3.3: Inclinação de uma linha
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Ao final desta seção, você poderá:
- Encontre a inclinação de uma linha
- Faça um gráfico de uma linha com um ponto e a inclinação
- Faça um gráfico de uma linha usando sua inclinação e intercepte
- Escolha o método mais conveniente para representar graficamente uma linha
- Represente graficamente e interprete aplicações de inclinação-interceptação
- Use inclinações para identificar linhas paralelas e perpendiculares
Antes de começar, faça este teste de prontidão.
Encontre a inclinação de uma linha
Ao representar graficamente equações lineares, você pode notar que algumas linhas se inclinam para cima à medida que vão da esquerda para a direita e outras se inclinam para baixo. Algumas linhas são muito íngremes e outras mais planas.
Em matemática, a medida da inclinação de uma linha é chamada de inclinação da linha.
O conceito de inclinação tem muitas aplicações no mundo real. Na construção, a inclinação de um telhado, a inclinação dos canos de encanamento e a inclinação das escadas são todas aplicações de inclinação. e ao esquiar ou descer uma colina, você definitivamente experimenta uma inclinação.
Podemos atribuir um valor numérico à inclinação de uma linha encontrando a razão entre a subida e a corrida. O aumento é a quantidade em que a distância vertical muda enquanto a corrida mede a mudança horizontal, conforme mostrado nesta ilustração. A inclinação é uma taxa de mudança. Veja a Figura.
A inclinação de uma linha é\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
O aumento mede a mudança vertical e a corrida mede a mudança horizontal.
Para encontrar a inclinação de uma linha, localizamos dois pontos na linha cujas coordenadas são números inteiros. Em seguida, esboçamos um triângulo reto onde os dois pontos são vértices e um lado é horizontal e um lado é vertical.
Para encontrar a inclinação da linha, medimos a distância ao longo dos lados vertical e horizontal do triângulo. A distância vertical é chamada de elevação e a distância horizontal é chamada de corrida,
- Localize dois pontos na linha cujas coordenadas são números inteiros.
- Começando com um ponto, desenhe um triângulo reto, indo do primeiro ponto ao segundo ponto.
- Conte a subida e a corrida nas pernas do triângulo.
- Pegue a proporção entre subida e corrida para encontrar a inclinação:\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
Encontre a inclinação da linha mostrada.
- Resposta
-
Localize dois pontos no gráfico cujas
coordenadas são números inteiros.\((0,5)\)e\((3,3)\) Começando em\((0,5)\), desenhe um triângulo reto
\((3,3)\) conforme mostrado neste gráfico.
Conte o aumento - uma vez que diminui, é negativo. A ascensão é\(−2\). Conte a corrida. A corrida é 3. Use a fórmula da inclinação. \(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) Substitua os valores da subida e da corrida. \(m=−23\) Simplifique. \(m=−23\) A inclinação da linha é\(−23\). Então y diminui em 2 unidades à medida que x aumenta em 3 unidades.
Encontre a inclinação da linha mostrada.
- Resposta
-
\(-\frac{4}{3}\)
Encontre a inclinação da linha mostrada.
- Resposta
-
\(-\frac{3}{5}\)
Como encontramos a inclinação das linhas horizontais e verticais? Para encontrar a inclinação da linha horizontal\(y=4\), podemos representar graficamente a linha, encontrar dois pontos nela e contar a subida e a corrida. Vamos ver o que acontece quando fazemos isso, conforme mostrado no gráfico abaixo.
\( \begin{array} {ll} {\text{What is the rise?}} &{\text{The rise is }0.} \\ {\text{What is the run?}} &{\text{The run is }3.} \\ {\text{What is the slope?}} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {} &{m=\frac{0}{3}} \\ {} &{m=0} \\{}&{\text{The slope of the horizontal line } y=4 \text{ is }0.} \\ \end{array} \nonumber\)
Vamos considerar também uma linha vertical, a linha\(x=3\), conforme mostrado no gráfico.
\( \begin{array} {ll} {\text{What is the rise?}} &{\text{The rise is }0.} \\ {\text{What is the run?}} &{\text{The run is }3.} \\ {\text{What is the slope?}} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {} &{m=\frac{2}{0}} \\ \end{array} \nonumber\)
A inclinação é indefinida, pois a divisão por zero é indefinida. Então, dizemos que a inclinação da linha vertical\(x=3\) é indefinida.
Todas as linhas horizontais têm inclinação 0. Quando as coordenadas y são iguais, o aumento é 0.
A inclinação de qualquer linha vertical é indefinida. Quando as coordenadas x de uma linha são todas iguais, a execução é 0.
A inclinação de uma linha horizontal,\(y=b\), é 0.
A inclinação de uma linha vertical,\(x=a\), é indefinida.
Encontre a inclinação de cada linha: ⓐ\(x=8\) ⓑ \(y=−5\).
- Resposta
-
ⓐ\(x=8\)
Essa é uma linha vertical. Sua inclinação é indefinida.
ⓑ\(y=−5\)
Essa é uma linha horizontal. Tem inclinação 0.
