7.E : Mécanique quantique (exercices)

Questions conceptuelles

7.1 Fonctions ondulatoires

1. Quelle est l'unité physique d'une fonction ondulatoire,\(\displaystyle Ψ(x,t)\) ? Quelle est l'unité physique du carré de cette fonction d'onde ?

2. L'amplitude d'une fonction d'onde peut-elle\(\displaystyle (Ψ∗(x,t)Ψ(x,t))\) être un nombre négatif ? Expliquez.

3. Quel type de quantité physique représente la fonction d'onde d'un électron ?

4. Quelle est la signification physique de la fonction ondulatoire d'une particule ?

5. Que signifie l'expression « valeur attendue » ? Expliquez.

7.2 Le principe d'incertitude de Heisenberg

6. Si le formalisme de la mécanique quantique est « plus exact » que celui de la mécanique classique, pourquoi ne pas utiliser la mécanique quantique pour décrire le mouvement d'une grenouille qui saute ? Expliquez.

7. La longueur d'onde de Broglie d'une particule peut-elle être connue avec précision ? La position d'une particule peut-elle être connue avec précision ?

8. Pouvons-nous mesurer l'énergie d'une particule localisée libre avec une précision totale ?

9. Pouvons-nous mesurer à la fois la position et la quantité de mouvement d'une particule avec une précision totale ?

7.3 L'équation de SchrDinger

10. Quelle est la différence entre une fonction d'onde\(\displaystyle ψ(x,y,z)\) et une fonction d'onde\(\displaystyle Ψ(x,y,z,t)\) pour la même particule ?

11. Si une particule quantique est dans un état stationnaire, cela signifie-t-il qu'elle ne bouge pas ?

12. Expliquez la différence entre les équations de Schrdinger dépendantes du temps et indépendantes.

13. Supposons qu'une fonction d'onde soit discontinue à un moment donné. Cette fonction peut-elle représenter l'état quantique d'une particule physique ? Pourquoi ? Pourquoi pas ?

7.4 La particule quantique dans une boîte

14. À l'aide de la particule quantique dans un modèle de boîte, décrivez comment les énergies possibles de la particule sont liées à la taille de la boîte.

15. Est-il possible que lorsque nous mesurons l'énergie d'une particule quantique dans une boîte, la mesure renvoie une valeur inférieure à l'énergie de l'état fondamental ? Quelle est la valeur la plus élevée de l'énergie que nous pouvons mesurer pour cette particule ?

16. Pour une particule quantique dans une boîte, le premier état excité (\(\displaystyle Ψ_2\)) a une valeur nulle au point médian de la boîte, de sorte que la densité de probabilité de trouver une particule à ce point est exactement nulle. Expliquez ce qui ne va pas avec le raisonnement suivant : « Si la probabilité de trouver une particule quantique au point médian est nulle, la particule n'est jamais à ce point, n'est-ce pas ? Comment se fait-il alors que la particule puisse traverser ce point en se déplaçant du côté gauche vers le côté droit de la boîte ?

7.5 L'oscillateur harmonique quantique

17. Est-il possible de mesurer l'énergie\(\displaystyle 0.75ℏω\) d'un oscillateur harmonique quantique ? Pourquoi ? Pourquoi pas ? Expliquez.

18. Expliquez le lien entre l'hypothèse des quanta d'énergie de Planck et les énergies de l'oscillateur harmonique quantique.

19. Si un oscillateur harmonique classique peut être au repos, pourquoi l'oscillateur harmonique quantique ne peut-il jamais être au repos ? Est-ce que cela viole celui de Bohr ?

principe de correspondance ?

20. Utilisez l'exemple d'une particule quantique dans une boîte ou d'un oscillateur quantique pour expliquer la signification physique du principe de correspondance de Bohr.

21. Pouvons-nous mesurer simultanément la position et l'énergie d'un oscillateur quantique ? Pourquoi ? Pourquoi pas ?

7.6 Le tunnelage quantique des particules à travers des barrières potentielles

22. Lorsqu'un électron et un proton de la même énergie cinétique rencontrent une barrière potentielle de même hauteur et de même largeur, lequel d'entre eux

traverser la barrière plus facilement ? Pourquoi ?

23. Qu'est-ce qui diminue le plus la probabilité de création d'un tunnel : doubler la largeur de la barrière ou diviser par deux l'énergie cinétique de la particule incidente ?

