3.7E: Exercícios

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

A prática leva à perfeição

Use o teste de linha vertical

Nos exercícios a seguir, determine se cada gráfico é o gráfico de uma função.

1. ⓐ

$A figura tem um círculo representado graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. O círculo passa pelos pontos (menos 3, 0), (3, 0), (0, menos 3) e (0, 3).$

ⓑ

$A figura tem uma abertura de parábola representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 4 a 8. A parábola passa pelos pontos (menos 2, 6), (1, 3), (0, 2), (1, 3) e (2, 6).$

Resposta: ⓐ não ⓑ sim

2. ⓐ

$A figura tem uma linha curva em forma de s representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha curva em forma de s passa pelos pontos (menos 1, 1), (0, 0) e (1, 1).$

ⓑ

$A figura tem um círculo representado graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. O círculo passa pelos pontos (menos 4, 0), (4, 0), (0, menos 4) e (0, 4).$

3. ⓐ

$A figura tem uma abertura de parábola à direita representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A parábola passa pelos pontos (menos 2, 0), (menos 1, 1), (menos 1, menos 1), (menos 2, 2) e (2, 2).$

ⓑ

$A figura tem uma função de cubo representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha curva passa pelos pontos (menos 1, menos 1), (0, 0) e (1, 1).$

Resposta: ⓐ não ⓑ sim

4. ⓐ

$A figura tem duas linhas curvas representadas graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha curva à esquerda passa pelos pontos (menos 2, 0), (menos 4, 5) e (menos 4, menos 5) e (menos 4, menos 5). A linha curva à direita passa pelos pontos (2, 0), (4, 5) e (4, menos 5).$

ⓑ

$A figura tem uma função de valor absoluto lateral representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha se curva no ponto (0, 2) e vai para a direita. A linha passa pelos pontos (1, 3), (2, 4), (1, 1) e (2, 0).$

Identifique gráficos de funções básicas

Nos exercícios a seguir, ⓐ represente graficamente cada função ⓑ declare seu domínio e alcance. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.

5. $f(x)=3x+4$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função linear representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha passa pelos pontos (menos 2, menos 2), (menos 1, 1) e (0, 4).$

ⓑ$ D:(-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,\inf ) $

6. $f(x)=2x+5$

7. $f(x)=−x−2$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função linear representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha passa pelos pontos (menos 2, 0), (0, menos 2) e (2, menos 4).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,\inf )$

8. $f(x)=−4x−3$

9. $f(x)=−2x+2$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função linear representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha passa pelos pontos (menos 2, 2), (menos 1, 0) e (0, menos 2).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,\inf )$

10. $f(x)=−3x+3$

11. $f(x)=\frac{1}{2}x+1$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função linear representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha passa pelos pontos (menos 2, 0), (0, 1) e (2, 2).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,\inf )$

12. $f(x)=\frac{2}{3}x−2$

13. $f(x)=5$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função constante representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 8 a 8. O eixo y vai de menos 8 a 8. A linha passa pelos pontos (menos 2, 5), (menos 1, 5) e (0, 5).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ), R:{5}$

14. $f(x)=2$

15. $f(x)=−3$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função constante representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha passa pelos pontos (0, menos 3), (1, menos 3) e (2, menos 3).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R: {−3}$

16. $f(x)=−1$

17. $f(x)=2x$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função linear representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 8 a 8. O eixo y vai de menos 8 a 8. A linha passa pelos pontos (0, 0), (2, 4) e (menos 2, menos 4).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,\inf )$

18. $f(x)=3x$

19. $f(x)=−2x$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função linear representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 12 a 12. O eixo y vai de menos 12 a 12. A linha passa pelos pontos (0, 0), (1, menos 2) e (menos 1, 2).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ), R:(-\inf ,\inf )$

20. $f(x)=−3x$

21. $f(x)=3x^2$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função quadrada representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 2 a 10. A parábola passa pelos pontos (menos 1, 3), (0, 0) e (1, 3). O ponto mais baixo do gráfico é (0, 0).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R:[0,\inf )$

22. $f(x)=2x^2$

23. $f(x)=−3x^2$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função quadrada representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 10 a 2. A parábola passa pelos pontos (menos 1, menos 3), (0, 0) e (1, menos 3). O ponto mais alto no gráfico é (0, 0).$

