5.E : Relativité (exercices)

Questions conceptuelles

5.1 Invariance des lois physiques

1. Lequel des postulats de relativité spéciale d'Einstein inclut un concept qui ne correspond pas aux idées de la physique classique ? Expliquez.

2. La Terre est-elle un référentiel inertiel ? C'est le soleil ? Justifiez votre réponse.

3. Lorsque vous volez à bord d'un jet commercial, vous pouvez avoir l'impression que l'avion est immobile et que la Terre se déplace sous vos pieds. Ce point de vue est-il valable ? Discutez-en brièvement.

5.3 Dilatation temporelle

4. a) Le mouvement affecte-t-il la cadence d'une horloge telle que mesurée par un observateur qui se déplace avec elle ?

(b) Le mouvement affecte-t-il la façon dont un observateur se déplaçant par rapport à une horloge mesure sa cadence ?

5. Pour qui le temps écoulé pour un processus paraît-il plus long, un observateur se déplaçant par rapport au processus ou un observateur évoluant avec le processus ? Quel observateur mesure l'intervalle de temps approprié ?

6. (a) Comment pourriez-vous voyager loin dans le futur de la Terre sans vieillir de manière significative ?

(b) Cette méthode pourrait-elle également vous permettre de voyager dans le passé ?

5.4 Contraction de longueur

7. À qui un objet paraît-il plus long, un observateur se déplaçant avec l'objet ou un observateur se déplaçant par rapport à l'objet ? Quel observateur mesure la longueur exacte de l'objet ?

8. Des effets relativistes tels que la dilatation du temps et la contraction de la longueur sont présents pour les voitures et les avions. Pourquoi ces effets nous paraissent-ils étranges ?

9. Supposons qu'un astronaute se déplace par rapport à la Terre à une fraction significative de la vitesse de la lumière.

a) Considère-t-il que le rythme de ses horloges a ralenti ?

(b) Quel changement du rythme des horloges terrestres constate-t-il ?

(c) Son navire lui semble-t-il se raccourcir ?

(d) Qu'en est-il de la distance entre deux étoiles situées dans la direction de son mouvement ? (e) Lui et un observateur terrestre sont-ils d'accord sur sa vitesse par rapport à la Terre ?

5.7 Effet Doppler pour la lumière

10. Expliquez la signification des termes « décalage vers le rouge » et « décalage vers le bleu » lorsqu'ils se rapportent à l'effet Doppler relativiste.

11. Qu'arrive-t-il à l'effet Doppler relativiste lorsque la vitesse relative est nulle ? Est-ce le résultat attendu ?

12. L'effet Doppler relativiste est-il cohérent avec l'effet Doppler classique dans la mesure où il\(\displaystyle λ_{obs}\) est plus important lorsqu'il s'agit d'un mouvement d'éloignement ?

13. Toutes les galaxies plus éloignées qu'environ\(\displaystyle 50×10^6\) présentent un décalage vers le rouge de leur lumière émise qui est proportionnel à la distance, tandis que celles qui s'éloignent de plus en plus présentent des décalages vers le rouge de plus en plus importants. Qu'est-ce que cela implique, en supposant que la seule source du décalage vers le rouge est le mouvement relatif ?

5.8 Moment relativiste

14. Comment la relativité moderne modifie-t-elle la loi de conservation de l'élan ?

15. Est-il possible qu'une force extérieure agisse sur un système et que l'élan relativiste soit conservé ? Expliquez.

5.9 Énergie relativiste

16. Comment les lois classiques de conservation de l'énergie et de conservation de la masse sont-elles modifiées par la relativité moderne ?

17. Qu'arrive-t-il à la masse d'eau contenue dans une marmite lorsqu'elle se refroidit, en supposant qu'aucune molécule ne s'échappe ou n'y est ajoutée ? Est-ce observable dans la pratique ? Expliquez.

18. Envisagez une expérience de pensée. Vous placez un ballon d'air expansé sur une balance à l'extérieur tôt le matin. Le ballon reste sur la balance et vous pouvez mesurer les variations de sa masse. La masse du ballon change-t-elle au fil de la journée ? Discutez des difficultés liées à la réalisation de cette expérience.

19. La masse du combustible dans un réacteur nucléaire diminue d'une quantité observable à mesure que celui-ci produit de l'énergie. Est-ce qu'il en va de même pour le charbon et l'oxygène combinés dans une centrale électrique conventionnelle ? Dans l'affirmative, est-ce que cela peut être observé dans la pratique pour le charbon et l'oxygène ? Expliquez.

