10.9 : Travail et puissance pour le mouvement de rotation
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- Utilisez le théorème travail-énergie pour analyser la rotation afin de déterminer le travail effectué sur un système lorsqu'il est pivoté autour d'un axe fixe pour un déplacement angulaire fini
- Déterminer la vitesse angulaire d'un corps rigide en rotation à l'aide du théorème de l'énergie de travail
- Déterminez la puissance fournie à un corps rigide rotatif en fonction du couple appliqué et de la vitesse angulaire
- Résumez les variables rotationnelles et les équations et associez-les à leurs homologues translationnels
Jusqu'à présent, dans cette section, nous avons longuement abordé la cinématique et la dynamique de la rotation de corps rigides autour d'un axe fixe. Dans cette dernière sous-section, nous définissons le travail et la puissance dans le contexte de la rotation autour d'un axe fixe, qui a des applications à la fois en physique et en ingénierie. La discussion sur le travail et la puissance rend notre traitement du mouvement de rotation presque complet, à l'exception du mouvement de roulement et du moment cinétique, qui sont abordés dans Momentum angulaire. Nous commençons cette sous-section par un traitement du théorème travail-énergie pour la rotation.
Travaillez pour le mouvement de rotation
Maintenant que nous avons déterminé comment calculer l'énergie cinétique pour la rotation de corps rigides, nous pouvons passer à une discussion sur le travail effectué sur un corps rigide tournant autour d'un axe fixe. La figure\(\PageIndex{1}\) montre un corps rigide qui a pivoté d'un angle d\(\theta\) de A à B sous l'influence d'une force\(\vec{F}\). La force externe\(\vec{F}\) est appliquée au point P, dont la position est\(\vec{r}\), et le corps rigide est contraint de tourner autour d'un axe fixe perpendiculaire à la page et passant par O. L'axe de rotation est fixe, de sorte que le vecteur\(\vec{r}\) se déplace dans un cercle de rayon r, et le vecteur d \(\vec{s}\)est perpendiculaire à\(\vec{r}\).
Nous avons
\[\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp\]
Ainsi,
\[d \vec{s} = d (\vec{\theta} \times \vec{r}) = d \vec{\theta} \times \vec{r} + d \vec{r} \times \vec{\theta} = d \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp\]
Notez que d\(\vec{r}\) est nul car il\(\vec{r}\) est fixé sur le corps rigide de l'origine O au point P. En utilisant la définition du travail, nous obtenons
\[W = \int \sum \vec{F}\; \cdotp d \vec{s} = \int \sum \vec{F}\; \cdotp (d \vec{\theta} \times \vec{r}) = \int d \vec{\theta}\; \cdotp (\vec{r} \times \sum \vec{F})\]
où nous avons utilisé l'identité\(\vec{a}\; \cdotp (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b}\; \cdotp (\vec{c} \times \vec{a})\). Constatant cela\((\vec{r} \times \sum \vec{F}) = \sum \vec{\tau}\), nous arrivons à l'expression désignant le travail de rotation effectué sur un corps rigide :
\[W = \int \sum \vec{\tau}\; \cdotp d \vec{\theta} \ldotp \label{10.27}\]
Le travail total effectué sur un corps rigide est la somme des couples intégrés sur l'angle de rotation du corps. Le travail supplémentaire est
\[dW = \left(\sum_{i} \tau_{i}\right) d \theta \label{10.28}\]
où nous avons pris le produit scalaire dans l'équation \ ref {10.27}, ne laissant que les couples le long de l'axe de rotation. Dans un corps rigide, toutes les particules tournent selon le même angle ; ainsi, le travail de chaque force externe est égal au couple multiplié par l'angle incrémental commun\(\theta\) d. La quantité\(\left(\sum_{i} \tau_{i}\right)\) est le couple net sur le corps dû à des forces externes.
De même, nous avons trouvé l'énergie cinétique d'un corps rigide tournant autour d'un axe fixe en additionnant l'énergie cinétique de chaque particule qui constitue le corps rigide. Puisque le théorème de l'énergie de travail W i =\(\Delta\) K i est valide pour chaque particule, il l'est pour la somme des particules et de l'ensemble du corps.
Le théorème de l'énergie de travail pour un corps rigide tournant autour d'un axe fixe est
\[W_{AB} = K_{B} - K_{A} \label{10.29}\]
où
\[K = \frac{1}{2} I \omega^{2}\]
et le travail de rotation effectué par une force nette faisant tourner un corps d'un point A à un point B est
\[W_{AB} = \int_{\theta_{A}}^{\theta_{B}} \left(\sum_{i} \tau_{i}\right) d \theta \ldotp \label{10.30}\]
Nous donnons une stratégie pour utiliser cette équation lors de l'analyse du mouvement de rotation.