Encontre a inclinação da linha:\(x=−4\).
- Resposta
-
indefinida
Encontre a inclinação da linha:\(y=7\).
- Resposta
-
0
Às vezes, precisaremos encontrar a inclinação de uma linha entre dois pontos quando não temos um gráfico para contar a subida e a corrida. Poderíamos traçar os pontos em papel de grade e, em seguida, contar a subida e a corrida, mas, como veremos, existe uma maneira de encontrar a inclinação sem representar graficamente. Antes de chegarmos a isso, precisamos introduzir alguma notação algébrica.
Vimos que um par ordenado (x, y) (x, y) fornece as coordenadas de um ponto. Mas quando trabalhamos com inclinações, usamos dois pontos. Como o mesmo símbolo (x, y) (x, y) pode ser usado para representar dois pontos diferentes? Os matemáticos usam subscritos para distinguir os pontos.
\( \begin{array} {ll} {(x_1, y_1)} &{\text{read “} x \text{ sub } 1, \space y \text{ sub } 1 \text{”}} \\ {(x_2, y_2)} &{\text{read “} x \text{ sub } 2, \space y \text{ sub } 2 \text{”}} \\ \end{array} \nonumber\)
Usaremos\((x_1,y_1)\) para identificar o primeiro ponto e\((x_2,y_2)\) identificar o segundo ponto.
Se tivéssemos mais de dois pontos, poderíamos usar\((x_3,y_3)\)\((x_4,y_4)\), e assim por diante.
Vamos ver como a subida e a corrida se relacionam com as coordenadas dos dois pontos, dando outra olhada na inclinação da linha entre os pontos\((2,3)\) e\((7,6)\), conforme mostrado neste gráfico.
\( \begin{array} {ll} {\text{Since we have two points, we will use subscript notation.}} &{ \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}} \\ {} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text{On the graph, we counted the rise of 3 and the run of 5.}} &{m=\frac{3}{5}} \\ {\text{Notice that the rise of 3 can be found by subtracting the}} &{} \\ {y\text{-coordinates, 6 and 3, and the run of 5 can be found by}} &{} \\ {\text{subtracting the x-coordinates 7 and 2.}} &{} \\ {\text{We rewrite the rise and run by putting in the coordinates.}} &{m=\frac{6-3}{7-2}} \\ {} &{} \\ {\text{But 6 is } y_2 \text{, the y-coordinate of the second point and 3 is }y_1 \text{, the y-coordinate}} &{} \\ {\text{of the first point. So we can rewrite the slope using subscript notation.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{7-2}} \\ {\text{Also 7 is the x-coordinate of the second point and 2 is the x-coordinate}} &{} \\ {\text{of the first point. So again we rewrite the slope using subscript notation.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \\ \end{array} \nonumber\)
Mostramos que\(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\) é realmente outra versão do\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\). Podemos usar essa fórmula para encontrar a inclinação de uma reta quando temos dois pontos na linha.
A inclinação da linha entre dois pontos\((x_1,y_1)\) e\((x_2,y_2)\) é:
\(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\).
A inclinação é:
\[y\text{ of the second point minus }y\text{ of the first point} \nonumber\]\[\text{over} \nonumber\]\[x\text{ of the second point minus }x\text{ of the first point} \nonumber\]
Use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da linha através dos pontos\((−2,−3)\) and \((-7,4)\).
- Resposta
-
\( \begin{array} {ll} {\text{We’ll call (−2,−3) point #1and (−7,4) point #2.}} &{ \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}} \\ {\text{Use the slope formula.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \\ {\text{Substitute the values.}} &{} \\ {\text{y of the second point minus y of the first point}} &{} \\ {\text{x of the second point minus x of the first point}} &{m=\frac{4-(-3)}{-7-(-2)}} \\{\text{Simplify}}&{m=\frac{7}{-5}} \\ {} &{m=\frac{-7}{5}} \\ \end{array} \nonumber\)
Vamos verificar essa inclinação no gráfico mostrado.
\[m=\frac{\text{rise}}{\text{run}} \nonumber\]\[m=\frac{7}{−5} \nonumber\]\[m=\frac{−7}{5} \nonumber\]
Use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da linha através do par de pontos:\((−3,4)\)\((2,−1)\) e.
- Resposta
-
\(-1\)
Use a fórmula da inclinação para encontrar a inclinação da linha através do par de pontos:\((−2,6)\)\((−3,−4)\) e.
- Resposta
-
10
Representar graficamente uma linha com um ponto e a inclinação
Até agora, neste capítulo, representamos graficamente linhas traçando pontos, usando interceptações e reconhecendo linhas horizontais e verticais.
Também podemos representar graficamente uma linha quando conhecemos um ponto e a inclinação da linha. Começaremos traçando o ponto e depois usaremos a definição de inclinação para desenhar o gráfico da linha.
Faça um gráfico da linha que passa pelo ponto\((1,−1)\) cuja inclinação é\(m=\frac{3}{4}\).