24. Expliquez la différence entre un potentiel de boîte et le potentiel d'un point quantique.

25. Une particule quantique peut-elle « s'échapper » d'un potentiel infini comme cela se trouve dans une boîte ? Pourquoi ? Pourquoi pas ?

26. Une diode tunnel et une diode à effet tunnel résonnant utilisent toutes deux le même principe physique du tunneling quantique. En quoi sont-ils différents ?

Problèmes

7.1 Fonctions ondulatoires

27. Calculez\(\displaystyle |Ψ(x,t)|^2\) pour la fonction\(\displaystyle Ψ(x,t)=ψ(x)sinωt\), où\(\displaystyle ω\) est une constante réelle.

28. Compte tenu de la fonction à valeurs complexes\(\displaystyle f(x,y)=(x−iy)/(x+iy)\), calculez\(\displaystyle |f(x,y)|^2\).

29. Laquelle des fonctions suivantes, et pourquoi, est considérée comme une fonction ondulatoire d'une particule capable de se déplacer le long de l'axe réel entier ?

a)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−x^2}\) ;

(b)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−x};\)

c)\(\displaystyle ψ(x)=Atanx\) ;

d)\(\displaystyle ψ(x)=A(sinx)/x\) ;

(e)\(\displaystyle ψ(x)=Ae^{−|x|}\).

30. Une particule dont la masse m se déplace le long de l'axe x et dont l'état quantique est représentée par la fonction d'onde suivante :\(\displaystyle Ψ(x,t)=\begin{cases}0&x<0\\Axe^{−αx}e^{−iEt/ℏ}&,x≥0\end{cases}\), où\(\displaystyle α=2.0×10^{10}m^{−1}\).

(a) Trouvez la constante de normalisation.

(b) Déterminez la probabilité que la particule soit trouvée sur l'intervalle\(\displaystyle 0≤x≤L\).

(c) Déterminez la valeur attendue de la position.

(d) Déterminer la valeur attendue de l'énergie cinétique.

31. La fonction d'onde d'une particule de masse m est donnée par\(\displaystyle ψ(x)=\begin{cases}Acosαx&−\frac{π}{2α}≤x≤+\frac{π}{2α}\\0&otherwise\end{cases}\), où\(\displaystyle α=1.00×10^{10}/m\).

(a) Trouvez la constante de normalisation.

(b) Déterminez la probabilité que la particule soit trouvée sur l'intervalle\(\displaystyle 0≤x≤0.5×10^{−10}m\).

(c) Détermine la position moyenne de la particule.

(d) Déterminer sa dynamique moyenne.

(e) Détermine son énergie cinétique moyenne\(\displaystyle −0.5×10^{−10}m≤x≤+0.5×10^{−10}m\).

7.2 Le principe d'incertitude de Heisenberg

32. Une mesure de la vitesse\(\displaystyle α\) d'une particule a été réalisée avec une précision de 0,02 mm/s. Quelle est l'incertitude minimale quant à sa position ?

33. Un gaz d'atomes d'hélium à 273 K se trouve dans un récipient cubique de 25,0 cm de côté.

a) Quelle est l'incertitude minimale concernant les composantes de la quantité de mouvement des atomes d'hélium ?

(b) Quelle est l'incertitude minimale des composantes de vitesse ?

(c) Déterminer le ratio des incertitudes dans

(b) à la vitesse moyenne d'un atome dans chaque direction.

34. Si l'incertitude de la\(\displaystyle y\) composante -de la position d'un proton est de 2,0 pm, déterminez l'incertitude minimale dans la mesure simultanée de la\(\displaystyle y\) composante de vitesse du proton. Quelle est l'incertitude minimale lors de la mesure simultanée de la composante xx de la vitesse du proton ?

35. Certaines particules élémentaires instables ont une énergie au repos de 80,41 GeV et une incertitude quant à l'énergie au repos de 2,06 GeV. Estimez la durée de vie de cette particule.

36. Un atome à l'état métastable a une durée de vie de 5,2 ms. Déterminez l'incertitude minimale dans la mesure de l'énergie de l'état excité.

37. Les mesures indiquent qu'un atome reste dans un état excité pendant une durée moyenne de 50,0 ns avant de passer à l'état fondamental avec l'émission simultanée d'un photon de 2,1 eV.

(a) Estimez l'incertitude quant à la fréquence du photon.

(b) De quelle fraction de la fréquence moyenne du photon s'agit-il ?

38. Supposons qu'un électron soit confiné dans une région d'une longueur de 0,1 nm (de l'ordre de la taille d'un atome d'hydrogène).

a) Quelle est l'incertitude minimale quant à sa dynamique ?

