10.2 : Variables rotationnelles

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Objectifs d'apprentissage

Décrire la signification physique des variables de rotation appliquées à la rotation à axe fixe
Expliquer comment la vitesse angulaire est liée à la vitesse tangentielle
Calculer la vitesse angulaire instantanée en fonction de la fonction de position angulaire
Déterminer la vitesse angulaire et l'accélération angulaire dans un système rotatif
Calculez l'accélération angulaire moyenne lorsque la vitesse angulaire change
Calculer l'accélération angulaire instantanée à l'aide de la fonction de vitesse angulaire

Jusqu'à présent, dans ce texte, nous avons principalement étudié le mouvement de translation, y compris les variables qui le décrivent : déplacement, vitesse et accélération. Nous étendons maintenant notre description du mouvement à la rotation, en particulier au mouvement de rotation autour d'un axe fixe. Nous verrons que le mouvement de rotation est décrit par un ensemble de variables connexes similaires à celles que nous avons utilisées pour le mouvement de translation.

Vitesse angulaire

Le mouvement circulaire uniforme (discuté précédemment dans Motion en deux et trois dimensions) est un mouvement circulaire à vitesse constante. Bien qu'il s'agisse du cas le plus simple de mouvement de rotation, il est très utile dans de nombreuses situations, et nous l'utilisons ici pour introduire des variables de rotation.

Dans la figure$\PageIndex{1}$, nous montrons une particule se déplaçant en cercle. Le système de coordonnées est fixe et sert de cadre de référence pour définir la position de la particule. Son vecteur de position entre l'origine du cercle et la particule balaie l'angle$\theta$, qui augmente dans le sens antihoraire à mesure que la particule se déplace le long de sa trajectoire circulaire. L'angle$\theta$ est appelé position angulaire de la particule. Lorsque la particule se déplace sur sa trajectoire circulaire, elle trace également une longueur d'arc s.

La figure est un graphique qui montre une particule se déplaçant dans le sens antihoraire. Le vecteur r entre l'origine du système de coordonnées et le point s au passage d'une particule forme un angle thêta avec l'axe X. — Figure$\PageIndex{1}$ : Une particule suit une trajectoire circulaire. Lorsqu'il se déplace dans le sens antihoraire, il balaie un angle positif$\theta$ par rapport à l'axe x et trace une longueur d'arc s.

L'angle est lié au rayon du cercle et à la longueur de l'arc par

\[\theta = \frac{s}{r} \ldotp \label{10.1}\]

L'angle$\theta$, c'est-à-dire la position angulaire de la particule le long de sa trajectoire, est exprimé en radians (rad). Il y a$2\pi$ des radians à 360°. Notez que la mesure du radian est un ratio des mesures de longueur et qu'il s'agit donc d'une quantité sans dimension. Lorsque la particule se déplace le long de sa trajectoire circulaire, sa position angulaire change et elle subit des déplacements angulaires$\Delta \theta$.

Nous pouvons attribuer des vecteurs aux quantités dans l'équation \ ref {10.1}. L'angle$\vec{\theta}$ est un vecteur hors de la page de la figure$\PageIndex{1}$. Le vecteur de position angulaire$\vec{r}$ et la longueur de l'arc se situent$\vec{s}$ tous deux dans le plan de la page. Ces trois vecteurs sont liés les uns aux autres par

\[\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp \label{10.2}\]

C'est-à-dire que la longueur de l'arc est le produit croisé du vecteur d'angle et du vecteur de position, comme le montre la figure$\PageIndex{2}$.

La figure est un système de coordonnées XYZ qui montre trois vecteurs. Le vecteur Theta pointe dans la direction Z positive. Le vecteur s se trouve dans le plan XY. Le vecteur r est dirigé depuis l'origine du système de coordonnées jusqu'au début du vecteur s. — Figure$\PageIndex{2}$ : Les points du vecteur d'angle le long de l'axe Z et le vecteur de position et le vecteur de longueur d'arc se situent tous deux dans le plan xy. C'est ce que nous voyons$\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r}$. Les trois vecteurs sont perpendiculaires les uns aux autres.