- Resposta
-
Você pode verificar seu trabalho encontrando um terceiro ponto. Como a inclinação é\(m=34\), ela também pode ser escrita como\(m=\frac{−3}{−4}\) (negativo dividido por negativo é positivo!). Volte\((1,−1)\) e conte a ascensão\(−3\), e a corrida,\(−4\).
Faça um gráfico da linha que passa pelo ponto\((2,−2\) com a inclinação\(m=\frac{4}{3}\).
- Resposta
-
Faça um gráfico da linha que passa pelo ponto\((−2,3)\) with the slope \(m=\frac{1}{4}\).
- Resposta
-
- Faça um gráfico do ponto dado.
- Use a fórmula da inclinação\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) para identificar a subida e a corrida.
- Começando no ponto determinado, conte a subida e corra para marcar o segundo ponto.
- Conecte os pontos com uma linha.
Representar graficamente uma linha usando sua inclinação e interceptação
Representamos graficamente equações lineares traçando pontos, usando interceptações, reconhecendo linhas horizontais e verticais e usando um ponto e a inclinação da linha. Depois de vermos como uma equação na forma de inclinação-intercepto e seu gráfico estão relacionados, teremos mais um método que podemos usar para representar graficamente linhas.
Veja a Figura. Vamos dar uma olhada no gráfico da equação\(y=12x+3\) e encontrar sua inclinação e intercepto y.
As linhas vermelhas no gráfico nos mostram que o aumento é 1 e a corrida é 2. Substituindo na fórmula da inclinação:
\[m=\frac{\text{rise}}{\text{run}} \nonumber\]\[m=\frac{1}{2} \nonumber\]
O intercepto y é\((0,3)\).
Veja a equação dessa linha.
Observe a inclinação e a interceptação y.
Quando uma equação linear é resolvida para y, o coeficiente do termo x é a inclinação e o termo constante é a coordenada y do intercepto y. Dizemos que a equação\(y=12x+3\) está na forma de inclinação-intercepto. Às vezes, a forma inclinação-intercepto é chamada de “forma y”.
A forma inclinação-interceptação de uma equação de uma reta com inclinação m e intercepto y,\((0,b)\) é\(y=mx+b\).
Vamos praticar a determinação dos valores da inclinação e do intercepto y a partir da equação de uma reta.
Identifique a inclinação e a interceptação y da linha a partir da equação:
ⓐ\(y=−\frac{4}{7}x−2\) ⓑ\(x+3y=9\)
- Resposta
-
ⓐ Comparamos nossa equação com a forma inclinada-interceptação da equação.
Escreva a forma inclinação-interceptação da equação da reta. 
Escreva a equação da linha. 
Identifique a inclinação. 
Identifique o intercepto y. 
ⓑ Quando uma equação de uma reta não é dada na forma de inclinação e interceptação, nosso primeiro passo será resolver a equação para y.
Resolva para y. x+3y=9x+3y=9 Subtraia x de cada lado. 
Divida os dois lados por 3. 
Simplifique. 
Escreva a forma inclinação-interceptação da equação da reta. 
Escreva a equação da linha. 
Identifique a inclinação. 
Identifique o intercepto y. 
Identifique a inclinação e o intercepto y a partir da equação da reta.
ⓐ\(y=\frac{2}{5}x−1\) ⓑ\(x+4y=8\)
- Resposta
-
ⓐ\(m=\frac{2}{5}\);\((0,−1)\)
ⓑ\(m=−\frac{1}{4}\);\((0,2)\)
Identifique a inclinação e o intercepto y a partir da equação da reta.
ⓐ\(y=−\frac{4}{3} x+1\) ⓑ\(3x+2y=12\)
- Resposta
-
ⓐ\(m=−\frac{4}{3}\);\((0,1)\)
ⓑ\(m=−\frac{3}{2}\);\((0,6)\)
Representamos graficamente uma linha usando a inclinação e um ponto. Agora que sabemos como encontrar a inclinação e a interceptação y de uma reta a partir de sua equação, podemos usar o intercepto y como ponto e, em seguida, contar a inclinação a partir daí.
Faça um gráfico da linha da equação\(y=−x+4\) using its slope and y -intercept.
- Resposta
-
\(y=mx+b\) A equação está na forma de inclinação-interceptação. \(y=−x+4\) Identifique a inclinação e o intercepto y. \(m=−1\)
y -intercept é\((0,4)\)Faça um gráfico do intercepto y. Veja o gráfico. Identifique o aumento ao longo da corrida. \(m=−11\) Conte a subida e a corrida para marcar o segundo ponto. levante-se\(-1\), corra\(1\)
Desenhe a linha conforme mostrado no gráfico.
Faça um gráfico da linha da equação\(y=−x−3\) usando sua inclinação e intercepto y.
- Resposta
-
Faça um gráfico da linha da equação\(y=−x−1\) usando sua inclinação e intercepto y.
- Resposta
-
Agora que representamos graficamente as linhas usando a inclinação e o intercepto y, vamos resumir todos os métodos que usamos para representar graficamente as linhas.
Escolha o método mais conveniente para representar graficamente uma linha
Agora que vimos vários métodos que podemos usar para representar graficamente linhas, como sabemos qual método usar para uma determinada equação?
