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10.7 : Torque

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    Objectifs d'apprentissage
    • Décrire comment l'amplitude d'un couple dépend de l'amplitude du bras de levier et de l'angle que le vecteur de force fait avec le bras de levier
    • Déterminez le signe (positif ou négatif) d'un couple à l'aide de la règle de la main droite
    • Calculez les couples individuels autour d'un axe commun et additionnez-les pour obtenir le couple net

    Le couple est une quantité importante pour décrire la dynamique d'un corps rigide en rotation. Nous voyons l'application du couple de nombreuses manières dans notre monde. Nous avons tous une intuition en matière de couple, comme lorsque nous utilisons une grosse clé pour dévisser un boulon tenace. Le couple agit de manière invisible, comme lorsque nous appuyons sur l'accélérateur d'une voiture, ce qui amène le moteur à appliquer un couple supplémentaire à la chaîne cinématique. Ou chaque fois que nous déplaçons notre corps d'une position debout, nous appliquons une force de torsion à nos membres. Dans cette section, nous définissons le couple et présentons un argument en faveur de l'équation permettant de calculer le couple pour un corps rigide avec une rotation à axe fixe.

    Définition du couple

    Jusqu'à présent, nous avons défini de nombreuses variables qui sont des équivalents rotationnels à leurs homologues translationnels. Voyons ce que doit être la contrepartie de la force. Puisque les forces modifient le mouvement de translation des objets, la contrepartie en rotation doit être liée à la modification du mouvement de rotation d'un objet autour d'un axe. C'est ce que nous appelons couple de rotation homologue.

    Dans la vie de tous les jours, nous faisons tourner des objets autour d'un axe en permanence. De manière intuitive, nous en savons déjà beaucoup sur le couple. Pensez, par exemple, à la façon dont nous faisons pivoter une porte pour l'ouvrir. Tout d'abord, nous savons qu'une porte s'ouvre lentement si l'on pousse trop près de ses charnières ; il est plus efficace de faire pivoter une porte pour l'ouvrir si l'on pousse loin des charnières. Deuxièmement, nous savons que nous devons pousser perpendiculairement au plan de la porte ; si nous poussons parallèlement au plan de la porte, nous ne pouvons pas la faire pivoter. Troisièmement, plus la force est importante, plus elle est efficace pour ouvrir la porte ; plus vous poussez fort, plus la porte s'ouvre rapidement. Le premier point implique que plus la force est appliquée loin de l'axe de rotation, plus l'accélération angulaire est importante ; le second implique que l'efficacité dépend de l'angle auquel la force est appliquée ; le troisième implique que l'amplitude de la force doit également faire partie de l'équation. Notez que pour la rotation dans un plan, le couple a deux directions possibles. Le couple est dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens antihoraire par rapport au point de pivot choisi. La figure\(\PageIndex{1}\) montre des rotations dans le sens antihoraire.

    La figure A est un dessin schématique d'une porte avec une force F appliquée à une distance r des charnières à un angle de 90 degrés. La figure B est un schéma d'une porte dont la force est inférieure à F est appliquée à une distance r des charnières à un angle de 90 degrés. La figure C est un dessin schématique d'une porte dont la force est inférieure à F est appliquée à une plus petite distance r des charnières à un angle de 90 degrés. La figure D est un dessin schématique d'une porte lorsque la force F est appliquée à une distance r des charnières sous l'angle theta inférieur à 90 degrés.
    Figure\(\PageIndex{1}\) : Le couple est l'efficacité de rotation ou de torsion d'une force, illustrée ici pour la rotation de la porte sur ses charnières (vue du dessus). Le couple a une amplitude et une direction. (a) Un couple dans le sens antihoraire est produit par une force\(\vec{F}\) agissant à une distance r des charnières (point de pivot). (b) Un couple plus faible dans le sens antihoraire est produit lorsqu'une force plus faible\(\vec{F}′\) agit à la même distance r des charnières. (c) La même force que celle indiquée au point a) produit un couple plus faible dans le sens antihoraire lorsqu'elle est appliquée à une distance plus petite des charnières. (d) Un couple plus faible dans le sens antihoraire est produit par une force de même amplitude que (a) agissant à la même distance\(\theta\) que (a) mais sous un angle inférieur à 90°.