(b) Quelle serait l'incertitude quant à la quantité de mouvement si la région de longueur confinée doublait pour atteindre 0,2 nm ?

7.3 L'équation de SchrDinger

39. Combinez l'équation\(7.4.1\) et l'équation\(7.4.2\) pour afficher\(\displaystyle k^2=\frac{ω^2}{c^2}\).

40. Montrez que\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\) c'est une solution valide à l'équation dépendante du temps de Schrdinger.

41. Montrez cela\(\displaystyle Ψ(x,t)=Asin(kx−ωt)\) et\(\displaystyle Ψ(x,t)=Acos(kx−ωt)\) n'obéissez pas à l'équation dépendante du temps de Schrdinger.

42. Montrez que lorsque\(\displaystyle Ψ_1(x,t)\) et\(\displaystyle Ψ_2(x,t)\) sont des solutions à l'équation de SchrDinger dépendante du temps et que A, B sont des nombres, alors une fonction\(\displaystyle Ψ(x,t)\) qui est une superposition de ces fonctions est également une solution :\(\displaystyle Ψ(x,t)=AΨ_1(x,t)+BΨ_1(x,t)\).

43. Une particule de masse m est décrite par la fonction d'onde suivante :\(\displaystyle ψ(x)=Acoskx+Bsinkx\), où A, B et k sont des constantes. En supposant que la particule est libre, montrez que cette fonction est la solution de l'équation stationnaire de SchrDinger pour cette particule et trouvez l'énergie que possède la particule dans cet état.

44. Détermine la valeur attendue de l'énergie cinétique de la particule dans l'état,\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\). Quelle conclusion pouvez-vous tirer de votre solution ?

45. Détermine la valeur attendue du carré de la quantité de mouvement au carré pour la particule dans l'état,\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(kx−ωt)}\). Quelle conclusion pouvez-vous tirer de votre solution ?

46. Un proton libre a une fonction d'onde donnée par\(\displaystyle Ψ(x,t)=Ae^{i(5.02×10^{11}x−8.00×10^{15}t)}\). Le coefficient de x est l'inverse des mètres (\(\displaystyle m^{−1}\)) et le coefficient de t est l'inverse des secondes (\(\displaystyle s^{−1}\)). Trouvez son élan et son énergie.

7.4 La particule quantique dans une boîte

47. Supposons qu'un électron d'un atome puisse être traité comme s'il était confiné dans une boîte de largeur\(\displaystyle 2.0Å\). Quelle est l'énergie fondamentale de l'électron ? Comparez votre résultat à l'énergie cinétique de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène.

48. Supposons qu'un proton d'un noyau puisse être traité comme s'il était confiné dans une boîte unidimensionnelle d'une largeur de 10,0 cm.

(a) Quelles sont les énergies du proton lorsqu'il se trouve dans les états correspondant à\(\displaystyle n=1, n=2,\) et\(\displaystyle n=3\) ?

(b) Quelles sont les énergies des photons émis lorsque le proton effectue la transition entre le premier et le deuxième état excité et l'état fondamental ?

49. Un électron confiné dans une boîte possède une énergie fondamentale de 2,5 eV. Quelle est la largeur de la boîte ?

50. Quelle est l'énergie de l'état fondamental (en eV) d'un proton confiné dans une boîte unidimensionnelle de la taille du noyau d'uranium dont le rayon est d'environ 15,0 fm ?

51. Quelle est l'énergie de l'état fondamental (en eV) d'une particule α confinée dans une boîte unidimensionnelle de la taille du noyau d'uranium dont le rayon est d'environ 15,0 fm ?

52. Pour exciter un électron dans une boîte unidimensionnelle de son premier état excité à son troisième état excité, il faut 20,0 eV. Quelle est la largeur de la boîte ?

53. Un électron confiné dans une boîte de 0,15 nm de largeur par des barrières d'énergie potentielle infinies émet un photon lorsqu'il passe du premier état excité à l'état fondamental. Détermine la longueur d'onde du photon émis.

54. Si l'énergie du premier état excité de l'électron dans la boîte est de 25,0 eV, quelle est la largeur de la boîte ?

55. Supposons qu'un électron confiné dans une boîte émette des photons. La plus longue longueur d'onde enregistrée est de 500,0 nm. Quelle est la largeur de la boîte ?

