5.S : Relativité (résumé)

Termes clés

addition de vitesse classique (galiléenne)	méthode d'ajout de vitesses lorsque\(\displaystyle v<<c\) ; les vitesses s'additionnent comme des nombres réguliers dans un mouvement unidimensionnel :\(\displaystyle u=v+u'\), où v est la vitesse entre deux observateurs, u est la vitesse d'un objet par rapport à un observateur et\(\displaystyle u'\) est la vitesse par rapport à l'autre observateur
événement	occurrence dans l'espace et dans le temps spécifiée par sa position et ses coordonnées temporelles (x, y, z, t) mesurées par rapport à un référentiel
premier postulat de la relativité spéciale	les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels
Relativité galiléenne	si un observateur mesure une vitesse dans un cadre de référence et que ce cadre de référence se déplace avec une vitesse au-delà d'un second référentiel, un observateur du second cadre mesure la vitesse d'origine en tant que somme vectorielle de ces vitesses
Transformation galiléenne	relation entre les coordonnées de position et de temps des mêmes événements vus dans différents référentiels, selon la mécanique classique
cadre de référence inertiel	cadre de référence dans lequel un corps au repos reste au repos et un corps en mouvement se déplace à une vitesse constante en ligne droite à moins qu'une force extérieure ne soit sollicitée
contraction de la longueur	diminution de la longueur observée d'un objet de sa longueur appropriée\(\displaystyle L_0\) à la longueur L lorsque sa longueur est observée dans un repère où il se déplace à la vitesse v
Transformation de Lorentz	relation entre les coordonnées de position et de temps des mêmes événements vus dans différents référentiels, selon la théorie spéciale de la relativité
Expérience Michelson-Morley	une étude réalisée en 1887 qui a montré que la vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les cadres de référence à partir desquels elle est vue
longueur appropriée	\(\displaystyle L_0\); la distance entre deux points mesurée par un observateur qui est au repos par rapport aux deux points ; par exemple, les observateurs terrestres mesurent la bonne longueur lorsqu'ils mesurent la distance entre deux points fixes par rapport à la Terre
moment approprié	\(\displaystyle Δτ\)est l'intervalle de temps mesuré par un observateur qui voit le début et la fin du processus mesuré par l'intervalle de temps se produire au même endroit
énergie cinétique relativiste	énergie cinétique d'un objet se déplaçant à des vitesses relativistes
élan relativiste	\(\displaystyle \vec{p}\), la quantité de mouvement d'un objet se déplaçant à une vitesse relativiste ;\(\displaystyle \vec{p}=γm\vec{u}\)
addition de vitesse lativiste	méthode d'addition des vitesses d'un objet se déplaçant à des vitesses relativistes
énergie de repos	énergie stockée dans un objet au repos :\(\displaystyle E_0=mc^2\)
cadre de repos	cadre de référence dans lequel l'observateur est au repos
masse de repos	masse d'un objet mesurée par un observateur au repos par rapport à l'objet
deuxième postulat de la relativité spéciale	la lumière se déplace dans le vide à la même vitesse c dans n'importe quelle direction dans tous les cadres inertiels
théorie spéciale de la relativité	théorie proposée par Albert Einstein en 1905 qui suppose que toutes les lois de la physique ont la même forme dans chaque référentiel inertiel et que la vitesse de la lumière est la même dans tous les cadres inertiels
vitesse de la lumière	limite de vitesse ultime pour toute particule ayant une masse
dilatation du temps	allongement de l'intervalle de temps entre deux événements lorsqu'ils sont observés dans un cadre inertiel mobile plutôt que dans le cadre de repos des événements (dans lequel les événements se produisent au même endroit)
énergie totale	somme de toutes les énergies d'une particule, y compris l'énergie au repos et l'énergie cinétique, donnée pour une particule de masse m et de vitesse u par\(\displaystyle E=γmc^2\), où\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)
gamme mondiale	chemin à travers l'espace-temps

