5.A : Relativité (réponses)

Vérifiez votre compréhension

5.1. La relativité spéciale s'applique uniquement aux objets se déplaçant à vitesse constante, tandis que la relativité générale s'applique aux objets soumis à une accélération.

5.2. \(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{(0.650c)^2}{c^2}}}=1.32\)

5.3. une\(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{2.10×10^{−8}s}{\sqrt{1−\frac{(1.90×10^8m/s)^2}{(3.00×10^8m/s)^2}}}=2.71×10^{−8}s\).

b. Seule la vitesse relative des deux engins spatiaux est importante, car il n'y a pas de mouvement absolu dans l'espace. Le signal est émis à partir d'un emplacement fixe dans le référentiel de A, de sorte que l'intervalle de temps approprié pour son émission est\(\displaystyle τ=1.00s\). La durée du signal mesuré à partir du référentiel B est alors

\(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1.00s}{\sqrt{1−\frac{(4.00×10^7m/s)^2}{(3.00×10^8m/s)^2}}}=1.01s\).

5.4. \(\displaystyle L=L_0\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}=(2.50km)\sqrt{1−\frac{(0.750c)^2}{c^2}}=1.65km\)

5.5. Commencez par définir l'incrément de temps approprié :

\(\displaystyle dτ=\sqrt{−(ds)^2/c^2}=\sqrt{dt^2−(dx^2+dx^2+dx^2)/c^2}\).

où\(\displaystyle (dx, dy, dx, cdt)\) sont mesurés dans la base inertielle d'un observateur qui ne voit pas nécessairement cette particule au repos. Cela devient donc

\(\displaystyle d_τ=\sqrt{−(ds)^2/c^2}=\sqrt{dt^2−[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]/c^2}\)

\(\displaystyle =dt\sqrt{1−[(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+(\frac{dz}{dt})^2]/c^2}\)

\(\displaystyle =dt\sqrt{1−v^2/c^2}\)

\(\displaystyle dt=γdτ\).

5.6. Bien que les déplacements perpendiculaires au mouvement relatif soient les mêmes dans les deux cadres de référence, l'intervalle de temps entre les événements diffère, et les différences de dt\(\displaystyle dt'\) entraînent des vitesses différentes observées depuis les deux cadres.

5.7. Nous pouvons substituer les données directement dans l'équation de la fréquence Doppler relativiste :

\(\displaystyle f_{obs}=f_s\sqrt{\frac{1−\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}=(1.50GHz)\sqrt{\frac{1−\frac{0.350c}{c}}{1+\frac{0.350c}{c}}}=1.04GHz.\)

5.8. Substituez les données dans l'équation donnée :

\(\displaystyle p=γmu=\frac{mu}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{(9.11×10^{−31}kg)(0.985)(3.00×10^8m/s)}{\sqrt{1−\frac{(0.985c)^2}{c^2}}}=1.56×10^{−21}kg-m/s\).

5.9. \(\displaystyle K_{rel}=(γ−1)mc^2=(\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}mc^2=(\frac{1}{\sqrt{1−\frac{(0.992c)^2}{c^2}}−1}(9.11×10^{−31}kg)(3.00×10^8m/s)^2=5.67×10^{−13}J\)

Questions conceptuelles

1. le deuxième postulat, concernant la vitesse de la lumière ; la physique classique incluait déjà l'idée que les lois de la mécanique, au moins, étaient les mêmes dans toutes les trames inertielles, mais que la vitesse d'une impulsion lumineuse était différente selon les trames se déplaçant les unes par rapport aux autres

3. oui, à condition que l'avion vole à une vitesse constante par rapport à la Terre ; dans ce cas, un objet sur lequel aucune force n'agit sur lui à l'intérieur du plan ne change de vitesse par rapport à l'avion ni de changement de vitesse par rapport à la Terre ; le plan et le sol sont des cadres inertiels pour décrire le mouvement de l'objet

5. L'observateur qui se déplace avec le processus voit son intervalle de temps propre, qui est le plus court vu par un observateur.

7. La longueur d'un objet est maximale pour un observateur qui se déplace avec l'objet et qui mesure donc sa longueur appropriée.

9. a. Non, pas dans le cadre de référence de l'astronaute.

b. Il voit les horloges de la Terre se déplacer à côté de lui et les voit donc ralentir.

c. Non, pas dans le cadre de référence de l'astronaute.

d. Oui, il mesure la distance entre les deux étoiles pour qu'elle soit plus courte.

e. Les deux observateurs s'accordent sur leur vitesse relative.

11. Aucun changement de longueur d'onde ou de fréquence n'est mesuré dans ce cas. L'effet Doppler relativiste dépend uniquement de la vitesse relative de la source et de l'observateur, et non d'une quelconque vitesse par rapport à un milieu pour les ondes lumineuses.

