7.2 : Travail
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- Représentez le travail effectué par n'importe quelle force
- Évaluer le travail effectué pour les différentes forces
En physique, le travail représente un type d'énergie. Le travail est effectué lorsqu'une force agit sur quelque chose qui subit un déplacement d'une position à une autre. Les forces peuvent varier en fonction de la position, et les déplacements peuvent se faire le long de différentes trajectoires entre deux points. Nous définissons d'abord l'incrément du travail dW effectué par une force\(\vec{F}\) agissant par un déplacement infinitésimal d\(\vec{r}\) comme le produit scalaire de ces deux vecteurs :
\[dW = \vec{F} \cdotp d \vec{r} = |\vec{F}||d \vec{r}| \cos \theta \ldotp \label{7.1}\]
Ensuite, nous pouvons additionner les contributions pour les déplacements infinitésimaux, le long d'une trajectoire entre deux positions, pour obtenir le travail total.
Le travail effectué par une force est l'intégrale de la force par rapport au déplacement le long de la trajectoire du déplacement :
\[W_{AB} = \int_{path\; AB} \vec{F} \cdotp d \vec{r} \ldotp \label{7.2}\]
Les vecteurs impliqués dans la définition du travail effectué par une force agissant sur une particule sont illustrés sur la figure\(\PageIndex{1}\).
Nous avons choisi d'exprimer le produit scalaire en termes de magnitudes des vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux, car la signification du produit scalaire pour le travail peut être exprimée en mots plus directement en termes de magnitudes et d'angles. Nous aurions tout aussi bien pu exprimer le produit scalaire en fonction des différents composants introduits dans les vecteurs. En deux dimensions, il s'agissait des composantes x et y en coordonnées cartésiennes, ou des\(\varphi\) composantes r et -en coordonnées polaires ; en trois dimensions, il s'agissait uniquement des composantes x, y et z. Le choix le plus pratique dépend de la situation. En termes, vous pouvez exprimer l'équation \ ref {7.1} pour le travail effectué par une force agissant sur un déplacement en tant que produit d'une composante agissant parallèlement à l'autre composante. D'après les propriétés des vecteurs, peu importe que vous preniez la composante de la force parallèle au déplacement ou la composante du déplacement parallèle à la force, vous obtenez le même résultat dans les deux cas.
Souvenez-vous que l'amplitude d'une force multipliée par le cosinus de l'angle que la force fait avec une direction donnée est la composante de la force dans la direction donnée. Les composantes d'un vecteur peuvent être positives, négatives ou nulles, selon que l'angle entre le vecteur et la direction de la composante est compris entre 0° et 90° ou entre 90° et 180°, ou est égal à 90°. Par conséquent, le travail effectué par une force peut être positif, négatif ou nul, selon que la force est généralement dans la direction du déplacement, généralement opposée au déplacement ou perpendiculaire au déplacement. Le travail maximal est effectué par une force donnée lorsqu'elle se trouve dans la direction du déplacement (cos\(\theta\) = ± 1), et zéro travail est effectué lorsque la force est perpendiculaire au déplacement (cos\(\theta\) = 0).
Les unités de travail sont des unités de force multipliées par des unités de longueur, qui, dans le système SI, sont des newtons fois mètres, N • m. Cette combinaison est appelée joule, pour des raisons historiques que nous mentionnerons plus loin, et est abrégée en J. Dans le système anglais, toujours utilisé aux États-Unis, l'unité de force est la livre (lb) et l'unité de distance est le pied (ft), donc l'unité de travail est le pied-livre (ft • lb).