20. Nous savons que la vitesse d'un objet ayant une masse a une limite supérieure de c. Y a-t-il une limite supérieure à sa quantité de mouvement ? Son énergie ? Expliquez.

21. Étant donné que la lumière se déplace en c, peut-elle avoir une masse ? Expliquez.

22. Si vous utilisez un télescope terrestre pour projeter un faisceau laser sur la lune, vous pouvez déplacer le point sur la surface de la lune à une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière. Cela viole-t-il la relativité moderne ? (Notez que la lumière est envoyée de la Terre vers la Lune, et non pas à travers la surface de la Lune.)

Des problèmes

5.3 Dilatation temporelle

23. (a) Et\(\displaystyle γ\) si\(\displaystyle v=0.250c\) ?

(b) Si\(\displaystyle v=0.500c\) ?

24. (a) Et\(\displaystyle γ\) si\(\displaystyle v=0.100c\) ?

(b) Si\(\displaystyle v=0.900c\) ?

25. Les particules appelées\(\displaystyle π\) mésons sont produites par des faisceaux d'accélérateurs. Si ces particules se déplacent\(\displaystyle 2.70×10^8m/s\) et vivent au repos par rapport à un observateur, combien de temps vivent-elles\(\displaystyle 2.60×10^{−8}s\) lorsqu'elles sont observées en laboratoire ?

26. Supposons qu'une particule appelée kaon soit créée par le rayonnement cosmique qui frappe l'atmosphère. Il se déplace à votre rythme\(\displaystyle 0.980c\) et vit\(\displaystyle 1.24×10^{−8}s\) lorsqu'il est au repos par rapport à un observateur. Combien de temps vive-t-il si vous l'observez ?

27. Un\(\displaystyle π\) méson neutre est une particule qui peut être créée par des faisceaux accélérateurs. Si l'une de ces particules vit\(\displaystyle 1.40×10^{−16}s\) telle que mesurée en laboratoire, et\(\displaystyle 0.840×10^{−16}s\) lorsqu'elle est au repos par rapport à un observateur, quelle est sa vitesse par rapport au laboratoire ?

28. Un neutron vit 900 s lorsqu'il est au repos par rapport à un observateur. À quelle vitesse le neutron se déplace-t-il par rapport à un observateur qui mesure sa durée de vie à 2065 s ?

29. Si les effets relativistes doivent être inférieurs à 1 %, ils\(\displaystyle γ\) doivent être inférieurs à 1,01. À quelle vitesse relative se situe\(\displaystyle γ=1.01\) ?

30. Si les effets relativistes doivent être inférieurs à 3 %, ils\(\displaystyle γ\) doivent être inférieurs à 1,03. À quelle vitesse relative se situe\(\displaystyle γ=1.03\) ?

5.4 Contraction de longueur

31. Un vaisseau spatial de 200 m de long vu à bord se déplace près de la Terre à 0,970 °C. Quelle est sa longueur mesurée par un observateur terrestre ?

32. À quelle vitesse une voiture de sport de 6,0 m de long devrait-elle passer devant vous pour qu'elle ne paraisse que de 5,5 m de long ?

33. (a) Quelle est la distance parcourue par le muon de l'exemple 5.1 selon l'observateur terrestre ?

(b) Quelle distance parcoure-t-il lorsqu'il est vu par un observateur qui se déplace avec lui ? Basez votre calcul sur sa vitesse par rapport à la Terre et sur sa durée de vie (temps approprié).

(c) Vérifiez que ces deux distances sont liées par la contraction de la longueur\(\displaystyle γ=3.20\).

34. (a) Combien de temps le muon de l'exemple 5.1 aurait-il vécu tel qu'il a été observé sur Terre si sa vitesse avait été atteinte\(\displaystyle 0.0500c\) ?

(b) Quelle distance aurait-elle parcourue telle qu'elle a été observée sur Terre ?

(c) Quelle est cette distance dans le cadre du muon ?

35. Des résultats déraisonnables Un vaisseau spatial se dirige directement vers la Terre à une vitesse de 0,800 °C. L'astronaute à bord affirme qu'il peut envoyer une cartouche vers la Terre à 1,20 °C par rapport à la Terre.

(a) Calculez la vitesse que doit avoir la cartouche par rapport au vaisseau spatial.

(b) Qu'est-ce qui est déraisonnable dans ce résultat ?

(c) Quelles hypothèses sont déraisonnables ou incohérentes ?

5.5 La transformation de Lorentz

36. Décrivez les événements physiques suivants en tant qu'événements, c'est-à-dire sous la forme (x, y, z, t) :

a) Un facteur sonne à la porte d'une maison précisément à midi.

b) Au moment où la sonnette sonne, une tranche de pain sort d'un grille-pain situé à 10 m de la porte, vers l'est de la porte.

c) Dix secondes plus tard, un avion arrive à l'aéroport, qui se trouve à 10 km de la porte en direction de l'est et à 2 km au sud.

