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3.5: Representar graficamente desigualdades lineares em duas variáveis

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    RESUMO

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Verifique as soluções para uma desigualdade em duas variáveis.
    • Reconheça a relação entre as soluções de uma desigualdade e seu gráfico.
    • Representar graficamente desigualdades lineares em duas
    • Resolva aplicações usando inequações lineares em duas variáveis

    Antes de começar, faça este teste de prontidão.

    1. Gráfico\(x>2\) em uma reta numérica.
      Se você perdeu esse problema, revise [link].
    2. Resolver:\(4x+3>23\).
      Se você perdeu esse problema, revise [link].
    3. Traduzir:\(8<x>3\).
      Se você perdeu esse problema, revise [link].

    Verificar soluções para uma desigualdade em duas variáveis

    Anteriormente, aprendemos a resolver desigualdades com apenas uma variável. Agora aprenderemos sobre desigualdades contendo duas variáveis. Em particular, examinaremos as desigualdades lineares em duas variáveis que são muito semelhantes às equações lineares em duas variáveis.

    As desigualdades lineares em duas variáveis têm muitas aplicações. Se você dirigisse uma empresa, por exemplo, gostaria que sua receita fosse maior do que seus custos, para que sua empresa tivesse lucro.

    DESEQUAÇÃO LINEAR

    Uma desigualdade linear é uma desigualdade que pode ser escrita em uma das seguintes formas:

    \( \begin{array} {l} { }& {Ax+By>C} &{Ax+By\geq C} &{Ax+By<C} &{Ax+By\leq C} \\ \end{array} \)

    Onde A e B não são ambos zero.

    Lembre-se de que uma desigualdade com uma variável tinha muitas soluções. Por exemplo, a solução para a desigualdade x>3x>3 é qualquer número maior que 3. Mostramos isso na reta numérica sombreando a reta numérica à direita de 3 e colocando um parêntese aberto em 3. Veja a Figura.

    Imagem da reta numérica com os números inteiros de menos 5 a 5. A parte da linha numérica à direita de 3 está marcada com uma linha azul. O número 3 está marcado com um parêntese azul aberto.
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Da mesma forma, as desigualdades lineares em duas variáveis têm muitas soluções. Qualquer par ordenado (x, y) (x, y) que torne uma desigualdade verdadeira quando substituímos os valores é uma solução para uma desigualdade linear.

    SOLUÇÃO PARA UMA DESIGUALDADE LINEAR

    Um par ordenado\((x,y)\) é uma solução para uma desigualdade linear se a desigualdade for verdadeira quando substituímos os valores de x e y.

    Índice da página {1}\)

    Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade y>x+4:y>x+4:

    ⓐ (0,0) (0,0) ⓑ (1,6) (1,6) ⓒ (2,6) (2,6) ⓓ (−5, −15) (−5, −15) ⓔ (−8,12) (−8,12)

    Resposta

    ⓐ

    \((0,0)\) .
    . .
    Simplifique. .
     

    Então, não\((0,0)\) é uma solução para\(y>x+4\).

    ⓑ

    \((1,6)\) .
    . .
    Simplifique. .
      Então,\((1,6)\) é uma solução para\(y>x+4\).

    ⓒ

    \((2,6)\) .
    . .
    Simplifique. .
      Então, não\((2,6)\) é uma solução para\(y>x+4\).

    ⓓ

    \((−5,−15)\) .
    . .
    Simplifique. .
      Então, não\((−5,−15)\) é uma solução para\(y>x+4\).

    ⓔ

    \((−8,12)\) .
    . .
    Simplifique. .
      Então,\((−8,12)\) é uma solução para\(y>x+4\).

    Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade\(y>x−3\):

    ⓐ\((0,0)\) ⓑ\((4,9)\) ⓒ\((−2,1)\) ⓓ\((−5,−3)\) ⓔ\((5,1)\)

    Resposta

    ⓐ sim ⓑ sim ⓒ sim ⓓ sim ⓔ não

    Exemplo\(\PageIndex{3}\)

    Determine se cada par ordenado é uma solução para a desigualdade\(y<x+1\):

    ⓐ\((0,0)\) ⓑ\((8,6)\) ⓒ\((−2,−1)\) ⓓ\((3,4)\) ⓔ\((−1,−4)\)

    Resposta

    ⓐ sim ⓑ sim ⓒ não ⓓ não ⓔ sim

    Reconhecer a relação entre as soluções de uma desigualdade e seu gráfico

    Agora, veremos como as soluções de uma desigualdade se relacionam com seu gráfico.