Embora possamos traçar pontos, usar a forma inclinação-interceptação ou encontrar os interceptos para qualquer equação, se reconhecermos a maneira mais conveniente de representar graficamente um determinado tipo de equação, nosso trabalho será mais fácil.
Geralmente, traçar pontos não é a forma mais eficiente de representar graficamente uma linha. Vamos procurar alguns padrões para ajudar a determinar o método mais conveniente para representar graficamente uma linha.
Aqui estão cinco equações que representamos graficamente neste capítulo e o método que usamos para representar graficamente cada uma delas.
\[ \begin{array} {lll} {} &{\textbf{Equation}} &{\textbf{Method}} \\ {\text{#1}} &{x=2} &{\text{Vertical line}} \\ {\text{#2}} &{y=−1} &{\text{Horizontal line}} \\ {\text{#3}} &{−x+2y=6} &{\text{Intercepts}} \\ {\text{#4}} &{4x−3y=12} &{\text{Intercepts}} \\ {\text{#5}} &{y=−x+4} &{\text{Slope–intercept}} \\ \end{array} \nonumber\]
Cada uma das equações #1 e #2 tem apenas uma variável. Lembre-se de que, em equações dessa forma, o valor dessa variável é constante; não depende do valor da outra variável. Equações dessa forma têm gráficos que são linhas verticais ou horizontais.
Nas equações #3 e #4, x e y estão do mesmo lado da equação. Essas duas equações são da forma Ax+By=C.Ax+By=C. Substituímos y=0y=0 para encontrar o intercepto x e x=0x=0 para encontrar o intercepto y, e então encontramos um terceiro ponto escolhendo outro valor para x ou y.
A equação #5 é escrita na forma inclinação-interceptação. Depois de identificar a inclinação e o intercepto y da equação, nós os usamos para representar graficamente a linha.
Isso leva à seguinte estratégia.
Considere a forma da equação.
- Se tiver apenas uma variável, é uma linha vertical ou horizontal.
- \(x=a\)é uma linha vertical que passa pelo eixo x em a.
- \(y=b\)é uma linha horizontal que passa pelo eixo y em b.
- Se y estiver isolado em um lado da equação, na forma\(y=mx+b\), faça um gráfico usando a inclinação e o intercepto y.
- Identifique a inclinação e a interceptação y e, em seguida, faça um gráfico.
- Se a equação for da forma\(Ax+By=C\), encontre as interceptações.
- Encontre as interceptações x e y, um terceiro ponto e, em seguida, faça um gráfico.
Determine o método mais conveniente para representar graficamente cada linha:
ⓐ\(y=5\) ⓑ\(4x−5y=20\) ⓒ\(x=−3\) ⓓ\(y=−\frac{5}{9}x+8\)
- Resposta
-
ⓐ\(y=5\)
Essa equação tem apenas uma variável, y. Seu gráfico é uma linha horizontal cruzando o eixo y em\(5\).
ⓑ\(4x−5y=20\)
Essa equação é da forma\(Ax+By=C\). A maneira mais fácil de representar graficamente isso será encontrar as interceptações e mais um ponto.
ⓒ\(x=−3\)
Há apenas uma variável, x. O gráfico é uma linha vertical cruzando o eixo x em\(−3\).
ⓓ\(y=−\frac{5}{9}x+8\)
Como essa equação está em\(y=mx+b\) forma, será mais fácil representar graficamente essa linha usando a inclinação e os interceptos y.
Determine o método mais conveniente para representar graficamente cada linha:
ⓐ\(3x+2y=12\) ⓑ\(y=4\) ⓒ\(y=\frac{1}{5}x−4\) ⓓ\(x=−7\).
- Resposta
-
ⓐ intercepta ⓑ linha horizontal ⓒ inclinação-interceptação ⓓ linha vertical
Determine o método mais conveniente para representar graficamente cada linha:
ⓐ\(x=6\) ⓑ\(y=−\frac{3}{4}x+1\) ⓒ\(y=−8\) ⓓ\(4x−3y=−1\).
- Resposta
-
ⓐ linha vertical ⓑ interceptação de inclinação ⓒ linha horizontal
ⓓ intercepta
Aplicações gráficas e de interpretação do Slope-Intercept
Muitas aplicações do mundo real são modeladas por equações lineares. Vamos dar uma olhada em alguns aplicativos aqui para que você possa ver como as equações escritas na forma de interceptação de inclinação se relacionam com situações do mundo real.
Normalmente, quando um modelo de equação linear usa dados do mundo real, letras diferentes são usadas para as variáveis, em vez de usar somente x e y. Os nomes das variáveis nos lembram de quais quantidades estão sendo medidas.
Além disso, muitas vezes precisaremos estender os eixos em nosso sistema de coordenadas retangulares para números positivos e negativos maiores para acomodar os dados no aplicativo.
A equação\(F=\frac{9}{5}C+32\) é usada para converter temperaturas, C, na escala Celsius em temperaturas, F, na escala Fahrenheit.