Travail effectué par des forces constantes et des forces de contact
Le travail le plus simple à évaluer est celui effectué par une force dont l'amplitude et la direction sont constantes. Dans ce cas, nous pouvons factoriser la force ; l'intégrale restante est juste le déplacement total, qui ne dépend que des points d'extrémité A et B, mais pas de la trajectoire entre eux :
\[W_{AB} = \vec{F} \cdotp \int_{A}^{B} d \vec{r} = \vec{F} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) = |\vec{F}||\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}| \cos \theta\; (constant\; force) \ldotp \nonumber\]
Nous pouvons également le voir en écrivant l'équation \ ref {7.2} en coordonnées cartésiennes et en utilisant le fait que les composantes de la force sont constantes :
\[\begin{split} W_{AB} & = \int_{path\; AB} \vec{F} \cdotp d \vec{r} = \int_{path\; AB} (F_{x} dx + F_{y} dy + F_{z} dz) = F_{x} \int_{A}^{B} dx + F_{y} \int_{A}^{B} dy + F_{z} \int_{A}^{B} dz \\ & = F_{x} (x_{B} - x_{A}) + F_{y} (y_{B} - y_{A}) + F_{z} (z_{B} - z_{A}) = \vec{F} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) \ldotp \end{split} \nonumber\]
La figure\(\PageIndex{2a}\) montre une personne exerçant une force constante\(\vec{F}\) le long du manche d'une tondeuse à gazon, qui forme un angle\(\theta\) avec l'horizontale. Le déplacement horizontal de la tondeuse à gazon, sur lequel la force agit, est\(\vec{d}\). Le travail effectué sur la tondeuse à gazon est
\[W = \vec{F} \cdotp \vec{d} = Fd \cos \theta,\nonumber \]
que la figure illustre également sous la forme de la composante horizontale de la force multipliée par l'ampleur du déplacement.
La figure\(\PageIndex{2b}\) montre une personne tenant une mallette. La personne doit exercer une force ascendante, d'une ampleur égale au poids de la mallette, mais cette force ne fonctionne pas, car le déplacement sur lequel elle agit est nul. Alors pourquoi finissez-vous par vous sentir fatiguée de simplement tenir la mallette, si vous ne travaillez pas dessus ? La réponse est que les fibres musculaires de votre bras se contractent et agissent à l'intérieur de votre bras, même si la force que vos muscles exercent à l'extérieur sur la mallette ne fait aucun travail sur celle-ci. (La force que vous exercez peut également être due à la tension des os et des ligaments de votre bras, mais d'autres muscles de votre corps agiraient pour maintenir la position de votre bras.)
Dans la figure\(\PageIndex{2c}\), où la personne en (b) marche horizontalement à vitesse constante, le travail effectué par la personne sur la mallette est toujours nul, mais maintenant parce que l'angle entre la force exercée et le déplacement est de 90° (\(\vec{F}\)perpendiculaire à\(\vec{d}\)) et cos 90° = 0.
Combien de travail la personne de la figure effectue-t-elle sur la tondeuse à gazon\(\PageIndex{2a}\) si elle exerce une force constante de 75,0 N à un angle de 35° sous l'horizontale et pousse la tondeuse à 25,0 m sur un sol plat ?
Stratégie
Nous pouvons résoudre ce problème en substituant les valeurs données dans la définition du travail effectué sur un objet par une force constante, exprimée dans l'équation W = Fd cos\(\theta\). La force, l'angle et le déplacement sont donnés, de sorte que seul le travail W est inconnu.
Solution
L'équation de l'œuvre est
\[W = Fd \cos \theta \ldotp \nonumber \]
La substitution des valeurs connues donne
\[W = (75.0\; N)(25.0\; m) \cos(35.0^{o}) = 1.54 \times 10^{3}\; J \ldotp \nonumber \]
L'importance
Même si un kilojoules et demi peut sembler beaucoup de travail, nous verrons dans Potential Energy and Conservation of Energy que cela représente à peu près autant de travail que l'on pourrait faire en brûlant un sixième de gramme de graisse.
