7.S : Mécanique quantique (résumé)

Termes clés

fonction antisymétrique	fonction étrange
Interprétation née	indique que le carré d'une fonction d'onde est la densité de probabilité
fonction complexe	fonction contenant à la fois des parties réelles et imaginaires
interprétation de Copenhague	indique que lorsqu'un observateur ne regarde pas ou qu'aucune mesure n'est effectuée, la particule possède de nombreuses valeurs de quantités mesurables, telles que la position
principe de correspondance	dans la limite des grandes énergies, les prédictions de la mécanique quantique sont en accord avec les prédictions de la mécanique classique
niveaux d'énergie	états d'énergie définis, souvent représentés par des lignes horizontales dans un diagramme en « échelle » énergétique
nombre quantique d'énergie	indice qui étiquette les états énergétiques autorisés
principe d'incertitude énergie-temps	relation énergie-temps pour les incertitudes liées aux mesures simultanées de l'énergie d'un état quantique et de sa durée de vie
fonction uniforme	dans une dimension, une fonction symétrique par rapport à l'origine du système de coordonnées
valeur attendue	valeur moyenne de la quantité physique en supposant un grand nombre de particules ayant la même fonction d'onde
émission de champ	émission d'électrons par les surfaces des conducteurs lorsqu'un fort champ électrique externe est appliqué dans la direction normale à la surface du conducteur
énergie souterraine	état énergétique le plus bas du spectre énergétique
Le principe d'incertitude de Heisenberg	impose des limites à ce que l'on peut savoir à partir de mesures simultanées de la position et de la quantité de mouvement ; indique que si l'incertitude sur la position est faible, l'incertitude sur la quantité de mouvement est grande, et vice versa
puits carré infini	fonction potentielle nulle dans une plage fixe et infiniment au-delà de cette plage
opérateur Momentum	opérateur qui correspond à la quantité de mouvement d'une particule
nanotechnologie	technologie basée sur la manipulation de nanostructures telles que des molécules ou des atomes individuels pour produire des nano-dispositifs tels que des circuits intégrés
condition de normalisation	exige que la densité de probabilité intégrée sur l'ensemble de l'espace physique donne le nombre un
fonction étrange	dans une dimension, une fonction antisymétrique par rapport à l'origine du système de coordonnées
opérateur de position	opérateur qui correspond à la position d'une particule
obstacle potentiel	fonction potentielle qui augmente et diminue avec l'augmentation des valeurs de position
nombre quantique principal	nombre quantique d'énergie
densité de probabilité	carré de la fonction d'onde de la particule
point quantique	petite région d'un nanocristal semi-conducteur intégrée dans un autre nanocristal semi-conducteur, servant de puits de potentiel pour les électrons
tunneling quantique	phénomène de pénétration de particules à travers une barrière d'énergie potentielle d'une hauteur supérieure à l'énergie totale des particules
tunnel résonnant	la formation de tunnels d'électrons à travers un puits de potentiel de hauteur finie, qui se produit uniquement lorsque l'énergie des électrons correspond à un niveau d'énergie dans le puits, se produit dans des points quantiques
diode à effet tunnel résonnant	point quantique avec une polarisation de tension appliquée à ses bornes
microscope à effet tunnel à balayage (STM)	dispositif qui utilise le phénomène de tunneling quantique sur des surfaces métalliques pour obtenir des images de structures à l'échelle nanométrique
Équation dépendante du temps de SchrDinger	équation spatiale et temporelle qui nous permet de déterminer les fonctions d'onde d'une particule quantique
Équation indépendante du temps de SchrDinger	équation spatiale qui nous permet de déterminer les fonctions d'onde d'une particule quantique ; cette fonction d'onde doit être multipliée par un facteur de modulation dans le temps pour obtenir la fonction d'onde dépendante du temps
état d'onde stationnaire	état stationnaire pour lequel les parties réelles et imaginaires de Ψ (x, t) Ψ (x, t) oscillent vers le haut et vers le bas comme une onde stationnaire (souvent modélisé à l'aide de fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale)
réduction de l'état	processus hypothétique dans lequel une particule observée ou détectée « passe » dans un état défini, souvent décrit en termes d'effondrement de la fonction d'onde de la particule
état stationnaire	état pour lequel la fonction de densité de probabilité,\(\displaystyle |Ψ(x,t)|^2\), ne varie pas dans le temps
facteur de modulation temporelle	facteur\(\displaystyle e^{−iωt}\) qui multiplie la fonction d'onde indépendante du temps lorsque l'énergie potentielle de la particule est indépendante du temps
probabilité de transmission	également appelée probabilité de création d'un tunnel, probabilité qu'une particule traverse une barrière potentielle
diode tunnel	jonction tunnel d'électrons entre deux semi-conducteurs différents
probabilité de creusement d'un tunnel	également appelée probabilité de transmission, probabilité qu'une particule traverse une barrière potentielle
fonction d'onde	fonction qui représente l'état quantique d'une particule (système quantique)
effondrement de la fonction d'	équivalent à une réduction de l'État
paquet Wave	superposition de nombreuses ondes de matière plane pouvant être utilisées pour représenter une particule localisée