13. Cela montre que les étoiles s'éloignent de plus en plus de la Terre, que l'univers s'étend, et ce à un rythme accéléré, avec une vitesse plus élevée pour les étoiles les plus éloignées.]

15. Oui. Cela peut se produire si la force externe est équilibrée par d'autres forces appliquées de l'extérieur, de sorte que la force externe nette soit nulle.

17. Comme il perd de l'énergie thermique, qui est l'énergie cinétique du mouvement aléatoire de ses particules constitutives, sa masse diminue extrêmement peu, comme décrit par l'équivalence énergie-masse.

19. Oui, en principe, toute diminution d'énergie aurait un effet similaire sur la masse, mais la variation serait si faible pour les variations d'énergie lors d'une réaction chimique qu'elle serait indétectable dans la pratique.

21. Pas selon la relativité spéciale. Aucune masse ne peut atteindre la vitesse de la lumière.

Problèmes

23. a. 1,0328 ;

b. 1,15

25. \(\displaystyle 5.96×10^{−8}s\)

27. 0,800 °C

29. 0,140 c

31. 48,6 m

33. En utilisant les valeurs données dans l'exemple 5.3 :

a. 1,39 km ;

b. 0,433 km ;

environ 0,433 km

35. a. 10,0 °C ;

b. La vitesse résultante de la cartouche est supérieure à c, ce qui est impossible.

c. Il n'est pas raisonnable de supposer que la cartouche se déplacera vers la terre à 1,20 °C.

37. L'angle α s'approche\(\displaystyle 45°\),\(\displaystyle t'-\) et le et\(\displaystyle x'-axes\) tourne vers le bord du cône lumineux.

39. 15 m/s à l'est

41. 32 m/s

43. a. La deuxième balle s'approche avec vélocité\(\displaystyle −v\) et s'arrête tandis que l'autre balle poursuit avec vélocité\(\displaystyle −v\) ;

b. Cela permet de conserver l'élan.

45. un\(\displaystyle t_1'=0; x_1'=0\) ;.

\(\displaystyle t_2'=τ;x_2'=0;\)

b.\(\displaystyle t_1'=0;x_1'=0\) ;

\(\displaystyle t_2'=\frac{τ}{\sqrt{1−v^2/c^2}};x_2'=\frac{−vτ}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

47. 0,615 °C

49. 0,696 c

51. (Preuve)

53. \(\displaystyle 4.09×10^{−19}kg⋅m/s\)

55. un\(\displaystyle 3.000000015×10^{13}kg⋅m/s\) ;.

b. 1.000000005

57. \(\displaystyle 2.988×10^8m/s\)

59. 0,512 MeV selon le nombre de chiffres significatifs indiqués. La valeur exacte est plus proche de 0,511 MeV.

61. \(\displaystyle 2.3×10^{−30}kg\); à deux chiffres parce que la différence entre les énergies massiques au repos se trouve à deux chiffres

63. un\(\displaystyle 1.11×10^{27}kg\) ;.

b.\(\displaystyle 5.56×10−5\)

65. un.\(\displaystyle 7.1×10^{−3}kg;\)

b.\(\displaystyle 7.1×10^{−3}=7.1×10^{−3}\) ;

c.\(\displaystyle \frac{Δm}{m}\) est supérieur pour l'hydrogène

67. a. 208 ;

b. 0,999988c ; six chiffres utilisés pour montrer la différence par rapport à c

69. un\(\displaystyle 6.92×10^5J\) ;.

b. 1,54

71. a. 0,914 c ;

b. L'énergie massique au repos d'un électron est de 0,511 MeV, de sorte que l'énergie cinétique représente environ 150 % de l'énergie massique restante. L'électron doit se déplacer à une vitesse proche de celle de la lumière.

Problèmes supplémentaires

73. a. 0,866 °C ;

b. 0,995 c

75. a. 4,303 y à quatre chiffres pour indiquer tout effet ;

b. 0,1434 g ;

\(\displaystyle 1/\sqrt{(1−v^2/c^2)}=29.88.\)c.

