3.4: Encontre a equação de uma reta
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Ao final desta seção, você poderá:
- Encontre uma equação da reta dada a inclinação e o intercepto y
- Encontre uma equação da reta dada a inclinação e um ponto
- Encontre uma equação da reta dados dois pontos
- Encontre uma equação de uma reta paralela a uma determinada linha
- Encontre uma equação de uma reta perpendicular a uma determinada linha
Como as empresas on-line sabem que “você também pode gostar” de um item específico com base em algo que você acabou de pedir? Como os economistas podem saber como o aumento do salário mínimo afetará a taxa de desemprego? Como os pesquisadores médicos criam medicamentos para atingir as células cancerosas? Como os engenheiros de trânsito podem prever o efeito em seu tempo de deslocamento de um aumento ou diminuição nos preços do gás? É tudo matemática.
As ciências físicas, as ciências sociais e o mundo dos negócios estão cheios de situações que podem ser modeladas com equações lineares que relacionam duas variáveis. Para criar um modelo matemático de uma relação linear entre duas variáveis, precisamos ser capazes de encontrar a equação da linha. Nesta seção, veremos várias maneiras de escrever a equação de uma linha. O método específico que usamos será determinado pelas informações que recebemos.
Encontre uma equação da reta dada a inclinação e a interceptação y
Podemos determinar facilmente a inclinação e a interceptação de uma linha se a equação for escrita na forma de interceptação de inclinação,\(y=mx+b\). Agora faremos o inverso — começaremos com a inclinação e o intercepto y e os usaremos para encontrar a equação da reta.
Encontre a equação de uma reta com inclinação\(−9\) e intercepto \((0,−4)\)y.
- Resposta
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Como recebemos a inclinação e o intercepto y da linha, podemos substituir os valores necessários na forma de interceptação de inclinação,\(y=mx+b\).
Dê um nome à inclinação. 
Nomeie o y-intercept. 
Substitua os valores em\(y=mx+b\). 
Encontre a equação de uma reta com inclinação\(25\) e intercepto \((0,4)\)y.
- Resposta
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\(y=\frac{2}{5}x+4\)
Encontre a equação de uma reta com inclinação\(−1\) e intercepto \((0,−3)\)y.
- Resposta
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\(y=−x−3\)
Às vezes, a inclinação e a interceptação precisam ser determinadas a partir do gráfico.
Encontre a equação da linha mostrada no gráfico.
- Resposta
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Precisamos encontrar a inclinação e a interceptação y da linha do gráfico para que possamos substituir os valores necessários na forma de interceptação de inclinação,\(y=mx+b\).
Para encontrar a inclinação, escolhemos dois pontos no gráfico.
O intercepto y é\((0,−4)\) e o gráfico passa\((3,−2)\).
Encontre a inclinação, contando a subida e a corrida. 
Encontre o intercepto y. 
Substitua os valores em y=mx+b.y=mx+b. 
Encontre a equação da linha mostrada no gráfico.
- Resposta
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\(y=\frac{3}{5}x+1\)
Encontre a equação da linha mostrada no gráfico.
- Resposta
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\(y=\frac{4}{3}x−5\)
Encontre uma equação da reta dada a inclinação e um ponto
Encontrar uma equação de uma linha usando a forma de interceptação de inclinação da equação funciona bem quando você recebe a inclinação e o intercepto y ou quando você os lê em um gráfico. Mas o que acontece quando você tem outro ponto em vez do intercepto y?
Vamos usar a fórmula da inclinação para derivar outra forma de equação da reta.
Suponha que tenhamos uma linha que tenha inclinação m e que contenha algum ponto específico\((x_1,y_1)\) e algum outro ponto, que chamaremos apenas\((x,y)\). Podemos escrever a inclinação dessa linha e depois alterá-la para uma forma diferente.
\( \begin{array} {llll} {} &{m} &= &{\frac{y-y_1}{x-x_1}} \\ {\text{Multiply both sides of the equation by }x−x_1.} &{m(x-x_1)} &= &{\left( \frac{y−y_1}{x−x_1} \right)(x−x_1)} \\ {\text{Simplify.}} &{m(x-x_1)} &= &{y-y_1} \\ {\text{Rewrite the equation with theyterms on the left.}} &{y-y_1} &= &{m(x-x_1)} \\ \end{array} \)
Esse formato é chamado de forma ponto-inclinação de uma equação de uma linha.
A forma ponto-inclinação de uma equação de uma reta com inclinação m e contendo o ponto\((x_1,y_1)\) é:
\[y−y_1=m(x−x_1) \nonumber\]
Podemos usar a forma ponto-inclinação de uma equação para encontrar a equação de uma reta quando conhecemos a inclinação e pelo menos um ponto. Em seguida, reescreveremos a equação na forma de interceptação de inclinação. A maioria das aplicações de equações lineares usa a forma de interceptação de inclinação.