L'amplitude de la vitesse angulaire, désignée par$\omega$, est la vitesse temporelle de variation de l'angle lorsque$\theta$ la particule se déplace sur sa trajectoire circulaire. La vitesse angulaire instantanée est définie comme la limite dans laquelle$\Delta$ t → 0 dans la vitesse angulaire moyenne$\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ :

\[\omega = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d \theta}{dt}, \label{10.3}\]

où$\theta$ est l'angle de rotation (Figure$\PageIndex{2}$). Les unités de vitesse angulaire sont les radians par seconde (rad/s). La vitesse angulaire peut également être appelée vitesse de rotation en radians par seconde. Dans de nombreuses situations, on nous donne le taux de rotation en révolutions/s ou en cycles/s. Pour trouver la vitesse angulaire, il faut multiplier les révolutions/s par 2$\pi$, puisqu'il y a 2$\pi$ radians en un tour complet. Puisque la direction d'un angle positif dans un cercle est dans le sens antihoraire, nous prenons les rotations dans le sens antihoraire comme étant positives et les rotations dans le sens des aiguilles d'une montre comme négatives.

Nous pouvons voir comment la vitesse angulaire est liée à la vitesse tangentielle de la particule en différenciant l'équation \ ref {10.1} par rapport au temps. Nous réécrivons l'équation \ ref {10.1} comme

\[s = r \theta \ldotp\]

En prenant la dérivée par rapport au temps et en notant que le rayon r est une constante, nous avons

\[\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (r \theta) = \theta \frac{dr}{dt} + r \frac{d \theta}{dt} = r \frac{d \theta}{dt}\]

où$\theta \frac{dr}{dt}$ = 0. Ici,$\frac{ds}{dt}$ c'est juste la vitesse tangentielle v _t de la particule de la figure$\PageIndex{1}$. Ainsi, en utilisant l'équation \ ref {10.3}, nous arrivons à

\[v_{t} = r \omega \ldotp \label{10.4}\]

C'est-à-dire que la vitesse tangentielle de la particule est sa vitesse angulaire multipliée par le rayon du cercle. À partir de l'équation \ ref {10.4}, nous voyons que la vitesse tangentielle de la particule augmente avec sa distance par rapport à l'axe de rotation pour une vitesse angulaire constante. Cet effet est illustré sur la figure$\PageIndex{3}$. Deux particules sont placées à des rayons différents sur un disque rotatif avec une vitesse angulaire constante. Lorsque le disque tourne, la vitesse tangentielle augmente linéairement avec le rayon à partir de l'axe de rotation. Sur la figure$\PageIndex{3}$, nous voyons que v ₁ = r ₁$\omega_{1}$ et v ₂ = r ₂$\omega_{2}$. Mais le disque a une vitesse angulaire constante, donc$\omega_{1} = \omega_{2}$. Cela signifie$\frac{v_{1}}{r_{1}} = \frac{v_{2}}{r_{2}}$ ou v ₂ =$\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)$ v ₁. Ainsi, puisque r ₂ > r ₁, v ₂ > v ₁.

La figure montre deux particules sur un disque rotatif. La particule 1 se trouve à la distance r1 de l'axe de rotation et se déplace à la vitesse v1. La particule 2 se trouve à la distance r2 de l'axe de rotation et se déplace à la vitesse v2. — Figure$\PageIndex{3}$ : Deux particules sur un disque rotatif ont des vitesses tangentielles différentes, en fonction de leur distance par rapport à l'axe de rotation.

Jusqu'à présent, nous avons discuté de l'amplitude de la vitesse angulaire$\omega = \frac{d \theta}{dt}$, qui est une quantité scalaire, c'est-à-dire le changement de position angulaire par rapport au temps. Le vecteur$\vec{\omega}$ est le vecteur associé à la vitesse angulaire et aux points situés le long de l'axe de rotation. Cela est utile car lorsqu'un corps rigide tourne, nous voulons connaître à la fois l'axe de rotation et la direction dans laquelle le corps tourne autour de l'axe, dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. La vitesse angulaire nous$\vec{\omega}$ donne cette information. La vitesse angulaire$\vec{\omega}$ a une direction déterminée par ce que l'on appelle la règle de la main droite. La règle de la main droite est telle que si les doigts de votre main droite se déplacent dans le sens antihoraire depuis l'axe X (la direction dans laquelle$\theta$ augmente) vers l'axe Y, votre pouce pointe dans la direction de l'axe Z positif (Figure$\PageIndex{4}$). Une vitesse angulaire$\vec{\omega}$ pointant le long de l'axe z positif correspond donc à une rotation dans le sens antihoraire, tandis qu'une vitesse$\vec{\omega}$ angulaire pointant le long de l'axe z négatif correspond à une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre.