Équations clés

Dilatation du temps	\(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=γτ\)
Facteur Lorentz	\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}\)
Contraction de longueur	\(\displaystyle L=L_0\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}=\frac{L_0}{γ}\)
Transformation galiléenne	\(\displaystyle x=x'+vt,y=y',z=z',t=t'\)
Transformation de Lorentz	\(\displaystyle t=\frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle y=y'\) \(\displaystyle z=z'\)
Transformation de Lorentz inverse	\(\displaystyle t'=\frac{t−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle x'=\frac{x−vt}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle y'=y\) \(\displaystyle z'=z\)
Invariants spatio-temporels	\(\displaystyle (Δs)^2=(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2−c^2(Δt)^2\) \(\displaystyle (Δτ)^2=−(Δs)^2/c^2=(Δt)^2−\frac{[(Δx)^2+(Δy)^2+(Δz)^2]}{c^2}\)
Addition de vitesse relativiste	\(\displaystyle u_x=(\frac{u′_x+v}{1+vu′_x/c^2}),u_y=(\frac{u′_y/γ}{1+vu′_x/c^2}),u_z=(\frac{u′_z/γ}{1+vu′_x/c^2})\)
Effet Doppler relativiste pour la longueur d'onde	\(\displaystyle λ_{obs}=λ_s\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1−\frac{v}{c}}}\)
Effet Doppler relativiste pour la fréquence	\(\displaystyle f_{obs}=f_s\sqrt{\frac{1−\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}\)
Moment relativiste	\(\displaystyle \vec{p}=γm\vec{u}=\frac{m\vec{u}}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)
Énergie totale relativiste	\(\displaystyle E=γmc^2\), où\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)
Énergie cinétique relativiste	\(\displaystyle K_{rel}=(γ−1)mc^2\), où\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\)

Résumé

5.1 Invariance des lois physiques

• La relativité est l'étude de la façon dont les observateurs mesurent le même événement dans différents cadres de référence.
• La relativité moderne est divisée en deux parties. La relativité spéciale traite des observateurs en mouvement uniforme (non accéléré), tandis que la relativité générale inclut le mouvement relatif accéléré et la gravité. La relativité moderne est conforme à toutes les preuves empiriques obtenues jusqu'à présent et, dans la limite des faibles vitesses et de la faible gravitation, elle correspond étroitement aux prédictions de la relativité classique (galiléenne).
• Un cadre de référence inertiel est un référentiel dans lequel un corps au repos reste au repos et un corps en mouvement se déplace à une vitesse constante en ligne droite à moins qu'une force extérieure ne soit sollicitée.
• La relativité moderne est basée sur les deux postulats d'Einstein. Le premier postulat de la relativité spéciale est que les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels inertiels. Le deuxième postulat de la relativité spéciale est que la vitesse de la lumière c est la même dans tous les repères inertiels, indépendamment du mouvement relatif de l'observateur et de la source lumineuse.
• L'expérience Michelson-Morley a démontré que la vitesse de la lumière dans le vide est indépendante du mouvement de la Terre autour du soleil.

5.2 Relativité de la simultanéité

• Deux événements sont définis comme étant simultanés si un observateur les mesure comme se produisant en même temps (par exemple en recevant de la lumière provenant des événements).
• Deux événements à des endroits éloignés l'un de l'autre qui sont simultanés pour un observateur au repos dans un cadre de référence ne le sont pas nécessairement pour un observateur au repos dans un référentiel différent.