ⓐ Encontre a temperatura em Fahrenheit para uma temperatura Celsius de 0.
ⓑ Encontre a temperatura em Fahrenheit para uma temperatura Celsius de 20.
ⓒ Interprete a inclinação e a interceptação F da equação.
ⓓ Faça um gráfico da equação.
- Resposta
-
ⓐ
\( \begin{array} {ll} {\text{Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 0.}} &{F=\frac{9}{5}C+32} \\ {\text{Find F when C=0.}} &{F=\frac{9}{5}(0)+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=32} \\ \end{array} \nonumber\)
ⓑ
\( \begin{array} {ll} {\text{Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 20.}} &{F=\frac{9}{5}C+32} \\ {\text{Find F when C=20.}} &{F=\frac{9}{5}(20)+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=36+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=68} \\ \end{array} \nonumber\)
ⓒ
Interprete a inclinação e a interceptação F da equação.
Embora essa equação use F e C, ela ainda está na forma de interceptação de inclinação.
A inclinação,\(\frac{9}{5}\), significa que a temperatura Fahrenheit (F) aumenta 9 graus quando a temperatura Celsius (C) aumenta 5 graus.
O intercepto F significa que quando a temperatura está\(0°\) na escala Celsius, ela está\(32°\) na escala Fahrenheit.
ⓓ Faça um gráfico da equação.
Precisaremos usar uma escala maior do que a habitual. Comece no intercepto F e\((0,32)\), em seguida, conte o aumento de 9 e a sequência de 5 para obter um segundo ponto, conforme mostrado no gráfico.
A equação\(h=2s+50\) is used to estimate a woman’s height in inches, h, com base no tamanho do sapato dela, s.
ⓐ Estime a altura de uma criança que usa sapatos femininos tamanho 0.
ⓑ Estime a altura de uma mulher com sapato tamanho 8.
ⓒ Interprete a inclinação e a interceptação h da equação.
ⓓ Faça um gráfico da equação.
- Resposta
-
ⓐ 50 polegadas
ⓑ 66 polegadas
ⓒ A inclinação, 2, significa que a altura, h, aumenta em 2 polegadas quando o tamanho do sapato, s, aumenta em 1. O intercepto h significa que quando o tamanho do sapato é 0, a altura é 50 polegadas.
ⓓ
A equação\(T=\frac{1}{4}n+40\) is used to estimate the temperature in degrees Fahrenheit, T, baseada no número de chilros de críquete, n, em um minuto.
ⓐ Estime a temperatura quando não houver chilros.
ⓑ Estime a temperatura quando o número de chilros em um minuto for 100.
ⓒ Interprete a inclinação e a interceptação T da equação.
ⓓ Faça um gráfico da equação.
- Resposta
-
ⓐ 40 graus
ⓑ 65 graus
ⓒ A inclinação,\(\frac{1}{4}\), significa que a temperatura Fahrenheit (F) aumenta 1 grau quando o número de chilros, n, aumenta em 4. O intercepto T significa que quando o número de chilros é 0, a temperatura é de 40°.
ⓓ
O custo de administrar alguns tipos de negócios tem dois componentes: um custo fixo e um custo variável. O custo fixo é sempre o mesmo, independentemente de quantas unidades são produzidas. Esse é o custo do aluguel, seguro, equipamento, publicidade e outros itens que devem ser pagos regularmente. O custo variável depende do número de unidades produzidas. É para o material e a mão de obra necessários para produzir cada item.
Sam dirige uma van de entrega. A equação\(C=0.5m+60\) modela a relação entre seu custo semanal, C, em dólares e o número de milhas, m, que ele dirige.
ⓐ Descubra o custo de Sam por uma semana quando ele dirige 0 milhas.
ⓑ Encontre o custo de uma semana quando ele dirige 250 milhas.
ⓒ Interprete a inclinação e a interceptação C da equação.
ⓓ Faça um gráfico da equação.
- Resposta
-
ⓐ
\( \begin{array} {ll} {\text{Find Sam’s cost for a week when he drives 0 miles.}} &{C=0.5m+60} \\ {\text{Find C when m=0.}} &{C=0.5(0)+60} \\ {\text{Simplify.}} &{C=60} \\ {} &{\text{Sam’s costs are }$\text{60 when he drives 0 miles.}} \\ \end{array} \nonumber \)
ⓑ
\( \begin{array} {ll} {\text{Find Sam’s cost for a week when he drives 250 miles.}} &{C=0.5m+60} \\ {\text{Find C when m=250.}} &{C=0.5(250)+60} \\ {\text{Simplify.}} &{C=185} \\ {} &{\text{Sam’s costs are }$\text{185 when he drives 250 miles.}} \\ \end{array} \nonumber \)
ⓒ Interprete a inclinação e a interceptação C da equação.
A inclinação, 0,5, significa que o custo semanal, C, aumenta em $0,50 quando o número de milhas percorridas, n, aumenta em 1.
O intercepto C significa que quando o número de milhas percorridas é 0, o custo semanal é de $60.
ⓓ Faça um gráfico da equação.
