3.5E: Exercícios

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

A prática leva à perfeição

Verificar soluções para uma desigualdade em duas variáveis

Nos exercícios a seguir, determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade dada.

1. Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade$y>x−1$:

a.$(0,1)$
b.$(−4,−1)$
c.$(4,2)$
d.$(3,0)$
e.$(−2,−3)$

Resposta: a. sim b. sim c. não d. não e. não

2. Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade$y>x−3$:

a.$(0,0)$
b.$(2,1)$
c.$(−1,−5)$
d.$(−6,−3)$
e.$(1,0)$

3. Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade$y<3x+2$:

a.$(0,3)$
b.$(−3,−2)$
c.$(−2,0)$
d.$(0,0)$
e.$(−1,4)$

Resposta: a. não b. não c. sim d. sim e. não

4. Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade$y<−2x+5$:

a.\ (−3,0) (−3,0)
b.$(1,6)$
c.$(−6,−2)$
d.$(0,1)$
e.$(5,−4)$

5. Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade$3x−4y>4$:

a.$(5,1)$
b.$(−2,6)$
c.$(3,2)$
d.$(10,−5)$
e.$(0,0)$

Resposta: a. sim b. não c. não d. não e. não

6. Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade$2x+3y>2$:

a.$(1,1)$
b.$(4,−3)$
c.$(0,0)$
d.$(−8,12)$
e.$(3,0)$

Reconhecer a relação entre as soluções de uma desigualdade e seu gráfico

Nos exercícios a seguir, escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada.

7. Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico com a linha limite$y=3x−4$.

$Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha é traçada através dos pontos (0, menos 4), (1, menos 1) e (2, 2). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade inferior direita estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

Resposta: $y\leq 3x−4$

8. Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico com a linha limite$y=2x−4$.

$Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha é traçada através dos pontos (0, menos 4), (1, menos 2) e (2, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade inferior direita estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

9. Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico com a linha limite$y=−\frac{1}{2}x+1$.

$Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha é traçada através dos pontos (0, 1), (2, 0) e (4, menos 1). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade inferior direita estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

Resposta: $y\leq −\frac{1}{2}x+1$

10. Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico com a linha limite$y=-\frac{1}{3}x−2$.

$Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha é traçada através dos pontos (0, menos 2), (3, menos 3) e (6, menos 4). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade inferior esquerda estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

11. Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite$x+y=5$.

$Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha é desenhada através dos pontos (0, 5), (1, 4) e (5, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade superior direita estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

Resposta: $x+y\geq 5$

12. Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite$x+y=3$.

$Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha é desenhada através dos pontos (0, 3), (1, 2) e (3, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade superior direita estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

13. Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite$3x−y=6$.

$Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha é traçada através dos pontos (0, menos 6), (1, menos 3) e (2, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade superior esquerda estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

Resposta: $3x−y\leq 6$

14. Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite$2x−y=4$.

$Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha é traçada através dos pontos (0, menos 4), (1, menos 2) e (2, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade superior esquerda estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

Gráfico de desigualdades lineares em duas variáveis

Nos exercícios a seguir, represente graficamente cada desigualdade linear.

15. Representar graficamente a desigualdade linear:$y>\frac{2}{3}x−1$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (0, menos 1), (3, 1) e (6, 3). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior esquerda está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

16. Representar graficamente a desigualdade linear:$y<\frac{3}{5}x+2$.

17. Representar graficamente a desigualdade linear:$y\leq −\frac{1}{2}x+4$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha é traçada através dos pontos (0, 4), (2, 3) e (4, 2). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade superior direita estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

18. Representar graficamente a desigualdade linear:$y\geq −\frac{1}{3}x−2$.

19. Representar graficamente a desigualdade linear:$x−y\leq 3$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (0, menos 3), (1, menos 2) e (3, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior esquerda está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

20. Representar graficamente a desigualdade linear:$x−y\geq −2$.

21. Representar graficamente a desigualdade linear:$4x+y>−4$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é traçada através dos pontos (0, menos 4), (menos 1, 0) e (1, menos 8). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior direita está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

22. Representar graficamente a desigualdade linear:$x+5y<−5$.

23. Representar graficamente a desigualdade linear:$3x+2y\geq −6$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é traçada através dos pontos (0, menos 3), (3, menos 5) e (menos 2, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior direita está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

24. Representar graficamente a desigualdade linear:$4x+2y\geq −8$.

25. Representar graficamente a desigualdade linear:$y>4x$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (0, 0), (menos 1, menos 4) e (1, 4). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior esquerda está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

26. Representar graficamente a desigualdade linear:$y\leq −3x$.

27. Representar graficamente a desigualdade linear:$y<−10$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (0, 0), (menos 1, 3) e (1, menos 3). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade inferior esquerda está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

28. Representar graficamente a desigualdade linear:$y\geq 2$.

29. Representar graficamente a desigualdade linear:$x\leq 5$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha tracejada vertical reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha tracejada vertical é desenhada através dos pontos (5, menos 1), (5, 0) e (5, 1). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade esquerda está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

30. Representar graficamente a desigualdade linear:$x\geq 0$.

31. Representar graficamente a desigualdade linear:$x−y<4$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (0, menos 4), (1, menos 3) e (4, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior esquerda está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