    Voyons maintenant comment définir les couples dans le cas tridimensionnel général.

    Torque

    Lorsqu'une force\(\vec{F}\) est appliquée à un point P dont la position est\(\vec{r}\) relative à O (Figure\(\PageIndex{2}\)), le couple\(\vec{\tau}\) autour de O est

    \[\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \ldotp \label{10.22}\]

    La figure montre un système de coordonnées XYZ. La force F est appliquée dans le plan XY et est parallèle à l'axe X. Le vecteur r se trouve dans le plan XY. Il commence à l'origine de l'origine du système de coordonnées et se termine au début du vecteur F. Le vecteur du couple commence au point d'intersection des vecteurs r et v. Il est perpendiculaire au plan XY et pointe dans la direction Z.

    Figure\(\PageIndex{2}\) : Le couple est perpendiculaire au plan défini par\(\vec{r}\) et\(\vec{F}\) et sa direction est déterminée par la règle de la main droite.

    À partir de la définition du produit croisé, le couple\(\vec{\tau}\) est perpendiculaire au plan contenant\(\vec{r}\)\(\vec{F}\) et a une amplitude

    \[|\vec{\tau}| = |\vec{r} \times \vec{F}| = rF \sin \theta,\]

    où\(\theta\) est l'angle entre les vecteurs\(\vec{r}\) et\(\vec{F}\). L'unité de couple SI est le newton fois le mètre, généralement écrit N • m. La quantité r \(\perp\)= résine\(\theta\) est la distance perpendiculaire entre O et la ligne déterminée par le vecteur\(\vec{F}\) et est appelée bras de levier. Notez que plus le bras de levier est grand, plus l'amplitude du couple est importante. En ce qui concerne le bras de levier, l'amplitude du couple est

    \[|\vec{\tau}| = r_{\perp} F \ldotp \label{10.23}\]

    Le produit croisé nous indique\(\vec{r} \times \vec{F}\) également le signe du couple. Dans la figure\(\PageIndex{2}\), le produit croisé\(\vec{r} \times \vec{F}\) se trouve le long de l'axe Z positif, qui est par convention un couple positif. S'il\(\vec{r} \times \vec{F}\) se trouve le long de l'axe Z négatif, cela produit un couple négatif.

    Si nous considérons un disque libre de tourner autour d'un axe passant par le centre, comme le montre la figure\(\PageIndex{3}\), nous pouvons voir comment l'angle entre le rayon\(\vec{r}\) et la force\(\vec{F}\) affecte l'amplitude du couple. Si l'angle est nul, le couple est nul ; si l'angle est de 90°, le couple est maximal. Le couple sur la figure\(\PageIndex{3}\) est positif car la direction du couple selon la règle de droite est hors de la page le long de l'axe Z positif. Le disque tourne dans le sens antihoraire sous l'effet du couple, dans le même sens qu'une accélération angulaire positive.

    La figure montre un disque qui pivote dans le sens antihoraire autour de son axe passant par le centre.
    Figure\(\PageIndex{3}\) : Un disque peut tourner librement autour de son axe en passant par le centre. L'amplitude du couple sur le disque est RFSin\(\theta\). Lorsque\(\theta\) = 0°, le couple est nul et le disque ne tourne pas. Lorsque\(\theta\) = 90°, le couple est maximal et le disque tourne avec une accélération angulaire maximale.

    N'importe quel nombre de couples peut être calculé autour d'un axe donné. Les couples individuels s'ajoutent pour produire un couple net autour de l'axe. Lorsque le signe approprié (positif ou négatif) est attribué aux amplitudes des couples individuels autour d'un axe spécifié, le couple net autour de l'axe est la somme des couples individuels :

    \[\vec{\tau}_{net} = \sum_{i} |\vec{\tau}_{i}| \ldotp \label{10.24}\]

    Calcul du couple net pour des corps rigides sur un axe fixe

    Dans les exemples suivants, nous calculons le couple à la fois de manière abstraite et tel qu'il est appliqué à un corps rigide. Nous introduisons d'abord une stratégie de résolution de problèmes.

