10.3 : Rotation avec accélération angulaire constante
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- Dérivez les équations cinématiques du mouvement de rotation avec une accélération angulaire constante
- Sélectionnez parmi les équations cinématiques du mouvement de rotation à accélération angulaire constante les équations appropriées pour résoudre les inconnues dans l'analyse des systèmes soumis à une rotation à axe fixe
- Utiliser les solutions trouvées avec les équations cinématiques pour vérifier l'analyse graphique de la rotation à axe fixe avec une accélération angulaire constante
Dans la section précédente, nous avons défini les variables de rotation du déplacement angulaire, de la vitesse angulaire et de l'accélération angulaire. Dans cette section, nous utilisons ces définitions pour établir des relations entre ces variables et les utiliser pour analyser le mouvement de rotation d'un corps rigide autour d'un axe fixe sous une accélération angulaire constante. Cette analyse constitue la base de la cinématique rotationnelle. Si l'accélération angulaire est constante, les équations de la cinématique de rotation se simplifient, de la même manière que les équations de la cinématique linéaire abordées dans Mouvement le long d'une ligne droite et Mouvement en deux et trois dimensions. Nous pouvons ensuite utiliser cet ensemble simplifié d'équations pour décrire de nombreuses applications en physique et en ingénierie où l'accélération angulaire du système est constante. La cinématique rotationnelle est également une condition préalable à la discussion de la dynamique de rotation plus loin dans ce chapitre.
Cinématique du mouvement de rotation
En utilisant notre intuition, nous pouvons commencer à voir comment les quantités rotationnelles\(\theta\)\(\omega\),,\(\alpha\), et t sont liées les unes aux autres. Par exemple, nous avons vu dans la section précédente que si un volant a une accélération angulaire dans la même direction que son vecteur de vitesse angulaire, sa vitesse angulaire augmente avec le temps et son déplacement angulaire augmente également. Au contraire, si l'accélération angulaire est opposée au vecteur de vitesse angulaire, sa vitesse angulaire diminue avec le temps. Nous pouvons décrire ces situations physiques et bien d'autres à l'aide d'un ensemble cohérent d'équations cinématiques de rotation sous une accélération angulaire constante. La méthode permettant d'étudier le mouvement de rotation de cette manière est appelée cinématique du mouvement de rotation.
Pour commencer, notons que si le système tourne sous une accélération constante, la vitesse angulaire moyenne suit une relation simple car la vitesse angulaire augmente linéairement avec le temps. La vitesse angulaire moyenne est juste la moitié de la somme des valeurs initiale et finale :
\[\bar{\omega} = \frac{\omega_{0} + \omega_{f}}{2} \ldotp \label{10.9}\]
À partir de la définition de la vitesse angulaire moyenne, nous pouvons trouver une équation qui relie la position angulaire, la vitesse angulaire moyenne et le temps :
\[\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \ldotp\]
Pour résoudre ce problème\(\theta\), nous avons
\[\theta_{f} = \theta_{0} + \bar{\omega} t, \label{10.10}\]
où nous avons défini à 0 = 0. Cette équation peut être très utile si l'on connaît la vitesse angulaire moyenne du système. Ensuite, nous avons pu trouver le déplacement angulaire sur une période de temps donnée. Ensuite, nous trouvons une équation relative à\(\omega\)\(\alpha\), et t. Pour déterminer cette équation, nous commençons par la définition de l'accélération angulaire :
\[\alpha = \frac{d \omega}{dt} \ldotp\]
Nous réorganisons cela pour obtenir\(\alpha\) dt = d,\(\omega\) puis nous intégrons les deux côtés de cette équation des valeurs initiales aux valeurs finales, c'est-à-dire de t 0 à t et\(\omega_{0}\) à\(\omega_{f}\). Dans un mouvement de rotation uniforme, l'accélération angulaire est constante et peut donc être retirée de l'intégrale, ce qui donne deux intégrales définies :
\[\alpha \int_{t_{0}}^{t} dt' = \int_{\omega_{0}}^{\omega_{f}} d \omega \ldotp\]
En réglant à 0 = 0, nous avons
\[\alpha t = \omega_{f} - \omega_{0} \ldotp\]
Nous réorganisons cela pour obtenir
\[\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t, \label{10.11}\]
où\(\omega_{0}\) est la vitesse angulaire initiale. L'équation \ ref {10.11} est la contrepartie rotationnelle de l'équation cinématique linéaire v f = v 0 + at. Avec l'équation \ ref {10.11}, nous pouvons trouver la vitesse angulaire d'un objet à n'importe quel moment t spécifié en fonction de la vitesse angulaire initiale et de l'accélération angulaire.
