7.3 : Énergie cinétique

Objectifs d'apprentissage

• Calculez l'énergie cinétique d'une particule en fonction de sa masse et de sa vitesse ou de sa quantité de mouvement
• Évaluer l'énergie cinétique d'un corps, par rapport à différents référentiels

Il est plausible de supposer que plus la vitesse d'un corps est élevée, plus elle peut avoir un effet important sur les autres corps. Cela ne dépend pas de la direction de la vitesse, mais seulement de sa magnitude. À la fin du XVIIe siècle, une quantité a été introduite dans la mécanique pour expliquer les collisions entre deux corps parfaitement élastiques, dans lesquelles un corps entre en collision frontale avec un corps identique au repos. Le premier corps s'arrête et le second corps s'éloigne à la vitesse initiale du premier corps. (Si vous avez déjà joué au billard ou au croquet, ou vu une maquette du berceau de Newton, vous avez déjà observé ce type de collision.) L'idée sous-jacente à cette quantité était liée aux forces agissant sur un corps et était appelée « énergie du mouvement ». Plus tard, au XVIIIe siècle, le nom d'énergie cinétique a été donné à l'énergie du mouvement.

Le berceau de Newton en mouvement. Une balle est mise en mouvement et entre rapidement en collision avec les autres, transmettant l'énergie à travers les autres balles et finalement jusqu'à la dernière balle, qui à son tour est mise en mouvement. (CC SA-BY 3.0 ; Dominique Toussaint).

Avec cette histoire à l'esprit, nous pouvons maintenant énoncer la définition classique de l'énergie cinétique. Notez que lorsque nous disons « classique », nous voulons dire non relativiste, c'est-à-dire à des vitesses bien inférieures à la vitesse de la lumière. À des vitesses comparables à la vitesse de la lumière, la théorie spéciale de la relativité nécessite une expression différente pour l'énergie cinétique d'une particule, comme indiqué dans Relativité. Comme les objets (ou systèmes) d'intérêt varient en complexité, nous définissons d'abord l'énergie cinétique d'une particule de masse m.

Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'une particule est la moitié du produit de la masse m de la particule et du carré de sa vitesse\(v\) :

\[K = \frac{1}{2} mv^{2} \ldotp \label{7.6}\]

Nous étendons ensuite cette définition à n'importe quel système de particules en additionnant les énergies cinétiques de toutes les particules constitutives :

\[K =\sum \frac{1}{2} mv^{2} \ldotp \label{7.7}\]

Notez que tout comme nous pouvons exprimer la deuxième loi de Newton en termes de vitesse de changement de moment ou de masse multipliée par le taux de changement de vitesse, l'énergie cinétique d'une particule peut être exprimée en termes de masse et de moment (\(\vec{p}\)= m\(\vec{v}\)), au lieu de sa masse et de sa vitesse. Puisque v =\(\frac{p}{m}\), on voit que

\[K = \frac{1}{2} m \left(\dfrac{p}{m}\right)^{2} = \frac{p^{2}}{2m}\]

exprime également l'énergie cinétique d'une seule particule. Parfois, cette expression est plus pratique à utiliser que l'équation\(\ref{7.6}\). Les unités d'énergie cinétique sont la masse multipliée par le carré de la vitesse, ou kg • m ² /s ². Mais les unités de force sont la masse multipliée par l'accélération, kg • m/s ², de sorte que les unités d'énergie cinétique sont également les unités de force multipliée par la distance, qui sont les unités de travail, ou joules. Vous verrez dans la section suivante que le travail et l'énergie cinétique ont les mêmes unités, car ce sont des formes différentes de la même propriété physique plus générale.

Exemple\(\PageIndex{1}\): Kinetic Energy of an Object

1. Quelle est l'énergie cinétique d'un athlète de 80 kg qui court à 10 m/s ?
2. Le cratère Chicxulub au Yucatán, l'un des plus grands cratères d'impact existants sur Terre, aurait été créé par un astéroïde qui se déplace à 22 km/s et libère 4,2 x 10 ²³ J d'énergie cinétique lors de l'impact. Quelle était sa masse ?
3. Dans les réacteurs nucléaires, les neutrons thermiques, se déplaçant à environ 2,2 km/s, jouent un rôle important. Quelle est l'énergie cinétique d'une telle particule ?

Stratégie

Pour répondre à ces questions, vous pouvez utiliser la définition de l'énergie cinétique dans l'équation\(\ref{7.6}\). Vous devez également rechercher la masse d'un neutron.

Solution

N'oubliez pas de convertir km en m pour effectuer ces calculs, bien que, pour gagner de la place, nous ayons omis de montrer ces conversions.