37. Décrivez ce qu'il advient de l'angle\(\displaystyle α=tan(v/c)\), et donc des axes transformés dans la Figure 5.17, lorsque la vitesse relative v du S et les\(\displaystyle S'\) cadres de référence se rapprochent de c.

38. Décrivez la forme de la ligne du monde sur un diagramme spatio-temporel de

a) un objet qui reste au repos à une position précise le long de l'axe X ;

(b) un objet qui se déplace à une vitesse constante u dans la direction x ;

(c) un objet qui commence au repos et accélère à une vitesse constante dans la direction x positive.

39. Un homme immobile dans une gare regarde deux garçons lancer une balle de baseball dans un train en marche. Supposons que le train se déplace vers l'est à une vitesse constante de 20 m/s et que l'un des garçons lance la balle à une vitesse de 5 m/s par rapport à lui-même en direction de l'autre garçon, qui se trouve à 5 m à l'ouest de lui. Quelle est la vitesse de la balle observée par l'homme sur la station ?

40. Lorsqu'elles sont observées depuis le soleil à un moment donné, la Terre et Mars semblent se déplacer dans des directions opposées avec des vitesses respectives de 108 000 km/h et 86 871 km/h. Quelle est la vitesse de Mars à cet instant lorsqu'on l'observe depuis la Terre ?

41. Un homme roule sur une route droite perpendiculaire à une voie ferrée et s'éloigne de la voie à une vitesse de 12 m/s. Le train se déplace à une vitesse de 30 m/s par rapport à la voie. Quelle est la vitesse de l'homme par rapport à un passager assis au repos dans le train ?

42. Un homme court sur une route droite qui fait 30° avec la voie ferrée. L'homme roule dans la direction opposée à la voie à une vitesse de 12 m/s. Le train se déplace à une vitesse de 30 m/s par rapport à la voie. Quelle est la vitesse de l'homme par rapport à un passager assis au repos dans le train ?

43. Dans un cadre au repos par rapport à la table de billard, une boule de billard de masse m se déplaçant avec la vitesse v frappe une autre boule de billard de masse m au repos. La première balle s'arrête après la collision tandis que la deuxième balle décolle à la vitesse v dans le sens initial du mouvement de la première balle. Cela montre que l'élan est conservé dans ce cadre.

(a) Décrivez maintenant la même collision du point de vue d'un cadre qui se déplace à la vitesse v dans le sens du mouvement de la première balle.

(b) La dynamique est-elle conservée dans ce cadre ?

44. Dans un cadre au repos par rapport à la table de billard, deux boules de billard de même masse m se rapprochent l'une de l'autre à la même vitesse v. Après la collision, les deux balles s'immobilisent.

(a) Montrer que l'élan est conservé dans ce cadre.

(b) Décrivez maintenant la même collision du point de vue d'un cadre qui se déplace à la vitesse v dans le sens du mouvement de la première balle.

(c) La dynamique est-elle conservée dans ce cadre ?

45. Dans une trame S, deux événements sont observés : événement 1 : un pion est créé au repos à l'origine et événement 2 : le pion se désintègre après le temps\(\displaystyle τ\). Un autre observateur dans un cadre\(\displaystyle S'\) se déplace dans la direction positive le long de l'axe X positif avec une vitesse v constante et observe les deux mêmes événements dans son cadre. Les origines des deux cadres coïncident à\(\displaystyle t=t'=0\).

(a) Trouvez les positions et les horaires de ces deux événements dans le cadre\(\displaystyle S'\) (a) selon la transformation galiléenne, et

(b) selon la transformation de Lorentz.

5.6 Transformation de vitesse relativiste

46. Si deux vaisseaux spatiaux se dirigent directement l'un vers l'autre à 0,800 ° C, à quelle vitesse faut-il tirer une cartouche depuis le premier navire pour s'approcher de l'autre à 0,999 ° C, comme le voit le second navire ?

47. Deux planètes suivent une trajectoire de collision et se dirigent directement l'une vers l'autre à 0,250 degrés Celsius. Un vaisseau spatial envoyé depuis une planète s'approche de la seconde à 0,750 ° C, comme le voit la seconde planète. Quelle est la vitesse du vaisseau par rapport à la première planète ?

48. Lorsqu'un missile est tiré d'un vaisseau spatial vers un autre, il quitte le premier à 0,950 ° C et s'approche de l'autre à 0,750 ° C. Quelle est la vitesse relative des deux navires ?