32. Representar graficamente a desigualdade linear:$x−y<−3$.

33. Representar graficamente a desigualdade linear:$y\geq \frac{3}{2}x$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (0, 0), (2, 3) e (menos 2, menos 3). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior esquerda está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

34. Representar graficamente a desigualdade linear:$y\leq \frac{5}{4}x$.

35. Representar graficamente a desigualdade linear:$y>−2x+1$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (0, 1), (1, menos 1) e (2, menos 3). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior direita está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

36. Representar graficamente a desigualdade linear:$y<−3x−4$.

37. Representar graficamente a desigualdade linear:$2x+y\geq −4$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha é traçada através dos pontos (0, menos 4), (1, menos 6) e (menos 2, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade inferior esquerda estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

38. Representar graficamente a desigualdade linear:$x+2y\leq −2$.

39. Representar graficamente a desigualdade linear:$2x−5y>10$.

Resposta: $Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha é traçada através dos pontos (0, menos 2), (5, 0) e (menos 5, menos 4). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade inferior direita estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

40. Representar graficamente a desigualdade linear:$4x−3y>12$.

Resolva aplicativos usando desigualdades lineares em duas variáveis

41. Harrison trabalha em dois empregos de meio período. Um em um posto de gasolina que paga $11 por hora e o outro é a solução de problemas de TI por $16,50 $16,50 por hora. Entre os dois empregos, Harrison quer ganhar pelo menos $330 por semana. Quantas horas Harrison precisa trabalhar em cada emprego para ganhar pelo menos $330?

a. Seja x o número de horas que ele trabalha no posto de gasolina e y seja o número de (horas) que ele trabalha na solução de problemas. Escreva uma desigualdade que modelaria essa situação.

b. Faça um gráfico da desigualdade.

c. Encontre três pares ordenados$(x,y)$ que seriam soluções para a desigualdade. Em seguida, explique o que isso significa para Harrison.

Resposta

a.$11x+16.5y\geq 330$
b.

$Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de 0 a 35. Uma linha é desenhada através dos pontos (0, 20), (15, 10) e (30, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade superior direita estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

c. As respostas podem variar.

42. Elena precisa ganhar pelo menos $450 por semana durante as férias de verão para pagar a faculdade. Ela trabalha em dois empregos. Um como instrutor de natação que paga $9 por hora e o outro como estagiário em um laboratório de genética por $22,50 por hora. Quantas horas Elena precisa trabalhar em cada emprego para ganhar pelo menos $450 por semana?

a. Seja x o número de horas que ela trabalha ensinando natação e que y seja o número de horas que ela trabalha como estagiária. Escreva uma desigualdade que modelaria essa situação.

b. Faça um gráfico da desigualdade.

c. Encontre três pares ordenados (x, y) (x, y) que seriam soluções para a desigualdade. Em seguida, explique o que isso significa para Elena.

43. O médico diz a Laura que ela precisa se exercitar o suficiente para queimar 500 calorias por dia. Ela prefere correr ou andar de bicicleta e queima 15 calorias por minuto enquanto corre e 10 calorias por minuto enquanto anda de bicicleta.

a. Se x é o número de minutos que Laura corre e y é o número de minutos que ela anda de bicicleta, encontre a desigualdade que modela a situação.

b. Faça um gráfico da desigualdade.

c. Liste três soluções para a desigualdade. Quais opções as soluções oferecem à Laura?

Resposta

a.$15x+10y\geq 500$
b.

$Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de 0 a 60. Uma linha é traçada através dos pontos (0, 50) e (20, 20). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade superior direita estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.$

c. As respostas podem variar.

44. Os treinos de Armando consistem em kickboxing e natação. Durante o kickboxing, ele queima 10 calorias por minuto e queima 7 calorias por minuto enquanto nada. Ele quer queimar 600 calorias por dia.

a. Se x é o número de minutos que Armando vai kickbox e y é o número de minutos que ele vai nadar, encontre a desigualdade que ajudará Armando a criar um treino para hoje.

b. Faça um gráfico da desigualdade.

c. Liste três soluções para a desigualdade. Quais opções as soluções oferecem à Armando?

exercícios de escrita

45. Lester acha que a solução de qualquer desigualdade com um sinal >> é a região acima da linha e a solução de qualquer desigualdade com um sinal << é a região abaixo da linha. Lester está correto? Explique por que ou por que não.

Resposta: As respostas podem variar.

46. Explique por que, em alguns gráficos de desigualdades lineares, a linha limite é sólida, mas em outros gráficos ela é tracejada.

Verificação automática

a. Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

$Essa tabela tem 4 linhas e 4 colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e rotula cada coluna. O cabeçalho da primeira coluna é “Eu posso...”, o segundo é “Confiantemente”, o terceiro é “Com alguma ajuda” e o quarto é “Não, eu não entendo”. Sob a primeira coluna estão as frases “verificar soluções para uma desigualdade em duas variáveis”, “reconhecer a relação entre as soluções de uma desigualdade e seu gráfico” e “representar graficamente as desigualdades lineares”. As outras colunas são deixadas em branco para que o aluno possa indicar seu nível de domínio em cada tópico.$

b. Em uma escala de 1 a 10, como você classificaria seu domínio dessa seção à luz de suas respostas na lista de verificação? Como você pode melhorar isso?