Lorsque vous tondez le gazon, d'autres forces agissent sur la tondeuse à gazon en plus de la force que vous exercez, à savoir la force de contact du sol et la force gravitationnelle de la Terre. Examinons le travail effectué par ces forces en général. Pour un objet se déplaçant sur une surface, le déplacement d\(\vec{r}\) est tangent à la surface. La partie de la force de contact sur l'objet qui est perpendiculaire à la surface est la force normale\(\vec{N}\). Puisque le cosinus de l'angle entre la normale et la tangente à une surface est nul, nous avons
\[dW_{N} = \vec{N} \cdotp d \vec{r} = \vec{0} \ldotp \nonumber \]
La force normale ne fonctionne jamais dans ces circonstances. (Notez que si le déplacement d\(\vec{r}\) avait une composante relative perpendiculaire à la surface, l'objet quitterait la surface ou la traverserait, et il n'y aurait plus de force de contact normale. Toutefois, si l'objet est plus qu'une particule et possède une structure interne, la force de contact normale peut agir sur celui-ci, par exemple en le déplaçant ou en déformant sa forme. Cela sera mentionné dans le chapitre suivant.)
La partie de la force de contact sur l'objet qui est parallèle à la surface est le frottement,\(\vec{f}\). Pour cet objet glissant le long de la surface, le frottement cinétique\(\vec{f}_{k}\) est opposé à d\(\vec{r}\), par rapport à la surface, de sorte que le travail effectué par friction cinétique est négatif. Si l'amplitude de\(\vec{f}_{k}\) est constante (comme ce serait le cas si toutes les autres forces sur l'objet étaient constantes), alors le travail effectué par friction est
\[W_{fr} = \int_{A}^{B} \vec{f}_{k} \cdotp d \vec{r} = - f_{k} \int_{A}^{B} |dr| = - f_{k} |l_{AB}| \ldotp \label{7.3}\]
où |l AB | est la longueur du tracé sur la surface. (Notez que, surtout si le travail effectué par une force est négatif, les gens peuvent se référer au travail effectué contre cette force, où dW contre = −dW by. Le travail effectué contre une force peut également être considéré comme le travail requis pour vaincre cette force, comme dans « Combien de travail faut-il pour surmonter... ? ») La force de friction statique peut toutefois avoir un effet positif ou négatif. Lorsque vous marchez, la force de friction statique exercée par le sol sur votre pied arrière vous accélère pendant une partie de chaque pas. Si vous ralentissez, la force du sol sur votre pied avant vous ralentit. Si vous conduisez votre voiture à la vitesse limite sur un tronçon d'autoroute rectiligne et plat, le travail négatif effectué par le frottement cinétique de la résistance à l'air est contrebalancé par le travail positif effectué par le frottement statique de la route sur les roues motrices. Vous pouvez retirer le tapis du dessous d'un objet de manière à ce qu'il glisse vers l'arrière par rapport au tapis, mais vers l'avant par rapport au sol. Dans ce cas, le frottement cinétique exercé par le tapis sur l'objet pourrait se faire dans le même sens que le déplacement de l'objet, par rapport au sol, et avoir un effet positif. En fin de compte, vous devez analyser chaque cas particulier pour déterminer le travail effectué par les forces, qu'il soit positif, négatif ou nul.
Vous décidez de déplacer votre canapé vers une nouvelle position sur le sol horizontal de votre salon. La force normale sur le canapé est de 1 kN et le coefficient de frottement est de 0,6. (a) Vous poussez d'abord le canapé de 3 m parallèlement à un mur, puis de 1 m perpendiculairement au mur (de A à B sur la figure\(\PageIndex{3}\)). Combien de travail est effectué par la force de friction ? (b) Vous n'aimez pas la nouvelle position, vous devez donc remettre le canapé directement dans sa position d'origine (B vers A sur la figure\(\PageIndex{3}\)). Quel a été le travail total effectué pour éviter les frottements qui ont fait que le canapé s'éloigne de sa position initiale et vice versa ?
Stratégie
L'amplitude de la force de friction cinétique sur le canapé est constante, égale au coefficient de frottement multiplié par la force normale, f K =\(\mu_{K}\) N. Par conséquent, le travail effectué est W fr = −f K d, où d est la longueur du trajet parcouru. Les segments des tracés sont les côtés d'un triangle droit, de sorte que les longueurs des tracés sont faciles à calculer. Dans la partie (b), vous pouvez utiliser le fait que le travail effectué contre une force est négatif par rapport au travail effectué par la force.