Como encontrar uma equação de uma reta dado um ponto e a inclinação
Encontre uma equação de uma reta com inclinação\(m=−\frac{1}{3}\) que contém o ponto\((6,−4)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
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Encontre a equação de uma reta com inclinação\(m=−\frac{2}{5}\) e contendo o ponto\((10,−5)\).
- Resposta
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\(y=−\frac{2}{5}x−1\)
Encontre a equação de uma reta com inclinação\(m=−\frac{3}{4}\) e contendo o ponto\((4,−7)\).
- Resposta
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\(y=−\frac{3}{4}x−4\)
Listamos as etapas para facilitar a consulta.
- Identifique a inclinação.
- Identifique o ponto.
- Substitua os valores na forma de inclinação do ponto,\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
Encontre uma equação de uma linha horizontal que contém o ponto\((−2,−6)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
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Cada linha horizontal tem inclinação 0. Podemos substituir a inclinação e os pontos na forma ponto-inclinação,\(y−y_1=m(x−x1)\).
Identifique a inclinação. 
Identifique o ponto. 
Substitua os valores em y−y1=m (x−x1) .y−y1=m (x−x1). 
Simplifique. 
Escreva na forma de interceptação de inclinação. Está na forma de y, mas pode ser escrito\(y=0x−6\). Acabamos com a forma de uma linha horizontal\(y=a\)?
Encontre a equação de uma linha horizontal contendo o ponto\((−3,8)\).
- Resposta
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\(y=8\)
Encontre a equação de uma linha horizontal contendo o ponto\((−1,4)\).
- Resposta
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\(y=4\)
Encontre uma equação da reta dados dois pontos
Quando dados do mundo real são coletados, um modelo linear pode ser criado a partir de dois pontos de dados. No próximo exemplo, veremos como encontrar a equação de uma reta quando apenas dois pontos são dados.
Até agora, temos duas opções para encontrar uma equação de uma reta: interceptação de inclinação ou inclinação de ponto. Quando começamos com dois pontos, faz mais sentido usar a forma ponto-inclinação.
Mas então precisamos da inclinação. Podemos encontrar a inclinação com apenas dois pontos? Sim. Então, uma vez que tenhamos a inclinação, podemos usá-la e um dos pontos dados para encontrar a equação.
Como encontrar a equação de uma reta com dois pontos
Encontre uma equação de uma linha que contenha os pontos\((−3,−1)\) e\((2,−2)\) escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
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Encontre a equação de uma linha contendo os pontos\((−2,−4)\)\((1,−3)\) e.
- Resposta
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\(y=\frac{1}{3}x−\frac{10{3}\)
Encontre a equação de uma linha contendo os pontos\((−4,−3)\)\((1,−5)\) e.
- Resposta
-
\(y=−\frac{2}{5}x−\frac{23}{5}\)
As etapas estão resumidas aqui.
- Encontre a inclinação usando os pontos fornecidos. \(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\)
- Escolha um ponto.
- Substitua os valores na forma de inclinação de pontos:\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
Encontre uma equação de uma linha que contém os pontos\((−3,5)\)\((−3,4)\) e. Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
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Novamente, o primeiro passo será encontrar a inclinação.
Encontre a inclinação da linha através de\((−3,5)\)\((−3,4)\) e.
\[m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} \nonumber\]
\[m=\frac{4−5}{−3−(−3)} \nonumber\]
\[m=\frac{−1}{0} \nonumber\]
A inclinação é indefinida.
Isso nos diz que é uma linha vertical. Ambos os nossos pontos têm uma coordenada x de\(−2\). Então, nossa equação da reta é\(x=−2\). Como não há y, não podemos escrevê-lo na forma de interceptação de inclinação.
Talvez você queira esboçar um gráfico usando os dois pontos fornecidos. Seu gráfico concorda com nossa conclusão de que essa é uma linha vertical?
Encontre a equação de uma linha contendo os pontos\((5,1)\)\((5,−4)\) e.
- Resposta
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\(x=5\)
Encontre a equação de uma linha contendo os pontos\((−4,4)\)\((−4,3)\) e.
- Resposta
-
\(x=−4\)
Vimos que podemos usar a forma de interceptação de inclinação ou a forma de inclinação de ponto para encontrar a equação de uma reta. O formulário que usamos dependerá das informações que recebermos.
| Para escrever uma equação de uma linha | ||
|---|---|---|
| Se fornecido: | Uso: | Formulário: |
| Inclinação e interceptação y | interceptação de inclinação | \(y=mx+b\) |
| Inclinação e um ponto | inclinação do ponto | \(y−y_1=m(x−x_1)\) |
| Dois pontos | inclinação do ponto | \(y−y_1=m(x−x_1)\) |
Encontre uma equação de uma reta paralela a uma determinada linha
Suponha que precisemos encontrar uma equação de uma reta que passa por um ponto específico e é paralela a uma determinada linha. Podemos usar o fato de que linhas paralelas têm a mesma inclinação. Então, teremos um ponto e a inclinação — exatamente o que precisamos para usar a equação ponto-inclinação.
