3.4 : Tableaux de contingence et arbres de probabilité

Tableaux de contingence

Un tableau de contingence permet de présenter des données qui peuvent faciliter le calcul des probabilités. Le tableau permet de déterminer assez facilement les probabilités conditionnelles. Le tableau présente des valeurs d'échantillon en relation avec deux variables différentes qui peuvent être dépendantes ou dépendantes l'une de l'autre. Plus tard, nous utiliserons à nouveau les tables de contingence, mais d'une autre manière.

Exemple\(\PageIndex{20}\)

Supposons qu'une étude sur les excès de vitesse et les conducteurs qui utilisent des téléphones portables produise les données fictives suivantes :

\ (\ PageIndex {2} \) « >

Tableau\(\PageIndex{2}\)

	Violation de vitesse au cours de la dernière année	Aucune infraction pour excès de vitesse au cours de la dernière année	Total
Utilise un téléphone portable au volant	25	280	305
N'utilise pas de téléphone portable pendant la conduite	45	405	450
Total	70	685	755

Le nombre total de personnes dans l'échantillon est de 755. Les totaux des lignes sont de 305 et 450. Les totaux des colonnes sont de 70 et 685. Notez que 305 + 450 = 755 et 70 + 685 = 755.

Calculez les probabilités suivantes à l'aide du tableau.

a. Trouvez P (le conducteur est un utilisateur de téléphone portable).

Réponse

Solution 3.20

un.\(\frac{\text { number of cell phone users }}{\text { total number in study }}=\frac{305}{755}\)

b. Trouvez P (le conducteur n'a commis aucune infraction au cours de la dernière année).

Réponse

Solution 3.20

b.\(\frac{\text { number that had no violation }}{\text { total number in study }}=\frac{685}{755}\)

c. Find P (le conducteur n'a commis aucune infraction au cours de la dernière année en tant\(\cap\) qu'utilisateur de téléphone portable).

Réponse

Solution 3.20

c.\(\frac{280}{755}\)

d. Find P (Le conducteur est un utilisateur de téléphone portable ;\(\cup\) le conducteur n'a commis aucune infraction au cours de l'année écoulée).

Réponse

Solution 3.20

d.\(\left(\frac{305}{755}+\frac{685}{755}\right)-\frac{280}{755}=\frac{710}{755}\)

e. Find P (Le conducteur est un utilisateur\(|\) de téléphone portable qui a commis une infraction au cours de la dernière année).

Réponse

Solution 3.20

e.\(\frac{25}{70}\) (L'espace d'échantillonnage est réduit au nombre de conducteurs ayant commis une infraction.)

f. Find P (le conducteur n'a commis aucune infraction l'année dernière,\(|\) le conducteur n'utilisait pas de téléphone portable)

Réponse

Solution 3.20

f.\(\frac{405}{450}\) (L'espace d'échantillonnage est réduit au nombre de conducteurs qui n'utilisaient pas de téléphone portable.)

Exercice\(\PageIndex{20}\)

Le tableau\(\PageIndex{3}\) montre le nombre d'athlètes qui se sont étirés avant de faire de l'exercice et le nombre de ceux qui se sont blessés au cours de

\ (\ PageIndex {3} \) « >

	Blessure survenue l'année dernière	Aucune blessure l'année dernière	Total
S'étend	55	295	350
Ne s'étire pas	231	219	450
Total	286	514	800

Tableau 3.3

1. Qu'est-ce que P (l'athlète s'étire avant de s'entraîner) ?
2. Qu'est-ce que P (l'athlète s'étire avant de faire de l'exercice||aucune blessure l'année dernière) ?

Exemple\(\PageIndex{21}\)

Le tableau\(\PageIndex{4}\) montre un échantillon aléatoire de 100 randonneurs et les zones de randonnée qu'ils préfèrent.

\ (\ PageIndex {4} \) Préférence en matière de zone de randonnée « >

Sexe	Le littoral	Près des lacs et des ruisseaux	Sur les sommets	Total
Femme	18	16	___	45
Masculin	___	___	14	55
Total	___	41	___	___

Tableau 3.4 Préférence des zones de randonnée

a. Complétez le tableau.

Réponse

Solution 3.21

un.