49. Quelle est la vitesse relative de deux vaisseaux spatiaux si l'un tire un missile sur l'autre à 0,750 ° C et que l'autre observe qu'il s'approche à 0,950 ° C ?

50. Prouvez que pour toute vitesse relative v entre deux observateurs, un faisceau de lumière envoyé de l'un à l'autre s'approchera à la vitesse c (à condition que v soit inférieur à c, bien entendu).

51. Montrez que pour toute vitesse relative v entre deux observateurs, un faisceau de lumière projeté par l'un directement à l'opposé de l'autre s'éloignera à la vitesse de la lumière (à condition que v soit inférieur à c, bien entendu).

5.7 Effet Doppler pour la lumière

52. Un agent de patrouille routière utilise un appareil qui mesure la vitesse des véhicules en faisant rebondir le radar sur eux et en mesurant le décalage Doppler. Le radar sortant a une fréquence de 100 GHz et l'écho de retour a une fréquence supérieure de 15,0 kHz. Quelle est la vitesse du véhicule ? Notez qu'il y a deux décalages Doppler dans les échos. Veillez à ne pas arrondir jusqu'à la fin du problème, car l'effet est faible.

5.8 Moment relativiste

53. Détermine la quantité de mouvement d'un noyau d'hélium\(\displaystyle 6.68×10^{−27}kg\) dont la masse est en mouvement à 0,200 °C.

54. Quelle est la quantité de mouvement d'un électron se déplaçant à 0,980 °C ?

55. (a) Détermine l'impulsion d'un\(\displaystyle 1.00×10^9-kg\) astéroïde se dirigeant vers la Terre à 30,0 km/s.

(b) Détermine le rapport entre cette impulsion et la quantité de mouvement classique. (Conseil : utilisez l'approximation qui s'\(\displaystyle γ=1+(1/2)v^2/c^2\)applique à de faibles vitesses.)

56. a) Quelle est la dynamique d'un satellite de 2 000 kg en orbite à 4 km/s ? (b) Détermine le rapport entre cette impulsion et la quantité de mouvement classique. (Conseil : utilisez l'approximation qui s'\(\displaystyle γ=1+(1/2)v^2/c^2\)applique à de faibles vitesses.)

57. Quelle est la vitesse d'un électron dont l'impulsion est de\(\displaystyle 3.04×10^{−21}kg⋅m/s\) ? Notez que vous devez calculer la vitesse à au moins quatre chiffres pour voir la différence par rapport à c.

58. Détermine la vitesse d'un proton dont l'impulsion est de\(\displaystyle 4.48×10^{−19}kg⋅m/s\).

5.9 Énergie relativiste

59. Quelle est l'énergie restante d'un électron, compte tenu de sa masse\(\displaystyle 9.11×10^{−31}kg\) ? Donnez votre réponse en joules et en MeV.

60. Détermine l'énergie restante en joules et MeV d'un proton, étant donné que sa masse est\(\displaystyle 1.67×10^{−27}kg\).

61. Si les énergies de repos d'un proton et d'un neutron (les deux constituants des noyaux) sont respectivement de 938,3 et 939,6 MeV, quelle est la différence de leur masse en kilogrammes ?

62. On estime que le Big Bang qui a créé l'univers a libéré\(\displaystyle 10^{68}J\) de l'énergie. Combien d'étoiles la moitié de cette énergie pourrait-elle créer, en supposant que la masse moyenne d'une étoile soit de\(\displaystyle 4.00×10^{30}kg\) ?

63. L'explosion d'une\(\displaystyle 2.00×10^{31}kg\) étoile par une supernova produit\(\displaystyle 1.00×10^{44}J\) de l'énergie.

a) Combien de kilogrammes de masse sont convertis en énergie lors de l'explosion ?

(b) Quel est le rapport entre\(\displaystyle Δm/m\) la masse détruite et la masse initiale de l'étoile ?

64. (a) À l'aide des données de l'énergie potentielle d'un système, calculer la masse convertie en énergie par la fission de 1,00 kg d'uranium.

(b) Quel est le rapport entre la masse détruite et la masse initiale\(\displaystyle Δm/m\) ?

65. a) À l'aide des données provenant de l'énergie potentielle d'un système, calculez la quantité de masse convertie en énergie par la fusion de 1,00 kg d'hydrogène.

(b) Quel est le rapport entre la masse détruite et la masse initiale\(\displaystyle Δm/m\) ?

(c) Comment cela se compare-t-il\(\displaystyle Δm/m\) à la fission de 1,00 kg d'uranium ?