Faisons maintenant un traitement similaire en commençant par l'équation\(\omega = \frac{d \theta}{dt}\). Nous le réorganisons pour obtenir\(\omega\) dt = d\(\theta\) et intégrons à nouveau les deux côtés des valeurs initiales aux valeurs finales, en notant que l'accélération angulaire est constante et ne dépend pas du temps. Cependant, cette fois, la vitesse angulaire n'est pas constante (en général), nous la substituons donc par ce que nous avons dérivé ci-dessus :
\[\begin{split} \int_{t_{0}}^{t_{f}} (\omega_{0} + \alpha t') dt' & = \int_{\theta_{0}}^{\theta_{f}} d \theta; \\ \int_{t_{0}}^{t} \omega_{0} dt + \int_{t_{0}}^{t} \alpha tdt & = \int_{\theta_{0}}^{\theta_{f}} d \theta = \Bigg[ \omega_{0} t' + \alpha \left(\dfrac{(t')^{2}}{2}\right)^{2} \Bigg]_{t_{0}}^{t} = \omega_{0} t + \alpha \left(\dfrac{t^{2}}{2}\right) = \theta_{f} - \theta_{0} \ldotp \end{split}\]
où nous avons défini à 0 = 0. Maintenant, nous réorganisons pour obtenir
\[\theta_{f} = \theta_{0} + \omega_{0} t + \frac{1}{2} \alpha t^{2} \ldotp \label{10.12}\]
L'équation \ ref {10.12} est la contrepartie rotationnelle de l'équation cinématique linéaire trouvée dans Motion Along a Straight Line pour la position en fonction du temps. Cette équation nous donne la position angulaire d'un corps rigide en rotation à tout moment t compte tenu des conditions initiales (position angulaire initiale et vitesse angulaire initiale) et de l'accélération angulaire.
Nous pouvons trouver une équation indépendante du temps en résolvant t dans l'équation \ ref {10.11} et en la remplaçant par l'équation \ ref {10.12}. L'équation \ ref {10.12} devient
\[\begin{split} \theta_{f} & = \theta_{0} + \omega_{0} \left(\dfrac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha}\right) + \frac{1}{2} \alpha \left(\dfrac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha}\right)^{2} \\ & = \theta_{0} + \frac{\omega_{0} \omega_{f}}{\alpha} - \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{f}^{2}}{\alpha} - \frac{\omega_{0} \omega_{f}}{\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha} \\ & = \theta_{0} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{f}^{2}}{\alpha} - \frac{1}{2} \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha}, \\ \theta_{f} - \theta_{0} & = \frac{\omega_{f}^{2} - \omega_{0}^{2}}{2 \alpha} \end{split}\]
ou
\[\omega_{f}^{2} = \omega_{0}^{2} + 2 \alpha (\Delta \theta) \ldotp \label{10.13}\]
Les équations \ ref {10.10} à Équation \ ref {10.13} décrivent la rotation à axe fixe pour une accélération constante et sont résumées dans le Tableau 10.1.
Tableau 10.1 - Équations cinématiques
| Déplacement angulaire par rapport à la vitesse angulaire moyenne | $$ \ theta_ {f} = \ théta_ {0} + \ bar {\ oméga} t$$ |
| Vitesse angulaire due à l'accélération angulaire | $$ \ omega_ {f} = \ omega_ {0} + \ alpha t$$ |
| Déplacement angulaire dû à la vitesse angulaire et à l'accélération angulaire | $$ \ theta_ {f} = \ théta_ {0} + \ omega_ {0} t + \ frac {1} {2} \ alpha t^ {2} $$ |
| Vitesse angulaire due au déplacement angulaire et à l'accélération angulaire | $$ \ omega_ {f} ^ {2} = \ omega_ {0} ^ {2} + 2 \ alpha (\ Delta \ thêta) $$ |
Appliquer les équations pour le mouvement de rotation
Nous pouvons maintenant appliquer les relations cinématiques clés du mouvement de rotation à quelques exemples simples pour avoir une idée de la manière dont les équations peuvent être appliquées à des situations quotidiennes.