77. environ 4,00 ;

b.\(\displaystyle v=0.867c\)

79. a. A envoie une impulsion radio à chaque battement de cœur à B, qui connaît leur vitesse relative et utilise la formule de dilatation temporelle pour calculer l'intervalle de temps approprié entre les battements de cœur à partir du signal observé.

b.\(\displaystyle (66beats/min)\sqrt{1−v^2/c^2}=57.1\) battements/min

81. a. premier photon :\(\displaystyle (0,0,0)\) at\(\displaystyle t=t′\) ; deuxième photon :

\(\displaystyle t'=\frac{−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}=\frac{−(c/2)(1.00m)/c^2}{\sqrt{0.75}}=\frac{0.577m}{c}=1.93×10^{−9}s\)

\(\displaystyle x'=\frac{x}{\sqrt{1−v^2/c^2}}=\frac{1.00m}{\sqrt{0.75}}\)= 1,15 m \)

b. simultané en A, non simultané en B

83. \(\displaystyle t^{\prime}=\frac{t-v x / c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{\left(4.5 \times 10^{-4} \: \mathrm{s}\right)-(0.6 c)\left(\frac{150 \times 10^{3} \: \mathrm{m}}{c^{2}}\right)}{\sqrt{1-(0.6)^{2}}} \)

\(\displaystyle = 1.88 \times 10^{-4} \: s\)

\(\displaystyle x^{\prime}=\frac{x-v t}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{150 \times 10^{3} \: \mathrm{m}-(0.60)\left(3.00 \times 10^{8} \: \mathrm{m} / \mathrm{s}\right)\left(4.5 \times 10^{-4} \: \mathrm{s}\right)}{\sqrt{1-(0.6)^{2}}}\)

\(\displaystyle = 8.6 \times 10^{4} \: m = 86 \: km\)

\(\displaystyle y=y'=15 \: km\)

\(\displaystyle z=z'=1 \: km\)

85. \(\displaystyle Δt=\frac{Δt'+vΔx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

\(\displaystyle 0=\frac{Δt'+v(500m)/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\);

puisque\(\displaystyle v≪c\), nous pouvons ignorer le terme\(\displaystyle v^2/c^2\) et trouver

\(\displaystyle Δt'=−\frac{(50m/s)(500m)}{(3.00×10^8m/s)^2}=−2.78×10^{−13}s\)

La rupture de la simultanéité newtonienne est négligeable, mais pas exactement nulle, à des vitesses réalistes de 50 m/s.

87. \(\displaystyle Δt'=\frac{Δt−vΔx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

\(\displaystyle 0=\frac{(0.30s)−\frac{(v)(2.0×10^9m)}{(3.00×10^8m/s)^2}}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

\(\displaystyle v=\frac{(0.30s)}{(2.0×10^9m)}(3.00×10^8m/s)^2\)

\(\displaystyle v=1.35×10^7m/s\)

89. Notez que toutes les réponses à ce problème sont rapportées à cinq chiffres significatifs, afin de distinguer les résultats.

a. 0,99947c ;

b.\(\displaystyle 1.2064×10^{11}y\) ;

c.\(\displaystyle 1.2058×10^{11}y\)

91. a. —0,400 °C ;

b. —0,909c

93. a. 1,65 km/s ;

b. Oui, si la vitesse de la lumière était aussi faible, les vitesses que nous pouvons atteindre dans la vie de tous les jours seraient supérieures à 1 % de la vitesse de la lumière et nous pourrions observer des effets relativistes beaucoup plus souvent.

95. 775 MHz

97. un\(\displaystyle 1.12×10^{−8}m/s\) ;.

b. La faible vitesse indique que la masse d'une protéine est nettement inférieure à celle d'une infime quantité de matière macroscopique.

99. un\(\displaystyle F=\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{mu}{\sqrt{1−u^2/c^2}})=\frac{du}{dt}(\frac{m}{\sqrt{1−u^2/c^2}})−\frac{1}{2}\frac{mu^2}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}2\frac{du}{dt}=\frac{m}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}\frac{du}{dt}\) ;.

b.\(\displaystyle F=\frac{m}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}\frac{du}{dt}=\frac{1kg}{(1−(\frac{1}{2})^2)^{3/2}}(1m/s^2)=1.53N\)

101. 90,0 MeV

103. un\(\displaystyle γ^2−1\) ;.

b. Oui

105. \(\displaystyle 1.07×10^3\)

107. un\(\displaystyle 6.56×10^{−8}kg\) ;.

b.\(\displaystyle m=(200L)(1m^3/1000L)(750kg/m^3)=150kg\) ; par conséquent,\(\displaystyle \frac{Δm}{m}=4.37×10^{−10}\)

109. a. 0,314 °C ;

b. 0,99995c (Cinq chiffres utilisés pour montrer la différence par rapport à c)

111. a. 1,00 kg ;

b. Cette masse serait mesurable, mais probablement impossible à observer simplement parce qu'elle représente 0,01 % de la masse totale.

113. un.\(\displaystyle 6.06×10^{11}kg/s;\)

b.\(\displaystyle 4.67×10^{10}y;\)

c.\(\displaystyle 4.27×10^9kg\) ;

d.\(\displaystyle 0.32%\)