    Stratégie de résolution de problèmes : trouver le couple net
    1. Choisissez un système de coordonnées dont le point de pivot ou l'axe de rotation est l'origine du système de coordonnées sélectionné.
    2. Déterminez l'angle entre le bras de levier\(\vec{r}\) et le vecteur de force.
    3. Prenez le produit croisé de\(\vec{r}\) et\(\vec{F}\) déterminez si le couple est positif ou négatif par rapport au point de pivot ou à l'axe.
    4. Évaluez l'amplitude du couple à l'aide de r \(\perp\)F.
    5. Attribuez le signe approprié, positif ou négatif, à l'amplitude.
    6. Additionnez les couples pour obtenir le couple net.
    Exemple 10.14 : Calcul du couple

    Quatre forces sont représentées sur la figure\(\PageIndex{4}\) à des emplacements et des orientations particuliers par rapport à un système de coordonnées xy donné. Déterminez le couple dû à chaque force autour de l'origine, puis utilisez vos résultats pour déterminer le couple net autour de l'origine.

    La figure montre quatre forces produisant des couples qui sont tracées au niveau du système de coordonnées XY. Les axes X et Y tracent la distance en mètres. Le vecteur de la force qui a une magnitude de 40 N commence au point (4,0), est parallèle à l'axe Y et est dirigé vers la direction positive. Le vecteur de la force qui a une magnitude de 20 N commence au point (0, -3), est parallèle à l'axe X et est dirigé vers la direction négative. Un autre vecteur de la force d'une magnitude de 20 N commence à (0,1) point et est dirigé vers la partie supérieure gauche du graphique en formant un angle de 60 degrés avec l'axe X. Le vecteur de la force qui a une magnitude de 30 N commence au point (-5,0) et est dirigé vers la partie inférieure gauche du graphique en formant un angle de 53 degrés avec l'axe X.
    Figure\(\PageIndex{4}\) : Quatre forces produisant des couples.

    Stratégie

    Ce problème nécessite de calculer le couple. Toutes les grandeurs connues (forces avec directions et bras de levier) sont données sur la figure. L'objectif est de trouver chaque couple individuel et le couple net en additionnant les couples individuels. Veillez à attribuer le bon signe à chaque couple en utilisant le produit croisé de\(\vec{r}\) et le vecteur de force\(\vec{F}\).

    Solution

    Utilisez |\(\vec{\tau}\) | = r \(\perp\)F = RFSin\(\theta\) pour trouver l'amplitude et\(\vec{r} = \vec{r} \times \vec{F}\) déterminer le signe du couple.

    Le couple produit par la force 40 N dans le premier quadrant est donné par (4) (40) sin 90° = 160 N • m.

    Le produit croisé de\(\vec{r}\) et\(\vec{F}\) est hors de la page, positif.

    Le couple produit par la force 20 N dans le troisième quadrant est donné par − (3) (20) sin 90° = − 60 N • m.

    Le produit croisé de\(\vec{r}\) et\(\vec{F}\) se trouve dans la page, il est donc négatif.

    Le couple produit par la force 30 N dans le troisième quadrant est donné par (5) (30) sin 53° = 120 N • m.

    Le produit croisé de\(\vec{r}\) et\(\vec{F}\) est hors de la page, positif.

    Le couple produit par la force 20 N dans le deuxième quadrant est donné par (1) (20) sin 30° = 10 N • m.

    Le produit croisé de\(\vec{r}\) et\(\vec{F}\) est hors de la page.

    Le couple net est donc\(\tau_{net} = \sum_{i} |\tau_{i}|\) = 160 − 60 + 120 + 10 = 230 N • m.