Un pêcheur hauturier accroche un gros poisson qui nage loin du bateau en tirant la ligne de pêche de son moulinet. L'ensemble du système est initialement au repos et la ligne de pêche se déroule du moulinet à un rayon de 4,50 cm de son axe de rotation. La bobine reçoit une accélération angulaire de 110 rad/s 2 pendant 2,00 s (Figure\(\PageIndex{1}\)).
- Quelle est la vitesse angulaire finale de la bobine après 2 s ?
- Combien de révolutions fait le moulinet ?
Stratégie
Identifiez les valeurs connues et comparez-les avec les équations cinématiques pour une accélération constante. Recherchez l'équation appropriée qui peut être résolue pour l'inconnu, en utilisant les informations connues indiquées dans la description du problème.
Solution
- On nous donne\(\alpha\) et on veut déterminer\(\omega\). L'équation la plus simple à utiliser est\(\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t\), puisque tous les termes sont connus en plus de la variable inconnue que nous recherchons. On nous donne que\(\omega_{0}\) = 0 (ça part du repos), donc $$ \ omega_ {f} = 0 + (110 \ ; rad/s^ {2}) (2,00 \ ; s) = 220 \ ; rad/s \ ldotp$$
- On nous demande de connaître le nombre de révolutions. Comme 1 tour = 2\(\pi\) rad, nous pouvons trouver le nombre de tours en déterminant θ en radians. On nous donne\(\alpha\) et t, et nous savons que\(\omega_{0}\) c'est zéro, donc nous pouvons l'obtenir en\(\theta\) utilisant $$ \ begin {split} \ theta_ {f} & = \ theta_ {i} + \ omega_ {i} t + \ frac {1} {2} \ alpha t^ {2} \ \ & = 0 + 0 + (0,500) (110 \ ; rad/s^ {2}) (2,00 \ ; s) ^ {2} = 220 \ ; rad \ ldotp \ end {split} $Conversion de radians en révolutions donne $Number \ ; de \ ; rev = (220 \ ; rad) \ left (\ dfrac {1 \ ; rev} {2 \ pi \ ; rad} \ right) = 35,0 \ ; rev \ ldotp$$
L'importance
Cet exemple montre que les relations entre les grandeurs rotationnelles sont très similaires à celles entre les grandeurs linéaires. Les réponses aux questions sont réalistes. Après deux secondes de déroulement, on constate que la bobine tourne à 220 rad/s, soit 2100 tr/min. (Pas étonnant que les bobines émettent parfois des sons aigus.)
Dans l'exemple précédent, nous avons considéré un moulinet de pêche avec une accélération angulaire positive. Voyons maintenant ce qui se passe avec une accélération angulaire négative.
Le pêcheur freine alors le moulinet, ce qui lui permet d'obtenir une accélération angulaire de -300 rad/s 2. Combien de temps faut-il à la bobine pour s'arrêter ?
Stratégie
Il nous est demandé de trouver le temps t nécessaire pour que le moulinet s'arrête. Les conditions initiales et finales sont différentes de celles du problème précédent, qui impliquait le même moulinet de pêche. Nous voyons maintenant que la vitesse angulaire initiale est\(\omega_{0}\) = 220 rad/s et que la vitesse angulaire finale\(\omega\) est nulle. L'accélération angulaire est donnée sous la forme\(\alpha\) = −300 rad/s 2. En examinant les équations disponibles, nous voyons toutes les quantités sauf dans lesquelles t sont connues\(\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t\), ce qui facilite l'utilisation de cette équation.
Solution
L'équation indique
\[\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t \ldotp\]
Nous résolvons l'équation algébriquement pour t, puis nous substituons les valeurs connues comme d'habitude, pour obtenir
\[t = \frac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha} = \frac{0 - 220.0\; rad/s}{-300.0\; rad/s^{2}} = 0.733\; s \ldotp\]
L'importance
Notez qu'il faut faire attention aux panneaux indiquant l'orientation des différentes quantités. Notez également que le temps d'arrêt du moulinet est assez court car l'accélération est assez importante. Les lignes de pêche se cassent parfois à cause des accélérations, et les pêcheurs laissent souvent les poissons nager pendant un certain temps avant de freiner le moulinet. Un poisson fatigué est plus lent et nécessite une accélération plus faible.
