10.4 : Relation des grandeurs angulaires et translationnelles
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- Étant donné l'équation cinématique linéaire, écrivez l'équation cinématique de rotation correspondante
- Calculez les distances linéaires, les vitesses et les accélérations des points sur un système rotatif en fonction des vitesses angulaires et des accélérations
Dans cette section, nous associons chacune des variables de rotation aux variables de translation définies dans Mouvement le long d'une ligne droite et Mouvement en deux et trois dimensions. Cela complétera notre capacité à décrire les rotations d'un corps rigide.
Variables angulaires et variables linéaires
Dans les variables de rotation, nous avons introduit des variables angulaires. Si nous comparons les définitions de la rotation avec les définitions des variables cinématiques linéaires issues du mouvement le long d'une ligne droite et du mouvement en deux et trois dimensions, nous constatons qu'il existe une correspondance entre les variables linéaires et les variables rotationnelles. La position linéaire, la vitesse et l'accélération ont leurs équivalents rotationnels, comme nous pouvons le voir lorsque nous les écrivons côte à côte :
| linéaire | Rotationnel | |
|---|---|---|
| Poste | $$x$$ | $$ \ thène$$ |
| Vitesse | $$v = \ frac {dx} {dt} $$ | $$ \ oméga = \ frac {d \ thêta} {dt} $$ |
| ACCÉLÉRATION | $$a = \ frac {dv} {dt} $$ | $$a = \ frac {d \ oméga} {dt} $$ |
Comparons les variables linéaires et rotationnelles individuellement. La variable linéaire de position a des unités physiques de mètres, tandis que la variable de position angulaire a des unités de radians sans dimension, comme le montre la définition de\(\theta = \frac{s}{r}\), qui est le rapport de deux longueurs. La vitesse linéaire a des unités de m/s, et son homologue, la vitesse angulaire, a des unités de rad/s. Dans Rotation Variables, nous avons vu dans le cas d'un mouvement circulaire que la vitesse tangentielle linéaire d'une particule située à un rayon r de l'axe de rotation est liée à la vitesse angulaire par relation v t =\(\omega\) r. Cela pourrait également s'appliquer aux points d'un corps rigide tournant autour d'un axe fixe. Ici, nous ne prenons en compte que le mouvement circulaire. Dans le mouvement circulaire, à la fois uniforme et non uniforme, il existe une accélération centripète (mouvement en deux et trois dimensions). Le vecteur d'accélération centripète pointe vers l'intérieur à partir de la particule et exécute un mouvement circulaire vers l'axe de rotation. La dérivation de l'amplitude de l'accélération centripète est donnée dans Motion in Two and Three Dimensions. À partir de cette dérivation, l'amplitude de l'accélération centripète s'est révélée être
\[a_{c} = \frac{v_{t}^{2}}{r}, \label{10.14}\]
où r est le rayon du cercle.
Ainsi, dans un mouvement circulaire uniforme lorsque la vitesse angulaire est constante et que l'accélération angulaire est nulle, nous avons une accélération linéaire, c'est-à-dire une accélération centripète, puisque la vitesse tangentielle dans l'équation \ ref {10.14} est une constante. Si un mouvement circulaire non uniforme est présent, le système rotatif a une accélération angulaire, et nous avons à la fois une accélération centripète linéaire qui change (car v t change) et une accélération tangentielle linéaire. Ces relations sont illustrées dans la Figure\(\PageIndex{1}\), où nous montrons les accélérations centripètes et tangentielles pour un mouvement circulaire uniforme et non uniforme.
L'accélération centripète est due au changement de direction de la vitesse tangentielle, tandis que l'accélération tangentielle est due à tout changement de l'amplitude de la vitesse tangentielle. Les vecteurs\(\vec{a}_{t}\) d'accélération tangentiel et centripète\(\vec{a}_{c}\) sont toujours perpendiculaires l'un à l'autre, comme le montre la figure\(\PageIndex{1}\). Pour compléter cette description, nous pouvons attribuer un vecteur d'accélération linéaire totale à un point sur un corps rigide en rotation ou à une particule exécutant un mouvement circulaire sur un rayon r à partir d'un axe fixe. Le vecteur d'accélération linéaire totale\(\vec{a}\) est la somme vectorielle des accélérations centripète et tangentielle,
\[\vec{a} = \vec{a}_{c} + \vec{a}_{t} \ldotp \label{10.15}\]
Le vecteur d'accélération linéaire total dans le cas d'un mouvement circulaire non uniforme se situe à un angle entre les vecteurs d'accélération centripète et tangentiel, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{2}\). Puisque\(\vec{a}_{c} \perp \vec{a}_{t}\), l'amplitude de l'accélération linéaire totale est
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}} \ldotp\]
Notez que si l'accélération angulaire est nulle, l'accélération linéaire totale est égale à l'accélération centripète.
Relations entre le mouvement de rotation et le mouvement de translation
Nous pouvons examiner deux relations entre le mouvement de rotation et le mouvement de translation.
- D'une manière générale, les équations cinématiques linéaires ont leurs homologues rotationnels. Le tableau 10.2 répertorie les quatre équations cinématiques linéaires et la contrepartie rotationnelle correspondante. Les deux ensembles d'équations se ressemblent, mais décrivent deux situations physiques différentes, à savoir la rotation et la translation.