- Identifiez les forces qui s'exercent sur le corps et dessinez un diagramme du corps libre. Calculez le couple pour chaque force.
- Calculez le travail effectué pendant la rotation du corps pour chaque couple.
- Appliquez le théorème travail-énergie en assimilant le travail réseau effectué sur le corps à la variation de l'énergie cinétique de rotation
Examinons deux exemples et utilisons le théorème de l'énergie de travail pour analyser le mouvement de rotation.
Un couple de 12,0 N • m est appliqué à un volant qui tourne autour d'un axe fixe et présente un moment d'inertie de 30,0 kg • m 2. Si le volant est initialement au repos, quelle est sa vitesse angulaire après huit tours de rotation ?
Stratégie
Nous appliquons le théorème travail-énergie. La description du problème nous permet de connaître le couple et le déplacement angulaire du volant. Ensuite, nous pouvons déterminer la vitesse angulaire finale.
Solution
Le volant tourne sur huit tours, soit 16\(\pi\) radians. Le travail effectué par le couple, qui est constant et peut donc sortir de l'intégrale de l'équation \ ref {10.30}, est
\[W_{AB} = \tau (\theta_{B} - \theta_{A}) \ldotp\]
Nous appliquons le théorème travail-énergie :
\[W_{AB} = \tau (\theta_{B} - \theta_{A}) = \frac{1}{2} I \omega_{B}^{2} - \frac{1}{2} I \omega_{A}^{2} \ldotp\]
Avec\(\tau\) = 12,0 N • m,\(\theta_{B} - \theta_{A}\) = 16,0\(\pi\) rad, I = 30,0 kg • m 2 et\(\omega_{A}\) = 0, nous avons
\[(12.0\; N\; \cdotp m)(16.0 \pi\; rad) = \frac{1}{2} (30.0\; kg\; \cdotp m^{2})(\omega_{B}^{2}) - 0 \ldotp\]
Par conséquent,
\[\omega_{B} = 6.3\; rad/s \ldotp\]
Il s'agit de la vitesse angulaire du volant après huit tours.
L'importance
Le théorème de l'énergie de travail fournit un moyen efficace d'analyser le mouvement de rotation, en reliant le couple à l'énergie cinétique de rotation.
Une ficelle enroulée autour de la poulie de la figure\(\PageIndex{2}\) est tirée avec une force constante vers le bas\(\vec{F}\) de magnitude 50 N. Le rayon R et le moment d'inertie I de la poulie sont respectivement de 0,10 m et 2,5 x 10 -3 kg • m 2. Si la corde ne glisse pas, quelle est la vitesse angulaire de la poulie après que 1,0 m de corde se soit déroulé ? Supposons que la poulie part de l'arrêt.
Stratégie
En regardant le diagramme du corps libre, nous voyons que ni\(\vec{B}\) la force sur les roulements de la poulie, ni M\(\vec{g}\), le poids de la poulie, n'exercent de couple autour de l'axe de rotation et ne fonctionnent donc pas sur la poulie. Lorsque la poulie tourne d'un angle\(\theta\), elle\(\vec{F}\) agit sur une distance d telle que d =\(\theta\) R.
Solution
Puisque le couple dû à\(\vec{F}\) a une amplitude\(\tau\) = RF, nous avons
\[W = \tau \theta = (FR) \theta = FD \ldotp\]
Si la force exercée sur la corde agit sur une distance de 1,0 m, nous avons, d'après le théorème de l'énergie de travail,
\[\begin{split} W_{AB} & = K_{B} - K_{A} \\ Fd & = \frac{1}{2} I \omega^{2} - 0 \\ (50.0\; N)(1.0\; m) & = \frac{1}{2} (2.5 \times 10^{-3}\; kg\; \cdotp m^{2}) \omega^{2} \ldotp \end{split}\]
En résolvant pour\(\omega\), nous obtenons
\[\omega = 200.0\; rad/s \ldotp\]
Puissance pour le mouvement de rotation
Le pouvoir revient toujours dans les discussions sur les applications en ingénierie et en physique. La puissance pour un mouvement de rotation est tout aussi importante que la puissance d'un mouvement linéaire et peut être dérivée de la même manière que pour un mouvement linéaire lorsque la force est constante. La puissance linéaire lorsque la force est constante est P =\(\vec{F}\; \cdotp \vec{v}\). Si le couple net est constant sur le déplacement angulaire, l'équation 10.8.4 simplifie et le couple net peut être retiré de l'intégrale. Dans la discussion qui suit, nous supposons que le couple net est constant. Nous pouvons appliquer la définition de la puissance dérivée dans Power au mouvement de rotation. À partir du travail et de l'énergie cinétique, la puissance instantanée (ou simplement la puissance) est définie comme le rythme de travail,
\[P = \frac{dW}{dt} \ldotp\]
Si nous avons un couple net constant, l'équation 10.8.4 devient W =\(\tau \theta\) et la puissance est
\[P = \frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt} (\tau \theta) = \tau \frac{d \theta}{dt}\]
ou
\[P = \tau \omega \ldotp \label{10.31}\]
Un moteur de bateau fonctionnant à 9,0 x 10 4 W tourne à 300 tr/min. Quel est le couple sur l'arbre d'hélice ?