Solution
- Le travail effectué par friction est $$W = − (0,6) (1 \ ; kN) (3 \ ; m + 1 \ ; m) = − 2,4 \ ; kJ \ ldotp \ nonumber $$
- La longueur du trajet le long de l'hypoténuse est de\(\sqrt{10}\) m, donc le travail total effectué contre la friction est de $$W = (0,6) (1 \ ; kN) (3 \ ; m + 1 \ ; m + \ sqrt {10} \ ; m) = 4,3 \ ; kJ \ ldotp \ nonumber $$
L'importance
La trajectoire totale sur laquelle le travail de friction a été évalué a commencé et s'est terminée au même point (il s'agissait d'une trajectoire fermée), de sorte que le déplacement total du canapé était nul. Cependant, le travail total n'était pas nul. La raison en est que les forces telles que la friction sont classées comme des forces non conservatrices, ou des forces dissipatives, comme nous le verrons dans le chapitre suivant.
La friction cinétique peut-elle être une force constante sur toutes les trajectoires ?
L'autre force exercée sur la tondeuse à gazon mentionnée ci-dessus était la force gravitationnelle de la Terre, ou le poids de la tondeuse. Près de la surface de la Terre, la force gravitationnelle exercée sur un objet de masse m a une amplitude constante, mg, et une direction constante, verticalement vers le bas. Par conséquent, le travail effectué par gravité sur un objet est le produit scalaire de son poids et de son déplacement. Dans de nombreux cas, il est pratique d'exprimer le produit scalaire pour le travail gravitationnel en termes de composantes x, y et z des vecteurs. Un système de coordonnées classique a l'axe X horizontal et l'axe Y verticalement vers le haut. La force gravitationnelle est alors de −mg\(\hat{j}\), donc le travail effectué par gravité, sur n'importe quel chemin de A à B, est
\[W_{grav,\; AB} = -mg \hat{j} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) = -mg (y_{B} - y_{A}) \ldotp \label{7.4}\]
Le travail effectué par une force de gravité constante sur un objet dépend uniquement du poids de l'objet et de la différence de hauteur à travers laquelle l'objet est déplacé. La gravité agit négativement sur un objet qui se déplace vers le haut (y B > y A) ou, en d'autres termes, vous devez effectuer un travail positif contre la gravité pour soulever un objet vers le haut. Sinon, la gravité agit positivement sur un objet qui se déplace vers le bas (y B < y A), ou vous effectuez un travail négatif contre la gravité pour « soulever » un objet vers le bas, contrôlant sa descente afin qu'il ne tombe pas au sol. (« Soulever » est utilisé par opposition à « déposer ».)
Vous soulevez un livre de bibliothèque surdimensionné de 20 N, à 1 m verticalement vers le bas depuis une étagère, et vous le transportez horizontalement jusqu'à une table (Figure\(\PageIndex{4}\)). Combien de travail la gravité fait-elle sur le livre ? (b) Lorsque vous avez terminé, vous remettez le livre en ligne droite à sa place d'origine sur l'étagère. Quel a été le travail total réalisé contre la gravité, en éloignant le livre de sa position initiale sur l'étagère et inversement ?
Stratégie
Nous venons de voir que le travail effectué par une force de gravité constante dépend uniquement du poids de l'objet déplacé et de la différence de hauteur de la trajectoire empruntée, W AB = −mg (yB − y A). Nous pouvons évaluer la différence de hauteur pour répondre aux questions (a) et (b).
Solution
- Puisque le livre commence sur l'étagère et est soulevé y B − y A = −1 m, nous avons $$W = − (20 \ ; N) (− 1 \ ; m) = 20 J \ ldotp \ nonumber$$
- Il n'y a aucune différence de hauteur pour tout chemin qui commence et se termine au même endroit sur l'étagère, donc W = 0.
L'importance
La gravité fait un travail positif (20 J) lorsque le livre descend de l'étagère. La force gravitationnelle entre deux objets est une force d'attraction qui agit de manière positive lorsque les objets se rapprochent. La gravité effectue un travail nul (0 J) lorsque le livre se déplace horizontalement de l'étagère à la table et un travail négatif (−20 J) lorsque le livre revient de la table à l'étagère. Le travail total effectué par gravité est nul [20 J + 0 J + (-20 J) = 0].