Une centrifugeuse utilisée pour l'extraction de l'ADN tourne à une vitesse maximale de 7 000 tr/min, produisant une « force g » sur l'échantillon qui est 6 000 fois la force de gravité. Si la centrifugeuse met 10 secondes à s'arrêter par rapport à la vitesse de rotation maximale : a) Quelle est l'accélération angulaire de la centrifugeuse ? (b) Quel est le déplacement angulaire de la centrifugeuse pendant cette période ?
La figure\(\PageIndex{2}\) montre un graphique de la vitesse angulaire d'une hélice d'un avion en fonction du temps. Sa vitesse angulaire commence à 30 rad/s et diminue linéairement à 0 rad/s en 5 secondes. (a) Trouvez l'accélération angulaire de l'objet et vérifiez le résultat à l'aide des équations cinématiques. (b) Déterminez l'angle de rotation de l'hélice pendant ces 5 secondes et vérifiez votre résultat à l'aide des équations cinématiques.
Stratégie
- Comme la vitesse angulaire varie linéairement avec le temps, nous savons que l'accélération angulaire est constante et ne dépend pas de la variable temporelle. L'accélération angulaire est la pente du graphique de la vitesse angulaire en fonction du temps,\(\alpha = \frac{d \omega}{dt}\). Pour calculer la pente, nous lisons directement à partir de la Figure\(\PageIndex{2}\) et voyons que\(\omega_{0}\) = 30 rad/s à t = 0 s et\(\omega_{f}\) = 0 rad/s à t = 5 s. Ensuite, nous pouvons vérifier le résultat en utilisant\(\omega = \omega_{0} + \alpha t\).
- Nous utilisons l'équation\(\omega = \frac{d \theta}{dt}\) ; puisque la dérivée temporelle de l'angle est la vitesse angulaire, nous pouvons trouver le déplacement angulaire en intégrant la vitesse angulaire, ce qui, d'après la figure, signifie prendre l'aire sous le graphe de la vitesse angulaire. En d'autres termes : $$ \ int_ {\ theta_ {0}} ^ {\ theta_ {f}} d \ theta = \ theta_ {f} - \ theta_ {0} = \ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {f}} \ omega (t) dt \ LDotp$$Ensuite, nous utilisons les équations cinématiques d'accélération constante pour vérifier le résultat.
Solution
- En calculant la pente, nous obtenons $$ \ alpha = \ frac {\ omega - \ omega_ {0}} {t - t_ {0}} = \ frac {(0 - 30,0) \ ; rad/s} {(5.0 - 0) \ ; s} = -6,0 \ ; rad/s^ {2} \ LDotp$$Nous voyons que c'est exactement l'équation \ ref {10.11} avec un peu réorganisation des termes.
- Nous pouvons trouver l'aire sous la courbe en calculant l'aire du triangle droit, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{3}\).
\ [\ Delta \ theta = zone (triangle) = \ frac {1} {2} (30 \ ; rad/s) (5 \ ; s) = 75 \ ; rad \ LDotp$$Nous vérifions la solution à l'aide de l'équation \ ref {10.12} : $$ \ theta_ {f} = \ theta_ {0} + \ omega_ {0} t + \ frac {1} {2} \ alpha t^ {2} \ LDotp$$Setting\(\theta_{0}\) = 0, nous avons $$ \ theta_ {0} = (30,0 \ ; rad/s) (5,0 \ ; s) + \ frac {1} {2} (-6,0 \ ; rad/s^ { 2}) (5,0 \ ; s) ^ {2} = 150,0 - 75,0 = 75,0 \ ; rad \ LDotp$$Cela vérifie la solution trouvée en trouvant l'aire sous la courbe.
L'importance
Nous voyons dans la partie (b) qu'il existe d'autres approches pour analyser la rotation à axe fixe avec une accélération constante. Nous avons commencé par une approche graphique et avons vérifié la solution à l'aide des équations cinématiques rotationnelles. Depuis\(\alpha = \frac{d \omega}{dt}\), nous pourrions faire la même analyse graphique sur une accélération angulaire par rapport à -courbe temporelle. La zone sous un\(\alpha\) -vs. La courbe -t nous donne la variation de la vitesse angulaire. Comme l'accélération angulaire est constante dans cette section, il s'agit d'un exercice simple.