La figure est un graphique qui montre le système de coordonnées XYZ avec la rotation dans le sens antihoraire dans le plan XY. La vitesse angulaire pointe dans la direction Z positive. — Figure$\PageIndex{4}$ : Pour une rotation dans le sens antihoraire dans le système de coordonnées illustré, la vitesse angulaire pointe dans la direction z positive selon la règle de droite.

Nous pouvons vérifier la règle de la main droite en utilisant l'expression vectorielle pour la longueur de l'arc$\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r}$, Equation \ ref {10.2}. Si nous différencions cette équation par rapport au temps, nous trouvons

\[\frac{d \vec{s}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{\theta} \times \vec{r}) = \left(\dfrac{d \theta}{dt} \times \vec{r}\right) + \left(\vec{\theta} \times \dfrac{d \vec{r}}{dt}\right) = \frac{d \theta}{dt} \times \vec{r} \ldotp\]

Comme$\vec{r}$ il est constant, le terme$\vec{\theta} \times \frac{d \vec{r}}{dt}$ = 0. Puisque$\vec{v} = \frac{d \vec{s}}{dt}$ c'est la vitesse tangentielle et$\omega = \frac{d \vec{\theta}}{dt}$ la vitesse angulaire, nous avons

\[\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \ldotp \label{10.5}\]

C'est-à-dire que la vitesse tangentielle est le produit croisé de la vitesse angulaire et du vecteur de position, comme le montre la figure$\PageIndex{5}$. Dans la partie (a) de cette figure, nous voyons qu'avec la vitesse angulaire dans la direction z positive, la rotation dans le plan xy se fait dans le sens antihoraire. Dans la partie (b), la vitesse angulaire est dans la direction z négative, ce qui donne une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre dans le plan xy.

La figure A est un système de coordonnées XYZ qui montre trois vecteurs. Le vecteur Oméga pointe dans la direction Z positive. Le vecteur v se trouve dans le plan XY. Le vecteur r est dirigé depuis l'origine du système de coordonnées jusqu'au début du vecteur. La figure B est un système de coordonnées XYZ qui montre trois vecteurs. Le vecteur Oméga pointe dans la direction Z négative. Le vecteur v se trouve dans le plan XY. Le vecteur r est dirigé depuis l'origine du système de coordonnées jusqu'au début du vecteur v. — Figure$\PageIndex{5}$ : Les vecteurs affichés sont la vitesse angulaire, la position et la vitesse tangentielle. (a) Les points de vitesse angulaire sont orientés dans la direction z positive, ce qui donne une rotation dans le sens antihoraire dans le plan xy. (b) La vitesse angulaire pointe dans la direction z négative, ce qui donne une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre.

Exemple$\PageIndex{1}$: Rotation of a Flywheel

Un volant tourne de telle sorte qu'il balaie un angle au taux de$\theta$ =$\omega$ t = (45,0 rad/s) t radians. La molette pivote dans le sens antihoraire lorsqu'elle est vue dans le plan de la page. a) Quelle est la vitesse angulaire du volant ? (b) Dans quelle direction se trouve la vitesse angulaire ? (c) Combien de radians le volant tourne-t-il en 30 s ? d) Quelle est la vitesse tangentielle d'un point du volant situé à 10 cm de l'axe de rotation ?

Stratégie

La forme fonctionnelle de la position angulaire du volant est donnée dans le problème sous la forme$\theta$ (t) =$\omega$ t, donc en prenant la dérivée par rapport au temps, nous pouvons trouver la vitesse angulaire. Nous utilisons la règle de la main droite pour déterminer la vitesse angulaire. Pour déterminer le déplacement angulaire du volant pendant 30 s, on recherche le déplacement angulaire$\Delta \theta$, où le changement de position angulaire est compris entre 0 et 30 s. Pour déterminer la vitesse tangentielle d'un point éloigné de l'axe de rotation, on multiplie sa distance par la vitesse angulaire du volant.

Solution

$\omega$$\frac{d \theta}{dt}$= 45 rad/s. Nous voyons que la vitesse angulaire est constante.
Selon la règle de la main droite, nous courbons les doigts dans le sens de rotation, qui est dans le sens antihoraire dans le plan de la page, et le pouce pointe dans le sens de la vitesse angulaire, qui est hors de la page.
$\Delta \theta$=$\theta$ (30 s) −$\theta$ (0 s) = 45,0 (30,0 s) − 45,0 (0 s) = 1350,0 rad.
v _t = r$\omega$ = (0,1 m) (45,0 rad/s) = 4,5 m/s.