5.3 Dilatation du temps

• Deux événements sont définis comme étant simultanés si un observateur les mesure comme se produisant en même temps. Ils ne sont pas nécessairement simultanés pour tous les observateurs ; la simultanéité n'est pas absolue.
• La dilatation temporelle est l'allongement de l'intervalle de temps entre deux événements lorsqu'ils sont observés dans une trame inertielle mobile plutôt que dans la trame restante des événements (dans laquelle les événements se produisent au même endroit).
• Les observateurs se déplaçant à une vitesse relative v ne mesurent pas le même temps écoulé entre deux événements. Le temps approprié\(\displaystyle Δτ\) est le temps mesuré dans le référentiel où le début et la fin de l'intervalle de temps se situent au même endroit. L'intervalle de temps\(\displaystyle Δt\) mesuré par un observateur qui voit le cadre des événements se déplacer à la vitesse v est lié à l'intervalle\(\displaystyle Δτ\) de temps approprié des événements par l'équation suivante :

\(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=γΔτ\),

où

\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}\).

• La prémisse du paradoxe du jumeau est erronée parce que le jumeau qui se déplace accélère. Le trajet n'est pas symétrique pour les deux jumeaux.
• La dilatation temporelle est généralement négligeable à de faibles vitesses relatives, mais elle se produit, et elle a été vérifiée expérimentalement.
• Le temps approprié est la mesure la plus courte de tous les intervalles de temps. Tout observateur qui se déplace par rapport au système observé mesure un intervalle de temps plus long que le temps approprié.

5.4 Contraction de longueur

• Tous les observateurs s'accordent sur la vitesse relative.
• La distance dépend du mouvement de l'observateur. La longueur correcte\(\displaystyle L_0\) est la distance entre deux points mesurée par un observateur qui est au repos par rapport aux deux points.
• La contraction de longueur est la diminution de la longueur observée d'un objet de sa longueur appropriée\(\displaystyle L_0\) à la longueur L lorsque sa longueur est observée dans un référentiel où il se déplace à la vitesse v.
• La longueur correcte est la mesure la plus longue de tous les intervalles de longueur. Tout observateur qui se déplace par rapport au système observé mesure une longueur inférieure à la longueur appropriée.

5.5 La transformation de Lorentz

• Les équations de transformation de Galilée décrivent comment, en mécanique non relativiste classique, la position, la vitesse et les accélérations mesurées dans une image apparaissent dans une autre. Les longueurs restent inchangées et une échelle de temps universelle unique est supposée s'appliquer à toutes les trames inertielles.
• Les lois de la mécanique de Newton obéissent au principe d'avoir la même forme dans tous les cadres inertiels selon une transformation galiléenne, donnée par

\(\displaystyle x=x'+vt,y=y',z=z',t=t'\).

Le concept selon lequel les temps et les distances sont les mêmes dans tous les cadres inertiels de la transformation galiléenne est toutefois incompatible avec les postulats de la relativité spéciale.

• Les équations de transformation de Lorentz relativistes correctes sont

Transformation de Lorentz	Transformation de Lorentz inverse
\(\displaystyle t=\frac{t'+vx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)√ \(\displaystyle y=y'\) \(\displaystyle z=z'\)	\(\displaystyle t'=\frac{t−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle x'=\frac{x−vt}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\) \(\displaystyle y'=y\) \(\displaystyle z'=z\)

Nous pouvons obtenir ces équations en exigeant qu'un signal lumineux sphérique en expansion ait la même forme et la même vitesse de croissance, c, dans les deux cadres de référence.

• Les phénomènes relativistes peuvent être expliqués en termes de propriétés géométriques de l'espace-temps quadridimensionnel, dans lequel les transformations de Lorentz correspondent à des rotations d'axes.
• La transformation de Lorentz correspond à une rotation de l'axe spatio-temporel, similaire à certains égards à une rotation des axes spatiaux, mais dans laquelle la séparation spatiale invariante est donnée par des distances\(\displaystyle Δs\) plutôt que par des distances\(\displaystyle Δr\), et que la transformation de Lorentz impliquant l'axe du temps ne conserve pas perpendicularité des axes ou des échelles le long des axes.
• L'analyse des phénomènes relativistes en termes de diagrammes spatio-temporels permet de conclure que ces phénomènes résultent des propriétés de l'espace et du temps eux-mêmes, plutôt que des lois de l'électromagnétisme.