    Vamos pensar novamente na reta numérica mostrada anteriormente. O ponto\(x=3\) separou essa reta numérica em duas partes. Em um lado de 3 estão todos os números menores que 3. No outro lado de 3, todos os números são maiores que 3. Veja a Figura.

    Imagem da reta numérica com os números inteiros de menos 5 a 5. A parte da linha numérica à direita de 3 está marcada com uma linha azul. O número 3 está marcado com um parêntese azul aberto. A parte da reta numérica à direita de 3 é rotulada como “números maiores que 3”. A parte da reta numérica à esquerda de 3 é rotulada como “números menores que 3”.
    Figura\(\PageIndex{2}\): A solução para\(x>3\) é a parte sombreada da reta numérica à direita de\(x=3\).

    Da mesma forma, a linha\(y=x+4\) separa o plano em duas regiões. Em um lado da linha estão os pontos com\(y<x+4\). Do outro lado da linha estão os pontos com\(y>x+4\). Chamamos a linha\(y=x+4\) de linha limite.

    LINHA LIMITE

    A linha com equação\(Ax+By=C\) é a linha limite que separa a região onde\(Ax+By>C\) da região onde\(Ax+By<C\).

    Para uma desigualdade em uma variável, o ponto final é mostrado com um parêntese ou um colchete, dependendo se a está ou não incluído na solução:

    Duas linhas numéricas são mostradas com o meio rotulado com o número “a”. Nas duas linhas numéricas, a parte à esquerda do número a está marcada com vermelho. A primeira linha numérica é rotulada como “x é menor que a” e o número a é marcado com um parêntese aberto. A segunda linha numérica é rotulada como “x é menor ou igual a a” e o número a é marcado com um colchete aberto.

    Da mesma forma, para uma desigualdade em duas variáveis, a linha limite é mostrada com uma linha sólida ou tracejada para mostrar se a linha está ou não incluída na solução.

    \[ \begin{array} {ll} {Ax+By<C} &{Ax+By\leq C} \\ {Ax+By>C} &{Ax+By\geq C} \\ {\text{Boundary line is }Ax+By=C.} &{\text{Boundary line is }Ax+By=C.} \\ {\text{Boundary line is not included in solution.}} &{\text{Boundary line is not included in solution.}} \\ {\textbf{Boundary line is dashed.}} &{\textbf{Boundary line is solid.}} \\ \nonumber \end{array} \]

    Agora, vamos dar uma olhada no que encontramos no Example. Começaremos representando graficamente a linha e\(y=x+4\), em seguida, traçaremos os cinco pontos que testamos, conforme mostrado no gráfico. Veja a Figura.

    Esta figura tem o gráfico de alguns pontos e uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 16 a 16. Os pontos (menos 8, 12), (menos 5, menos 15), (0, 0), (1, 6) e (2, 6) são plotados e rotulados com suas coordenadas. Uma linha reta é traçada através dos pontos (menos 4, 0), (0, 4) e (2, 6).
    Figura\(\PageIndex{3}\)

    No exemplo, descobrimos que alguns dos pontos eram soluções para a desigualdade\(y>x+4\) e outros não.

    Quais dos pontos traçados são soluções para a desigualdade\(y>x+4\)?

    Os pontos\((1,6)\) e\((−8,12)\) são soluções para a desigualdade\(y>x+4\). Observe que ambos estão do mesmo lado da linha limite\(y=x+4\).

    Os dois pontos\((0,0)\)\((−5,−15)\) estão do outro lado da linha\(y=x+4\) limite e não são soluções para a desigualdade\(y>x+4\). Para esses dois pontos,\(y<x+4\).

    E quanto ao ponto\((2,6)\)? Porque\(6=2+4\), o ponto é uma solução para a equação\(y=x+4\), mas não uma solução para a desigualdade\(y>x+4\). Portanto, o ponto\((2,6)\) está na linha limite.