\ (\ PageIndex {5} \) Préférence en matière de zone de randonnée « >

Table : zone de\(\PageIndex{5}\) randonnée préférée

Sexe	Le littoral	Près des lacs et des ruisseaux	Sur les sommets	Total
Femme	18	16	11	45
Masculin	16	25	14	55
Total	34	41	25	100

b. Les événements « réservés aux femmes » et « préférant le littoral » sont-ils des événements indépendants ?

Soit F = être une femme et C = préférer le littoral.

1. Trouve\(P(F\cap C)\).
2. Trouvez P (F) P (C)

Ces deux chiffres sont-ils identiques ? S'ils le sont, alors F et C sont indépendants. S'ils ne le sont pas, alors F et C ne sont pas indépendants.

Réponse

Solution 3.21

b.

1. \(P(F\cap C)=\frac{18}{100}\)= 0,18

2. P (F) P (C)\(\left(\frac{45}{100}\right)\left(\frac{34}{100}\right)\) = (0,45) (0,34) = 0,153

\(P(F\cap C)\)σ P (F) P (C), de sorte que les événements F et C ne sont pas indépendants.

c. Déterminez la probabilité qu'une personne soit un homme étant donné qu'elle préfère faire de la randonnée près des lacs et des ruisseaux. Soit M = être un homme, et soit L = préfère la randonnée près des lacs et des ruisseaux.

1. Quel mot te dit que c'est conditionnel ?
2. Remplissez les champs et calculez la probabilité : P (___||___) = ___.
3. L'espace d'échantillonnage pour ce problème est-il réservé aux 100 randonneurs ? Si non, c'est quoi ?

Réponse

Solution 3.21

c.

1. Le mot « donné » indique qu'il s'agit d'une condition.

2. P (M|L) =\(\frac{25}{41}\)

3. Non, l'espace d'échantillonnage pour ce problème est constitué des 41 randonneurs qui préfèrent les lacs et les ruisseaux.

d. Déterminez la probabilité qu'une personne soit une femme ou préfère faire de la randonnée sur les sommets des montagnes. Soit F = être une femme, et soit P = préfère les sommets des montagnes.

1. Trouvez P (F).
2. Trouvez P (P).
3. Trouve\(P(F\cap P)\).
4. Trouve\(P(F\cup P)\).

Réponse

Solution 3.21

d.

1. P (F) =\(\frac{45}{100}\)
2. P (P) =\(\frac{25}{100}\)
3. \(P(F\cap P)\)=\(\frac{11}{100}\)
4. \(P(F\cup P)\)=\(\frac{45}{100}+\frac{25}{100}-\frac{11}{100}=\frac{59}{100}\)

Exercice\(\PageIndex{21}\)

Le tableau\(\PageIndex{6}\) montre un échantillon aléatoire de 200 cyclistes et les itinéraires qu'ils préfèrent. Soit M = mâles et H = sentier vallonné.

\ (\ PageIndex {6} \) « >

Tableau\(\PageIndex{6}\)

Genre	Sentier du lac	Sentier vallonné	Sentier boisé	Total
Femme	45	38	27	110
Masculin	26	52	12	90
Total	71	90	39	200

1. Parmi les hommes, quelle est la probabilité que le cycliste préfère un chemin vallonné ?
2. Les événements « masculins » et « préférant le chemin vallonné » sont-ils des événements indépendants ?

Exemple\(\PageIndex{22}\)

Muddy Mouse vit dans une cage à trois portes. Si Muddy sort par la première porte, la probabilité qu'il se fasse attraper par la chatte Alissa est de 15 à 15 et la probabilité qu'il ne soit pas attrapé est de 45 à 45. S'il passe par la deuxième porte, la probabilité qu'il se fasse attraper par Alissa est de 1414 et la probabilité qu'il ne soit pas attrapé est de 3434. La probabilité qu'Alissa attrape Muddy en sortant de la troisième porte est de 1212 et la probabilité qu'elle n'attrape pas Muddy est de 1212. Il est également probable que Muddy choisisse l'une des trois portes, de sorte que la probabilité de choisir chaque porte est de 13,13.