ⓑ$ D: (-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,0]$

24. $f(x)=−2x^2$

25. $f(x)=12x^2$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função quadrada representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 2 a 10. A parábola passa pelos pontos (menos 4, 8), (menos 2, 2), (0, 0), (2, 2) e (4, 8). O ponto mais baixo do gráfico é (0, 0).$

ⓑ$D: (-\inf ,\inf ),\space R:[-\inf ,0)$

26. $f(x)=\frac{1}{3}x^2$

27. $f(x)=x^2−1$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função quadrada representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 2 a 10. A parábola passa pelos pontos (menos 2, 3), (menos 1, 0), (0, menos 1), (1, 0) e (2, 3). O ponto mais baixo do gráfico é (0, menos 1).$

ⓑ$D: (-\inf ,\inf ),\space R:[−1, \inf )$

28. $f(x)=x^2+1$

29. $f(x)=−2x^3$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função de cubo representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha curva passa pelos pontos (menos 1, 2), (0, 0) e (1, menos 2).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ),\space R:(-\inf ,\inf )$

30. $f(x)=2x^3$

31. $f(x)=x^3+2$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função de cubo representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. A linha curva passa pelos pontos (menos 1, 1), (0, 2) e (1, 3).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ), R:(-\inf ,\inf )$

32. $f(x)=x^3−2$

33. $f(x)=2\sqrt{x}$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função de raiz quadrada representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de 0 a 10. O eixo y vai de 0 a 10. A meia linha começa no ponto (0, 0) e passa pelos pontos (1, 2) e (4, 4).$

ⓑ$D:[0,\inf ), R:[0,\inf )$

34. $f(x)=−2\sqrt{x}$

35. $f(x)=\sqrt{x-1}$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função de raiz quadrada representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de 0 a 10. O eixo y vai de 0 a 10. A meia linha começa no ponto (1, 0) e passa pelos pontos (2, 1) e (5, 2).$

ⓑ$D:[1,\inf ), R:[0,\inf )$

36. $f(x)=\sqrt{x+1}$

37. $f(x)=3|x|$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função de valor absoluto representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 2 a 10. O vértice está no ponto (0, 0). A linha passa pelos pontos (menos 1, 3) e (1, 3).$

ⓑ$D:[ −1,−1, \inf ), R:[−\inf ,\inf )$

38. $f(x)=−2|x|$

39. $f(x)=|x|+1$

Resposta

ⓐ

$A figura tem uma função de valor absoluto representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 2 a 10. O vértice está no ponto (0, 1). A linha passa pelos pontos (menos 1, 2) e (1, 2).$

ⓑ$D:(-\inf ,\inf ), R:[1,\inf )$

40. $f(x)=|x|−1$

Leia informações de um gráfico de uma função

Nos exercícios a seguir, use o gráfico da função para encontrar seu domínio e alcance. Escreva o domínio e o intervalo em notação de intervalo.

41.
$A figura tem uma função de raiz quadrada representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 2 a 8. O eixo y vai de menos 2 a 8. A meia linha começa no ponto (2, 0) e passa pelos pontos (3, 1) e (6, 2).$

Resposta: $D: [2,\inf ),\space R: [0,\inf )$

42.
$A figura tem uma função de raiz quadrada representada graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 2 a 8. O eixo y vai de menos 2 a 10. A meia linha começa no ponto (menos 3, 0) e passa pelos pontos (menos 2, 1) e (1, 2).$

43.
$A figura tem uma função de valor absoluto representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de 0 a 12. O vértice está no ponto (0, 4). A linha passa pelos pontos (menos 2, 6) e (2, 6).$

Resposta: $D: (-\inf ,\inf ),\space R: [4,\inf )$

44.
$A figura tem uma função de valor absoluto representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 4 a 8. O vértice está no ponto (0, menos 1). A linha passa pelos pontos (menos 1, 0) e (1, 0).$

45.
$A figura tem um semicírculo representado graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 6 a 6. O segmento da linha curva começa no ponto (menos 2, 0). A linha passa pelo ponto (0, 2) e termina no ponto (2, 0).$

Resposta: $D: [−2,2],\space R: [0, 2]$

46.
$A figura tem um semicírculo representado graficamente no plano da coordenada x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 2 a 10. O segmento da linha curva começa no ponto (menos 3, 3). A linha passa pelo ponto (0, 6) e termina no ponto (3, 3).$

Nos exercícios a seguir, use o gráfico da função para encontrar os valores indicados.