    L'importance

    Notez que chaque force qui agit dans le sens antihoraire a un couple positif, tandis que chaque force qui agit dans le sens des aiguilles d'une montre a un couple négatif. Le couple est plus élevé lorsque la distance, la force ou les composantes perpendiculaires sont supérieures.

    Exemple 10.15 : Calcul du couple sur un corps rigide

    La figure\(\PageIndex{5}\) montre plusieurs forces agissant à différents emplacements et angles sur un volant. Nous avons\(|\vec{F}_{1}|\) = 20 N,\(|\vec{F}_{2}|\) = 30 N,\(|\vec{F}_{3}|\) = 30 N et r = 0,5 m. Déterminez le couple net sur le volant autour d'un axe passant par le centre.

    La figure montre un volant d'inertie soumis à trois forces agissant à différents endroits et à différents angles. La force F3 est appliquée au centre et est perpendiculaire à l'axe de rotation. La force F2 est appliquée sur le bord gauche et est perpendiculaire à l'axe de rotation. La force F1 est appliquée au centre et forme un angle de 30 degrés avec l'axe de rotation.
    Figure\(\PageIndex{5}\) : Trois forces agissant sur un volant.

    Stratégie

    Nous calculons chaque couple individuellement, en utilisant le produit croisé, et déterminons le signe du couple. Ensuite, nous additionnons les couples pour obtenir le couple net. Solution Nous commençons par\(\vec{F}_{1}\). Si nous regardons la Figure\(\PageIndex{5}\), nous voyons que cela\(\vec{F}_{1}\) fait un angle de 90° + 60° avec le vecteur rayon\(\vec{r}\). En prenant le produit croisé, nous voyons qu'il est hors de la page et qu'il est donc positif. Nous pouvons également le constater en calculant sa magnitude :

    \[|\vec{\tau}_{1}| = rF_{1} \sin 150^{o} = (0.5\; m)(20\; N)(0.5) = 5.0\; N\; \cdotp m \ldotp\]

    Ensuite, nous examinons\(\vec{F}_{2}\). L'angle entre\(\vec{F}_{2}\) et\(\vec{r}\) est de 90° et le produit croisé se trouve dans la page, de sorte que le couple est négatif. Sa valeur est

    \[|\vec{\tau}_{2}| = -rF_{2} \sin 90^{o} = (-0.5\; m)(30\; N) = -15.0\; N\; \cdotp m \ldotp\]

    Lorsque nous évaluons le couple dû à\(\vec{F}_{3}\), nous voyons que l'angle avec lequel il fait\(\vec{r}\) est nul donc\(\vec{r} \times \vec{F}_{3}\) = 0. Par conséquent,\(\vec{F}_{3}\) ne produit aucun couple sur le volant.

    Nous évaluons la somme des couples :

    \[\tau_{net} = \sum_{i} |\tau_{i}| = 5 - 15 = -10\; N\; \cdotp m \ldotp\]

    L'importance

    L'axe de rotation se trouve au centre de masse du volant. Comme le volant est sur un axe fixe, il n'est pas libre de se déplacer. S'il se trouvait sur une surface sans friction et qu'il n'était pas fixé en place,\(\vec{F}_{3}\) cela provoquerait également la translation du volant\(\vec{F}_{1}\). Son mouvement serait une combinaison de translation et de rotation.

    Exercice 10.6

    Un grand navire de haute mer s'échoue près de la côte, comme le Costa Concordia, et se trouve incliné comme indiqué ci-dessous. Les équipes de sauvetage doivent appliquer un couple pour redresser le navire afin de le faire flotter pour le transport. Une force de 5,0 x 10 5 N agissant au point A doit être appliquée pour redresser le navire. Quel est le couple au point de contact du navire avec le sol (Figure\(\PageIndex{6}\)) ?

    La figure montre un navire couché en biais au bord de la mer. Une force de 50 000 N est appliquée à un angle de 10 degrés par rapport à la normale en un point situé à 100 mètres au-dessus du point de contact entre le navire et le bord de mer.
    Figure\(\PageIndex{6}\) : Un navire s'échoue et s'incline, ce qui nécessite l'application d'un couple pour le remettre en position verticale.