Équations clés

Condition de normalisation dans une dimension	\(\displaystyle P(x=−∞,+∞)=∫_{−∞}^∞∣Ψ(x,t)∣^2dx=1\)
Probabilité de trouver une particule dans un intervalle de position étroit dans une dimension\(\displaystyle (x,x+dx)\)	\(\displaystyle P(x,x+dx)=Ψ^∗(x,t)Ψ(x,t)dx\)
Valeur attendue de la position dans une dimension	\(\displaystyle ⟨x⟩=∫_{−∞}^∞Ψ^∗(x,t)xΨ(x,t)dx\)
Le principe d'incertitude position-momentum de Heisenberg	\(\displaystyle ΔxΔp≥\frac{ℏ}{2}\)
Le principe d'incertitude énergie-temps de Heisenberg	\(\displaystyle ΔEΔt≥\frac{ℏ}{2}\)
Équation dépendante du temps de SchrDinger	\(\displaystyle −\frac{ℏ^2}{2m}\frac{∂^2Ψ(x,t)}{∂x^2}+U(x,t)Ψ(x,t)=iℏ\frac{∂Ψ(x,t)}{∂t}\)
Forme générale de la fonction d'onde pour un potentiel indépendant du temps dans une dimension	\(\displaystyle Ψ(x,t)=ψ(x)e^{−iω}\)
Équation indépendante du temps de SchrDinger	\(\displaystyle −\frac{ℏ^2}{2m}\frac{d^2ψ(x)}{dx^2}+U(x)ψ(x)=Eψ(x)\)
Équation de SchrDinger (particule libre)	\(\displaystyle −\frac{ℏ^2}{2m}\frac{∂^2ψ(x)}{∂x^2}=Eψ(x)\)
Energies autorisées (particule dans une boîte de longueur L)	\(\displaystyle E_n=n^2\frac{π^2ℏ^2}{2mL^2},n=1,2,3,...\)
États stationnaires (particule dans une boîte de longueur L)	\(\displaystyle ψ_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sin\frac{nπx}{L},n=1,2,3,...\)
Fonction d'énergie potentielle d'un oscillateur harmonique	\(\displaystyle U(x)=\frac{1}{2}mω^2x^2\)
Équation de SchrDinger (oscillateur harmonique)	\(\displaystyle −\frac{ℏ^{2}}{2m}\frac{d^2ψ(x)}{dx^2}+\frac{1}{2}mω^2x^2ψ(x)=Eψ(x)\)
Le spectre énergétique	\(\displaystyle E_n=(n+\frac{1}{2})ℏω,n=0,1,2,3,...\)
Les fonctions de la vague d'énergie	\(\displaystyle ψ_n(x)=N_ne^{−β^2x^2/2}H_n(βx),n=0,1,2,3,...\)
Barrière potentielle	\(\displaystyle U(x)=\begin{cases}0,& \mathrm{when} \: x<0\\ U_0,& \mathrm{when} \: 0≤x≤L\\0,& \mathrm{when} \: x>L\end{cases}\)
Définition du coefficient de transmission	\(\displaystyle T(L,E)=\frac{|ψ_{tra}(x)|^2}{|ψ_{in}(x)|^2}\)
Un paramètre du coefficient de transmission	\(\displaystyle β^2=\frac{2m}{ℏ^2}(U_0−E)\)
Coefficient de transmission, exact	\(\displaystyle T(L,E)=\frac{1}{cosh^2βL+(γ/2)^2sinh^2βL}\)
Coefficient de transmission, approximatif	\(\displaystyle T(L,E)=16\frac{E}{U_0}(1−\frac{E}{U_0})e^{−2βL}\)

Résumé

7.1 : Fonctions d'onde

• En mécanique quantique, l'état d'un système physique est représenté par une fonction d'onde.
• Selon l'interprétation de Born, le carré de la fonction d'onde de la particule représente la densité de probabilité de trouver la particule autour d'un endroit précis dans l'espace.
• Les fonctions d'onde doivent d'abord être normalisées avant de les utiliser pour faire des prédictions.
• La valeur attendue est la valeur moyenne d'une quantité qui nécessite une fonction d'onde et une intégration.