66. Il y a environ\(\displaystyle 10^{34}J\) de l'énergie disponible grâce à la fusion de l'hydrogène dans les océans du monde.

a) Si\(\displaystyle 10^{33}J\) cette énergie était utilisée, quelle serait la diminution de la masse des océans ?

(b) À quel volume d'eau cela correspond-il ?

c) Indiquer s'il s'agit d'une fraction significative de la masse totale des océans.

67. Un muon a une énergie de masse au repos de 105,7 MeV et il se désintègre en un électron et en une particule sans masse.

(a) Si toute la masse perdue est convertie en énergie cinétique de l'électron,\(\displaystyle γ\) recherchez l'électron.

(b) Quelle est la vitesse de l'électron ?

68. Un\(\displaystyle π\) méson est une particule qui se désintègre en muon et en particule sans masse. Le\(\displaystyle π\) méson a une énergie de masse au repos de 139,6 MeV et le muon a une énergie de masse au repos de 105,7 MeV. Supposons que\(\displaystyle π\) le méson soit au repos et que toute la masse manquante entre dans l'énergie cinétique du muon. À quelle vitesse le muon se déplacera-t-il ?

69. a) Calculez l'énergie cinétique relativiste d'une voiture de 1 000 kg se déplaçant à 30 m/s si la vitesse de la lumière n'était que de 45,0 m/s.

(b) Déterminer le rapport entre l'énergie cinétique relativiste et l'énergie classique.

70. La désintégration alpha est une désintégration nucléaire au cours de laquelle un noyau d'hélium est émis. Si le noyau d'hélium a une masse de 5,00 MeV d'énergie cinétique\(\displaystyle 6.80×10^{−27}kg\) et reçoit 5,00 MeV, quelle est sa vitesse ?

71. (a) La désintégration bêta est une désintégration nucléaire au cours de laquelle un électron est émis. Si l'électron reçoit 0,750 MeV d'énergie cinétique, quelle est sa vitesse ?

(b) Expliquez comment la vitesse élevée est cohérente avec l'énergie cinétique par rapport à l'énergie massique restante de l'électron.

Problèmes supplémentaires

72. (a) À quelle vitesse relative se situe\(\displaystyle γ=1.50\) ?

(b) À quelle vitesse relative se situe\(\displaystyle γ=100\) ? γ = 100 ?

73. (a) À quelle vitesse relative se situe\(\displaystyle γ=2.00\) ?

(b) À quelle vitesse relative se situe\(\displaystyle γ=10.0\) ?

74. Résultats déraisonnables (a) Détermine la valeur\(\displaystyle γ\) requise pour la situation suivante. Un observateur terrestre mesure 23,9 h de vol alors que les signaux d'une sonde spatiale à grande vitesse indiquent que 24 h se sont écoulés à bord.

(b) Qu'est-ce qui est déraisonnable dans ce résultat ?

(c) Quelles hypothèses sont déraisonnables ou incohérentes ?

75. a) Combien de temps faut-il à l'astronaute de l'exemple 5.5 pour se déplacer à 4 h 30\(\displaystyle 0.99944c\) (tel que mesuré par l'observateur terrestre) ?

(b) Combien de temps cela prend-il selon l'astronaute ?

(c) Vérifiez que ces deux temps sont liés par une dilatation temporelle à\(\displaystyle γ=30.00\) la valeur donnée.

76. (a) À quelle vitesse un athlète aurait-il besoin de courir pendant une\(\displaystyle m\) course de 100 mètres pour paraître long de 100 mètres ?

(b) La réponse est-elle compatible avec le fait que les effets relativistes sont difficiles à observer dans des circonstances ordinaires ? Expliquez.

77. (a) Trouvez la valeur de\(\displaystyle γ\) pour la situation suivante. Un astronaute mesure la longueur de son vaisseau spatial à 100 m, tandis qu'un observateur terrestre la mesure à 25,0 m.

(b) Quelle est la vitesse du vaisseau spatial par rapport à la Terre ?

78. Dans un vaisseau spatial, l'horloge tourne dix fois plus vite qu'une horloge identique sur Terre. Quelle est la vitesse du vaisseau spatial ?

79. Un astronaute a un rythme cardiaque de 66 battements par minute, tel que mesuré lors de son examen physique sur Terre. Le rythme cardiaque de l'astronaute est mesuré lorsqu'il se trouve dans un vaisseau spatial se déplaçant à 0,5 °C par rapport à la Terre par un observateur (A) dans le vaisseau et par un observateur (B) sur Terre.

(a) Décrire une méthode expérimentale permettant à l'observateur B sur Terre de déterminer le rythme cardiaque de l'astronaute lorsque celui-ci se trouve dans le vaisseau spatial.