Contrairement à la friction ou à d'autres forces dissipatives\(\PageIndex{2}\), décrites dans l'exemple, le travail total effectué contre la gravité, sur toute trajectoire fermée, est nul. Un travail positif est effectué contre la gravité sur les parties ascendantes d'un chemin fermé, mais une quantité égale de travail négatif est effectué contre la gravité sur les parties descendantes. En d'autres termes, le travail effectué contre la gravité, en soulevant un objet, est « rendu » lorsque l'objet redescend. Les forces telles que la gravité (celles qui n'agissent sur aucune trajectoire fermée) sont classées comme des forces conservatrices et jouent un rôle important en physique.
La gravité de la Terre pourra-t-elle être une force constante sur tous les chemins ?
Le travail réalisé par des forces qui varient
En général, les forces peuvent varier en amplitude et en direction en des points de l'espace, et les trajectoires entre deux points peuvent être courbes. Le travail infinitésimal effectué par une force variable peut être exprimé en termes de composantes de la force et de déplacement le long de la trajectoire,
\[dW = F_{x} dx + F_{y} dy + F_{z} dz \ldotp \nonumber\]
Ici, les composantes de la force sont des fonctions de la position le long de la trajectoire, et les déplacements dépendent des équations de la trajectoire. (Bien que nous ayons choisi d'illustrer dW en coordonnées cartésiennes, d'autres coordonnées sont mieux adaptées à certaines situations.) L'équation \ ref {7.2} définit le travail total comme une intégrale linéaire, ou la limite d'une somme de quantités infinitésimales de travail. Le concept physique du travail est simple : vous calculez le travail pour de petits déplacements et vous les additionnez. Parfois, les mathématiques peuvent sembler compliquées, mais l'exemple suivant montre à quel point elles peuvent fonctionner proprement.
Un objet se déplace le long d'une trajectoire parabolique y = (0,5 m -1) x 2 depuis l'origine A = (0, 0) jusqu'au point B = (2 m, 2 m) sous l'action d'une force\(\vec{F}\) = (5 N/m) y\(\hat{i}\) + (10 N/m) x\(\hat{j}\) (Figure\(\PageIndex{5}\)). Calculez le travail effectué.
Stratégie
Les composantes de la force reçoivent des fonctions de x et de y. Nous pouvons utiliser l'équation du trajet pour exprimer y et dy en termes de x et dx ; à savoir,
\[y = (0.5\; m^{−1})x^{2}\; and\; dy = 2(0.5\; m^{−1})xdx \ldotp \nonumber\]
Ensuite, l'intégrale de l'œuvre n'est qu'une intégrale définie d'une fonction de x.
Solution
L'élément infinitésimal du travail est
\[\begin{split} dW & = F_{x} dx + F_{y} dy = (5\; N/m)ydx + (10\; N/m)xdy \\ & = (5\; N/m)(0.5\; m^{−1})x^{2} dx + (10\; N/m)2(0.5\; m^{−1})x^{2} dx = (12.5\; N/m^{2})x^{2} dx \ldotp \end{split} \nonumber\]
L'intégrale de x 2 est\(\frac{x^{3}}{3}\) donc
\[W = \int_{0}^{2\; m} (12.5\; N/m^{2})x^{2} dx = (12.5\; N/m^{2}) \frac{x^{3}}{3} \Bigg|_{0}^{2\; m} = (12.5\; N/m^{2}) \left(\dfrac{8}{3}\right) = 33.3\; J \ldotp \nonumber\]
L'importance
Cette intégrale n'a pas été difficile à réaliser. Vous pouvez suivre les mêmes étapes, comme dans cet exemple, pour calculer des intégrales linéaires représentant le travail effectué pour des forces et des trajectoires plus complexes. Dans cet exemple, tout a été donné en termes de composantes x et y, qui sont les plus faciles à utiliser pour évaluer le travail dans ce cas. Dans d'autres situations, les magnitudes et les angles peuvent être plus faciles.