56. Les\(\displaystyle H_2\) molécules d'hydrogène sont conservées à 300,0 K dans un récipient cubique d'une longueur latérale de 20,0 cm. Supposons que vous puissiez traiter les molécules comme si elles se déplaçaient dans une boîte unidimensionnelle.

(a) Déterminez l'énergie fondamentale de la molécule d'hydrogène dans le contenant.

(b) Supposons que la molécule possède une énergie thermique donnée par\(\displaystyle k_BT/2\) et trouvez le nombre quantique n correspondant de l'état quantique qui correspondrait à cette énergie thermique.

57. Un électron est confiné dans une boîte de 0,25 nm de largeur.

(a) Tracez un diagramme des niveaux d'énergie représentant les cinq premiers états de l'électron.

(b) Calculez les longueurs d'onde des photons émis lorsque l'électron effectue des transitions entre le quatrième et le deuxième état excité, entre le deuxième état excité et l'état fondamental, et entre le troisième et le deuxième état excité.

58. Un électron dans une boîte est à l'état fondamental avec une énergie de 2,0 eV.

(a) Trouvez la largeur de la boîte.

(b) Quelle quantité d'énergie est nécessaire pour exciter l'électron jusqu'à son premier état excité ?

(c) Si l'électron passe d'un état excité à l'état fondamental avec l'émission simultanée d'un photon de 30,0 eV, trouver le numéro quantique de l'état excité ?

7.5 L'oscillateur harmonique quantique

59. Montrez que les deux états d'énergie les plus faibles de l'oscillateur harmonique simple,\( ψ_0(x) \) et\( ψ_1(x) \) de\[\psi_n (x) = N_n e^{-\beta^2 x^2/2} H_n (\beta x) \nonumber \] avec,\(n = 0,1,2,3, ...\) satisfont à l'équation de SchrDinger correspondante indépendante du temps\[-\dfrac{\hbar}{2m} \dfrac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \dfrac{1}{2}m\omega^2 x^2 \psi(x) = E\psi (x). \nonumber \]

60. Si l'énergie fondamentale d'un oscillateur harmonique simple est de 1,25 eV, quelle est la fréquence de son mouvement ?

61. Lorsqu'un oscillateur harmonique quantique passe de l'\(\displaystyle (n+1)\)état à l'état n et émet un photon de 450 nm, quelle est sa fréquence ?

62. Les vibrations de la molécule d'hydrogène\(\displaystyle H_2\) peuvent être modélisées comme un simple oscillateur harmonique avec la constante\(\displaystyle k=1.13×10^3N/m\) et la masse du ressort\(\displaystyle m=1.67×10^{−27}kg\).

(a) Quelle est la fréquence vibratoire de cette molécule ?

(b) Quelles sont l'énergie et la longueur d'onde du photon émis lorsque la molécule fait la transition entre ses troisième et deuxième états excités ?

63. Une particule d'une masse de 0,030 kg oscille d'avant en arrière sur un ressort à une fréquence de 4,0 Hz. À la position d'équilibre, elle a une vitesse de 0,60 m/s. Si la particule est dans un état d'énergie défini, trouvez son nombre quantique d'énergie.

64. Détermine la valeur attendue\(\displaystyle x^2\) ⟩ du carré de la position d'un oscillateur harmonique quantique à l'état fondamental. Remarque :\(\displaystyle ∫^{+∞}_{−∞}dxx^2e ^{−ax^2}=\sqrt{π}(2a^{3/2})^{−1}\).

65. Déterminez la valeur attendue de l'énergie potentielle pour un oscillateur harmonique quantique à l'état fondamental. Utilisez-le pour calculer la valeur attendue de l'énergie cinétique.

66. Vérifiez que l'\(\displaystyle ψ_1(x)\)équation 7.57 est une solution de l'équation de SchrDinger pour l'oscillateur harmonique quantique.

67. Estimez l'énergie fondamentale de l'oscillateur harmonique quantique selon le principe d'incertitude de Heisenberg. Commencez par supposer que le produit\(\displaystyle Δx\) des incertitudes\(\displaystyle Δp\) est à son minimum. Écrivez\(\displaystyle Δp\) en termes de\(\displaystyle Δx\) et supposez que pour l'état\(\displaystyle x≈Δx\) fondamental\(\displaystyle p≈Δp\), puis écrivez l'énergie de l'état fondamental en termes de x. Enfin, trouvez la valeur de x qui minimise l'énergie et trouvez le minimum d'énergie.

68. Une masse de 0,250 kg oscille sur un ressort avec une force constante de 110 N/m. Calculez le niveau d'énergie du sol et la séparation entre les niveaux d'énergie adjacents. Exprime les résultats en joules et en électronvolts. Les effets quantiques sont-ils importants ?

