3.7: Gráficos de funções
Ao final desta seção, você poderá:
- Use o teste de linha vertical
- Identifique gráficos de funções básicas
- Leia informações de um gráfico de uma função
Antes de começar, faça este teste de prontidão.
Use o teste de linha vertical
Na última seção, aprendemos como determinar se uma relação é uma função. As relações que analisamos foram expressas como um conjunto de pares ordenados, um mapeamento ou uma equação. Agora veremos como saber se um gráfico é o de uma função.
Um par ordenado(x,y) é uma solução de uma equação linear, se a equação for uma afirmação verdadeira quando os valores x e y do par ordenado forem substituídos na equação.
O gráfico de uma equação linear é uma linha reta onde cada ponto na linha é uma solução da equação e cada solução dessa equação é um ponto nessa linha.
Na Figura, podemos ver que, no gráfico da equaçãoy=2x−3, para cada valor x há apenas um valor y, conforme mostrado na tabela anexa.

Uma relação é uma função se cada elemento do domínio tiver exatamente um valor no intervalo. Portanto, a relação definida pela equaçãoy=2x−3 é uma função.
Se olharmos para o gráfico, cada linha tracejada vertical só cruza a linha em um ponto. Isso faz sentido, pois em uma função, para cada valor x, há apenas um valor y.
Se a linha vertical atingir o gráfico duas vezes, o valor x seria mapeado para dois valores y e, portanto, o gráfico não representaria uma função.
Isso nos leva ao teste da linha vertical. Um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas retangulares é o gráfico de uma função se cada linha vertical cruzar o gráfico em no máximo um ponto. Se alguma linha vertical cruzar o gráfico em mais de um ponto, o gráfico não representa uma função.
Um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas retangulares é o gráfico de uma função se cada linha vertical cruzar o gráfico em no máximo um ponto.
Se alguma linha vertical cruzar o gráfico em mais de um ponto, o gráfico não representa uma função.
Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.
- Responda
-
ⓐ Como qualquer linha vertical cruza o gráfico em no máximo um ponto, o gráfico é o gráfico de uma função.
ⓑ Uma das linhas verticais mostradas no gráfico a cruza em dois pontos. Esse gráfico não representa uma função.
Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.
- Responda
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ⓐ sim ⓑ não
Determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.
- Responda
-
ⓐ não ⓑ sim
Identifique gráficos de funções básicas
Usamos a equaçãoy=2x−3 e seu gráfico à medida que desenvolvemos o teste da linha vertical. Dissemos que a relação definida pela equaçãoy=2x−3 é uma função.
Podemos escrever isso como na notação de função comof(x)=2x−3. Ainda significa a mesma coisa. O gráfico da função é o gráfico de todos os pares ordenados(x,y) ondey=f(x). Assim, podemos escrever os pares ordenados como(x,f(x)). Parece diferente, mas o gráfico será o mesmo.
Compare o gráfico mostradoy=2x−3 anteriormente na Figura com o gráficof(x)=2x−3 mostrado na Figura. Nada mudou, exceto a notação.

O gráfico de uma função é o gráfico de todos os seus pares ordenados, (x, y) (x, y) ou usando a notação da função, (x, f (x)) (x, f (x)) onde y=f (x) .y=f (x).
\begin{array} {ll} {f} &{\text{name of function}} \\ {x} &{\text{x-coordinate of the ordered pair}} \\ {f(x)} &{\text{y-coordinate of the ordered pair}} \\ \nonumber \end{array}
À medida que avançamos em nosso estudo, é útil estar familiarizado com os gráficos de várias funções básicas e ser capaz de identificá-las.
Por meio de nossos trabalhos anteriores, estamos familiarizados com os gráficos de equações lineares. O processo que usamos para decidir sey=2x−3 é uma função se aplicaria a todas as equações lineares. Todas as equações lineares não verticais são funções. As linhas verticais não são funções, pois o valor x tem infinitos valores y.
Escrevemos equações lineares em várias formas, mas será muito útil para nós aqui usar a forma de interceptação de inclinação da equação linear. A forma de interceptação de inclinação de uma equação linear éy=mx+b. Na notação de função, essa função linear se tornaf(x)=mx+b onde m é a inclinação da linha e b é o intercepto y.
O domínio é o conjunto de todos os números reais e o intervalo também é o conjunto de todos os números reais.
Usaremos as técnicas gráficas que usamos anteriormente para representar graficamente as funções básicas.
Gráfico:f(x)=−2x−4.
- Responda
-
f(x)=−2x−4 Nós reconhecemos isso como uma função linear. Encontre a inclinação e a interceptação y. m=−2
b=−4Gráfico usando o intercepto de inclinação.