5.6 Transformation de vitesse relativiste

• Avec l'addition de vitesse classique, les vitesses s'additionnent comme des nombres réguliers dans un mouvement unidimensionnel :\(\displaystyle u=v+u'\), où v est la vitesse entre deux observateurs, u est la vitesse d'un objet par rapport à un observateur et u'u′ est la vitesse par rapport à l'autre observateur.
• Les vitesses cumulées ne peuvent pas être supérieures à la vitesse de la lumière.
• L'addition de vitesse relativiste décrit les vitesses d'un objet se déplaçant à une vitesse relativiste.

5.7 Effet Doppler pour la lumière

• Un observateur du rayonnement électromagnétique constate des effets Doppler relativistes si la source du rayonnement se déplace par rapport à l'observateur. La longueur d'onde du rayonnement est plus longue (décalage vers le rouge) que celle émise par la source lorsque la source s'éloigne de l'observateur et plus courte (décalage bleu) lorsque la source se déplace vers l'observateur. La longueur d'onde décalée est décrite par l'équation suivante :

\(\displaystyle λ_{obs}=λ_s\sqrt{1+\frac{v}{c}}{1−\frac{v}{c}}\).

où\(\displaystyle λ_{obs}\) est la longueur d'onde observée,\(\displaystyle λ_s\) est la longueur d'onde de la source et v est la vitesse relative de la source par rapport à l'observateur.

5.8 Moment relativiste

• La loi de conservation de la quantité de mouvement est valable pour la dynamique relativiste lorsque la force externe nette est nulle. Le moment relativiste est\(\displaystyle p=γmu\), où m est la masse restante de l'objet, u est sa vitesse par rapport à un observateur et le facteur relativiste est\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\).
• À basse vitesse, l'impulsion relativiste est équivalente à la quantité de mouvement classique.
• L'élan relativiste se rapproche de l'infini alors que u s'approche de c. Cela implique qu'un objet ayant une masse ne peut pas atteindre la vitesse de la lumière.

5.9 Énergie relativiste

• Le théorème relativiste travail-énergie est\(\displaystyle W_{net}=E−E_0=γmc^2−mc^2=(γ−1)mc^2\).
• Relativistiquement,\(\displaystyle W_{net}=K_{rel}\) où\(\displaystyle K_{rel}\) se trouve l'énergie cinétique relativiste.
• Un objet de masse m à la vitesse u possède une énergie cinétique\(\displaystyle K_{rel}=(γ−1)mc^2\), où\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\).
• À basse vitesse, l'énergie cinétique relativiste se réduit à l'énergie cinétique classique.
• Aucun objet ayant une masse ne peut atteindre la vitesse de la lumière, car une quantité infinie de travail et une quantité infinie d'énergie sont nécessaires pour accélérer une masse à la vitesse de la lumière.
• L'énergie relativiste est conservée tant que nous la définissons de manière à inclure la possibilité d'une transformation de masse en énergie.
• L'énergie totale d'une particule dont la masse m se déplace à la vitesse u est définie comme\(\displaystyle E=γmc^2\), où\(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}\) et u désigne la vitesse de la particule.
• L'énergie de repos d'un objet de masse m est\(\displaystyle E_0=mc^2\), ce qui signifie que la masse est une forme d'énergie. Si l'énergie est stockée dans un objet, sa masse augmente. La masse peut être détruite pour libérer de l'énergie.
• Nous ne remarquons généralement pas l'augmentation ou la diminution de la masse d'un objet parce que le changement de masse est si faible qu'il entraîne une forte augmentation d'énergie. L'équation\(\displaystyle E^2=(pc)^2+(mc^2)^2\) met en relation l'énergie totale relativiste E et le moment relativiste p. À des vitesses extrêmement élevées, l'énergie restante\(\displaystyle mc^2\) devient négligeable, et\(\displaystyle E=pc\).