10.8 : Deuxième loi de Newton pour la rotation

Objectifs d'apprentissage

• Calculez les couples sur des systèmes rotatifs autour d'un axe fixe pour trouver l'accélération angulaire
• Expliquer comment les variations du moment d'inertie d'un système rotatif affectent l'accélération angulaire avec un couple appliqué fixe

Dans cette sous-section, nous avons rassemblé toutes les informations apprises jusqu'à présent dans ce chapitre pour analyser la dynamique des corps rigides en rotation. Nous avons analysé le mouvement à l'aide de la cinématique et de l'énergie cinétique de rotation, mais nous n'avons pas encore relié ces idées à la force et/ou au couple. Dans cette sous-section, nous introduisons l'équivalent rotationnel de la deuxième loi du mouvement de Newton et l'appliquons à des corps rigides avec une rotation à axe fixe.

Deuxième loi de Newton pour la rotation

Nous avons trouvé jusqu'à présent de nombreux équivalents aux termes de traduction utilisés dans ce texte, plus récemment, couple, l'analogue rotationnel de la force. Cela soulève la question suivante : existe-t-il une équation analogue à la deuxième loi de Newton,\(\sum \vec{F}\) = m\(\vec{a}\), qui implique le couple et le mouvement de rotation ? Pour étudier cela, nous commençons par la deuxième loi de Newton pour une particule unique tournant autour d'un axe et exécutant un mouvement circulaire. Exerçons une force\(\vec{F}\) sur une masse ponctuelle m située à une distance r d'un point pivot (Figure\(\PageIndex{1}\)). La particule est contrainte de se déplacer sur une trajectoire circulaire à rayon fixe et la force est tangente au cercle. Nous appliquons la deuxième loi de Newton pour déterminer l'amplitude de l'accélération a =\(\frac{F}{m}\) dans la direction de\(\vec{F}\). Rappelons que l'amplitude de l'accélération tangentielle est proportionnelle à l'amplitude de l'accélération angulaire par a =\(\alpha\) r. En substituant cette expression à la deuxième loi de Newton, nous obtenons

\[F = mr \alpha \ldotp\]

Figure\(\PageIndex{1}\) : Un objet est soutenu par une table horizontale sans friction et est fixé à un point de pivot par une corde qui fournit une force centripète. Une force\(\vec{F}\) est appliquée à l'objet perpendiculairement au rayon r, ce qui provoque son accélération autour du point de pivot. La force est perpendiculaire à r.

Multipliez les deux côtés de cette équation par r,

\[rF = mr^{2} \alpha \ldotp\]

Notez que le côté gauche de cette équation est le couple autour de l'axe de rotation, où r est le bras de levier et F est la force, perpendiculaire à r. Rappelons que le moment d'inertie pour une particule ponctuelle est I = mr ². Le couple appliqué perpendiculairement à la masse ponctuelle de la figure\(\PageIndex{1}\) est donc

\[\tau = I \alpha \ldotp\]

Le couple sur la particule est égal au moment d'inertie autour de l'axe de rotation multiplié par l'accélération angulaire. Nous pouvons généraliser cette équation à un corps rigide tournant autour d'un axe fixe.

Deuxième loi de Newton pour la rotation

Si plusieurs couples agissent sur un corps rigide autour d'un axe fixe, alors la somme des couples est égale au moment d'inertie multiplié par l'accélération angulaire :

\[\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha \ldotp \label{10.25}\]

Le terme I\(\alpha\) est une quantité scalaire et peut être positif ou négatif (dans le sens antihoraire ou horaire) selon le signe du couple net. Rappelez-vous la convention selon laquelle l'accélération angulaire dans le sens antihoraire est positive. Ainsi, si un corps rigide tourne dans le sens des aiguilles d'une montre et subit un couple positif (dans le sens antihoraire), l'accélération angulaire est positive.

