4.3 : Vecteur d'accélération

Objectifs d'apprentissage

• Calculez le vecteur d'accélération en fonction de la fonction de vitesse en notation vectorielle unitaire.
• Décrivez le mouvement d'une particule avec une accélération constante en trois dimensions.
• Utilisez les équations de mouvement unidimensionnelles le long d'axes perpendiculaires pour résoudre un problème en deux ou trois dimensions avec une accélération constante.
• Exprime l'accélération en notation vectorielle unitaire.

Accélération instantanée

En plus d'obtenir les vecteurs de déplacement et de vitesse d'un objet en mouvement, nous voulons souvent connaître son vecteur d'accélération à tout moment de sa trajectoire. Ce vecteur d'accélération est l'accélération instantanée et il peut être obtenu à partir de la dérivée par rapport au temps de la fonction de vitesse, comme nous l'avons vu dans un chapitre précédent. La seule différence entre deux ou trois dimensions est qu'il s'agit désormais de quantités vectorielles. En prenant la dérivée par rapport au temps\(\vec{v}\) (t), nous trouvons

\[\vec{a} (t) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\vec{v} (t + \Delta t) - \vec{v} (t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{v} (t)}{dt} \ldotp \label{4.8}\]

L'accélération en termes de composants est

\[\vec{a} (t) = \frac{dv_{x} (t)}{dt}\; \hat{i} + \frac{dv_{y} (t)}{dt}\; \hat{j} + \frac{dv_{z} (t)}{dt}\; \hat{k} \ldotp \label{4.9}\]

De plus, puisque la vitesse est la dérivée de la fonction de position, nous pouvons écrire l'accélération en termes de dérivée seconde de la fonction de position :

\[\vec{a} (t) = \frac{d^{2} x(t)}{dt^{2}}\; \hat{i} + \frac{d^{2} y(t)}{dt^{2}}\; \hat{j} + \frac{d^{2} z(t)}{dt^{2}}\; \hat{k} \ldotp \label{4.10}\]

Exemple 4.4 : Recherche d'un vecteur d'accélération

Une particule a une vitesse de\(\vec{v} (t) = 5.0t \hat{i} + t^2 \hat{j} − 2.0t^3 \hat{k}\, m/s\).

1. Qu'est-ce que la fonction d'accélération ?
2. Quel est le vecteur d'accélération à t = 2,0 s ? Déterminez sa magnitude et sa direction.

Solution

1. Nous prenons la dérivée première par rapport au temps de la fonction de vitesse pour trouver l'accélération. Le dérivé est pris composant par composant :\[\vec{a} (t) = 5.0\; \hat{i} + 2.0t\; \hat{j} - 6.0t^{2}\; \hat{k}\; m/s^{2} \ldotp \nonumber\]
2. L'évaluation nous\(\vec{a} (2.0\; s) = 5.0 \hat{i} + 4.0 \hat{j} - 24.0 \hat{k} \, m/s^2\) donne la direction en notation vectorielle unitaire. L'amplitude de l'accélération est\[|\vec{a} (2.20\; s)| = \sqrt{5.0^{2} + 4.0^{2} + (-24.0)^{2}} = 24.8\; m/s^{2} \ldotp \nonumber\]

L'importance

Dans cet exemple, nous constatons que l'accélération dépend du temps et qu'elle change tout au long du mouvement. Considérons une fonction de vitesse différente pour la particule.

Exemple 4.5 : Déterminer l'accélération d'une particule

Une particule possède une fonction de position :\(\vec{r} (t) = (10t − t^2) \hat{i} + 5t \hat{j} + 5t \hat{k} \,m\).

1. Quelle est la vélocité ?
2. Qu'est-ce que l'accélération ?
3. Décrivez la motion de\(t = 0\, s\).

Stratégie

Nous pouvons mieux comprendre le problème en examinant la fonction de position. Elle est linéaire en y et en z, donc nous savons que l'accélération dans ces directions est nulle lorsque nous prenons la dérivée seconde. Notez également que la position dans la direction x est nulle pour t = 0 s et t = 10 s.