    Vamos pegar outro ponto acima da linha limite e testar se é ou não uma solução para a desigualdade\(y>x+4\). O ponto parece\((0,10)\) claramente acima da linha limite, não é? É uma solução para a desigualdade?

    \[\begin{array} {lll} {y} &{>} &{x+4} \\ {10} &{\overset{?}{>}} &{0+4} \\ {10} &{>} &{4} \\ \nonumber \end{array}\]

    Então,\((0,10)\) é uma solução para\(y>x+4\).

    Qualquer ponto que você escolher acima da linha limite é uma solução para a desigualdade\(y>x+4\). Todos os pontos acima da linha limite são soluções.

    Da mesma forma, todos os pontos abaixo da linha limite, o lado com\((0,0)\) e\((−5,−15)\), não são soluções para\(y>x+4\), conforme mostrado na Figura.

    Esta figura tem o gráfico de alguns pontos e uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 16 a 16. Os pontos (menos 8, 12), (menos 5, menos 15), (0, 0), (1, 6) e (2, 6) são plotados e rotulados com suas coordenadas. Uma linha reta é traçada através dos pontos (menos 4, 0), (0, 4) e (2, 6). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior esquerda é rotulada como y é maior que x mais 4. A metade inferior direita é rotulada como y é menor que x mais 4.
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    O gráfico da desigualdade\(y>x+4\) é mostrado abaixo.

    A linha\(y=x+4\) divide o plano em duas regiões. O lado sombreado mostra as soluções para a desigualdade\(y>x+4\).

    Os pontos na linha limite, aqueles em que\(y=x+4\), não são soluções para a desigualdade\(y>x+4\), então a linha em si não faz parte da solução. Mostramos isso tornando a linha tracejada, não sólida.

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (menos 4, 0), (0, 4) e (2, 6). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior esquerda é colorida em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Exemplo\(\PageIndex{4}\)

    A linha limite mostrada neste gráfico é\(y=2x−1\). Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico.

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (0, menos 1), (1, 1) e (2, 3). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior esquerda é colorida em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Resposta

    A linha\(y=2x−1\) é a linha limite. De um lado da linha estão os pontos com\(y>2x−1\) e do outro lado da linha estão os pontos com\(y<2x−1\).

    Vamos testar o ponto\((0,0)\) e ver qual desigualdade descreve sua posição em relação à linha limite.

    Em\((0,0)\), qual desigualdade é verdadeira:\(y>2x−1\) ou\(y<2x−1\)?

    \[\begin{array} {ll} {y>2x−1} &{y<2x−1} \\ {0\overset{?}{>}2·0−1} &{0\overset{?}{<}2·0−1} \\ {0>−1\text{ True}} &{0<−1\text{ False}} \\ \nonumber \end{array}\]

    \(y>2x−1\)Pois, é verdade, o lado da linha com\((0,0)\), é a solução. A região sombreada mostra a solução da desigualdade\(y>2x−1\).

    Como a linha limite é representada graficamente com uma linha sólida, a desigualdade inclui o sinal de igual.

    O gráfico mostra a desigualdade\(y\geq 2x−1\).

    Poderíamos usar qualquer ponto como ponto de teste, desde que não esteja na linha. Por que escolhemos\((0,0)\)? Porque é o mais fácil de avaliar. Talvez você queira escolher um ponto do outro lado da linha limite e verificar isso\(y<2x−1\).

    Exemplo\(\PageIndex{5}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico com a linha limite\(y=−2x+3\).

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Uma linha reta é traçada através dos pontos (0, 3), (1, 1) e (3, menos 3). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha em si e a metade superior direita são coloridas de vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Resposta

    \(y\geq −2x+3\)

    Exemplo\(\PageIndex{6}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico com a linha limite\(y=\frac{1}{2}x−4\).

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Uma linha reta é traçada através dos pontos (0, menos 4), (2, menos 3) e (4, menos 2). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha em si e a metade inferior direita são coloridas de vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Resposta

    \(y\leq \frac{1}{2}x−4\)

    Exemplo\(\PageIndex{7}\)

    A linha limite mostrada neste gráfico é\(2x+3y=6\). Escreva a desigualdade mostrada pelo gráfico.

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (0, 2), (3, 0) e (6, menos 2). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade inferior esquerda é colorida em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Resposta

    A linha\(2x+3y=6\) é a linha limite. De um lado da linha estão os pontos com\(2x+3y>6\) e do outro lado da linha estão os pontos com\(2x+3y<6\).