Precisaremos usar uma escala maior do que a habitual. Comece na interceptação \((0,60)\)C.Para calcular a inclinação\(m= 0.5\), nós a reescrevemos como uma fração equivalente que facilitará nossa representação gráfica.
\( \begin{array} {ll} {} &{m=0.5} \\ {\text{Rewrite as a fraction.}} &{m=\frac{0.5}{1}} \\ {\text{Multiply numerator and}} &{} \\ {\text{denominator by 100}} &{m=\frac{0.5(100)}{1(100)}} \\ {\text{Simplify.}} &{m=\frac{50}{100}} \\ \end{array} \nonumber \)
Então, para representar graficamente o próximo ponto, suba 50 da interceptação de 60 e depois para a direita 100. O segundo ponto será\((100, 110)\).
Stella tem um negócio doméstico que vende pizzas gourmet. A equação\(C=4p+25\) modela a relação entre seu custo semanal, C, em dólares e o número de pizzas, p, que ela vende.
ⓐ Descubra o custo de Stella por uma semana quando ela não vende pizzas.
ⓑ Descubra o custo de uma semana quando ela vender 15 pizzas.
ⓒ Interprete a inclinação e a interceptação C da equação.
ⓓ Faça um gráfico da equação.
- Resposta
-
ⓐ $25
ⓑ $85
ⓒ A inclinação, 4, significa que o custo semanal, C, aumenta em $4 quando o número de pizzas vendidas, p, aumenta em 1. O intercepto C significa que quando o número de pizzas vendidas é 0, o custo semanal é de $25.
ⓓ
Loreen tem um negócio de caligrafia. A equação\(C=1.8n+35\) modela a relação entre seu custo semanal, C, em dólares e o número de convites de casamento, n, que ela escreve.
ⓐ Descubra o custo de Loreen por uma semana quando ela não escreve convites.
ⓑ Descubra o custo de uma semana quando ela escreve 75 convites.
ⓒ Interprete a inclinação e a interceptação C da equação.
ⓓ Faça um gráfico da equação.
- Resposta
-
ⓐ $35
ⓑ $170
ⓒ A inclinação,\(1.8\), significa que o custo semanal, C, aumenta\($1.80\) quando o número de convites, n, aumenta em 1.
O intercepto C significa que quando o número de convites é 0, o custo semanal é de $35.
ⓓ
Use inclinações para identificar linhas paralelas e perpendiculares
Duas retas que têm a mesma inclinação são chamadas de linhas paralelas. As linhas paralelas têm a mesma inclinação e nunca se cruzam.
Dizemos isso de forma mais formal em termos do sistema de coordenadas retangulares. Duas retas que têm a mesma inclinação e diferentes interceptações y são chamadas de linhas paralelas. Veja a Figura.
Verifique se as duas linhas têm a mesma inclinação e diferentes interceptações y.\(m=\frac{2}{5}\)
E quanto às linhas verticais? A inclinação de uma linha vertical é indefinida, então as linhas verticais não se encaixam na definição acima. Dizemos que as linhas verticais que têm diferentes interceptações x são paralelas, como as linhas mostradas neste gráfico.
Linhas paralelas são linhas no mesmo plano que não se cruzam.
- As linhas paralelas têm a mesma inclinação e diferentes interceptações y.
- Se m1m1 e m2m2 são as inclinações de duas linhas paralelas, então m1=m2.m1=m2.
- Linhas verticais paralelas têm diferentes interceptações x
Como as retas paralelas têm a mesma inclinação e diferentes interceptações y, agora podemos simplesmente observar a forma inclinada-interceptação das equações das retas e decidir se as retas são paralelas.
Use inclinações e interceptações y para determinar se as linhas são paralelas:
ⓐ\(3x−2y=6\)\(y=2x−3\) e\(y=\frac{3}{2}x+1\) ⓑ\(−6x+3y=−9\) e.
- Resposta
-
ⓐ
\( \begin{array} {llll} {} &{3x−2y=6} &{\text{and}} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {} &{−2y=−3x+6} &{} &{} \\ {\text{Solve the first equation for y.}} &{\frac{-2y}{-2}=\frac{-3x+6}{-2}} &{} &{} \\ {\text{The equation is now in slope–intercept form.}} &{y=\frac{3}{2}x−3} &{} &{} \\ {\text{The equation of the second line is already}} &{} &{} &{} \\ {\text{in slope–intercept form.}} &{} &{} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {} &{} &{} &{} \\ {} &{y=\frac{3}{2}x−3} &{} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {Identify the slope andy-intercept of both lines.} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} \\ {} &{m=\frac{3}{2}} &{} &{y=\frac{3}{2}} \\ {} &{\text{y-intercept is }(0,−3)} &{} &{\text{y-intercept is }(0,1)} \\ \end{array} \nonumber\)
As linhas têm a mesma inclinação e diferentes interceptações y e, portanto, são paralelas.
Talvez você queira representar graficamente as linhas para confirmar se elas são paralelas.