Gráfico:f(x)=−3x−1
- Responda
-
Gráfico:f(x)=−4x−5
- Responda
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A próxima função cujo gráfico examinaremos é chamada de função constante e sua equação é da formaf(x)=b, onde b é qualquer número real. Se substituirmos of(x) por y, obteremosy=b. Nós reconhecemos isso como a linha horizontal cujo intercepto y é b. O gráfico da funçãof(x)=b também é a linha horizontal cujo intercepto y é b.
Observe que para qualquer número real que colocarmos na função, o valor da função será b. Isso nos diz que o intervalo tem apenas um valor, b.
Gráfico:f(x)=4.
- Responda
-
f(x)=4 Nós reconhecemos isso como uma função constante. O gráfico será uma linha horizontal de passagem(0,4).
Gráfico:f(x)=−2.
- Responda
-
Gráfico:f(x)=3.
- Responda
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A função de identidadef(x)=x é um caso especial da função linear. Se escrevermos em forma de função linearf(x)=1x+0, vemos que a inclinação é 1 e o intercepto y é 0.
A próxima função que examinaremos não é uma função linear. Portanto, o gráfico não será uma linha. O único método que temos para representar graficamente essa função é a plotagem de pontos. Como essa é uma função desconhecida, nos certificamos de escolher vários valores positivos e negativos, bem como 0 para nossos valores x.
Gráfico:f(x)=x^2.
- Responda
-
Nós escolhemos valores x. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico conforme mostrado.
Gráfico:f(x)=x^2.
- Responda
-
f(x)=−x^2
- Responda
-
Observando o resultado em Exemplo, podemos resumir as características da função quadrada. Chamamos esse gráfico de parábola. Ao considerarmos o domínio, observe que qualquer número real pode ser usado como um valor x. O domínio é todo em números reais.
O intervalo não é todo em números reais. Observe que o gráfico consiste em valores de y nunca abaixo de zero. Isso faz sentido, pois o quadrado de qualquer número não pode ser negativo. Portanto, o intervalo da função quadrada é composto por todos números reais não negativos.
A próxima função que examinaremos também não é uma função linear, então o gráfico não será uma linha. Novamente, usaremos a plotagem de pontos e nos certificaremos de escolher vários valores positivos e negativos, bem como 0 para nossos valores x.
Gráfico:f(x)=x^3.
- Responda
-
Nós escolhemos valores x. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico.
Gráfico:f(x)=x^3.
- Responda
-
Gráfico:f(x)=−x^3.
- Responda
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Analisando o resultado em Exemplo, podemos resumir as características da função de cubo. Ao considerarmos o domínio, observe que qualquer número real pode ser usado como um valor x. O domínio é todo em números reais.
O intervalo é todo em números reais. Isso faz sentido, pois o cubo de qualquer número diferente de zero pode ser positivo ou negativo. Portanto, o alcance da função de cubo é todo em números reais.
A próxima função que examinaremos não faz o quadrado nem o cubo dos valores de entrada, mas usa a raiz quadrada desses valores.
Vamos representar graficamente a funçãof(x)=\sqrt{x} e, em seguida, resumir as características da função. Lembre-se de que só podemos obter a raiz quadrada de números reais não negativos, então nosso domínio será os números reais não negativos.
f(x)=\sqrt{x}
- Responda
-
Nós escolhemos valores x. Como usaremos a raiz quadrada, escolhemos números que são quadrados perfeitos, para facilitar nosso trabalho. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico.
Gráfico:f(x)=x.
- Responda
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Gráfico:f(x)=−\sqrt{x}.
- Responda
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Nossa última função básica é a função de valor absoluto,f(x)=|x|. Lembre-se de que o valor absoluto de um número é sua distância de zero. Como nunca medimos a distância como um número negativo, nunca obteremos um número negativo na faixa.
Gráfico:f(x)=|x|.
- Responda
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Nós escolhemos valores x. Nós os substituímos e, em seguida, criamos um gráfico.
Gráfico:f(x)=|x|.
- Responda
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Gráfico:f(x)=−|x|.
- Responda
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Leia informações de um gráfico de uma função
Nas ciências e nos negócios, os dados geralmente são coletados e depois representados graficamente. O gráfico é analisado, as informações são obtidas do gráfico e, em seguida, muitas vezes as previsões são feitas a partir dos dados.
Começaremos lendo o domínio e o alcance de uma função em seu gráfico.
Lembre-se de que o domínio é o conjunto de todos os valores x nos pares ordenados na função. Para encontrar o domínio, examinamos o gráfico e encontramos todos os valores de x que têm um valor correspondente no gráfico. Siga o valor x para cima ou para baixo verticalmente. Se você clicar no gráfico da função, x estará no domínio.
Lembre-se de que o intervalo é o conjunto de todos os valores y nos pares ordenados na função. Para encontrar o intervalo, examinamos o gráfico e encontramos todos os valores de y que têm um valor correspondente no gráfico. Siga o valor y para a esquerda ou para a direita na horizontal. Se você acertar o gráfico da função, y estará no intervalo.