(b) Quel sera le ou les battements cardiaques de l'astronaute signalés par les observateurs A et B ?

80. Un vaisseau spatial (A) se déplace à une vitesse c/2 par rapport à un autre vaisseau spatial (B). Les observateurs en A et en B règlent leur horloge de telle sorte que l'événement à (x, y, z, t) d'allumage d'un laser dans le vaisseau spatial B ait des coordonnées (0, 0, 0, 0, 0) en A et également (0, 0, 0, 0, 0) en B. Un observateur à l'origine de B allume le laser à\(\displaystyle t=0\) et l'éteint\(\displaystyle t=τ\) à son heure. Quel est le délai entre l'activation et la désactivation vu par un observateur en A ?

81. Les deux observateurs sont les mêmes que lors de l'exercice précédent, mais nous examinons maintenant deux événements qui se produisent dans le vaisseau spatial A. Un photon arrive à l'origine de A à son moment\(\displaystyle t=0\) et un autre photon arrive\(\displaystyle t=0\) dans la charpente du vaisseau A.\(\displaystyle (x=1.00m,0,0)\)

(a) Trouvez les coordonnées et les heures des deux événements tels qu'ils sont vus par un observateur dans le cadre B.

(b) Dans quel cadre les deux événements sont-ils simultanés et dans quel cadre ne sont-ils pas simultanés ?

82. Les deux mêmes observateurs que lors des exercices précédents. Une tige de 1 m de long est disposée sur l'axe x dans le cadre de B, de l'origine à\(\displaystyle (x=1.00m,0,0)\). Quelle est la longueur de la tige observée par un observateur dans le cadre du vaisseau spatial A ?

83. Un observateur à l'origine du cadre inertiel S voit une ampoule se déclencher à\(\displaystyle x=150km,y=15.0km\) et\(\displaystyle z=1.00km\) à tout moment\(\displaystyle t=4.5×10^{−4}s\). À quelle heure et à quelle position dans le\(\displaystyle S'\) système le flash s'est-il produit, s'il\(\displaystyle S'\) se déplace le long de la direction X partagée avec S à une vitesse donnée\(\displaystyle v=0.6c\) ?

84. Un observateur voit deux événements\(\displaystyle 1.5×10^{−8}s\) séparés l'un de l'autre à une distance de 800 m. À quelle vitesse un deuxième observateur doit-il se déplacer par rapport au premier pour voir les deux événements se produire simultanément ?

85. Un observateur debout près de la voie ferrée voit deux éclairs frapper simultanément les extrémités d'un train de 500 m de long au moment où le milieu du train le dépasse à 50 m/s. Utilisez la transformation de Lorentz pour déterminer le temps entre les coups de foudre, mesuré par un passager assis dans le au milieu du train.

86. Deux événements astronomiques sont observés depuis la Terre et se produisent à un moment d'intervalle d'une seconde et à une distance l'un\(\displaystyle 1.5×10^9m\) de l'autre.

(a) Déterminer si la séparation des deux événements s'apparente à l'espace ou au temps.

(b) Indiquez ce que cela implique quant à savoir s'il est compatible avec la relativité spéciale qu'un événement ait causé l'autre.

87. Deux événements astronomiques sont observés depuis la Terre et se produisent à une distance de 0,30 s l'un de l'autre et à une distance l'un\(\displaystyle 2.0×10^9m\) de l'autre. À quelle vitesse un engin spatial doit-il se déplacer du site d'un événement vers l'autre pour que les événements se produisent en même temps lorsqu'ils sont mesurés dans le cadre de référence de l'engin spatial ?

88. Un engin spatial part d'être immobilisé à l'origine et accélère à une vitesse constante g, vu de la Terre, considérée comme une structure inertielle, jusqu'à atteindre une vitesse de c/2.

(a) Démontrer que l'incrément du temps approprié est lié au temps écoulé dans le cadre de la Terre en :

\[dτ=\sqrt{1−v2^/c^2}dt \nonumber \].

(b) Trouvez une expression pour le temps écoulé pour atteindre la vitesse c/2 telle qu'elle est vue dans le cadre de la Terre.

(c) Utiliser la relation indiquée dans (a) pour obtenir une expression similaire du temps approprié écoulé pour atteindre c/2, tel que vu dans l'engin spatial, et déterminer le rapport entre le temps vu de la Terre et le temps passé sur l'engin spatial pour atteindre la vitesse finale.