L'importance

En 30 s, le volant a tourné pendant un certain nombre de tours, environ 215 si l'on divise le déplacement angulaire par 2$\pi$. Un volant d'inertie massif peut être utilisé pour stocker de l'énergie de cette manière, si les pertes dues au frottement sont minimes. Des recherches récentes ont porté sur des roulements supraconducteurs sur lesquels repose le volant, avec une perte d'énergie nulle due au frottement.

Accélération angulaire

Nous venons de discuter de la vitesse angulaire pour un mouvement circulaire uniforme, mais tous les mouvements ne sont pas uniformes. Imaginez un patineur tourner les bras tendus : lorsqu'il tire ses bras vers l'intérieur, sa vitesse angulaire augmente. Ou imaginez que le disque dur d'un ordinateur s'arrête lorsque la vitesse angulaire diminue. Nous explorerons ces situations plus tard, mais nous pouvons déjà voir la nécessité de définir une accélération angulaire pour décrire les situations où des$\omega$ changements se produisent. Plus le changement est rapide$\omega$, plus l'accélération angulaire est importante. Nous définissons l'accélération angulaire instantanée$\alpha$ comme la dérivée de la vitesse angulaire par rapport au temps :

\[\alpha = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}}, \label{10.6}\]

où nous avons pris la limite de l'accélération angulaire moyenne,$\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$ comme$\Delta t → 0$. Les unités d'accélération angulaire sont (rad/s) /s ou rad/s ².

De la même manière que nous avons défini le vecteur associé à la vitesse angulaire$\vec{\omega}$, nous pouvons définir$\vec{\alpha}$ le vecteur associé à l'accélération angulaire (Figure$\PageIndex{6}$). Si la vitesse angulaire se situe le long de l'axe z positif, comme dans la figure$\PageIndex{4}$, et qu'elle$\frac{d \omega}{dt}$ est positive, alors l'accélération angulaire$\vec{\alpha}$ est positive et pointe le long de l'axe +z-. De même, si la vitesse angulaire$\vec{\omega}$ se situe le long de l'axe z positif et$\frac{d \omega}{dt}$ est négative, alors l'accélération angulaire est négative et pointe le long de l'axe +z.

La figure A montre la rotation dans le sens antihoraire. L'accélération angulaire est dans la même direction que la vitesse angulaire. Le texte sous la figure indique « Vitesse de rotation dans le sens antihoraire et croissante ». La figure B montre la rotation dans le sens des aiguilles d'une montre. L'accélération angulaire se fait dans la direction opposée à la vitesse angulaire. Le texte situé sous la figure indique : « Taux de rotation dans le sens des aiguilles d'une montre — Figure$\PageIndex{6}$ : La rotation s'effectue dans le sens antihoraire à la fois en (a) et (b) avec la vitesse angulaire dans la même direction. (a) L'accélération angulaire est dans la même direction que la vitesse angulaire, ce qui augmente la vitesse de rotation. (b) L'accélération angulaire est dans la direction opposée à la vitesse angulaire, ce qui diminue le taux de rotation.

Nous pouvons exprimer le vecteur d'accélération tangentielle comme un produit croisé de l'accélération angulaire et du vecteur de position. Cette expression peut être trouvée en prenant la dérivée temporelle de$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ et est laissée sous forme d'exercice :

\[\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} \ldotp \label{10.7}\]

Les relations vectorielles pour l'accélération angulaire et l'accélération tangentielle sont illustrées dans la figure$\PageIndex{7}$.

La figure A est un système de coordonnées XYZ qui montre trois vecteurs. Le vecteur Alpha pointe dans la direction Z positive. Le vecteur a se trouve dans le plan XY. Le vecteur r est dirigé depuis l'origine du système de coordonnées jusqu'au début du vecteur a. La figure B est un système de coordonnées XYZ qui montre trois vecteurs. Le vecteur Alpha pointe dans la direction Z négative. Le vecteur a se trouve dans le plan XY. Le vecteur r est dirigé depuis l'origine du système de coordonnées jusqu'au début du vecteur a. — Figure$\PageIndex{7}$ : (a) L'accélération angulaire est la direction z positive et produit une accélération tangentielle dans le sens antihoraire. (b) L'accélération angulaire se fait dans la direction z négative et produit une accélération tangentielle dans le sens des aiguilles d'une montre.