Primeiro, vamos analisar isso graficamente.
Este gráfico mostra que\(y=2x−3.\) queremos representar graficamente uma linha paralela a essa linha e passando pelo ponto\((−2,1)\).
Sabemos que as linhas paralelas têm a mesma inclinação. Portanto, a segunda linha terá a mesma inclinação de\(y=2x−3\). Essa inclinação é\(m_∥=2\). Usaremos a notação mmpara representar a inclinação de uma reta paralela a uma linha com inclinação m. (Observe que o subscrito || se parece com duas linhas paralelas.)
A segunda linha passará\((−2,1)\) e terá\(m=2\).
Para representar graficamente a linha, começamos em\((−2,1)\) e contamos a subida e a corrida.
Com\(m=2\) (ou\(m=\frac{2}{1}\)), contamos a subida 2 e a corrida 1. Nós desenhamos a linha, conforme mostrado no gráfico.
As linhas parecem paralelas? A segunda linha passa\((−2,1)\)?
Fomos convidados a representar graficamente a linha, agora vamos ver como fazer isso algebricamente.
Podemos usar a forma de interceptação de inclinação ou a forma de inclinação de ponto para encontrar a equação de uma reta. Aqui conhecemos um ponto e podemos encontrar a inclinação. Então, usaremos a forma de inclinação de pontos.
Como encontrar a equação de uma reta paralela a uma determinada linha e um ponto
Encontre uma equação de uma reta paralela à\(y=2x−3\) que contém o ponto\((−2,1)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
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Veja o gráfico com as linhas paralelas mostradas anteriormente. Essa equação faz sentido? Qual é a interceptação y da linha? Qual é a inclinação?
Encontre uma equação de uma reta paralela à linha\(y=3x+1\) que contém o ponto\((4,2)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
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\(y=3x−10\)
Encontre uma equação de uma reta paralela à linha\(y=12x−3\) que contém o ponto\((6,4)\).
Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
-
\(y=\frac{1}{2}x+1\)
- Encontre a inclinação da linha dada.
- Encontre a inclinação da linha paralela.
- Identifique o ponto.
- Substitua os valores na forma de inclinação de pontos:\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
Encontre uma equação de uma reta perpendicular a uma determinada linha
Agora, vamos considerar as linhas perpendiculares. Suponha que precisemos encontrar uma linha passando por um ponto específico e que seja perpendicular a uma determinada linha. Podemos usar o fato de que as retas perpendiculares têm inclinações recíprocas negativas. Usaremos novamente a equação ponto-inclinação, como fizemos com linhas paralelas.
Este gráfico mostra\(y=2x−3\). Agora, queremos representar graficamente uma linha perpendicular a essa linha e passando por ela\((−2,1)\).
Sabemos que as retas perpendiculares têm inclinações recíprocas negativas.
Usaremos a notação\(m_⊥\) para representar a inclinação de uma linha perpendicular a uma linha com inclinação m. (Observe que o subscrito\(⊥\) se parece com os ângulos retos feitos por duas linhas perpendiculares.)
\[y=2x−3 perpendicular line \nonumber\]
\[m=2 m⊥=−12\nonumber\]
Agora sabemos que a linha perpendicular passará\((−2,1)\) com\(m⊥=−12\).
Para representar graficamente a linha, começaremos\((−2,1)\) e contaremos a subida\(−1\) e a corrida\(2\). Em seguida, traçamos a linha.
As linhas parecem perpendiculares? A segunda linha passa\((−2,1)\)?
Fomos convidados a representar graficamente a linha, agora, vamos ver como fazer isso algebricamente.
Podemos usar a forma de interceptação de inclinação ou a forma de inclinação de ponto para encontrar a equação de uma reta. Neste exemplo, conhecemos um ponto e podemos encontrar a inclinação, então usaremos a forma ponto-inclinação.
Como encontrar a equação de uma reta perpendicular a uma determinada linha e um ponto
Encontre uma equação de uma reta perpendicular à\(y=2x−3\) que contém o ponto\((−2,1)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
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Encontre uma equação de uma reta perpendicular à linha\(y=3x+1\) que contém o ponto\((4,2)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
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\(y=−\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}\)
Encontre uma equação de uma reta perpendicular à linha\(y=12x−3\) que contém o ponto\((6,4)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
-
\(y=−2x+16\)
- Encontre a inclinação da linha dada.