Stratégie
On nous donne le taux de rotation en tr/min et la consommation d'énergie, ce qui nous permet de calculer facilement le couple.
Solution
\[300.0\; rev/min = 31.4\; rad/s;\]
\[\tau = \frac{P}{\omega} = \frac{9.0 \times 10^{4}\; N\; \cdotp m/s}{31.4\; rad/s} = 2864.8\; N\; \cdotp m \ldotp\]
L'importance
Il est important de noter que le radian est une unité sans dimension car sa définition est le rapport de deux longueurs. Il n'apparaît donc pas dans la solution.
Un couple constant de 500 kN • m est appliqué à une éolienne pour la maintenir en rotation à 6 rad/s. Quelle est la puissance requise pour maintenir la turbine en rotation ?
Résumé des relations rotationnelles et translationnelles
Les grandeurs rotationnelles et leur analogue linéaire sont résumés dans trois tableaux. Le tableau 10.5 résume les variables rotationnelles du mouvement circulaire autour d'un axe fixe avec leurs analogues linéaires et l'équation de connexion, à l'exception de l'accélération centripète, qui se tient seule. Le tableau 10.6 résume les équations cinématiques rotationnelles et translationnelles. Le tableau 10.7 résume les équations de dynamique de rotation avec leurs analogues linéaires.
Tableau 10.5 - Variables rotationnelles et translationnelles : résumé
| Rotationnel | Translationnel | Relation |
|---|---|---|
| $$ \ thène$$ | $$x$$ | $$ \ thêta = \ frac {s} {r} $$ |
| $$ \ oméga$$ | $$v_ {f} $$ | $$ \ oméga = \ frac {v_ {t}} {r} $$ |
| $$ \ alpha$$ | $a_ {t} $$ | $$ \ alpha = \ frac {a_ {t}} {r} $$ |
| $a_ {c} $$ | $$a_ {c} = \ frac {v_ {t} ^ {2}} {r} $$ |
Tableau 10.6 - Équations cinématiques rotationnelles et translationnelles : résumé
| Rotationnel | Translationnel |
|---|---|
| $$ \ theta_ {f} = \ théta_ {0} + \ bar {\ oméga} t$$ | $$x = x_ {0} + \ barre {v} t$$ |
| $$ \ omega_ {f} = \ omega_ {0} + \ alpha t$$ | $$v_ {f} = v_ {0} + à$$ |
| $$ \ theta_ {f} = \ theta_ {0} + \ omega_ {0} t + \ frac {1} {2} \ alpha t^ {2} $$ | $x_ {f} = x_ {0} + v_ {0} t + \ frac {1} {2} à^ {2} $$ |
| $$ \ omega_ {f} ^ {2} = \ omega_ {0} ^ {2} + 2 \ alpha (\ Delta \ thêta) $$ | $v_ {f} ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (\ Delta x) $$ |
Tableau 10.7 - Équations rotationnelles et translationnelles : dynamique
| Rotationnel | Translationnel |
|---|---|
| $$I = \ sum_ {i} m_ {i} r_ {i} ^ {2} $$ | $$m$$ |
| $$K = \ frac {1} {2} I \ oméga^ {2} $$ | $K = \ frac {1} {2} mv^ {2} $$ |
| $$ \ sum_ {i} \ tau_ {i} = I \ alpha$$ | $$ \ sum_ {i} \ vec {F} _ {i} = m \ vec {a} $$ |
| $$W_ {AB} = \ int_ {\ theta_ {A}} ^ {\ theta_ {B}} \ gauche (\ sum_ {i} \ tau_ {i} \ droite) d \ théta$$ | $$W = \ int \ vec {F} \ ; \ cdotp d \ vec {s} $$ |
| $$P = \ tau \ oméga$$ | $$P = \ vec {F} \ cdotp \ vec {v} $$ |