    Vamos testar o ponto\((0,0)\) e ver qual desigualdade descreve seu lado da linha limite.

    Em\((0,0)\), qual desigualdade é verdadeira:\(2x+3y>6\) ou\(2x+3y<6\)?

    \[\begin{array} {ll} {2x+3y>6} &{2x+3y<6} \\ {2(0)+3(0)\overset{?}{>}6} &{2(0)+3(0)\overset{?}{<}6} \\ {0>6\text{ False}} &{0<6\text{ True}} \\ \nonumber \end{array}\]

    Então, o lado com\((0,0)\) é o lado onde\(2x+3y<6\).

    (Talvez você queira escolher um ponto do outro lado da linha limite e verificar isso\(2x+3y>6\).)

    Como a linha limite é representada graficamente como uma linha tracejada, a desigualdade não inclui um sinal de igual.

    A região sombreada mostra a solução para a desigualdade\(2x+3y<6\).

    Exemplo\(\PageIndex{8}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite\(x−4y=8\).

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Uma linha reta é traçada através dos pontos (0, menos 2), (4, menos 1) e (8, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha em si e a metade superior esquerda são coloridas de vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Resposta

    \(x−4y\leq 8\)

    Exemplo\(\PageIndex{9}\)

    Escreva a desigualdade mostrada pela região sombreada no gráfico com a linha limite\(3x−y=6\).

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Uma linha reta é traçada através dos pontos (0, menos 6), (1, menos 3) e (2, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha em si e a metade inferior direita são coloridas de vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Resposta

    \(3x−y\geq 6\)

    Gráfico de desigualdades lineares em duas variáveis

    Agora que sabemos como é o gráfico de uma desigualdade linear e como ele se relaciona com uma equação de limite, podemos usar esse conhecimento para representar graficamente uma determinada desigualdade linear.

    Exemplo\(\PageIndex{10}\): How to Graph a Linear Equation in Two Variables

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y\geq \frac{3}{4}x−2\).

    Resposta

    A etapa 1 é identificar e representar graficamente a linha limite. Se a desigualdade for menor ou igual ou maior ou igual, a linha limite será sólida. Se a desigualdade for menor ou maior que, a linha limite será tracejada. Neste exemplo, o sinal de desigualdade é maior ou igual, então desenhamos uma linha sólida. Substitua o sinal de desigualdade por um sinal de igual para encontrar a linha limite. Faça um gráfico da linha limite y = 3 dividida por 4 vezes x menos 2. A figura então mostra o gráfico de uma linha reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha passa pelos pontos (0, menos 2), (4, 1) e (8, 4).A etapa 2 é testar um ponto que não está na linha limite. É uma solução da desigualdade? Vamos testar (0, 0). At (0, 0) y é maior ou igual a 3 dividido por 4 vezes x menos 2? 0 é maior ou igual a 3 dividido por 4 vezes 0 menos 2? 0 é maior ou igual a menos 2, então (0, 0) é uma solução.O passo 3 é sombrear em um lado da linha limite. Se o ponto de teste for uma solução, sombreie o lado que inclui o ponto. Se o ponto de teste não for uma solução, sombreie no lado oposto. O ponto de teste (0, 0) é uma solução para y maior ou igual a 3 dividida por 4 vezes x menos 2. Então, sombreamos o lado que contém (0, 0). A figura então mostra o gráfico de uma linha reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 12 a 12. A linha passa pelos pontos (0, menos 2), (4, 1) e (8, 4). A metade superior esquerda do plano de coordenadas está sombreada para indicar que é aqui que o conjunto de soluções está localizado.

    Exemplo\(\PageIndex{11}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y>\frac{5}{2}x−4\).

    Resposta

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (0, menos 4), (2, 1) e (4, 6). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior esquerda está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Todos os pontos na região sombreada e na linha limite representam as soluções para\(y>\frac{5}{2}x−4\).

    Exemplo\(\PageIndex{12}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(y<\frac{2}{3}x−5\).

    Resposta

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é traçada através dos pontos (0, menos 5), (3, menos 3) e (5, menos 1). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior esquerda está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(y<\frac{2}{3}x−5\).

    As etapas que tomamos para representar graficamente uma desigualdade linear estão resumidas aqui.