Déterminez le travail effectué par la même force dans Exemple\(\PageIndex{4}\) sur un trajet cubique, y = (0,25 m −2) x 3, entre les mêmes points A = (0, 0) et B = (2 m, 2 m).
Vous avez vu dans Example\(\PageIndex{4}\) que pour évaluer une intégrale linéaire, vous pouviez la réduire à une intégrale sur une seule variable ou un seul paramètre. Habituellement, il existe plusieurs façons de procéder, qui peuvent être plus ou moins pratiques, selon le cas. Dans Exemple\(\PageIndex{4}\), nous avons réduit l'intégrale droite à une intégrale au-dessus de x, mais nous aurions tout aussi bien pu choisir de tout réduire à une fonction de y. Nous ne l'avons pas fait parce que les fonctions en y impliquent la racine carrée et des exposants fractionnaires, ce qui peut être moins familier, mais à des fins d'illustration, nous ça maintenant. En résolvant x et dx, en termes de y, le long de la trajectoire parabolique, on obtient
\[x = \sqrt{\frac{y}{(0.5\; m^{-1})}} = \sqrt{(2\; m)y}\; and\; dx = \sqrt{(2\; m)} \times \frac{1}{2} \frac{dy}{\sqrt{y}} = \frac{dy}{\sqrt{(2\; m^{-1})y} }\ldotp \nonumber\]
Les composantes de la force, exprimées en y, sont
\[F_{x} = (5\; N/m)y\; and\; F_{y} = (10\; N/m)x = (10\; N/m) \sqrt{(2 m)y}, \nonumber\]
ainsi, l'élément de travail infinitésimal devient
\[\begin{split} dW & = F_{x} dx + F_{y} dy = \frac{(5\; N/m)y dy}{\sqrt{(2\; m^{-1})y}} + (10\; N/m) \sqrt{(2\; m)y} dy \\ & = (5\; N \cdotp m^{-1/2}) \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2}\right) \sqrt{y} dy = (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) y^{1/2} dy \ldotp \end{split} \nonumber\]
L'intégrale de y 1/2 est\(\frac{2}{3}\) y 3/2, donc le travail effectué de A à B est
\[W = \int_{0}^{2\; m} (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) y^{1/2} dy = (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) \frac{2}{3} (2\; m)^{2/3} = 33.3\; J \ldotp \nonumber\]
Comme prévu, c'est exactement le même résultat qu'auparavant.
Une force variable très importante et largement applicable est la force exercée par un ressort parfaitement élastique, qui satisfait à la loi de Hooke\(\vec{F}\) = −k\(\Delta \vec{x}\), où k est la constante du ressort, et\(\Delta \vec{x}\) =\(\vec{x}\) −\(\vec{x}_{eq}\) est le déplacement par rapport à la position non étirée (équilibre) du ressort (Les lois du mouvement de Newton). Notez que la position non étirée est la même que la position d'équilibre uniquement si aucune autre force n'agit (ou, si c'est le cas, si elles s'annulent mutuellement). Les forces entre les molécules, ou dans tout système subissant de petits déplacements à partir d'un équilibre stable, se comportent approximativement comme une force de ressort.
Pour calculer le travail effectué par une force de ressort, nous pouvons choisir l'axe X le long de la longueur du ressort, dans le sens de la longueur croissante, comme sur la figure\(\PageIndex{6}\), avec l'origine à la position d'équilibre x eq = 0. (Un x positif correspond alors à un étirement et un x négatif à une compression.) Avec ce choix de coordonnées, la force du ressort n'a qu'une composante x, F x = −kx, et le travail effectué lorsque x passe de x A à x B est
\[W_{spring,\; AB} = \int_{A}^{B} F_{x} dx = - k \int_{A}^{B} xdx = -k \frac{x^{2}}{2} \Big|_{A}^{B} = - \frac{1}{2} k \big( x_{B}^{2} - x_{A}^{2} \big) \ldotp \label{7.5}\]
Notez que W AB dépend uniquement des points de départ et d'arrivée, A et B, et qu'il est indépendant du chemin réel entre eux, tant qu'il commence en A et se termine en B. C'est-à-dire que le chemin réel peut impliquer des allers-retours avant de se terminer.