89. (a) Toutes les galaxies, sauf les plus proches, s'éloignent de notre propre Voie lactée. Si une galaxie\(\displaystyle 12.0×10^9ly\) éloignée s'éloigne de nous à 0,900 °C, à quelle vitesse par rapport à nous devons-nous envoyer une sonde exploratoire pour approcher l'autre galaxie à 0,990 °C, telle que mesurée depuis cette galaxie ?

(b) Combien de temps faudra-t-il à la sonde pour atteindre l'autre galaxie, mesurée depuis la Terre ? Vous pouvez supposer que la vitesse de l'autre galaxie reste constante.

(c) Combien de temps faudra-t-il alors pour qu'un signal radio soit renvoyé ? (Tout cela est possible en principe, mais ce n'est pas pratique.)

90. Supposons qu'un vaisseau spatial se dirigeant directement vers la Terre à 0,750 °C puisse tirer une cartouche à 0,500 °C par rapport au vaisseau.

a) Quelle est la vitesse de la cartouche par rapport à la Terre, si elle est projetée directement sur la Terre ?

(b) S'il est tiré directement loin de la Terre ?

91. Répétez le problème précédent avec le vaisseau qui s'éloigne directement de la Terre.

92. Si un vaisseau spatial s'approche de la Terre à 0,100 °C et qu'une capsule de message est envoyée vers elle à 0,100 °C par rapport à la Terre, quelle est la vitesse de la capsule par rapport au vaisseau ?

93. (a) Supposons que la vitesse de la lumière ne soit que de 3 000 m/s. Un chasseur à réaction se dirigeant vers une cible au sol à 800 m/s tire des balles, chacune ayant une vitesse initiale de 1 000 m/s. Quelle est la vitesse des balles par rapport à la cible ?

(b) Si la vitesse de la lumière était aussi faible, obserais-tu des effets relativistes dans la vie de tous les jours ? Discutez.

94. Si une galaxie qui s'éloigne de la Terre a une vitesse de 1000 km/s et émet 656 nm de lumière caractéristique de l'hydrogène (l'élément le plus répandu dans l'univers).

(a) Quelle longueur d'onde observerons-nous sur Terre ?

(b) De quel type de rayonnement électromagnétique s'agit-il ? (c) Pourquoi la vitesse de la Terre sur son orbite est-elle négligeable ici ?

95. Une sonde spatiale se dirigeant à toute vitesse vers l'étoile la plus proche se déplace\(\displaystyle 0.250c\) et envoie des informations radio à une fréquence de diffusion de 1,00 GHz. Quelle fréquence est reçue sur Terre ?

96. Près du centre de notre galaxie, l'hydrogène s'éloigne directement de nous sur son orbite autour d'un trou noir. Nous recevons un rayonnement électromagnétique de 1900 nm et savons qu'il était de 1875 nm lorsqu'il a été émis par l'hydrogène gazeux. Quelle est la vitesse du gaz ?

97. (a) Calculez la vitesse d'une\(\displaystyle 1.00-μg\) particule de poussière qui a la même quantité de mouvement qu'un proton se déplaçant à 0,999 °C.

(b) Que nous apprend la faible vitesse sur la masse d'un proton par rapport à une infime quantité de matière macroscopique ?

98. (a) Calculez\(\displaystyle γ\) pour un proton dont la quantité de mouvement est de\(\displaystyle 1.00kg⋅m/s\).

(b) Quelle est sa vitesse ? Ces protons constituent une composante rare du rayonnement cosmique dont les origines sont incertaines.

99. Montrez que la forme relativiste de la deuxième loi de Newton est

a)\(\displaystyle F=m\frac{du}{dt}\frac{1}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}\) ;

(b) Déterminer la force nécessaire pour accélérer une masse de 1 kg par 1\(\displaystyle m/s^2\) lorsqu'elle se déplace à une vitesse de c/2.

100. Un positron est une version antimatière de l'électron, ayant exactement la même masse. Lorsqu'un positon et un électron se rencontrent, ils s'annihilent et convertissent toute leur masse en énergie.

(a) Trouvez l'énergie libérée, en supposant une énergie cinétique négligeable avant l'annihilation.

(b) Si cette énergie est donnée à un proton sous forme d'énergie cinétique, quelle est sa vitesse ?

(c) Si cette énergie est donnée à un autre électron sous forme d'énergie cinétique, quelle est sa vitesse ?

101. Quelle est l'énergie cinétique en MeV d'un méson π qui vit\(\displaystyle 1.40×10^{−16}s\) telle que mesurée en laboratoire et\(\displaystyle 0.840×10^{−16}s\) lorsqu'il est au repos par rapport à un observateur, étant donné que son énergie au repos est de 135 MeV ?