Nous pouvons relier l'accélération tangentielle d'un point sur un corps en rotation à une certaine distance de l'axe de rotation de la même manière que nous avons lié la vitesse tangentielle à la vitesse angulaire. Si nous différencions l'équation \ ref {10.4} par rapport au temps, en notant que le rayon r est constant, nous obtenons

\[a_{t} = r \alpha \ldotp \label{10.8}\]

Ainsi, l'accélération tangentielle a _t est le rayon multiplié par l'accélération angulaire. Les équations \ ref {10.4} et \ ref {10.8} sont importantes pour la discussion du mouvement de roulement (voir Moment cinétique).

Appliquons ces idées à l'analyse de quelques scénarios de rotation simples à axe fixe. Avant cela, nous présentons une stratégie de résolution de problèmes qui peut être appliquée à la cinématique de rotation : la description du mouvement de rotation.

Stratégie de résolution de problèmes : cinématique rotationnelle

Examinez la situation pour déterminer si la cinématique de rotation (mouvement de rotation) est impliquée.
Identifiez exactement ce qui doit être déterminé dans le problème (identifiez les inconnues). Une esquisse de la situation est utile.
Dressez une liste complète de ce qui est indiqué ou peut être déduit du problème tel qu'indiqué (identifier les éléments connus).
Résolvez la ou les équations appropriées pour la quantité à déterminer (l'inconnue). Il peut être utile de penser en termes d'analogique translationnel, car vous connaissez maintenant les équations du mouvement de translation.
Substituez les valeurs connues ainsi que leurs unités dans l'équation appropriée et obtenez des solutions numériques complètes avec des unités. Veillez à utiliser des unités de radians pour les angles.
Vérifiez votre réponse pour voir si elle est raisonnable : votre réponse a-t-elle du sens ?

Appliquons maintenant cette stratégie de résolution de problèmes à quelques exemples spécifiques.

Exemple$\PageIndex{2}$: A Spinning Bicycle Wheel

Un mécanicien de vélos monte un vélo sur le support de réparation et fait tourner la roue arrière depuis l'arrêt jusqu'à une vitesse angulaire finale de 250 tr/min en 5 s. (a) Calculez l'accélération angulaire moyenne en rad/s ². (b) Si elle freine maintenant, provoquant une accélération angulaire de −87,3 rad/s ², combien de temps faut-il au volant pour s'arrêter ?

Stratégie

L'accélération angulaire moyenne peut être trouvée directement à partir de sa définition$\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$ car la vitesse angulaire finale et le temps sont donnés. On voit que$\Delta \omega$ =$\omega_{final}$ −$\omega_{initial}$ = 250 tr/min et$\Delta$ t est égal à 5,00 s. Pour la partie (b), nous connaissons l'accélération angulaire et la vitesse angulaire initiale. Nous pouvons trouver le temps d'arrêt en utilisant la définition de l'accélération angulaire moyenne et en résolvant$\Delta$ t, donnant

\[\Delta t = \frac{\Delta \omega}{\alpha} \ldotp\]

Solution

En entrant des informations connues dans la définition de l'accélération angulaire, nous obtenons $$ \ bar {\ alpha} = \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t} = \ frac {250 \ ; rpm} {5.00 \ ; s} \ LDotp$$Parce que$\Delta \omega$ c'est en tours par minute (tr/min) et nous voulons les unités standard de rad/s ² pour l'accélération angulaire, nous devons convertir de rpm en rad/s : $$ \ Delta \ omega = 250 \ frac {rev} {min} \ ; \ cdotp \ frac {2 \ pi \ ; rad} {rev} \ ; \ cdotp \ frac {1 \ ; min} {60 \ ; s} = 26,2 \ ; rad/s \ LDotp$$En entrant cette quantité dans l'expression pour$\alpha$, nous obtenons $bar {\ alpha} = \ frac {\ Delta \ oméga} {\ Delta t} = \ frac {26,2 \ ; tr/min} {5,00 \ ; s} = 5,24 \ ; rad/s^ {2 } \ ldotp$$
Ici, la vitesse angulaire diminue de 26,2 rad/s (250 tr/min) à zéro,$\Delta \omega$ soit -26,2 rad/s, et$\alpha$ est donnée à -87,3 rad/s ². Ainsi, $$ \ Delta t = \ frac {-26,2 \ ; rad/s} {-87,3 \ ; rad/s^ {2}} = 0,300 \ ; s \ ldotp$$

L'importance

Notez que l'accélération angulaire lorsque le mécanicien fait tourner la roue est faible et positive ; il faut 5 s pour produire une vitesse angulaire appréciable. Lorsqu'elle appuie sur le frein, l'accélération angulaire est importante et négative. La vitesse angulaire passe rapidement à zéro.