Une autre chose intéressante à noter à propos de l'équation \ ref {7.5} est que, dans ce cas unidimensionnel, vous pouvez facilement voir la correspondance entre le travail effectué par une force et l'aire sous la courbe de la force par rapport à son déplacement. Rappelons qu'en général, une intégrale unidimensionnelle est la limite de la somme des infinitésimaux, f (x) dx, représentant l'aire des bandes, comme le montre la figure\(\PageIndex{7}\). Dans l'équation \ ref {7.5}, puisque F = −kx est une ligne droite avec une pente −k, lorsqu'elle est tracée par rapport à x, la « surface » sous la ligne est juste une combinaison algébrique de « zones » triangulaires, où les « zones » au-dessus de l'axe x sont positives et celles situées en dessous sont négatives, comme le montre la figure\(\PageIndex{8}\). La magnitude de l'une de ces « zones » est juste la moitié de la base du triangle, le long de l'axe des abscisses, multipliée par la hauteur du triangle, le long de l'axe de force. (Il y a des guillemets autour de la « surface », car ce produit basé sur la hauteur de base contient les unités de travail, plutôt que les mètres carrés.)
Un ressort parfaitement élastique nécessite 0,54 J de travail pour s'étirer à 6 cm de sa position d'équilibre, comme sur la figure\(\PageIndex{6b}\). (a) Quelle est sa constante de ressort k ? (b) Combien de travail faut-il pour l'étirer de 6 cm supplémentaires ?
Stratégie
Le travail « requis » désigne le travail effectué contre la force du ressort, qui est la valeur négative du travail effectué dans l'équation \ ref {7.5}, c'est-à-dire
\[W = \frac{1}{2} k (x_{B}^{2} - x_{A}^{2}) \ldotp \nonumber\]
Pour la partie (a), x A = 0 et x B = 6 cm ; pour la partie (b), x B = 6 cm et x B = 12 cm. Dans la partie (a), le travail est donné et vous pouvez résoudre la constante de ressort ; dans la partie (b), vous pouvez utiliser la valeur de k, issue de la partie (a), pour résoudre le travail.
Solution
- \ [W = 0,54 \ ; J = \ frac {1} {2} k [(6 \ ; cm) ^ {2} - 0], \ ; donc \ ; k = 3 \ ; N/cm \ ldotp \ nonumber$$
- \ [W = \ frac {1} {2} (3 \ ; N/cm) [(12 \ ; cm) ^ {2} - (6 \ ; cm) ^ {2}], \ ; donc \ ; k = 1,62 \ ; J \ ldotp \ nonumber$$
L'importance
Comme le travail effectué par une force de ressort est indépendant de la trajectoire, il suffit de calculer la différence de la quantité\(\frac{1}{2}\) kx 2 aux extrémités. Notez que le travail requis pour étirer le ressort de 0 à 12 cm est quatre fois supérieur à celui requis pour l'étirer de 0 à 6 cm, car ce travail dépend du carré de la quantité d'étirement par rapport à l'équilibre,\(\frac{1}{2}\) kx 2. Dans ce cas, le travail d'étirement du ressort de 0 à 12 cm est également égal au travail pour un trajet composite de 0 à 6 cm suivi d'un étirement supplémentaire de 6 cm à 12 cm. Par conséquent, 4W (0 cm à 6 cm) = W (0 cm à 6 cm) + W (6 cm à 12 cm), ou W (6 cm à 12 cm) = 3W (0 cm à 6 cm), comme nous l'avons vu ci-dessus.
Le ressort de l'exemple\(\PageIndex{5}\) est comprimé à 6 cm de sa longueur d'équilibre. (a) La force du ressort exerce-t-elle un effet positif ou négatif et (b) quelle en est l'ampleur ?