Use o gráfico da função para encontrar seu domínio e alcance. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.
- Responda
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Para encontrar o domínio, examinamos o gráfico e encontramos todos os valores de x que correspondem a um ponto no gráfico. O domínio é destacado em vermelho no gráfico. O domínio é[−3,3].
Para encontrar o intervalo, examinamos o gráfico e encontramos todos os valores de y que correspondem a um ponto no gráfico. O intervalo é destacado em azul no gráfico. O alcance é[−1,3].
Use o gráfico da função para encontrar seu domínio e alcance. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.
- Responda
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O domínio é[−5,1]. O alcance é[−4,2].
Use o gráfico da função para encontrar seu domínio e alcance. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.
- Responda
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O domínio é[−2,4]. O alcance é[−5,3].
Agora vamos ler as informações do gráfico que você poderá ver em futuras aulas de matemática.
Use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.
ⓐ Encontre:f(0).
ⓑ Encontre:f(32\pi).
ⓒ Encontre:f(−12\pi).
ⓓ Encontre os valores para x quandof(x)=0.
ⓔ Encontre as interceptações x.
ⓕ Encontre as interceptações y.
ⓖ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓗ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo.
- Responda
-
ⓐ Quandox=0, a função cruza o eixo y em 0. Então,f(0)=0.
ⓑ Quandox=32\pi, o valor y da função é−1. Então,f(32\pi)=−1.
ⓒ Quandox=−12\pi, o valor y da função é−1. Então,f(−12\pi)=−1.
ⓓ A função é 0 nos pontos,(−2\pi,0), (−\pi,0), (0,0),(\pi,0),(2\pi,0). Os valores de x quandof(x)=0 são−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi.
ⓔ As interceptações x ocorrem quandoy=0. Portanto, as interceptações x ocorrem quandof(x)=0. Os interceptos x são(−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0).
ⓕ As interceptações y ocorrem quando x=0,x=0. Portanto, as interceptações y ocorrem emf(0). O intercepto y é(0,0).
ⓖ Essa função tem um valor quando x é de−2\pi para2\pi. Portanto, o domínio na notação de intervalo é[−2\pi,2\pi].
ⓗ Os valores desta função, ou valores de y, vão de 1−1 a 1. Portanto, o intervalo, em notação de intervalo, é[−1,1].
Use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.

ⓐ Encontre: f (0) .f (0).
ⓑ Encontre: f (12\ pi) .f (12\ pi).
ⓒ Encontre: f (−32\ pi) .f (−32\ pi).
ⓓ Encontre os valores para x quando f (x) =0.f (x) =0.
ⓔ Encontre as interceptações x.
ⓕ Encontre as interceptações y.
ⓖ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓗ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo.
- Responda
-
ⓐf(0)=0 ⓑf=(\pi2)=2 ⓒf=(−3\pi2)=2 ⓓf(x)=0 parax=−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi ⓔ(−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0) ⓕ (0,0) (0,0) ⓖ[−2\pi,2\pi] ⓗ[−2,2]
Use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.

ⓐ Encontre:f(0).
ⓑ Encontre:f(\pi).
ⓒ Encontre:f(−\pi).
ⓓ Encontre os valores para x quandof(x)=0.
ⓔ Encontre as interceptações x.
ⓕ Encontre as interceptações y.
ⓖ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓗ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo.
- Responda
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ⓐf(0)=1 ⓑf(\pi)=−1 ⓒf(−\pi)=−1 ⓓf(x)=0 parax=−3\pi2,−\pi2,\pi2,3\pi2 ⓔ(−2pi,0),(−pi,0),(0,0),(pi,0),(2pi,0) ⓕ(0,1) ⓖ[−2pi,2pi] ⓗ[−1,1]
Acesse esse recurso on-line para obter instruções e práticas adicionais com gráficos de funções.
Conceitos-chave
- Teste de linha vertical
- Um conjunto de pontos em um sistema de coordenadas retangulares é o gráfico de uma função se cada linha vertical cruzar o gráfico em no máximo um ponto.
- Se alguma linha vertical cruzar o gráfico em mais de um ponto, o gráfico não representa uma função.
- Gráfico de uma função
- O gráfico de uma função é o gráfico de todos os seus pares ordenados, (x, y) (x, y) ou usando a notação da função, (x, f (x)) (x, f (x)) onde y=f (x) .y=f (x).
fxf (x) nome da função-coordenada x da coordenada par ordenada do par ordenado fnome da funçãoxx-coordenada do par ordenado coordenada y do par ordenado
- O gráfico de uma função é o gráfico de todos os seus pares ordenados, (x, y) (x, y) ou usando a notação da função, (x, f (x)) (x, f (x)) onde y=f (x) .y=f (x).
- Função linear
- Função constante
- Função de identidade
- Função quadrada
- Função Cube
- Função de raiz quadrada
- Função de valor absoluto