7.6 Le tunnelage quantique des particules à travers des barrières potentielles

69. Montrez que la fonction d'onde dans

(a) L'équation 7.68 satisfait l'équation 7.61, et

(b) L'équation 7.69 satisfait l'équation 7.63.

70. Un électron de 6,0 eV impacte une barrière d'une hauteur de 11,0 eV. Détermine la probabilité que l'électron traverse la barrière si la largeur de la barrière est

(a) 0,80 nm et

(b) 0,40 nm.

71. Un électron de 5,0 eV impacte une barrière de 0,60 nm. Détermine la probabilité que l'électron traverse la barrière si la hauteur de la barrière est

a) 7,0 eV ;

(b) 9,0 eV ; et

(c) 13,0 eV.

72. Un électron de 12,0 eV rencontre une barrière d'une hauteur de 15,0 eV. Si la probabilité que les électrons traversent la barrière est de 2,5 %, déterminez sa largeur.

73. Une particule quantique dont l'énergie cinétique initiale est de 32,0 eV rencontre une barrière carrée d'une hauteur de 41,0 eV et d'une largeur de 0,25 nm. Déterminez la probabilité que la particule traverse cette barrière si elle est

(a) un électron et,

(b) un proton.

74. Un modèle simple de désintégration nucléaire radioactive suppose que les\(\displaystyle α\) particules sont piégées à l'intérieur d'un puits de potentiel nucléaire et que les parois constituent les barrières d'une largeur finie de 2,0 fm et d'une hauteur de 30,0 MeV. Déterminer la probabilité de création d'un tunnel à travers la barrière potentielle de la paroi pour les particules αα ayant une énergie cinétique

a) 29,0 MeV et

b) 20,0 MeV. La masse de la\(\displaystyle α\) particule est de\(\displaystyle m=6.64×10^{−27}kg\).

75. Un muon, une particule quantique dont la masse est environ 200 fois supérieure à celle d'un électron, est incident sur une barrière de potentiel d'une hauteur de 10,0 eV. L'énergie cinétique du muon impactant est de 5,5 eV et seulement environ 0,10 % de l'amplitude carrée de sa fonction d'onde entrante passe à travers la barrière. Quelle est la largeur de la barrière ?

76. Un grain de sable d'une masse de 1,0 mg et d'une énergie cinétique de 1,0 J est incident sur une barrière énergétique potentielle d'une hauteur de 1,000001 J et d'une largeur de 2 500 nm. Combien de grains de sable doivent tomber sur cette barrière avant que, en moyenne, l'un d'entre eux ne le franchisse ?

Problèmes supplémentaires

77. Montrez que si l'incertitude quant à la position d'une particule est de l'ordre de sa longueur d'onde de Broglie, alors l'incertitude de sa quantité de mouvement est de l'ordre de la valeur de sa quantité de mouvement.

78. La masse d'un\(\displaystyle ρ\) méson est mesurée\(\displaystyle 770MeV/c^2\) avec une incertitude de\(\displaystyle 100MeV/c^2\). Estimez la durée de vie de ce méson.

79. Une particule de masse m est confinée dans une boîte de largeur L. Si la particule est dans le premier état excité, quelles sont les probabilités de la trouver dans une région de largeur 0,020 L autour du point x donné :

a)\(\displaystyle x=0.25L\) ;

b)\(\displaystyle x=0.40L\) ;

(c)\(\displaystyle x=0.75L\) ; et

(d)\(\displaystyle x=0.90L\).

80. Une particule dans une boîte [0 ; L] est dans le troisième état excité. Quelles sont ses positions les plus probables ?

81. Une boule de billard de 0,20 kg rebondit d'avant en arrière sans perdre son énergie entre les coussins d'une table de 1,5 m de long

(a) Si la balle est dans son état de sol, combien d'années faut-il pour passer d'un coussin à l'autre ? Vous pouvez comparer cet intervalle de temps à l'âge de l'univers.

(b) Quelle quantité d'énergie est nécessaire pour faire passer la balle de son état fondamental à son premier état excité ? Comparez-la à l'énergie cinétique de la balle se déplaçant à 2,0 m/s.

82. Détermine la valeur attendue de la position au carré lorsque la particule de la boîte est dans son troisième état excité et que la longueur de la boîte est L.