47.
$Esta figura tem uma linha curva ondulada representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 2 vezes pi a 2 vezes pi. O eixo y vai de menos 6 a 6. O segmento de linha curva passa pelos pontos (menos 2 vezes pi, 0), (menos 3 dividido por 2 vezes pi, menos 1), (pi negativo, 0), (menos 1 dividido por 2 vezes pi, 1), (0, 0), (1 dividido por 2 vezes pi, menos 1), (pi, 0), (3 dividido por 2 vezes pi, 1) e (2 vezes pi, 0). Os pontos (menos 3 dividido por 2 vezes pi, menos 1) e (1 dividido por 2 vezes pi, menos 1) são os pontos mais baixos do gráfico. Os pontos (menos 1 dividido por 2 vezes pi, 1) e (3 dividido por 2 vezes pi, 1) são os pontos mais altos no gráfico. O padrão se estende infinitamente para a esquerda e para a direita.$

ⓐ Encontre:$f(0)$.
ⓑ Encontre:$f(12\pi)$.
ⓒ Encontre:$f(−32\pi)$.
ⓓ Encontre os valores para$x$ quando$f(x)=0$.
ⓔ Encontre as$x$ interceptações.
ⓕ Encontre as$y$ interceptações.
ⓖ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓗ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo.

Resposta: ⓐ$f(0)=0$ ⓑ$(\pi/2)=−1$
ⓒ$f(−3\pi/2)=−1$ ⓓ$f(x)=0$ para$x=−2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi$
ⓔ$(−2\pi,0),(−\pi,0),$$(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)$$(f)(0,0)$
ⓖ$[−2\pi,2\pi]$ ⓗ$[−1,1]$

48.
$Int_Alg_Section03_07_Exercise_48.jpeg$

ⓐ Encontre:$f(0)$.
ⓑ Encontre:$f(\pi)$.
ⓒ Encontre:$f(−\pi)$.
ⓓ Encontre os valores para$x$ quando$f(x)=0$.
ⓔ Encontre as$x$ interceptações.
ⓕ Encontre as$y$ interceptações.
ⓖ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓗ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo

49.
$A figura tem a metade superior de um círculo representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 4 a 8. O segmento da linha curva começa no ponto (menos 3, 2). A linha passa pelo ponto (0, 5) e termina no ponto (3, 2). O ponto (0, 5) é o ponto mais alto do gráfico. Os pontos (menos 3, 2) e (3, 2) são os pontos mais baixos do gráfico.$

ⓐ Encontre:$f(0)$.
ⓑ Encontre:$f(−3)$.
ⓒ Encontre:$f(3)$.
ⓓ Encontre os valores para$x$ quando$f(x)=0$.
ⓔ Encontre as$x$ interceptações.
ⓕ Encontre as$y$ interceptações.
ⓖ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓗ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo.

50.
$A figura tem a metade superior de um círculo representada graficamente no plano de coordenadas x y. O eixo x vai de menos 6 a 6. O eixo y vai de menos 4 a 8. O segmento da linha curva começa no ponto (menos 4, 0). A linha passa pelo ponto (0, 4) e termina no ponto (4, 0). O ponto (0, 4) é o ponto mais alto do gráfico. Os pontos (menos 4, 0) e (4, 0) são os pontos mais baixos do gráfico.$

ⓐ Encontre:$f(0)$.
ⓑ Encontre os valores para$x$ quando$f(x)=0$.
ⓒ Encontre as$x$ interceptações.
ⓓ Encontre as$y$ interceptações.
ⓔ Encontre o domínio. Escreva-o em notação de intervalo.
ⓕ Encontre o alcance. Escreva-o em notação de intervalo

exercícios de escrita

51. Explique com suas próprias palavras como encontrar o domínio a partir de um gráfico.

52. Explique com suas próprias palavras como encontrar o intervalo em um gráfico.

53. Explique com suas próprias palavras como usar o teste de linha vertical.

54. Desenhe um esboço das funções do quadrado e do cubo. Quais são as semelhanças e diferenças nos gráficos?

Verificação automática

ⓐ Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

$A figura mostra uma tabela com quatro linhas e quatro colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e rotula cada coluna. O cabeçalho da primeira coluna é “Eu posso...”, o segundo é “com confiança”, o terceiro é “com alguma ajuda”, “não menos eu não entendo!”. Sob a primeira coluna estão as frases “use o teste de linha vertical”, “identifique gráficos de funções básicas” e “leia informações de um gráfico”. Sob a segunda, terceira e quarta colunas, há espaços em branco onde o aluno pode verificar o nível de domínio que alcançou.$

ⓑ Depois de revisar essa lista de verificação, o que você fará para se tornar confiante em todos os objetivos?