Solution

1. En prenant la dérivée par rapport au temps de la fonction de position, nous trouvons\(\vec{v} (t) = (10 − 2t) \hat{i} + 5 \hat{j} + 5 \hat{k}\, m/s\). La fonction de vitesse est linéaire dans le temps dans la direction x et constante dans les directions y et z.
2. En prenant la dérivée de la fonction de vitesse, nous trouvons que\[\vec{a}(t) = −2\; \hat{i} \,m/s^{2} \ldotp \nonumber\] le vecteur d'accélération est une constante dans la direction X négative.
3. La trajectoire de la particule est visible sur la figure\(\PageIndex{1}\). Regardons d'abord dans les directions y et z. La position de la particule augmente régulièrement en fonction du temps avec une vitesse constante dans ces directions. Dans la direction x, cependant, la particule suit une trajectoire en x positif jusqu'à t = 5 s, lorsqu'elle inverse la direction. Nous le savons en examinant la fonction de vitesse, qui devient nulle à ce moment et négative par la suite. Nous le savons également parce que l'accélération est négative et constante, c'est-à-dire que la particule décélère ou accélère dans la direction négative. La position de la particule atteint 25 m, puis elle change de direction et commence à accélérer dans la direction x négative. La position atteint zéro à t = 10 s.

Figure\(\PageIndex{1}\) : La particule commence au point (x, y, z) = (0, 0, 0) avec le vecteur de position\(\vec{r}\) = 0. La projection de la trajectoire sur le plan xy est montrée. Les valeurs de y et de z augmentent linéairement en fonction du temps, tandis que x a un point de rotation à t = 5 s et 25 m lorsqu'il change de direction. À ce stade, la composante x de la vitesse devient négative. À t = 10 s, la particule revient à 0 m dans la direction x.

Exercice 4.2

Supposons que la fonction d'accélération ait la forme\(\vec{a}\) (t) = a\(\hat{i}\)\(\hat{j}\) + b + c\(\hat{k}\) m/s ², où a, b et c sont des constantes. Que peut-on dire de la forme fonctionnelle de la fonction de vitesse ?

Accélération constante

Les mouvements multidimensionnels à accélération constante peuvent être traités de la même manière que dans le chapitre précédent pour les mouvements unidimensionnels. Nous avons montré précédemment qu'un mouvement tridimensionnel équivaut à trois mouvements unidimensionnels, chacun le long d'un axe perpendiculaire aux autres. Pour développer les équations pertinentes dans chaque direction, examinons le problème bidimensionnel d'une particule se déplaçant dans le plan xy avec une accélération constante, en ignorant la composante z pour le moment. Le vecteur d'accélération est

\[\vec{a} = a_{0x}\; \hat{i} + a_{0y}\; \hat{j} \ldotp\]

Chaque composante du mouvement possède un ensemble distinct d'équations similaires à l'équation 3.10 — Équation 3.14 du chapitre précédent sur le mouvement unidimensionnel. Nous ne montrons que les équations de position et de vitesse dans les directions x et y. Un ensemble similaire d'équations cinématiques peut être écrit pour le mouvement dans la direction z :

\[x(t) = x_{0} + (v_{x})_{avg} t \label{4.11}\]

\[v_{x}(t) = v_{0x} + a_{x}t \label{4.12}\]

\[x(t) = x_{0} + v_{0x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2} \label{4.13}\]

\[v_{x}^{2} (t) = v_{0x}^{2} + 2a_{x}(x − x_{0}) \label{4.14}\]

\[y(t) = y_{0} + (v_{y})_{avg} t \label{4.15}\]

\[v_{y}(t) = v_{0y} + a_{y} t \label{4.16}\]

\[y(t) = y_{0} + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} \label{4.17}\]

\[v_{y}^{2} (t) = v_{0y}^{2} + 2a_{y}(y − y_{0}) \ldotp \label{4.18}\]

Ici, l'indice 0 indique la position ou la vitesse initiale. L'équation \ ref {4.11} à \ ref {4.18} peut être substituée dans l'équation 4.2 et l'équation 4.5 sans la composante z pour obtenir le vecteur de position et le vecteur de vitesse en fonction du temps en deux dimensions :

\[\vec{r} (t) = x(t)\; \hat{i} + y(t)\; \hat{j}\]

et

\[\vec{v} (t) = v_{x} (t)\; \hat{i} + v_{y} (t)\; \hat{j} \ldotp\]

L'exemple suivant illustre une utilisation pratique des équations cinématiques en deux dimensions.

Exemple 4.6 : Un skieur

La figure\(\PageIndex{2}\) montre un skieur se déplaçant avec une accélération de 2,1 m/s ² sur une pente de 15° à t = 0. Comme le système de coordonnées se trouve à l'avant du pavillon, sa position initiale et sa vitesse sont

\[\vec{r} (0) = (7.50\; \hat{i} - 50.0\; \hat{j}) m \nonumber\]

et

\[\vec{v} (0) = (4.1\; \hat{i} - 1.1\; \hat{j}) m/s \nonumber\]

1. Quelles sont les composantes x et y de la position et de la vitesse du skieur en fonction du temps ?
2. Quelles sont sa position et sa vitesse à t = 10,0 s ?