ⓑ
\( \begin{array} {llll} {} &{y=2x−3} &{\text{and}} &{−6x+3y=−9} \\ {\text{The first equation is already in slope–intercept form.}} &{y=2x−3} &{} &{} \\ {} &{} &{} &{−6x+3y=−9} \\ {} &{} &{} &{3y=6x−9} \\ {\text{Solve the second equation for y.}} &{} &{} &{\frac{3y}{3}=\frac{6x−9}{3}} \\ {} &{} &{} &{y=2x−3} \\ {\text{The second equation is now in slope–intercept form.}} &{} &{} &{y=2x−3} \\ {} &{} &{} &{} \\ {} &{y=2x−3} &{} &{y=2x−3} \\ {\text{Identify the slope andy-intercept of both lines.}} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} \\ {} &{m=2} &{} &{m=2} \\ {} &{\text{y-intercept is }(0,−3)} &{} &{\text{y-intercept is }(0,-3)} \\ \end{array} \nonumber\)
As linhas têm a mesma inclinação, mas também têm as mesmas interceptações y. Suas equações representam a mesma linha e dizemos que as linhas são coincidentes. Eles não são paralelos; eles são a mesma linha.
Use inclinações e interceptações em y para determinar se as linhas são paralelas:
ⓐ\(2x+5y=5\)\(y=−\frac{1}{2}x−1\) e\(y=−\frac{2}{5}x−4\) ⓑ\(x+2y=−2\) e.
- Resposta
-
ⓐ paralelo ⓑ não paralelo; mesma linha
Use inclinações e interceptações em y para determinar se as linhas são paralelas:
ⓐ\(4x−3y=6\)\(y=\frac{3}{4}x−3\) e\(y=\frac{4}{3}x−1\) ⓑ\(3x−4y=12\) e.
- Resposta
-
ⓐ paralelo ⓑ não paralelo; mesma linha
Use inclinações e interceptações em y para determinar se as linhas são paralelas:
ⓐ\(y=−4\)\(x=−2\) e\(y=3\) ⓑ\(x=−5\) e.
- Resposta
-
ⓐ\(y=−4\) e\(y=3\)
Reconhecemos imediatamente pelas equações que essas são linhas horizontais e, portanto, sabemos que suas inclinações são ambas 0.
Como as linhas horizontais cruzam o eixo y em y=−4y=−4 e em y=3, y=3, sabemos que os interceptos y são (0, −4) (0, −4) e (0,3). (0,3).
As linhas têm a mesma inclinação e diferentes interceptações y e, portanto, são paralelas.ⓑ\(x=−2\) e\(x=−5\)
Reconhecemos imediatamente pelas equações que essas são linhas verticais e, portanto, sabemos que suas inclinações são indefinidas.
Como as linhas verticais cruzam o eixo x em\(x=−2\) e\(x=−5\), sabemos que as interceptações y são\((−2,0)\)\((−5,0)\) e.
As linhas são verticais e têm diferentes interceptações x e, portanto, são paralelas.
Use inclinações e interceptações em y para determinar se as linhas são paralelas:
ⓐ\(y=8\)\(x=1\) e\(y=−6\) ⓑ\(x=−5\) e.
- Resposta
-
ⓐ paralelo ⓑ paralelo
Use inclinações e interceptações em y para determinar se as linhas são paralelas:
ⓐ\(y=1\)\(x=8\) e\(y=−5\) ⓑ\(x=−6\) e.
- Resposta
-
ⓐ paralelo ⓑ paralelo
Vejamos as linhas cujas equações são\(y=\frac{1}{4}x−1\) e\(y=−4x+2\), mostradas na Figura.
Essas linhas estão no mesmo plano e se cruzam em ângulos retos. Chamamos essas linhas de perpendiculares.
Se observarmos a inclinação da primeira linha e a inclinação da segunda linha\(m_2=−4\), podemos ver que eles são recíprocos negativos um do outro.\(m_1=\frac{1}{4}\) Se os multiplicarmos, o produto deles é\(−1\).
\[\begin{array} {l} {m_1·m_2} \\ {14(−4)} \\ {−1} \\ \end{array} \nonumber\]
Isso sempre é verdade para linhas perpendiculares e nos leva a essa definição.
As linhas perpendiculares são linhas no mesmo plano que formam um ângulo reto.
- Se\(m_1\) e\(m_2\) são as inclinações de duas linhas perpendiculares, então:
- suas inclinações são recíprocas negativas uma da outra,\(m_1=−\frac{1}{m_2}\).
- o produto de suas inclinações é\(−1\),\(m_1·m_2=−1\).
- Uma linha vertical e uma linha horizontal são sempre perpendiculares uma à outra
Conseguimos observar a forma inclinada-interceptação das equações lineares e determinar se as retas eram paralelas ou não. Podemos fazer a mesma coisa com linhas perpendiculares.
Encontramos a forma inclinação-interceptação da equação e, em seguida, vemos se as inclinações são recíprocas opostas. Se o produto das inclinações for\(−1\), as linhas são perpendiculares.