\ (\ PageIndex {7} \) Choix de la porte « >

Choix de\(\PageIndex{7}\) porte de table

Pris ou pas	Porte 1	Porte deux	Porte trois	Total
Pris	\(\frac{1}{15}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{6}\)	____
Pas attrapé	\(\frac{4}{15}\)	\(\frac{3}{12}\)	\(\frac{1}{6}\)	____
Total	____	____	____	1

• La première entrée\(\frac{1}{15}=\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\) est\(P(Door One\cap Caught)\)
• L'entrée\(\frac{4}{15}=\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\) est\(P(Door One\cap Not Caught)\)

Vérifiez les entrées restantes.

a. Remplissez le tableau des probabilités de contingence. Calculez les entrées pour les totaux. Vérifiez que l'entrée dans le coin inférieur droit est 1.

Réponse

Solution 3.2

un.

\ (\ PageIndex {8} \) Choix de la porte « >

Choix de\(\PageIndex{8}\) porte de table

Pris ou pas	Porte 1	Porte deux	Porte trois	Total
Pris	\(\frac{1}{15}\)	\(\frac{1}{12}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{19}{60}\)
Pas attrapé	\(\frac{4}{15}\)	\(\frac{3}{12}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{41} {60} \)
Total	\(\frac{5}{15}\)	\(\frac{4}{12}\)	\(\frac{2}{6}\)	1

b. Quelle est la probabilité qu'Alissa n'attrape pas Muddy ?

Réponse

Solution 3.2

b.\(\frac{41}{60}\)

c. Quelle est la probabilité que Muddy choisisse Door One \ cap Door Two étant donné que Muddy est attrapé par Alissa ?

Réponse

Solution 3.2

c.\(\frac{9}{19}\)

Exemple\(\PageIndex{23}\)

Le tableau\(\PageIndex{9}\) contient le nombre de crimes pour 100 000 habitants de 2008 à 2011 aux États-Unis.

\ (\ PageIndex {9} \) Taux de criminalité aux États-Unis pour 100 000 habitants 2008-2011 « >

Tableau Taux de criminalité aux\(\PageIndex{9}\) États-Unis pour 100 000 habitants, 2008-2011

Année	cambriolage	Cambriolage	Viol	Véhicule	Total
2008	145,7	732,1	29,7	314,7
2009	133,1	717,7	29.1	259,2
2010	119,3	701	27,7	239,1
2011	113,7	702,2	26,8	229,6
Total

TOTAL pour chaque colonne et chaque ligne. Données totales = 4 520,7

1. Trouve\(P(2009\cap Robbery)\).
2. Trouve\(P(2010\cap Burglary)\).
3. Trouve\(P(2010\cup Burglary)\).
4. Trouvez P (2011|Viol).
5. Trouvez P (Véhicule|2008).

Réponse

Solution 3.23

1. 0,0294
2. 0,1551
3. 0,7165
4. 0,2365
5. 0,2575

Exercice\(\PageIndex{23}\)

Le tableau\(\PageIndex{10}\) présente les poids et les tailles d'un groupe de personnes participant à une étude d'observation.

\ (\ PageIndex {10} \) « >

Tableau\(\PageIndex{10}\)

Poids/taille	Grand	Moyen	Courte	Totaux
Obésité	18	28	14
Normal	20	51	28
Insuffisance pondérale	12	25	9
Totaux

1. Trouvez le total pour chaque ligne et colonne
2. Détermine la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans ce groupe soit grande.
3. Déterminez la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans ce groupe soit obèse et grande.
4. Déterminez la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans ce groupe soit grande étant donné qu'elle est obèse.
5. Déterminez la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans ce groupe soit obèse étant donné qu'elle est grande.
6. Déterminez la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans ce groupe soit grande et sous-pondérée.
7. Les événements Obese et Tall sont-ils indépendants ?

Schémas d'arbres

Parfois, lorsque les problèmes de probabilité sont complexes, il peut être utile de représenter graphiquement la situation. Les diagrammes arborescents peuvent être utilisés pour visualiser et résoudre des probabilités conditionnelles.

Schémas d'arbres

Un diagramme en arbre est un type spécial de graphique utilisé pour déterminer les résultats d'une expérience. Il se compose de « branches » étiquetées soit par des fréquences, soit par des probabilités. Les diagrammes arborescents peuvent faciliter la visualisation et la résolution de certains problèmes de probabilité. L'exemple suivant montre comment utiliser un diagramme en arborescence.

Exemple\(\PageIndex{24}\)

Dans une urne, il y a 11 balles. Trois balles sont rouges (R) et huit sont bleues (B). Dessinez deux balles, une à la fois, en les remplaçant. « Avec remplacement » signifie que vous remettez la première balle dans l'urne avant de sélectionner la deuxième balle. Le diagramme en arbre utilisant des fréquences qui montrent tous les résultats possibles suit.