1. $$K = \ frac {1} {2} (80 \ ; kg) (10 \ ; m/s) ^ {2} = 4,0 \ ; kJ \ ldotp \ nonnumber $$
2. $$m = \ frac {2K} {v^ {2}} = \ frac {2 (4,2 \ fois 10^ {23} \ ; J)} {22 \ ; km/s) ^ {2}} = 1,7 \ fois 10^ {15} \ ; kg \ ldotp \ nonumber$$
3. $$K = \ frac {1} {2} (1,68 \ fois 110^ {-27} \ ; kg) (2,2 \ ; km/s) ^ {2} = 4,1 \ fois 10^ {-21} \ ; J \ ldotp \ nonumber$$

L'importance

Dans cet exemple, nous avons utilisé la façon dont la masse et la vitesse sont liées à l'énergie cinétique, et nous avons découvert une très large gamme de valeurs pour les énergies cinétiques. Différentes unités sont couramment utilisées pour de telles valeurs très grandes et très petites. L'énergie de l'élément de frappe de la partie (b) peut être comparée au rendement explosif du TNT et des explosions nucléaires, 1 mégatonne = 4,18 x 10 ¹⁵ J. L'énergie cinétique de l'astéroïde Chicxulub était d'environ cent millions de mégatonnes. À l'autre extrême, l'énergie des particules subatomiques est exprimée en électronvolts, 1 eV = 1,6 x 10 ⁻¹⁹ J. Le neutron thermique en partie (c) possède une énergie cinétique d'environ un quarantième d'électronvolt.

Exercice\(\PageIndex{1}\)

1. Une voiture et un camion se déplacent chacun avec la même énergie cinétique. Supposons que le camion a plus de masse que la voiture. Lequel a la plus grande vitesse ?
2. Une voiture et un camion se déplacent chacun à la même vitesse. Lequel possède la plus grande énergie cinétique ?

Comme la vitesse est une quantité relative, vous pouvez voir que la valeur de l'énergie cinétique doit dépendre de votre cadre de référence. Vous pouvez généralement choisir un cadre de référence adapté à l'objectif de votre analyse et qui simplifie vos calculs. L'un de ces cadres de référence est celui dans lequel les observations du système sont effectuées (probablement un cadre externe). Un autre choix est un cadre attaché au système ou qui se déplace avec celui-ci (probablement un cadre interne). Les équations du mouvement relatif, discutées dans Motion en deux et trois dimensions, fournissent un lien permettant de calculer l'énergie cinétique d'un objet par rapport à différents cadres de référence.

Exemple\(\PageIndex{2}\): Kinetic Energy Relative to Different Frames

Une personne de 75,0 kg marche dans l'allée centrale d'une voiture de métro à une vitesse de 1,50 m/s par rapport à la voiture, alors que le train se déplace à 15,0 m/s par rapport aux voies ferrées.

1. Quelle est l'énergie cinétique de la personne par rapport à la voiture ?
2. Quelle est l'énergie cinétique de la personne par rapport aux pistes ?
3. Quelle est l'énergie cinétique de la personne par rapport à un cadre qui se déplace avec elle ?

Stratégie

Comme les vitesses sont données, nous pouvons utiliser\(\frac{1}{2}\) mv ² pour calculer l'énergie cinétique de la personne. Cependant, dans la partie (a), la vitesse de la personne est relative à la voiture de métro (comme indiqué) ; dans la partie (b), elle est relative aux voies ; et dans la partie (c), elle est nulle. Si nous désignons le châssis de la voiture par C, le châssis par T et la personne par P, les vitesses relatives dans la partie (b) sont liées par\(\vec{v}_{PT}\) =\(\vec{v}_{PC}\) +\(\vec{v}_{CT}\). Nous pouvons supposer que l'allée centrale et les voies se situent le long de la même ligne, mais la direction dans laquelle la personne marche par rapport à la voiture n'est pas spécifiée. Nous allons donc donner une réponse pour chaque possibilité, v _PT = v _CT ± v _PC, comme le montre la figure\(\PageIndex{1}\).

Figure\(\PageIndex{1}\) : Les mouvements possibles d'une personne qui marche dans un train sont (a) vers l'avant de la voiture et (b) vers l'arrière de la voiture.

Solution

1. $K = \ dfrac {1} {2} (75,0 \ ; kg) (11,50 \ ; m/s) ^ {2} = 84,4 \ ; J \ ldotp \ nonumber$$
2. $$v_ {PT} = (15,0 \ pm 1,50) 7 ; m/s \ ldotp \ nonumber$$ Par conséquent, les deux valeurs possibles pour l'énergie cinétique relative à la voiture sont $$K = \ dfrac {1} {2} (75,0 \ ; kg) (13,5 \ ; m/s) ^ {2} = 6,83 \ ; kJ \ nonumber $$ et $K = \ frac {1} {2} (75,0 \ ; kg) (16,5 \ ; m/s) ^ {2} = 10,2 \ ; kJ \ ldotp \ nonumber$$
3. Dans un cadre où v _P = 0, K = 0 également.

L'importance

Vous pouvez voir que l'énergie cinétique d'un objet peut avoir des valeurs très différentes selon le référentiel. Cependant, l'énergie cinétique d'un objet ne peut jamais être négative, puisqu'elle est le produit de la masse et du carré de la vitesse, qui sont tous deux toujours positifs ou nuls.