Figure\(\PageIndex{2}\) : Un skieur a une accélération de 2,1 m/s ² sur une pente de 15°. L'origine du système de coordonnées se trouve au chalet de ski.

Stratégie

Puisque nous évaluons les composantes des équations de mouvement dans les directions x et y, nous devons trouver les composantes de l'accélération et les intégrer aux équations cinématiques. Les composantes de l'accélération sont trouvées en se référant au système de coordonnées de la figure\(\PageIndex{2}\). Ensuite, en insérant les composantes de la position et de la vitesse initiales dans les équations de mouvement, nous pouvons résoudre sa position et sa vitesse à un moment ultérieur t.

Solution

1. L'origine du système de coordonnées se trouve au sommet de la colline, l'axe Y étant vertical vers le haut et l'axe des abscisses étant horizontal. En observant la trajectoire du skieur, la composante x de l'accélération est positive et la composante y est négative. Puisque l'angle est de 15° en bas de la pente, nous trouvons $$a_ {x} = (2,1 \ ; m/s^ {2}) \ cos (15^ {o}) = 2,0 \ ; m/s^ {2} $$ $a_ {y} = (−2,1 \ ; m/s^ {2}) \ sin (15^ {o}) = −0,54 \ ; m/s^ {2} \ l dotp$$ En insérant la position et la vitesse initiales dans les équations \ ref {4.12} et \ ref {4.13} pour x, nous avons $$x (t) = 75,0 \ ; m + (4,1 \ ; m/s) t + \ frac {1 } {2} (2,0 \ ; m/s^ {2}) t^ {2} $$$v_ {x} (t) = 4,1 \ ; m/s + (2,0 \ ; m/s^ {2}) t \ ldotp$$ Pour y, nous avons $$y (t) = -50,0,0 \ ; m + (-1,1 \ ; m/s) t + \ frac {1} {2} (-50,0,0 \ ; m/s) t + \ frac {1} {2} (-50,0,0 \ ; m/s) t + \ frac {1} {2} (-50,0,0 \ ; m/s) t + \ 0,54 \ ; m/s^ {2}) t^ {2} $$ $v_ {y} (t) = -1,1 \ ; m/s + (-0,54 \ ; m/s^ {2}) t \ ldotp$$
2. Maintenant que nous avons les équations du mouvement pour x et y en fonction du temps, nous pouvons les évaluer à t = 10,0 s : $$x (10,0 \ ; s) = 75,0 \ ; m + (4,1 \ ; m/s) (10,0 \ ; s) + \ frac {1} {2} (2,0 \ ; m/s^ {2}) (10,0 \ ; s) ^ {2} = 216,0 \ ; m$$ $v_ {x} (10,0 \ ; s) = 4,1 \ ; m/s + (2,0 \ ; m/s^ {2}) (10,0 \ ; s) = 24,1 \ ; m/s$$ $y (10,0) = -50,0,0 \ ; m + (-1,1 \ ; m/s) (10,0 \ ; s) + \ frac {1} {2} (-0,54 \ ; m/s^ {2}) (10,0 \ ; s) ^ {2} $$ $v_ {y} (10,0 \ ; s) = -1,1 \ ; m/s + (-0,54 \ ; m/s^ {2}) (10,0 \ ; s) \ ldotp$ La position et la vitesse à t = 10,0 s sont enfin $$ \ vec {r} (10,0 \ ; s) = (216,0 \ ; \ hat {i} - 88,0 \ ; \ hat {j}) m$$ $$ \ vec {v} (10,0 \ ; s) = (24,1 \ ; \ hat {i} - 6,5 \ ; \ hat {j} ) m/s \ ldotp$$ La vitesse du skieur à 10,0 s est de 25 m/s, soit 60 mi/h.

L'importance

Il est utile de savoir que, compte tenu des conditions initiales de position, de vitesse et d'accélération d'un objet, nous pouvons déterminer la position, la vitesse et l'accélération à tout moment ultérieurement.

Avec les équations \ ref {4.8} - \ ref {4.10}, nous avons complété l'ensemble des expressions pour la position, la vitesse et l'accélération d'un objet se déplaçant en deux ou trois dimensions. Si les trajectoires des objets ressemblent aux « flèches rouges » dans l'image d'ouverture du chapitre, les expressions de position, de vitesse et d'accélération peuvent être assez compliquées. Dans les sections qui suivent, nous examinons deux cas particuliers de mouvement en deux et trois dimensions en examinant le mouvement du projectile et le mouvement circulaire.

Simulation

Sur ce site Web de l'université du Colorado à Boulder, vous pouvez explorer la position, la vitesse et l'accélération d'une coccinelle grâce à une simulation interactive qui vous permet de modifier ces paramètres.