Tableau 10.2 - Équations cinématiques rotationnelles et translationnelles
| Rotationnel | Translationnel |
|---|---|
| $$ \ theta_ {f} = \ théta_ {0} + \ bar {\ oméga} t$$ | $$x = x_ {0} + \ barre {v} t$$ |
| $$ \ omega_ {f} = \ omega_ {0} + \ alpha t$$ | $$v_ {f} = v_ {0} + à$$ |
| $$ \ theta_ {f} = \ theta_ {0} + \ omega_ {0} t + \ frac {1} {2} à^ {2} $$ | $$x_ {f} = x_ {0} + v_ {0} t + \ frac {1} {2} \ oméga t^ {2} $$ |
| $$ \ omega_ {f} ^ {2} = \ omega_ {0} ^ {2} + 2 \ alpha (\ Delta \ thêta) $$ | $v_ {f} ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (\ Delta x) $$ |
- La deuxième correspondance concerne la mise en relation des variables linéaires et rotationnelles dans le cas particulier du mouvement circulaire. C'est ce que montre le tableau 10.3, où, dans la troisième colonne, nous avons répertorié l'équation de connexion qui relie la variable linéaire à la variable rotationnelle. Les variables rotationnelles de la vitesse angulaire et de l'accélération ont des indices qui indiquent leur définition en mouvement circulaire.
Tableau 10.3 - Grandeurs rotationnelles et translationnelles : mouvement circulaire
| Rotationnel | Translationnel | Relation (r) = rayon |
|---|---|---|
| $$ \ thène$$ | $$s$$ | $$ \ thêta = \ frac {s} {r} $$ |
| $$ \ oméga$$ | $$v_ {t} $$ | $$ \ oméga = \ frac {v_ {t}} {r} $$ |
| $$ \ alpha$$ | $a_ {t} $$ | $$ \ alpha = \ frac {a_ {t}} {r} $$ |
| $a_ {c} $$ | $$a_ {c} = \ frac {v_ {t} ^ {2}} {r} $$ |
Une centrifugeuse a un rayon de 20 cm et accélère à partir d'une vitesse de rotation maximale de 10 000 tr/min pour s'arrêter en 30 secondes sous une accélération angulaire constante. Il tourne dans le sens antihoraire. Quelle est l'amplitude de l'accélération totale d'un point situé à l'extrémité de la centrifugeuse à t = 29,0 s ? Quelle est la direction du vecteur d'accélération totale ?
Stratégie
Avec les informations fournies, nous pouvons calculer l'accélération angulaire, qui nous permettra ensuite de trouver l'accélération tangentielle. Nous pouvons déterminer l'accélération centripète à t = 0 en calculant la vitesse tangentielle à ce moment. Avec les magnitudes des accélérations, nous pouvons calculer l'accélération linéaire totale. À partir de la description de la rotation contenue dans le problème, nous pouvons esquisser la direction du vecteur d'accélération totale.
Solution
L'accélération angulaire est
\[\alpha = \frac{\omega - \omega_{0}}{t} = \frac{0 - (1.0 \times 10^{4}) \left(\dfrac{2 \pi\; rad}{60.0\; s}\right)}{30.0\; s} = -34.9\; rad/s^{2} \ldotp\]
Par conséquent, l'accélération tangentielle est
\[a_{t} = r \alpha = (0.2\; m)(-34.9\; rad/s^{2}) = -7.0\; m/s^{2} \ldotp\]
La vitesse angulaire à t = 29,0 s est
\[\begin{split} \omega & = \omega_{0} + \alpha t = (1.0 \times 10^{4}) \left(\dfrac{2 \pi\; rad}{60.0\; s}\right) + (-39.49\; rad/s^{2})(29.0\; s) \\ & = 1047.2\; rad/s - 1012.71\; rad/s = 35.1\; rad/s \ldotp \end{split}\]
Ainsi, la vitesse tangentielle à t = 29,0 s est
\[v_{t} = r \omega = (0.2\; m)(35.1\; rad/s) = 7.0\; m/s \ldotp\]
Nous pouvons maintenant calculer l'accélération centripète à t = 29,0 s :
\[a_{c} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{(7.0\; m/s)^{2}}{0.2\; m} = 245.0\; m/s^{2} \ldotp\]
Les deux vecteurs d'accélération étant perpendiculaires l'un à l'autre, l'amplitude de l'accélération linéaire totale est
\[|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}} = \sqrt{(245.0)^{2} + (-7.0)^{2}} = 245.1\; m/s^{2} \ldotp\]
Comme la centrifugeuse a une accélération angulaire négative, elle ralentit. Le vecteur d'accélération totale est tel que représenté sur la figure\(\PageIndex{3}\). L'angle par rapport au vecteur d'accélération centripète est
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{-7.0}{245.0}\right) = -1.6^{o} \ldotp\]
Le signe négatif signifie que le vecteur d'accélération totale est incliné dans le sens des aiguilles d'une montre.
L'importance
Sur la figure\(\PageIndex{3}\), nous voyons que le vecteur d'accélération tangentielle est opposé au sens de rotation. L'amplitude de l'accélération tangentielle est beaucoup plus petite que l'accélération centripète, de sorte que le vecteur d'accélération linéaire total fera un très petit angle par rapport au vecteur d'accélération centripète.
Un garçon saute sur un manège d'un rayon de 5 m qui est au repos. Il commence à accélérer à une vitesse constante jusqu'à une vitesse angulaire de 5 rad/s en 20 secondes. Quelle est la distance parcourue par le garçon ?
Découvrez cette simulation PhET pour modifier les paramètres d'un disque rotatif (angle initial, vitesse angulaire et accélération angulaire) et placer les insectes à différentes distances radiales de l'axe. La simulation vous permet ensuite d'explorer la relation entre le mouvement circulaire et la position xy, la vitesse et l'accélération des insectes à l'aide de vecteurs ou de graphiques.