Exercice\(\PageIndex{2}\)

Vous ramez un bateau parallèlement aux rives d'une rivière. Votre énergie cinétique par rapport aux berges est inférieure à votre énergie cinétique par rapport à l'eau. Vous ramez avec ou contre le courant ?

L'énergie cinétique d'une particule est une seule quantité, mais l'énergie cinétique d'un système de particules peut parfois être divisée en différents types, en fonction du système et de son mouvement. Par exemple :

• Si toutes les particules d'un système ont la même vitesse, le système subit un mouvement de translation et possède une énergie cinétique de translation.
• Si un objet est en rotation, il peut avoir une énergie cinétique de rotation.
• S'il vibre, il peut avoir une énergie cinétique vibratoire.

L'énergie cinétique d'un système, par rapport à un référentiel interne, peut être appelée énergie cinétique interne. L'énergie cinétique associée au mouvement moléculaire aléatoire peut être appelée énergie thermique. Ces noms seront utilisés dans les chapitres suivants du livre, le cas échéant. Quel que soit son nom, chaque type d'énergie cinétique est la même quantité physique, représentant l'énergie associée au mouvement.

Exemple\(\PageIndex{3}\): Special Names for Kinetic Energy

1. Un joueur effectue une passe à mi-terrain avec un ballon de basket de 624 g, qui parcourt 15 m en 2 s. Quelle est l'énergie cinétique de translation horizontale du ballon en vol ?
2. Une molécule d'air moyenne, présente dans la partie (a) du ballon de basket, a une masse de 29 u et une vitesse moyenne de 500 m/s par rapport au ballon de basket. Il contient environ 3 x 10 ²³ molécules qui se déplacent dans des directions aléatoires lorsque le ballon est correctement gonflé. Quelle est l'énergie cinétique translationnelle moyenne du mouvement aléatoire de toutes les molécules à l'intérieur, par rapport au ballon de basket ?
3. À quelle vitesse le ballon de basket devrait-il se déplacer par rapport au terrain, comme dans la partie (a), pour avoir une énergie cinétique égale à la quantité dans la partie (b) ?

Stratégie

Dans la partie (a), trouvez d'abord la vitesse horizontale du ballon de basket, puis utilisez la définition de l'énergie cinétique en termes de masse et de vitesse, K =\(\frac{1}{2} mv^{2}\). Ensuite, dans la partie (b), convertissez les unités unifiées en kilogrammes, puis utilisez K =\(\frac{1}{2} mv^{2}\) pour obtenir l'énergie cinétique de translation moyenne d'une molécule, par rapport au ballon de basket. Multipliez ensuite par le nombre de molécules pour obtenir le résultat total. Enfin, dans la partie (c), nous pouvons remplacer la quantité d'énergie cinétique dans la partie (b) et la masse du ballon de basket dans la partie (a) par la définition K =\(\frac{1}{2} mv^{2}\), et résoudre v.

Solution

1. La vitesse horizontale est de\(\frac{(15\; m)}{(2\; s)}\), donc l'énergie cinétique horizontale du ballon de basket est $$ \ frac {1} {2} (0,624 \ ; kg) (7,5 \ ; m/s) ^ {2} = 17,6 \ ; J \ ldotp \ nonumber$$
2. L'énergie cinétique translationnelle moyenne d'une molécule est de $ \ frac {1} {2} (29 \ ; u) (1,66 \ times 10^ {-27} \ ; kg/u) (500 \ ; m/s) ^ {2} = 6,02 \ times 10^ {-21} \ ; J, \ nonumber $$ et l'énergie cinétique totale de toutes les molécules est de $ (3 \ fois 10^ {23} \}) (6,02 \ fois 10^ {-21} \ ; J) = 1,80 \ ; kJ \ ldotp \ nonumber$$
3. $$v = \ sqrt {\ frac {2 (1,8 \ ; kJ)} {(0,624 \ ; kg)}} = 76,0 \ ; m/s \ ldotp \ nonumber$$

L'importance

Dans la partie (a), ce type d'énergie cinétique peut être appelé énergie cinétique horizontale d'un objet (le ballon de basket), par rapport à son environnement (le terrain). Si le ballon de basket tournait, toutes ses parties auraient non seulement la vitesse moyenne, mais aussi une énergie cinétique de rotation. La partie (b) nous rappelle que ce type d'énergie cinétique peut être appelée énergie cinétique interne ou thermique. Remarquez que cette énergie est environ cent fois supérieure à l'énergie de la partie (a). L'utilisation de l'énergie thermique fera l'objet des chapitres sur la thermodynamique. Dans la partie (c), étant donné que l'énergie de la partie (b) est environ 100 fois supérieure à celle de la partie (a), la vitesse devrait être environ 10 fois plus grande, ce qui est le cas (76 contre 7,5 m/s).