Use inclinações para determinar se as linhas são perpendiculares:
ⓐ\(y=−5x−4\) e\(x−5y=5\) ⓑ\(7x+2y=3\) e\(2x+7y=5\)
- Resposta
-
ⓐ
A primeira equação está na forma inclinada-intercepta.Resolva a segunda equação para.Identifique a inclinação de cada linha.Y=−5x−4YYM1=−5x−4=mx+b=−5X−5Y−5Y−5Y−5Y=5=−x+5=−x+5−5=15x−1YM2=15x−1=mx+1=mx+5−5=15x−1=mx+1YM2=Mx−1=mx+5−5=15x−1=mx+5−5=15x−1=mx+b=15A primeira equação está na forma inclinação-intercepto.Y=−5x−4Resolva a segunda equação para.x−5y=5−5y=−x+5y−5y−5=−x+5 −5Y=15x−1Identifique a inclinação de cada linha.y=−5x−4y=mx+bm1=−5y=15x−1y=mx+bm2=15
As inclinações são recíprocas negativas uma da outra, então as retas são perpendiculares. Verificamos multiplicando as inclinações, já que −5 (15) =−1, −5 (15) =−1, ele verifica.
ⓑ
Resolva as equações para.Identifique a inclinação de cada linha.7x+2Y2Y2Y2Y=3=−7x+3=−7x+32=−72x+32ym1=mx+b=−722x+7Y7Y7Y7Y7Y=5=−2x+57=−27x+57ym1=mx+b=−2x+57ym1=mx+b=−2x+57ym1=mx+b=−2x+57ym1=mx+b=−2x+57ym1=mx+b=−2x+57ym1=Resolva as equações para.7x+2Y=32Y=−7x+32Y2=−7x+32Y=−72x+322x+7Y=57Y=−2x+57Y7=−2x+57Y=−27x+57Y=−27x+57Identifique a inclinação de cada linha.y=mx+bm1=−72y=mx+bm1=−27
As inclinações são recíprocas umas das outras, mas têm o mesmo sinal. Como não são recíprocos negativos, as linhas não são perpendiculares.
Use inclinações para determinar se as linhas são perpendiculares:
ⓐ\(y=−3x+2\)\(5x+4y=1\) e\(x−3y=4\) ⓑ\(4x+5y=3\) e.
- Resposta
-
ⓐ perpendicular ⓑ não perpendicular
Use inclinações para determinar se as linhas são perpendiculares:
ⓐ\(y=2x−5\)\(2x−9y=3\) e\(x+2y=−6\) ⓑ\(9x−2y=1\) e.
- Resposta
-
ⓐ perpendicular ⓑ não perpendicular
Conceitos-chave
- Inclinação de uma linha
- A inclinação de uma linha é\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
- O aumento mede a mudança vertical e a corrida mede a mudança horizontal.
- Como encontrar a inclinação de uma linha a partir de seu gráfico usando\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
- Localize dois pontos na linha cujas coordenadas são números inteiros.
- Começando com um ponto, desenhe um triângulo reto, indo do primeiro ponto ao segundo ponto.
- Conte a subida e a corrida nas pernas do triângulo.
- Pegue a proporção entre subida e corrida para encontrar a inclinação:\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\).
- Inclinação de uma linha entre dois pontos.
- A inclinação da linha entre dois pontos\((x_1,y_1)\) e\((x_2,y_2)\) é:
\[m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} \nonumber\].
- A inclinação da linha entre dois pontos\((x_1,y_1)\) e\((x_2,y_2)\) é:
- Como representar graficamente uma linha com um ponto e a inclinação.
- Faça um gráfico do ponto dado.
- Use a fórmula da inclinação\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) para identificar a subida e a corrida.
- Começando no ponto determinado, conte a subida e corra para marcar o segundo ponto.
- Conecte os pontos com uma linha.
- Forma de interceptação de inclinação de uma equação de uma reta
- A forma inclinação-interceptação de uma equação de uma reta com inclinação m e intercepto y,\((0,b)\) é\(y=mx+b\)
- Linhas paralelas
- Linhas paralelas são linhas no mesmo plano que não se cruzam.
As linhas paralelas têm a mesma inclinação e diferentes interceptações y.
Se\(m_1\) e\(m_2\) são as inclinações de duas linhas paralelas, então\(m_1=m_2\).
Linhas verticais paralelas têm diferentes interceptações x.
- Linhas paralelas são linhas no mesmo plano que não se cruzam.
- Linhas perpendiculares
- As linhas perpendiculares são linhas no mesmo plano que formam um ângulo reto.
- Se\(m_1\) e\(m_2\) são as inclinações de duas retas perpendiculares, então:
suas inclinações são recíprocas negativas uma da outra,\(m_1=−\frac{1}{m_2}\).
o produto de suas inclinações é\(−1\),\(m_1·m_2=−1\). - Uma linha vertical e uma linha horizontal estão sempre perpendiculares uma à outra.
Glossário
- linhas paralelas
- Linhas paralelas são linhas no mesmo plano que não se cruzam.
- linhas perpendiculares
- As linhas perpendiculares são linhas no mesmo plano que formam um ângulo reto.