Exercice$\PageIndex{1}$

Les pales de ventilateur d'un turboréacteur à double flux (illustré ci-dessous) accélèrent depuis l'arrêt jusqu'à une vitesse de rotation de 40,0 tr/min en 20 s. L'augmentation de la vitesse angulaire du ventilateur est constante dans le temps. (Le turboréacteur à double flux GE90-110B1 monté sur un Boeing 777, tel qu'illustré, est actuellement le plus grand turboréacteur au monde, capable de poussées de 330 à 510 kN.) a) Quelle est l'accélération angulaire moyenne ? (b) Quelle est l'accélération angulaire instantanée à tout moment au cours des 20 premières secondes ?

La photo est une photo d'une turbine à air sous l'aile d'un avion.

Exemple$\PageIndex{3}$: Wind Turbine

Une éolienne (Figure$\PageIndex{9}$) d'un parc éolien est en cours d'arrêt pour maintenance. Il faut 30 secondes à la turbine pour passer de sa vitesse angulaire de fonctionnement à un arrêt complet où la fonction de vitesse angulaire est$\omega$ (t) =$\Big[\frac{(ts^{−1} −30.0)^{2}}{100.0} \Big]$ rad/s. Si la turbine tourne dans le sens antihoraire en regardant la page, (a) quelles sont les directions des vecteurs de vitesse angulaire et d'accélération ? (b) Quelle est l'accélération angulaire moyenne ? (c) Quelle est l'accélération angulaire instantanée à t = 0,0, 15,0, 30,0 s ?

La figure est un dessin d'une éolienne qui tourne dans le sens antihoraire, vue de face. — Figure$\PageIndex{9}$ : Une éolienne qui tourne dans le sens antihoraire, vue de face.

Stratégie

On nous donne le sens de rotation de la turbine, qui se situe dans le sens antihoraire dans le plan de la page. En utilisant la règle de la main droite (Figure 10.5), nous pouvons établir les directions des vecteurs de vitesse angulaire et d'accélération.
Nous calculons les vitesses angulaires initiale et finale pour obtenir l'accélération angulaire moyenne. Nous établissons le signe de l'accélération angulaire à partir des résultats indiqués en (a).
On nous donne la forme fonctionnelle de la vitesse angulaire, de sorte que nous pouvons trouver la forme fonctionnelle de la fonction d'accélération angulaire en prenant sa dérivée par rapport au temps.

Solution

Comme la turbine tourne dans le sens antihoraire, la vitesse angulaire$\vec{\omega}$ pointe vers l'extérieur de la page. Mais comme la vitesse angulaire diminue, l'accélération angulaire$\vec{\alpha}$ pointe vers la page, dans le sens opposé à la vitesse angulaire.
La vitesse angulaire initiale de la turbine, réglée à t = 0, est$\omega$ = 9,0 rad/s. La vitesse angulaire finale est nulle, donc l'accélération angulaire moyenne est de $$ \ bar {\ alpha} \ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t} = \ frac {\ omega - \ omega_ {0}} {t - t_ {0}} = \ frac {0 - 9.0 \ ; rad/s} {30.0} - 0 \ ; s} = -0,3 \ ; rad/s^ {2} \ ldotp$ $
Si l'on prend la dérivée de la vitesse angulaire par rapport au temps,$\alpha = \frac{d \omega}{dt} = \frac{(t − 30.0)}{50.0}$ on obtient rad/s ² $ \ alpha (0,0 ; s) = -0,6 \ ; rad/s^ {2}, \ alpha (15,0 \ ; s) = -0,3 \ ; rad/s^ {2}, et \ ; \ alpha (30,0 \ ; s) = 0 \ ; rad/s \ ldotp$$

L'importance

Les calculs effectués en (a) et (b) nous ont permis de constater que l'accélération angulaire α et l'accélération angulaire moyenne$\bar{\alpha}$ sont négatives. La turbine a une accélération angulaire dans le sens opposé à sa vitesse angulaire.

Nous disposons désormais d'un vocabulaire de base pour aborder la cinématique de rotation à axe fixe et les relations entre les variables de rotation. Nous aborderons d'autres définitions et connexions dans la section suivante.

Exemple\(\PageIndex{1}\): Rotation of a Flywheel

Solution

Stratégie de résolution de problèmes : cinématique rotationnelle

Exemple\(\PageIndex{2}\): A Spinning Bicycle Wheel

Solution

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Exemple\(\PageIndex{3}\): Wind Turbine

Solution