0.
ⓔ Encontre as interceptações x.
ⓕ Encontre as interceptações y.
ⓖ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓗ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo.
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-
ⓐ\(f(0)=0\) ⓑ\(f=(\pi2)=2\) ⓒ\(f=(−3\pi2)=2\) ⓓ\(f(x)=0\) para\(x=−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi\) ⓔ\((−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)\) ⓕ (0,0) (0,0) ⓖ\([−2\pi,2\pi]\) ⓗ\([−2,2]\)
Use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.

ⓐ Encontre:\(f(0)\).
ⓑ Encontre:\(f(\pi)\).
ⓒ Encontre:\(f(−\pi)\).
ⓓ Encontre os valores para x quando\(f(x)=0\).
ⓔ Encontre as interceptações x.
ⓕ Encontre as interceptações y.
ⓖ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓗ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo.
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ⓐ\(f(0)=1\) ⓑ\(f(\pi)=−1\) ⓒ\(f(−\pi)=−1\) ⓓ\(f(x)=0\) para\(x=−3\pi2,−\pi2,\pi2,3\pi2\) ⓔ\((−2pi,0),(−pi,0),(0,0),(pi,0),(2pi,0)\) ⓕ\((0,1)\) ⓖ\([−2pi,2pi]\) ⓗ\([−1,1]\)
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Conceitos-chave
- Teste de linha vertical
- Um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas retangulares é o gráfico de uma função se cada linha vertical cruzar o gráfico em no máximo um ponto.
- Se alguma linha vertical cruzar o gráfico em mais de um ponto, o gráfico não representa uma função.
- Gráfico de uma função
- O gráfico de uma função é o gráfico de todos os seus pares ordenados, (x, y) (x, y) ou usando a notação da função, (x, f (x)) (x, f (x)) onde y=f (x) .y=f (x).
fxf (x) nome da função-coordenada x da coordenada par ordenada do par ordenado fnome da funçãoxx-coordenada do par ordenado coordenada y do par ordenado
- O gráfico de uma função é o gráfico de todos os seus pares ordenados, (x, y) (x, y) ou usando a notação da função, (x, f (x)) (x, f (x)) onde y=f (x) .y=f (x).
- Função linear
- Função constante
- Função de identidade
- Função quadrada
- Função Cube
- Função de raiz quadrada
- Função de valor absoluto