    FAÇA UM GRÁFICO DE UMA DESIGUALDADE LINEAR EM DUAS VARI
    1. Identifique e represente graficamente a linha limite.
      • Se a desigualdade for\ leq ou\ geq,\ leq ou\ geq, a linha limite é sólida.
      • Se a desigualdade for<or>,<or>, a linha limite será tracejada.
    2. Teste um ponto que não esteja na linha limite. É uma solução da desigualdade?
    3. Sombreie em um lado da linha limite.
      • Se o ponto de teste for uma solução, sombreie o lado que inclui o ponto.
      • Se o ponto de teste não for uma solução, sombreie no lado oposto.
    Exemplo\(\PageIndex{13}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear\(x−2y<5\).

    Resposta

    Primeiro, representamos graficamente a linha limite\(x−2y=5\). A desigualdade é\(<\) então que desenhamos uma linha tracejada.

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Uma linha reta tracejada é traçada através dos pontos (menos 3, menos 4), (1, menos 2) e (5, 0).

    Em seguida, testamos um ponto. Usaremos\((0,0)\) novamente porque é fácil de avaliar e não está na linha limite.

    É\((0,0)\) uma solução de\(x−2y<5\)?

    0 menos 2 vezes 0 é menor que 5? 0 menos 0 é menor que 5? 0 é menor que 5.

    O ponto\((0,0)\) é uma solução de\(x−2y<5\), então sombreamos esse lado da linha limite.

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Uma linha reta tracejada é traçada através dos pontos (menos 3, menos 4), (1, menos 2) e (5, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior esquerda está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(x−2y<5\).

    Exemplo\(\PageIndex{14}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear:\(2x−3y<6\).

    Resposta

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (0, menos 2), (3, 0) e (6, 2). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior esquerda está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(2x−3y<6\).

    Exemplo\(\PageIndex{15}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear:\(2x−y>3\).

    Resposta

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (0, menos 3), (1, menos 1) e (2, 1). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade inferior direita está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(2x−y>3\).

    E se a linha limite passar pela origem? Então, não poderemos usar\((0,0)\) como ponto de teste. Sem problemas, vamos apenas escolher outro ponto que não esteja na linha limite.

    Exemplo\(\PageIndex{16}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear:\(y\leq −4x\).

    Resposta

    Primeiro, representamos graficamente a linha limite\(y=−4x\). Está na forma de inclinação-intercepto, com\(m=−4\)\(b=0\) e. A desigualdade é\(\leq\) então que traçamos uma linha sólida.

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Uma reta é traçada entre os pontos (0, 0), (1, menos 4) e (menos 1, 4).

    Agora precisamos de um ponto de teste. Podemos ver que o ponto (1,0) (1,0) não está na linha limite.

    É\((1,0)\) uma solução de\(y\leq −4x\)?

    .

    O ponto não\((1,0)\) é uma solução\(y\leq −4x\), então sombreamos no lado oposto da linha limite.

    0 é menor ou igual a menos 4 vezes 1? 0 não é menor ou igual a menos 4.

    Todos os pontos na região sombreada e na linha limite representam as soluções para\(y\leq −4x\).

    Exemplo\(\PageIndex{17}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear:\(y>−3x\).

    Resposta

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (menos 1, 3), (0, 0) e (1, menos 3). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior direita está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(y>−3x\).

    Exemplo\(\PageIndex{18}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear:\(y\geq −2x\).

    Resposta

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta tracejada no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha reta tracejada é desenhada através dos pontos (menos 1, 2), (0, 0) e (1, menos 2). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior direita está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Todos os pontos na região sombreada e na linha limite representam as soluções para\(y\geq −2x\).

    Algumas desigualdades lineares têm apenas uma variável. Eles podem ter um x, mas não y, ou um y, mas não x. Nesses casos, a linha limite será vertical ou horizontal.

    Lembre-se de que:

    \[\begin{array} {ll} {x=a} &{\text{vertical line}} \\ {y=b} &{\text{horizontal line}} \\ \nonumber \end{array}\]

    Exemplo\(\PageIndex{19}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear:\(y>3\).

    Resposta

    Primeiro, representamos graficamente a linha limite\(y=3\). É uma linha horizontal. A desigualdade é\(>\) então que desenhamos uma linha tracejada.