7.2 : Le principe d'incertitude de Heisenberg

• Le principe d'incertitude de Heisenberg indique qu'il est impossible de mesurer simultanément les composantes x de la position et de la quantité de mouvement d'une particule avec une précision arbitrairement élevée. Le produit des incertitudes expérimentales est toujours supérieur ou égal à\(\displaystyle ℏ/2\).
• Les limites de ce principe n'ont rien à voir avec la qualité de l'appareil expérimental mais trouvent leur origine dans la nature ondulatoire de la matière.
• Le principe d'incertitude énergie-temps exprime l'observation expérimentale selon laquelle un état quantique qui n'existe que pendant une courte période ne peut pas avoir d'énergie définie.

7.3 : L'équation de SchrDinger

• L'équation de SchrDinger est l'équation fondamentale de la mécanique quantique des ondes. Cela nous permet de faire des prédictions sur les fonctions des ondes.
• Lorsqu'une particule se déplace dans un potentiel indépendant du temps, la solution de l'équation de SchrDinger dépendante du temps est le produit d'une fonction d'onde indépendante du temps et d'un facteur de modulation dans le temps.
• L'équation de SchrDinger peut être appliquée à de nombreuses situations physiques.

7.4 : La particule quantique dans une boîte

• Les états énergétiques d'une particule quantique dans une boîte sont déterminés en résolvant l'équation de SchrDinger indépendante du temps.
• Pour résoudre l'équation de Schrdinger indépendante du temps pour une particule dans une boîte et trouver les états stationnaires et les énergies autorisées, nous avons besoin que la fonction d'onde se termine au niveau de la paroi de la boîte.
• Les états énergétiques d'une particule dans une boîte sont quantifiés et indexés par nombre quantique principal.
• L'image quantique diffère de manière significative de l'image classique lorsqu'une particule se trouve dans un état de faible énergie avec un nombre quantique faible.
• Dans la limite des nombres quantiques élevés, lorsque la particule quantique est dans un état hautement excité, la description quantique d'une particule dans une boîte coïncide avec la description classique, dans l'esprit du principe de correspondance de Bohr.

7.5 : L'oscillateur harmonique quantique

• L'oscillateur harmonique quantique est un modèle construit par analogie avec le modèle d'un oscillateur harmonique classique. Il modélise le comportement de nombreux systèmes physiques, tels que les vibrations moléculaires ou les paquets d'ondes en optique quantique.
• Les énergies autorisées d'un oscillateur quantique sont discrètes et régulièrement espacées. L'espacement énergétique est égal au quantum énergétique de Planck.
• L'énergie de l'état fondamental est supérieure à zéro. Cela signifie que, contrairement à un oscillateur classique, un oscillateur quantique n'est jamais au repos, même au fond d'un puits de potentiel, et subit des fluctuations quantiques.
• Les états stationnaires (états d'énergie définie) ont des valeurs non nulles également dans les régions situées au-delà des points de retournement classiques. À l'état fondamental, un oscillateur quantique est le plus susceptible de se trouver autour de la position du minimum du puits de potentiel, qui est la position la moins probable pour un oscillateur classique.
• Pour les nombres quantiques élevés, le mouvement d'un oscillateur quantique ressemble davantage à celui d'un oscillateur classique, conformément au principe de correspondance de Bohr.

7.6 Le tunnelage quantique des particules à travers des barrières potentielles

• Une particule quantique qui est incidente sur une barrière potentielle d'une largeur et d'une hauteur finies peut traverser la barrière et apparaître de l'autre côté. Ce phénomène est appelé « tunneling quantique ». Il n'a pas d'analogue classique.
• Pour déterminer la probabilité d'un tunnel quantique, nous supposons l'énergie d'une particule incidente et résolvons l'équation stationnaire de Schrdinger pour déterminer les fonctions des ondes à l'intérieur et à l'extérieur de la barrière. La probabilité de création d'un tunnel est un rapport entre les amplitudes au carré de l'onde passant au-delà de la barrière et de l'onde incidente.
• La probabilité de création d'un tunnel dépend de l'énergie de la particule incidente par rapport à la hauteur de la barrière et à la largeur de la barrière. Elle est fortement affectée par la largeur de la barrière de manière non linéaire et exponentielle, de sorte qu'une petite variation de la largeur de la barrière entraîne une modification disproportionnée de la probabilité de transmission.
• Les phénomènes de tunnelage quantique régissent les désintégrations nucléaires radioactives. Ils sont utilisés dans de nombreuses technologies modernes telles que la STM et la nanoélectronique. La STM nous permet de voir des atomes individuels sur des surfaces métalliques. Les dispositifs de tunnellisation électronique ont révolutionné l'électronique et nous permettent de construire des appareils électroniques rapides de tailles miniatures.