\(\PageIndex{2}\)Total du chiffre = 64 + 24 + 24 + 9 = 121

Le premier ensemble de branches représente le premier tirage. Le deuxième ensemble de branches représente le deuxième tirage. Chacun des résultats est distinct. En fait, nous pouvons lister chaque boule rouge comme R1, R2 et R3 et chaque boule bleue comme B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7 et B8. Ensuite, les neuf résultats du RR peuvent être écrits comme suit :

R1R1 ; R1R2 ; R1R3 ; R2R1 ; R2R2 ; R2R3 ; R3R1 ; R3R2 ; R3R3

Les autres résultats sont similaires.

Il y a un total de 11 balles dans l'urne. Dessinez deux balles, une à la fois, en les remplaçant. Il y a 11 (11) = 121 résultats, soit la taille de l'espace d'échantillonnage.

a. Énumérez les 24 résultats BR : B1R1, B1R2, B1R3,...

Réponse

Solution 3.24

a. B1R1 ; B1R2 ; B1R3 ; B2R1 ; B2R2 ; B2R3 ; B3R1 ; B3R2 ; B3R3 ; B4R1 ; B4R2 ; B4R3 ; B5R1 ; B5R3 ; B6R1 ; B6R2 ; B6R3 ; B7R1 ; B7R2 ; B7R3 ; B7R3 ; B8R3 R1 ; B8R2 ; B8R3

b. À l'aide de l'arborescence, calculez P (RR).

Réponse

Solution 3.24

b. P (RR) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{3}{11}\right) = \frac{9}{121}\)

c. À l'aide de l'arborescence, calculez P (RB \ cup BR) P (RB \ cup BR).

Réponse

Solution 3.24

c.\(P(RB\cup BR)\) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{11}\right)+\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{11}\right)=\frac{48}{121}\)

d. À l'aide de l'arborescence, calculez\(P(Ron 1st draw\cap Bon 2nd draw)\).

Réponse

Solution 3.24

d.\(P(Ron 1st draw\cap Bon 2nd draw) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{11}\right)=\frac{24}{121}\)

e. À l'aide du diagramme en arborescence, calculez P (R au 2e tirage | B au 1er tirage).

Réponse

Solution 3.24

e. P (R au 2e tir|B au 1er tirage) = P (R au 2e tir|B au 1er) =\(\frac{24}{88} = \frac{3}{11}\)

Ce problème est conditionnel. L'espace d'échantillonnage a été réduit aux résultats déjà marqués d'un bleu lors du premier tirage. Il y a 24 + 64 = 88 résultats possibles (24 BR et 64 BB). Vingt-quatre des 88 résultats possibles sont des BR. \(\frac{24}{88} = \frac{3}{11}\).

f. À l'aide de l'arborescence, calculez P (BB).

Réponse

Solution 3.24

f. P (BB) =\(\frac{64}{121}\)

g. À l'aide de l'arborescence, calculez P (B au deuxième tirage | R au premier tirage).

Réponse

Solution 3.24

g. P (B au 2e tir|R au 1er tirage) =\(\frac{8}{11}\)

Il y a 9 + 24 résultats avec R au premier tirage (9 RR et 24 RB). L'espace d'échantillonnage est alors de 9 + 24 = 33. 24 des 33 résultats ont un B au deuxième tirage. La probabilité est alors\(\frac{24}{33}\).

Exercice\(\PageIndex{24}\)

Dans un deck standard, il y a 52 cartes. 12 cartes sont des cartes faciales (événement F) et 40 cartes ne sont pas des cartes faciales (événement N). Piochez deux cartes, une à la fois, et remplacez-les. Tous les résultats possibles sont présentés dans l'arborescence sous forme de fréquences. À l'aide de l'arborescence, calculez P (FF).

Figurine\(\PageIndex{3}\)

Exemple\(\PageIndex{25}\)

Une urne contient trois billes rouges et huit billes bleues. Dessinez deux billes, une à la fois, cette fois sans les remplacer, de l'urne. « Sans remplacement » signifie que vous ne remettez pas la première balle avant de sélectionner la deuxième bille. Vous trouverez ci-dessous un diagramme arborescent pour cette situation. Les branches sont étiquetées avec des probabilités au lieu de fréquences. Les nombres aux extrémités des branches sont calculés en multipliant les nombres sur les deux branches correspondantes, par exemple,\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right)=\frac{6}{110}\).