    Nós testamos o ponto\((0,0)\).

    \[y>3\nonumber\]\[0\slashed{>}3\nonumber\]

    Então, não\((0,0)\) é uma solução para\(y>3\).

    Então, sombreamos o lado que não inclui\((0,0)\), conforme mostrado neste gráfico.

    Esta figura tem o gráfico de uma linha tracejada horizontal reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 8 a 8. Uma linha tracejada horizontal é desenhada através dos pontos (menos 1, 3), (0, 3) e (1, 3). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade superior está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(y>3\).

    Exemplo\(\PageIndex{20}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear:\(y<5\).

    Responda

    Esta figura tem o gráfico de uma linha tracejada horizontal reta no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha tracejada horizontal é desenhada através dos pontos (menos 1, 5), (0, 5) e (1, 5). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A metade inferior está sombreada em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Todos os pontos na região sombreada, mas não aqueles na linha limite, representam as soluções para\(y<5\).

    Exemplo\(\PageIndex{21}\)

    Representar graficamente a desigualdade linear:\(y\leq −1\).

    Responda

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta horizontal no plano de coordenadas x y. Os eixos x e y vão de menos 10 a 10. Uma linha horizontal é traçada através dos pontos (menos 1, menos 1), (0, menos 1) e (1, menos 1). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade inferior estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    Todos os pontos na região sombreada e na linha limite representam as soluções para\(y\leq −1\).

    Resolva aplicativos usando desigualdades lineares em duas variáveis

    Muitos campos usam desigualdades lineares para modelar um problema. Embora nossos exemplos possam ser sobre situações simples, eles nos dão a oportunidade de desenvolver nossas habilidades e ter uma ideia de como elas podem ser usadas.

    Exemplo\(\PageIndex{22}\)

    Hilaria trabalha em dois empregos de meio período para ganhar dinheiro suficiente para cumprir suas obrigações de pelo menos $240 por semana. Seu trabalho no serviço de alimentação paga $10 por hora e seu trabalho de tutora no campus paga $15 por hora. Quantas horas Hilaria precisa trabalhar em cada emprego para ganhar pelo menos $240?

    ⓐ Seja xx o número de horas que ela trabalha no serviço de alimentação e que y seja o número de horas que ela trabalha como tutora. Escreva uma desigualdade que modelaria essa situação.

    ⓑ Faça um gráfico da desigualdade.

    ⓒ Encontre três pares ordenados\((x,y)\) que seriam soluções para a desigualdade. Em seguida, explique o que isso significa para Hilaria.

    Responda

    ⓐ Deixamos x ser o número de horas que ela trabalha no serviço de alimentação e y o número de horas que ela trabalha como tutora.

    Ela ganha $10 por hora no trabalho no serviço de alimentação e $15 por hora como tutora. Em cada trabalho, o número de horas multiplicado pelo salário por hora fornecerá o valor ganho nesse trabalho.

    10 x mais 15 y é maior que 240. O “10 x” é rotulado como “Valor ganho no trabalho do serviço de alimentação”. O “15 anos” é rotulado como “o valor ganho na tutoria”. O “é maior que 240” é rotulado como “é pelo menos 240”.

    ⓑ Para representar graficamente a desigualdade, nós a colocamos em forma de inclinação e interceptação.

    \[\begin{align} {10x+15y} &\geq 240 \\ 15y &\geq -10x+240 \\ y &\geq {−\frac{2}{3}x+16} \\ \nonumber \end{align}\]

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de 0 a 25. Uma linha é desenhada através dos pontos (0, 16), (15, 6) e (24, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade superior direita estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    ⓒ No gráfico, vemos que os pares\((15,10)\)\((0,16)\) ordenados\((24,0)\) representam três de infinitas soluções. Verifique os valores na desigualdade.

    Primeiro, testamos o ponto (15, 10) na desigualdade 10 x mais 15 y maior ou igual a 240. 10 vezes 15 mais 15 vezes 10 é maior ou igual a 240? Como 300 é maior ou igual a 240 (15, 10) é uma solução. Em seguida, testamos o ponto (0, 16) na desigualdade 10 x mais 15 y maior ou igual a 240. 10 vezes 0 mais 15 vezes 16 é maior ou igual a 240? Como 240 é maior ou igual a 240 (0, 16) é uma solução. Em seguida, testamos o ponto (24, 0) na desigualdade 10 x mais 15 y maior ou igual a 240. 10 vezes 24 mais 15 vezes 0 é maior ou igual a 240? Como 240 é maior ou igual a 240 (24, 0) é uma solução.