L'équation \ ref {10.25} est la deuxième loi de Newton pour la rotation et nous indique comment relier le couple, le moment d'inertie et la cinématique de rotation. C'est ce qu'on appelle l'équation de la dynamique de rotation. Avec cette équation, nous pouvons résoudre toute une série de problèmes liés à la force et à la rotation. Il est logique que la relation entre la force nécessaire pour faire tourner un corps inclue le moment d'inertie, puisque c'est la quantité qui nous indique à quel point il est facile ou difficile de modifier le mouvement de rotation d'un objet.

Dérivation de la deuxième loi de Newton pour la rotation sous forme vectorielle

Comme précédemment, lorsque nous avons trouvé l'accélération angulaire, nous pouvons également trouver le vecteur de couple. La deuxième loi\(\sum \vec{F}\) = m nous\(\vec{a}\) indique la relation entre la force nette et la manière de modifier le mouvement de translation d'un objet. Nous avons un équivalent rotationnel vectoriel de cette équation, qui peut être trouvé à l'aide de l'équation 10.2.10 et de la figure 10.2.7. L'équation 10.2.10 relie l'accélération angulaire aux vecteurs de position et d'accélération tangentielle :

\[\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} \ldotp\]

Nous formons le produit croisé de cette équation avec\(\vec{r}\) et utilisons une identité de produit croisé (notez que\(\vec{r}\; \cdotp \vec{\alpha}\) = 0) :

\[\vec{r} \times \vec{a} = \vec{r} \times (\vec{\alpha} \times \vec{r}) = \vec{\alpha} (\vec{r}\; \cdotp \vec{r}) - \vec{r} (\vec{r}\; \cdotp \vec{\alpha}) = \vec{\alpha} (\vec{r}\; \cdotp \vec{r}) = \vec{\alpha} r^{2} \ldotp\]

Nous formons maintenant le produit croisé de la deuxième loi de Newton avec le vecteur de position\(\vec{r}\),

\[\sum (\vec{r} \times \vec{F}) = \vec{r} \times (m \vec{a}) = m \vec{r} \times \vec{a} = mr^{2} \vec{\alpha} \ldotp\]

En identifiant le premier terme sur la gauche comme la somme des couples et mr ² comme le moment d'inertie, nous arrivons à la deuxième loi de rotation de Newton sous forme vectorielle :

\[\sum \tau = I \alpha \ldotp \label{10.26}\]

Cette équation est exactement l'équation \ ref {10.25} mais avec le couple et l'accélération angulaire comme vecteurs. Un point important est que le vecteur de couple est dans la même direction que l'accélération angulaire.

Appliquer l'équation de la dynamique de rotation

Avant d'appliquer l'équation de la dynamique de rotation à certaines situations quotidiennes, passons en revue une stratégie générale de résolution de problèmes à utiliser avec cette catégorie de problèmes.

Stratégie de résolution de problèmes : dynamique de rotation

1. Examinez la situation pour déterminer si le couple et la masse sont impliqués dans la rotation. Dessinez soigneusement la situation.
2. Déterminez le système qui vous intéresse.
3. Dessine un diagramme de corps libre. C'est-à-dire, dessinez et étiquetez toutes les forces externes agissant sur le système d'intérêt.
4. Identifiez le point pivot. Si l'objet est en équilibre, il doit être en équilibre pour tous les points de pivot possibles. Choisissez celui qui simplifie le plus votre travail.
5. Appliquez\(\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha\), l'équivalent rotationnel de la deuxième loi de Newton, pour résoudre le problème. Il faut prendre soin d'utiliser le bon moment d'inertie et de prendre en compte le couple autour du point de rotation.
6. Comme toujours, vérifiez la solution pour voir si elle est raisonnable.

Exemple 10.16 : Calcul de l'effet de la distribution de masse sur un manège

Imaginez le père poussant un manège sur un terrain de jeu dans Figure\(\PageIndex{2}\). Il exerce une force de 250 N au bord du manège de 200 kg, qui a un rayon de 1,50 m. Calculez l'accélération angulaire produite (a) lorsque personne n'est sur le manège et (b) lorsqu'un enfant de 18,0 kg est assis à 1,25 m du centre. Considérez le manège lui-même comme un disque uniforme avec une friction négligeable.