- Encontre a inclinação da linha perpendicular.
- Identifique o ponto.
- Substitua os valores na forma de inclinação do ponto,\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
Encontre uma equação de uma reta perpendicular à\(x=5\) que contém o ponto\((3,−2)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
-
Novamente, como conhecemos um ponto, a opção de inclinação de ponto parece mais promissora do que a opção de interceptação de inclinação. Precisamos da inclinação para usar essa forma e sabemos que a nova linha será perpendicular a x=5.x=5. Essa linha é vertical, então sua perpendicular será horizontal. Isso nos diz o m=0.m=0.
Identifique o ponto.Identifique a inclinação da linha perpendicular.Substitua os valores em y−y1=m (x−x1) .Simplifique. (3, −2) my−y1y− (−2) y+2y=====0m (x−x1) 0 (x−3) 0−2Identifique o ponto. (3, −2) Identifique a inclinação da perpendicular Linha.Substitua os valores em y−y1=m (x−x1) .simplify.m=0Y−y1=m (x−x1) y− (−2) =0 (x−3) y+2=0y=−2
Esboce o gráfico das duas linhas. Em seu gráfico, as linhas parecem ser perpendiculares?
Encontre uma equação de uma reta que seja perpendicular à linha\(x=4\) que contém o ponto\((4,−5)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
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\(y=−5\)
Encontre uma equação de uma reta que seja perpendicular à linha\(x=2\) que contém o ponto\((2,−1)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
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\(y=−1\)
No exemplo, usamos a forma de inclinação de pontos para encontrar a equação. Poderíamos ter visto isso de uma maneira diferente.
Queremos encontrar uma linha que seja perpendicular à\(x=5\) que contenha o ponto\((3,−2)\). Este gráfico nos mostra a linha\(x=5\) e o ponto\((3,−2)\).
Sabemos que cada linha perpendicular a uma linha vertical é horizontal, então vamos esboçar a linha horizontal\((3,−2)\).
As linhas parecem perpendiculares?
Se observarmos alguns pontos nessa linha horizontal, notamos que todos eles têm coordenadas y de\(−2\). Então, a equação da linha perpendicular à linha vertical\(x=5\) é\(y=−2\).
Encontre uma equação de uma reta que seja perpendicular à\(y=−3\) que contém o ponto\((−3,5)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
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A linha\(y=−3\) é uma linha horizontal. Qualquer linha perpendicular a ela deve ser vertical, no formulário\(x=a\). Como a linha perpendicular é vertical e passa por ela\((−3,5)\), cada ponto nela tem uma coordenada x de\(−3\). A equação da reta perpendicular é\(x=−3\).
Talvez você queira esboçar as linhas. Eles parecem perpendiculares?
Encontre uma equação de uma reta que seja perpendicular à linha\(y=1\) que contém o ponto\((−5,1)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
-
\(x=−5\)
Encontre uma equação de uma reta que seja perpendicular à linha\(y=−5\) que contém o ponto\((−4,−5)\). Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Resposta
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\(x=−4\)
Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais para encontrar a equação de uma linha.
Conceitos-chave
- Como encontrar a equação de uma reta dada a inclinação e um ponto.
- Identifique a inclinação.
- Identifique o ponto.
- Substitua os valores na forma de inclinação do ponto,\( y−y_1=m(x−x_1)\).
- Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
- Como encontrar uma equação de uma reta com dois pontos.
- Encontre a inclinação usando os pontos fornecidos. \(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\)
- Escolha um ponto.
- Substitua os valores na forma de inclinação de pontos:\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
Para escrever uma equação de uma linha Se fornecido: Uso: Formulário: Inclinação e interceptação y interceptação de inclinação \(y=mx+b\) Inclinação e um ponto inclinação do ponto \(y−y_1=m(x−x_1)\) Dois pontos inclinação do ponto \(y−y_1=m(x−x_1)\)
- Como encontrar uma equação de uma reta paralela a uma determinada linha.
- Encontre a inclinação da linha dada.
- Encontre a inclinação da linha paralela.
- Identifique o ponto.
- Substitua os valores na forma de inclinação de pontos:\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação
- Como encontrar uma equação de uma reta perpendicular a uma determinada linha.
- Encontre a inclinação da linha dada.
- Encontre a inclinação da linha perpendicular.
- Identifique o ponto.
- Substitua os valores na forma de inclinação do ponto,\(y−y_1=m(x−x_1)\).
- Escreva a equação na forma de interceptação de inclinação.
Glossário
forma de ponto de inclinação
A forma ponto-inclinação de uma equação de uma reta com inclinação m e contendo o ponto\((x_1,y_1)\) é\(y−y_1=m(x−x_1)\).