    Para Hilaria, isso significa que, para ganhar pelo menos $240, ela pode trabalhar 15 horas como tutora e 10 horas em seu emprego de fast-food, ganhar todo o seu dinheiro como tutora por 16 horas ou ganhar todo o seu dinheiro trabalhando 24 horas no serviço de alimentação.

    Exemplo\(\PageIndex{23}\)

    Hugh trabalha em dois empregos de meio período. Um em uma mercearia que paga $10 por hora e o outro é babá por $13 horas. Entre os dois empregos, Hugh quer ganhar pelo menos $260 por semana. Quantas horas Hugh precisa trabalhar em cada emprego para ganhar pelo menos $260?

    ⓐ Seja x o número de horas que ele trabalha no supermercado e que y seja o número de horas em que ele trabalha como babá. Escreva uma desigualdade que modelaria essa situação.

    ⓑ Faça um gráfico da desigualdade.

    ⓒ Encontre três pares ordenados (x, y) que seriam soluções para a desigualdade. Em seguida, explique o que isso significa para Hugh.

    Responda

    ⓐ\(10x+13y\geq 260\)
    ⓑ

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de 0 a 30. Uma linha é desenhada através dos pontos (0, 20), (13, 10) e (26, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade superior direita estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    ⓒ As respostas variarão..

    Exemplo\(\PageIndex{24}\)

    Veronica trabalha em dois empregos de meio período para ganhar dinheiro suficiente para cumprir suas obrigações de pelo menos $280 por semana. Seu trabalho no spa diurno paga $10 por hora e seu trabalho de assistente administrativa no campus paga $17,50 por hora. Quantas horas Veronica precisa trabalhar em cada emprego para ganhar pelo menos $280?

    ⓐ Seja x o número de horas que ela trabalha no spa diurno e seja y o número de horas que ela trabalha como assistente administrativa. Escreva uma desigualdade que modelaria essa situação.

    ⓑ Faça um gráfico da desigualdade.

    ⓒ Encontre três pares ordenados (x, y) que seriam soluções para a desigualdade. Em seguida, explique o que isso significa para Veronica

    Responda

    ⓐ\(10x+17.5y\geq 280\)
    ⓑ

    Esta figura tem o gráfico de uma linha reta no plano da coordenada x y. Os eixos x e y vão de 0 a 25. Uma linha é traçada através dos pontos (0, 16) e (28, 0). A linha divide o plano da coordenada x y em duas metades. A linha e a metade superior direita estão sombreadas em vermelho para indicar que é aqui que estão as soluções da desigualdade.

    ⓒ As respostas podem variar.

    Acesse esse recurso on-line para obter instruções e práticas adicionais com a representação gráfica de desigualdades lineares em duas variáveis.

    Conceitos-chave

    • Como representar graficamente uma desigualdade linear em duas variáveis.
      1. Identifique e represente graficamente a linha limite.
        Se a desigualdade for\(\leq\) ou\(\geq\), a linha limite será sólida.
        Se a desigualdade for\(<\) ou\(>\), a linha limite será tracejada.
      2. Teste um ponto que não esteja na linha limite. É uma solução da desigualdade?
      3. Sombreie em um lado da linha limite.
        Se o ponto de teste for uma solução, sombreie o lado que inclui o ponto.
        Se o ponto de teste não for uma solução, sombreie no lado oposto.

    Glossário

    linha de limite
    A linha com equação\(Ax+By=C\) é a linha limite que separa a região onde\(Ax+By>C\) da região onde\(Ax+By<C\).
    desigualdade linear
    Uma desigualdade linear é uma desigualdade que pode ser escrita em uma das seguintes formas:\(Ax+By>C\),\(Ax+By\geq C\),\(Ax+By<C\), ou\(Ax+By\leq C\), onde A e B não são ambos zero.
    solução para uma desigualdade linear
    Um par ordenado\((x,y)\) é uma solução para uma desigualdade linear se a desigualdade for verdadeira quando substituímos os valores de x e y.