\(\PageIndex{4}\)Chiffre total =\(\frac{56+24+24+6}{110}=\frac{110}{110}=1\)

REMARQUE

Si vous dessinez un rouge au premier tirage parmi les trois possibilités rouges, il reste deux billes rouges à dessiner lors du deuxième tirage. Vous ne remettez ni ne remplacez la première bille après l'avoir dessinée. Vous dessinez sans les remplacer, de sorte qu'au deuxième tirage, il reste dix billes dans l'urne.

Calculez les probabilités suivantes à l'aide de l'arborescence.

a. P (RR) = ________

Réponse

Solution 3.25

a. P (RR) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right)=\frac{6}{110}\)

b. Remplissez les champs :

\(P(RB\cup BR) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)\)+ (___) (___) =\(\frac{48}{110}\)

Réponse

Solution 3.25

b.\(P(RB\cup BR) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)+\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{10}\right)=\frac{48}{110}\)

c. P (R le 2n|B le 1er) =

Réponse

Solution 3.25

c. P (R le 2n|B le 1er) =\(\frac{3}{10}\)

d. Remplissez les champs.

\(P(Ron 1st\cap Bon 2nd)\)= (___) (___) =\(\frac{24}{100}\)

Réponse

Solution 3.25

d.\(P(R \text{ on 1st }\cap B \text{ on 2nd}) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)=\frac{24}{110}\)

e. Trouver (PBB).

Réponse

Solution 3.25

e. P (BB) =\(\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{7}{10}\right)\)

f. Trouvez P (B au 2e | R au 1er).

Réponse

Solution 3.25

f. À l'aide de l'arborescence, P (B le 2nd|R le 1er) = P (R|B) =\(\frac{8}{10}\).

Si nous utilisons des probabilités, nous pouvons étiqueter l'arbre de la manière générale suivante.

• P (R|R) signifie ici P (R le 2n|R le 1er)
• P (B|R) signifie ici P (B le 2n|R le 1er)
• P (R|B) signifie ici P (R le 2n|B le 1er)
• P (B|B) signifie ici P (B le 2n|B le 1er)

Exercice\(\PageIndex{25}\)

Dans un deck standard, il y a 52 cartes. Douze cartes sont des cartes faciales (F) et 40 cartes ne sont pas des cartes faciales (N). Piochez deux cartes, une à la fois, sans les remplacer. L'arborescence est étiquetée avec toutes les probabilités possibles.

Figurine\(\PageIndex{5}\)

1. Trouve\(P(FN\cup NF)\).
2. Trouvez P (N|F).
3. Trouvez P (au plus une carte faciale).
   Conseil : « Au plus une carte » signifie zéro ou une carte faciale.
4. Trouvez P (au moins sur la carte du visage).
   Conseil : « Au moins une carte faciale » signifie une ou deux cartes faciales.

Exemple\(\PageIndex{26}\)

Une portée de chatons disponibles pour adoption à la Humane Society compte quatre chatons tabby et cinq chatons noirs. Une famille arrive et choisit au hasard deux chatons (sans remplacement) en vue de leur adoption.

1. Quelle est la probabilité que les deux chatons soient tigré ?
   
   \(a \cdot\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) b \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{4}{9}\right) c \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{3}{8}\right) d \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)\)
2. Quelle est la probabilité qu'un chaton de chaque couleur soit sélectionné ?
   
   a.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)\) b.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{8}\right)\) c.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)+\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{9}\right)\) d.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{8}\right)+\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{8}\right)\)
3. Quelle est la probabilité qu'un chat tigré soit choisi comme deuxième chaton alors qu'un chaton noir a été choisi comme premier ?
4. Quelle est la probabilité de choisir deux chatons de la même couleur ?

Réponse

Solution 3.26

a. c, b. d, c.\(\frac{4}{8}\), d.\(\frac{32}{72}\)

Exercice\(\PageIndex{26}\)

Supposons qu'il y ait quatre boules rouges et trois boules jaunes dans une boîte. Deux balles sont extraites de la boîte sans remplacement. Quelle est la probabilité qu'une boule de chaque couleur soit sélectionnée ?