102. Déterminez l'énergie cinétique en MeV d'un neutron dont la durée de vie mesurée est de 2065 s, étant donné que son énergie au repos est de 939,6 MeV et que sa durée de vie au repos est de 900 s.

103. (a) Montrez cela\(\displaystyle (pc)^2/(mc^2)^2=γ^2−1\). Cela signifie qu'à de grandes vitesses\(\displaystyle pc>>mc^2\).

(b) Est-ce que\(\displaystyle E≈pc\) quand\(\displaystyle γ=30.0\), comme pour l'astronaute, il est question du double paradoxe ?

104. Un neutron des rayons cosmiques a une vitesse\(\displaystyle 0.250c\) relative à la Terre.

(a) Quelle est l'énergie totale du neutron en MeV ?

(b) Trouvez son élan.

(c) Se trouve-t-il\(\displaystyle E≈pc\) dans cette situation ? Discutez en fonction de l'équation donnée dans la partie (a) du problème précédent.

105. Qu'en est-il\(\displaystyle γ\) d'un proton ayant une énergie massique de 938,3 MeV accéléré par un potentiel effectif de 1,0 TV (téravolt) ?

106. (a) Quel est le potentiel d'accélération effectif des électrons à l'accélérateur linéaire de Stanford, s'il s'agit\(\displaystyle γ=1.00×10^5\) d'eux ?

(b) Quelle est leur énergie totale (presque la même que leur énergie cinétique dans ce cas) en GeV ?

107. (a) À l'aide des données de Potential Energy of a System, trouvez la masse détruite lorsque l'énergie d'un baril de pétrole brut est libérée.

b) Étant donné que ces barils contiennent 200 litres et en supposant que la densité du pétrole brut est la\(\displaystyle 750kg/m^3\) même, quel est le rapport entre la masse détruite et la masse initiale\(\displaystyle Δm/m\) ?

108. a) Calculez l'énergie libérée par la destruction de 1,00 kg de masse.

(b) Combien de kilogrammes pourraient être soulevés jusqu'à une hauteur de 10 km avec cette quantité d'énergie ?

109. Un accélérateur Van de Graaff utilise une différence de potentiel de 50,0 MV pour accélérer les particules chargées telles que les protons.

(a) Quelle est la vitesse d'un proton accéléré par un tel potentiel ?

(b) Un électron ?

110. Supposons que vous consommiez en moyenne\(\displaystyle 500kW⋅h\) de l'énergie électrique par mois dans votre maison.

(a) Combien de temps dureriez-vous 1,00 g de masse converti en énergie électrique avec un rendement de 38,0 % ?

b) Combien de foyers pourraient-ils être alimentés au\(\displaystyle 500kW⋅h\) taux mensuel pendant un an grâce à l'énergie produite par la conversion de masse décrite ?

111. a) Une centrale nucléaire convertit l'énergie issue de la fission nucléaire en électricité avec un rendement de 35,0 %. Quelle quantité de masse est détruite en un an pour produire 1 000 MW d'énergie électrique en continu ?

b) Pensez-vous qu'il serait possible d'observer cette perte de masse si la masse totale du carburant est égale à\(\displaystyle 10^4kg\) ?

112. Les fusées à propulsion nucléaire ont fait l'objet de recherches pendant plusieurs années avant que les préoccupations de sécurité ne deviennent

a) Quelle fraction de la masse d'une fusée devrait être détruite pour la placer sur une orbite terrestre basse, sans tenir compte de la diminution de la gravité ? (Supposons une altitude orbitale de 250 km et calculez à la fois l'énergie cinétique (classique) et l'énergie potentielle gravitationnelle nécessaires.)

b) Si le navire a une masse de\(\displaystyle 1.00×10^5kg\) (100 tonnes), quel est le rendement total de l'explosion nucléaire en tonnes de TNT nécessaire ?

113. Le soleil produit de l'énergie au taux de\(\displaystyle 3.85×10^{26}\) W par fusion de l'hydrogène. Environ 0,7 % de chaque kilogramme d'hydrogène entre dans l'énergie produite par le soleil.

a) Combien de kilogrammes d'hydrogène sont soumis à une fusion par seconde ?

(b) Si le soleil est composé à 90 % d'hydrogène et que la moitié de celui-ci peut fusionner avant que le soleil ne change de caractère, combien de temps pourrait-il produire de l'énergie à son rythme actuel ?

(c) Combien de kilogrammes de masse le soleil perd-il par seconde ?

(d) Quelle fraction de sa masse aura-t-elle perdue au cours du temps décrit dans la partie (b) ?

114. Montrez qu'\(\displaystyle E^2−p^2c^2\)une particule est invariante sous les transformations de Lorentz.