Figure\(\PageIndex{2}\) : Un père pousse un manège de terrain de jeu sur son bord et perpendiculairement à son rayon pour obtenir un couple maximal.

Stratégie

Le couple net est donné directement par l'expression\(\sum_{i} \tau_{i} = I \alpha\), Pour le résoudre\(\alpha\), il faut d'abord calculer le couple net\(\tau\) (qui est le même dans les deux cas) et le moment d'inertie I (qui est plus élevé dans le second cas).

Solution

1. Le moment d'inertie d'un disque solide autour de cet axe est donné dans la Figure 10.5.4 comme étant $$ \ frac {1} {2} MR^ {2} \ LDotp$$Nous avons M = 50,0 kg et R = 1,50 m, donc $$I = (0,500) (50,0 \ ; kg) (1,50 \ ; m) ^ {2} = 56,25 \ ; kg \ ; \ cdotp m^ {2} \ LDotp$$Pour trouver le couple net, on remarque que la force appliquée est perpendiculaire au rayon et le frottement sont négligeables, de sorte que $$ \ tau = rF \ sin \ theta = (1,50 \ ; m) (250,0 \ ; N) - 375,0 \ ; N \ ; \ cdotp m \ LDotp$$Maintenant, après avoir substitué les valeurs connues, nous trouvons que l'accélération angulaire est $$ \ alpha = \ frac {\ tau} {I} = \ frac {375.0 \ ; N \ ; \ cdotp m} {56,25 \ ; kg \ ; \ cdotp m^ {2}} = 6,67 \ ; rad/s^ {2} \ ldot$$
2. On s'attend à ce que l'accélération angulaire du système soit moindre dans cette partie car le moment d'inertie est plus important lorsque l'enfant est sur le manège. Pour déterminer le moment d'inertie total I, on trouve d'abord le moment d'inertie I _c de l'enfant en approximant l'enfant sous la forme d'une masse ponctuelle à une distance de 1,25 m de l'axe. Alors $$I_ {c} = MR^ {2} = (18,0 \ ; kg) (1,25 \ ; m) ^ {2} = 28,13 \ ; kg \ ; \ cdotp m^ {2} \ LDotp$$Le moment d'inertie total est la somme des moments d'inertie du manège et de l'enfant (autour du même axe) : $$I = (28,13 \ ; kg \ ; \ cdotp m^ {2}) + (56,25 \ ; kg \ ; \ cdotp m^ {2}) = 84,38 \ ; kg \ ; \ cdotp m^ {2} \ ldotp$$ La substitution de valeurs connues dans l'équation\(\alpha\) donne $$ \ alpha = \ frac {\ tau} {I} = \ frac {375.0 \ ; N \ ; \ cdotp m} {84,38 \ ; kg \ ; \ cdotp m^ {2}} = 4,44 \ ; rad/s \ ldotp$$

L'importance

L'accélération angulaire est plus faible lorsque l'enfant est sur le manège que lorsque le manège est vide, comme prévu. Les accélérations angulaires constatées sont assez importantes, en partie du fait que les frottements étaient considérés comme négligeables. Si, par exemple, le père continuait à pousser perpendiculairement pendant 2 s, il attribuerait au manège une vitesse angulaire de 13,3 rad/s lorsqu'il est vide, mais de seulement 8,89 rad/s lorsque l'enfant est dessus. En termes de tours par seconde, ces vitesses angulaires sont respectivement de 2,12 tr/min et 1,41 tr/min. Le père finirait par courir à une vitesse d'environ 50 km/h dans le premier cas.

Exercice 10.7

Les pales du ventilateur d'un moteur à réaction ont un moment d'inertie de 30,0 kg • m ². En 10 s, ils tournent dans le sens antihoraire depuis l'arrêt jusqu'à une vitesse de rotation de 20 tr/min. (a) Quel couple faut-il appliquer aux pales pour obtenir cette accélération angulaire ? (b) Quel est le couple requis pour immobiliser les pales du ventilateur tournant à 20 tr/min en 20 secondes ?