83. Considérez un puits carré infini avec des limites murales\(\displaystyle x=0\) et\(\displaystyle x=L\). Montrez que la fonction\(\displaystyle ψ(x)=Asinkx\) est la solution à l'équation stationnaire de SchrDinger pour la particule dans une boîte uniquement si\(\displaystyle k=\sqrt{2mE}/ℏ\). Expliquez pourquoi il s'agit d'une fonction d'onde acceptable uniquement si k est un multiple entier de\(\displaystyle π/L\).

84. Considérez un puits carré infini avec des limites murales\(\displaystyle x=0\) et\(\displaystyle x=L\). Expliquez pourquoi la fonction n'\(\displaystyle ψ(x)=Acoskx\)est pas une solution à l'équation stationnaire de SchrDinger pour la particule dans une boîte.

85. Les atomes d'un réseau cristallin vibrent selon un mouvement harmonique simple. En supposant qu'un atome de réseau a une masse de\(\displaystyle 9.4×10^{−26}kg\), quelle est la constante de force du réseau si un atome du réseau passe de l'état fondamental au premier état excité lorsqu'il absorbe un\(\displaystyle 525-µm\) photon ?

86. Une molécule diatomique se comporte comme un oscillateur harmonique quantique avec une force constante de 12,0 N/m et une masse\(\displaystyle 5.60×10^{−26}kg\).

(a) Quelle est la longueur d'onde du photon émis lorsque la molécule passe du troisième état excité au deuxième état excité ?

(b) Déterminez l'énergie des vibrations à l'état fondamental de cette molécule diatomique.

87. Un électron dont l'énergie cinétique est de 2,0 MeV rencontre une barrière d'énergie potentielle d'une hauteur de 16,0 MeV et d'une largeur de 2,00 nm. Quelle est la probabilité que l'électron émerge de l'autre côté de la barrière ?

88. Un faisceau de protons mono-énergétiques d'une énergie de 2,0 MeV tombe sur une barrière d'énergie potentielle d'une hauteur de 20,0 MeV et d'une largeur de 1,5 cm. Quel pourcentage du faisceau est transmis à travers la barrière ?

Problèmes liés au défi

89. Un électron d'une longue molécule organique utilisée dans un laser à colorant se comporte approximativement comme une particule quantique dans une boîte de 4,18 nm de largeur. Trouvez le photon émis lorsque l'électron passe du premier état excité à l'état fondamental et du second état excité au premier état excité.

90. En STM, l'élévation de la pointe au-dessus de la surface balayée peut être déterminée avec une grande précision, car le courant d'électrons tunnel entre les atomes de surface et les atomes de la pointe est extrêmement sensible à la variation de l'écart de séparation entre eux d'un point à l'autre le long de la surface. En supposant que le courant d'électrons à effet tunnel est directement proportionnel à la probabilité de tunnel et que la probabilité de tunnellisation est à une bonne approximation exprimée par la fonction exponentielle\(\displaystyle e^{−2βL}\) avec\(\displaystyle β=10.0/nm\), déterminez le rapport du courant de tunnel lorsque la pointe se trouve à 0,500 nm au-dessus du surface au courant lorsque la pointe se trouve à 0,515 nm au-dessus de la surface.

91. Si la STM doit détecter des caractéristiques de surface dont la hauteur locale est d'environ 0,00200 nm, quel pourcentage de variation du courant d'électrons tunnel l'électronique STM doit-elle être capable de détecter ? Supposons que le courant d'électrons à effet tunnel possède les caractéristiques données dans le problème précédent.

92. Utilisez le principe d'incertitude de Heisenberg pour estimer l'énergie de l'état fondamental d'une particule oscillant sur un ressort avec une fréquence angulaire\(\displaystyle ω=\sqrt{k/m}\), où k est la constante du ressort et m est la masse.

93. Supposons qu'un puits carré infini s'étende de\(\displaystyle −L/2\) à\(\displaystyle +L/2\). Résolvez l'équation de Schrdinger indépendante du temps pour déterminer les énergies autorisées et les états stationnaires d'une particule de masse m confinée dans ce puits. Démontrez ensuite que ces solutions peuvent être obtenues en effectuant la transformation\(\displaystyle x'=x−L/2\) des coordonnées des solutions obtenues pour le puits s'étendant entre 0 et L.

94. Une particule de masse m confinée dans une boîte de largeur L est dans son premier état excité\(\displaystyle ψ_2(x)\).

(a) Trouvez sa position moyenne (qui est la valeur attendue de la position).

(b) Où se trouve la particule la plus susceptible de se trouver ?